Introducción a la geometría Riemanniana, o el problema de calcular áreas de superficies curvas. Pablo Esquer Castillo, marzo 2018

Transcripción

1 Introducción a la geometría Riemanniana, o el problema de calcular áreas de superficies curvas Pablo Esquer Castillo, marzo 2018

2 La métrica de Riemann Definición: La métrica de Riemann en una superficie S es un campo definido en el espacio tangente que asocia a cada punto p una forma cuadrática Q p : T p S R definida positiva y que depende suavemente del punto p. Más sobre formas cuadráticas. Repasando conceptos del álgebra lineal recordamos que existen objetos: En concreto, para el caso: B: V V K B: T p S T p S R Que cumplen linealidad en cada uno de sus dos argumentos. Estos objetos eran las formas bilineales. Además, es cierto que toda matriz cuadrada es la matriz asociada de alguna forma bilineal. Entonces dicha forma bilineal se define matricialmente por: Donde M matriz asociada. B(v, w) = v T M w Existen dos tipos formas bilineales (por tanto, de matrices) en función de cómo se comporte el cambio de argumentos. 1. Simétricas: B(v, w) = B(w, v) 2. Antisimétricas: B(v, w) = B(w, v) Existen formas bilineales que no son ni simétricas ni antisimétricas. Pero sí que es cierto que toda forma bilineal se descompone en la suma de una forma simétrica y otra antisimétrica. B(v, w) = S(v, w) + At(v, w), v, w Si en una forma bilineal se introduce el mismo argumento en cada una de las dos entradas, ésta define un nuevo objeto: las formas cuadráticas Q. B(v, v) Q(v) Toda forma bilineal induce una forma cuadrática (el recíproco es cierto). De hecho existen infinitas formas bilineales tales que al hacer B(v, v) se define la misma forma Q.

3 Pero ocurre que si B = S + At y At antisimétrica, entonces A(v, v) = 0 por la propiedad 2 (por eso existen infinitas formas bilineales que generan una misma Q: una por cada forma At en la que At(v, v) = 0). Esto quiere decir que las formas cuadráticas quedan definidas por la parte simétrica de su forma bilineal, y que aunque infinitas formas bilineales induzcan la misma forma cuadrática, sólo existe una que sea simétrica. La única forma bilineal simétrica que induce una forma cuadrática Q se llama forma polar de una forma cuadrática. Tenemos entonces una correspondencia 1:1 entre formas bilineales simétricas (polares) y formas cuadráticas, y podemos considerar que una representa a la otra cuando nos convenga. Así, las formas cuadráticas tienen una representación matricial: la de su forma polar (i.e. su forma bilineal simétrica). Como toda matriz define una forma bilineal, en particular toda matriz simétrica define una forma cuadrática. Si M es una matriz simétrica, entonces: Q(v) = v T M v Y en particular, si M es de orden 2 esto se desarrolla como: Q(v) = v T M v = a 11 v a 12 v 1 v 2 + a 22 v 2 2 Donde a 11, a 12, 22 coeficientes de M. De aquí sale la definición dada de forma cuadrática. Decimos más: En nuestro caso v T p S porque es donde está definida la forma cuadrática. Y v 1, v 2 son sus coordenadas. Y sabemos ya cuáles son las funciones coordenadas del espacio tangente. Así, la expresión general de una forma cuadrática va a ser: Q c 1 (du) c 2 du dv + c 3 (dv) 2 Para c 1, c 2, c 3 únicos por que corresponden con los coeficientes de la matriz que representa la única forma simétrica que induce la forma cuadrática, siendo por tanto única también dicha matriz. Pero cuáles serán c 1, c 2, c 3? Por cálculo algebraico se obtiene: c 1 = Q(Φ u, Φ u ), c 2 = Q(Φ u, Φ v ), c 3 = Q(Φ v, Φ v ) Donde Q su forma polar y {Φ u, Φ v } base del espacio tangente. Ahora: Resulta que las propiedades que cumplen las formas bilineales, las definidas positivas, son las mismas propiedades que cumplen los productos escalares. Entonces se puede interpretar que toda forma bilineal simétrica y definida positiva es un producto escalar.

4 Si la métrica de Riemann asocia a cada punto p de una superficie S una forma cuadrática Q definida en T p S automáticamente se le asocia una forma polar Q. Si una forma polar es una forma bilineal simétrica y definida positiva, por tanto un producto escalar, entonces la métrica de Riemann no solo es un campo polar sino un campo de productos escalares. Esto significa que teniendo definido un campo escalar que es un campo de productos escalares la métrica de Riemann nos legitima para definir: 1. Longitud de vectores. v = Q(v) 2. Ángulo entre vectores. Q(v, w) Q(v) Q(w) 3. Rapidez riemanniana de un camino α r = α = Q(α ) 4. Parámetro longitud riemanniana de arco: como la integral indefinida de la rapidez riemanniana (forma totalmente análoga a lo visto). Decimos más: La métrica de Riemann dota a una superficie del concepto de área, y de integral respecto del área. Sea: Q A(u, v) (du) B(u, v) (du)(dv) + C(u, v) (dv) 2 El campo polar definido por una métrica Riemanniana. Sea a: S R una función escalar en la superficie. Entonces, se define la integral de Riemann como: a d área Pero cuánto vale un diferencial de área? Se trata de calcular cuánto vale la unidad elemental de área de la superficie, que es prácticamente idéntica a la unidad elemental de área en el espacio tangente en cada punto. Esa es la esencia de la geomtría de Riemann: asemejar curvas a rectas para tener un lugar de trabajo en el que las cosas funcionen bien.

5 Dicho área será igual al producto: Y por otra parte, es conocido: Entonces: d área = Φ u Φ v = Φ u Φ v sin( π 2 ) = Φ u Φ v Φ u Φ v 2 + Φ u, Φ v 2 = Φ u 2 Φ v 2 d área = Φ u Φ v = Φ u 2 Φ v 2 Φ u, Φ v 2 Está dicho que la métrica de Riemann es un campo de formas cuadráticas: Q c 1 (du) c 2 du dv + c 3 (dv) 2 Para c 1, c 2, c 3 constantes únicas que dependen del punto (u, v), y resulta que, desarrollando lo ya mencionado: c 1 = Q(Φ u, Φ u ) = Φ u 2 = A c 2 = Q(Φ u, Φ v ) = Φ u, Φ v = B c 3 = Q(Φ v, Φ v ) = Φ u 2 = C Así: d área = AC B 2 Donde A, B, C son los coeficientes de la matriz asociada al campo polar. Por tanto: a AC B 2 dudv O más bonito todavía, llamando M a tal matriz asociada al campo polar: a det (M) dudv