LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Transcripción

1 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f(x + ) f(x)

2 LA DERIVADA DE UNA FUNCION 1. VARIACIONES E INCREMENTOS DE LAS VARIACIONES DEUNA FUNCION Sea f(x) una función, se trata de estudiar las variaciones o incrementos que ocurren en cada una de las variables, en el gráfico adjunto se puede observar que la variable independiente varía desde el valor original x asta el valor (x + ), mientras que la variable dependiente varía desde f(x) asta f(x + ). En este gráfico se puede apreciar los incrementos que an sufrido las variables que a sido sometida a una variación: Incremento de la variable x: Incremento de la variable y: x = (x + ) x x = x + x x = y = f(x + ) f(x) 2. RAZON DEL CAMBIO O RAZÓN DE LA VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN Sea f(x) una función, la razón del cambio o la razón de la variación de una función, está dado por el cociente de los incrementos que experimentan las variables de la función, es decir: y f(x + ) f(x) = x Este cociente existe siempre y cuando 0, sin embargo, de acuerdo con la teoría de límites, se trata de estudiar esta razón de cambio cuando se aproxime a cero. La derivada de una función es una manera de medir la razón de la variación de las variables de la función, es decir una medida por cociente de cómo varían las variables de una función, en la que la variable independiente tiene variaciones muy pero muy pequeñas, si se quiere cercanas a cero, entonces: e d i c a p e d. c o m Página 1

3 . DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Se define a la derivada de una función f(x), representata por f (x)al límite de la razón de cambio, cuando el incremento de las variables independiente () es cercano, es decir, tiende a cero, expresado matemáticamente se tiene: Siempre y cuando este límite exista. [ f(x + ) f(x) ] Es fácil notar que este límite está indeterminado, por lo que será necesario levantar previamente la indeterminación; los ejercicios que a continuación se presentan, encuentran la derivada de la función planteada por medio de esta definición; se incluyen todos los pasos asta encontrar la respuesta. 4. EJEMPLOS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES APLICANDO LA DEFINICION DE DERIVADA 1. f(x) = x f f(x + ) f(x) [ ] [ f(x + ) x ] x 2 + x 2 + (x 2 + x + 2 ) (x 2 + x + 2 ) = x 2 + x(0) + (0) = x 2 2. f(x) = 1 x f f(x + ) f(x) [ ] 1 x + 1 x 1 x + 1 x x (x + ) x(x + ) e d i c a p e d. c o m Página 2

4 x (x + ) x(x + ) f x(x + ) f 1 x(x + ) 1 x 2. f(x) = x f f(x + ) f(x) [ ] x + x Para calcular este límite, es necesario racionalizar el numerador, entonces: x + x x + + x x + + x f ( x + x)( x + + x) ( x + + x) 2 2 f ( x + ) ( x) ( x + + x) f x + x ( x + + x) f 1 ( x + + x) 1 ( x + + x) = 1 x x = 1 2 x 5. DERIVACIÓN DE FUNCIONES POR MEDO DE FÓRMULAS. De la sección anterior, se desprende que la derivada de una función es el límite de la razón de los incrementos, cuando la variable independiente tiende a cero; por otro lado, de los ejemplos planteados, se puede concluir además, que el cálculo de la derivada de una función, por medio de la definición, es un proceso demasiado laborioso; para obtener en forma rápida la derivada de una función se deben aplicar las fórmulas de derivación, estas fórmulas son las siguientes. 1. y = c y = 0 Siendo c una constante, c R 2. y = x y = 1. y = xc y = c 4. y = x n y = nx n 1 e d i c a p e d. c o m Página

5 Si u y v son funciones, entonces: 5. y = uv y =u v+uv 6. y = u v y = u v+v u v 2 Estas seis fórmulas son consideradas como fórmulas básicas de derivación, más adelante se estudiarán otras fórmulas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas. 6. NOTACION DE LEIBNIZ PARA LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN En las secciones anteriores se a utilizado la notación ( ) léase prima, para la derivada de una función, esta notación se debe a uno de los descubridores del cálculo diferencial: Sir Isaac Newton; sin embargo, el cálculo diferencial fue descubierto en forma simultánea por el matemático alemán Leibniz, el mismo que utilizó otro tipo de notación conocida como diferencial de la función; esta notación es la siguiente: y = dy dx Que se lee como: la derivada de y con respecto a la variable x ; más adelante, en cálculo de la integral de una función, esta notación será estratégicamente utilizada mediante la separación artificial en diferenciales, siendo: dy; diferencial de la variable y. dx: diferencial de la variable x. 7. APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE DERIVACIÓN EN FUNCIONES ELEMENTALES. A continuación se incluye un grupo de funciones elementales y se determina su derivada mediante la aplicación de las fórmulas de derivación; por tratarse de funciones elementales; en funciones que contienen radicales, previamente se a convertido a los mismos en expresiones con exponentes fraccionarios; este mecanismo permite visualizar directamente el exponente de la variable, con lo cual el proceso de derivación se toma muco más fácil. Para indicar la derivada, en estos ejercicios se a utilizado la notación y ; sin perjuicios de utilizar la notación de Leibniz estudiante en el párrafo anterior. Hallar las derivadas de las funciones: 1. y = x 4 + x y = 6x x 2. y = x5 a+b x2 a b x y = 4x + 6x y 18x 2x y = 5x4 a + b 2x a b 1 e d i c a p e d. c o m Página 4

6 4. y = x x y = 2ax x2 b + c 6. y = 6x x x y = x 5 x y = x2 2x 5 y = 6ax 2 2x b y = 7 2 (6)x (4)x y = x + x + 1 x y = 21x x y = x x 1 + x 1 y = 1 2 x x 2 x 2 y = 2 x x 2 x 2 8. y = x + m + x2 n2 m x n2 + x 2 y = 1 m x + mx n 2 x2 + n 2 1 x 2 9. y = x 2 2 x + 5 y = 1 m mx n 2 x 2n2 x y = 1 m m ( 1 2x x2) + n 2 2n2 ( 1 x 2) y = 1 m m x 2 + 2x n 2 2n2 x y = (x 2 ) 1 2(x) y = x 2 2x y = ax + b x x x x x y = 2 ( 1 x 1 ) 1 x 1 2 y = 2 1 x x y = ax 2 x 1 + bx 1 x 1 2 x 1 x 1 2 y = ax 5 + bx 2 x 1 6 y = 5 ax2 2 bx x e d i c a p e d. c o m Página 5