CÓMO MEDIR EL ESPESOR DE UN CABELLO SIN TOCARLO? RESUMEN

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1 CÓMO MEDIR EL ESPESOR DE UN CABELLO SIN TOCARLO? RESUMEN En este trabajo se determinó el espesor un cabello humano usando láseres de diferente longitud de onda(rojo: λ = 650 ± 10 nm; verde: λ = 532 ± 10 nm; purpura: 405 ± 10 nm). El experimento consistió en hacer incidir el láser sobre la superficie de un cabello. Para el montaje experimental se utilizaron mesas Newport con sus accesorios, lo cual permitió a fijar el sistema para de esta forma tener una mejor precisión en las mediciones. Se observó que la separación entre los máximos de difracción esta en dependencia de la distancia entre la pantalla en donde se proyecta el patrón de difracción y el cabello, así como de la longitud de onda del láser incidente. Sin embargo, se demostró que el espesor del cabello es independiente de la longitud de onda del láser. Para el análisis de los patrones de difracción se ocuparon programas de procesamiento de imágenes como ImageJ y video Tracker. Con el primero fue posible obtener mediciones más precisas entre las distancias del máximo central a los consecutivos, mientras que el segundo nos permitió trazar un perfil de línea de la intensidad de los mismos, de tal forma que se demostró que la intensidad disminuye conforme la distancia entre máximos y el máximo central incrementa, además de observar el carácter ondulatorio de la luz. El modelo que se aplicó para abordar el problema fue el experimento de difracción de Thomas Young. Lo innovador de este trabajo fue realizar el estudio de la óptica ondulatoria con láseres de diferente longitud de onda y de esta manera comprobar experimentalmente el carácter ondulatorio de la luz. El espesor del cabello obtenido experimentalmente con el láser rojo fue de ± 4.33 μm, con el verde ± 2.73 μm y con el purpura de ± 4.86 μm. Para verificar los resultados anteriores se tomó una imagen con un Microscopio Óptico cuya amplificación fue de 10 X, encontrando un valor de 75 μm aproximadamente. Es importante mencionar que se realizaron experimentos con más cabellos y la mayoría oscilaba en un espesor entre 30 y 140 μm, lo cual está en concordancia con lo reportado en la literatura. 1

2 1. INTRODUCCIÓN El año 2014 ha sido declarado Año Internacional de la Cristalografía por las Naciones Unidas, para conmemorar el centenario del descubrimiento de la difracción de rayos X por Max von Laue (1912) y el enunciado de la ecuación de Bragg (1913). A lo largo de estos 100 años la difracción de rayos X ha tenido, y tiene todavía, un papel esencial en el estudio y determinación de estructuras cristalinas [1]. Además, también fue posible determinar la estructura en forma de doble hélice del ADN mediante estudios de difracción, lo cual es de vital importancia para la compresión de la vida. Por tal motivo resulta de sumo interés investigar este tipo de fenómenos ondulatorios que presenta la radiación electromagnética al incidir sobre la materia. Sin embargo, la difracción de una estructura tridimensional es compleja y requiere de equipos costosos (como por ejemplo difractometros de rayos X) para realizar dicho estudio [2]. Posiblemente estemos más familiarizado con la difracción de la luz en obstáculos más sencillos, como la doble rendija del experimento de Young, en donde la luz que se difracta en dos rendijas próximas y paralelas interfiere sobre una pantalla produciendo franjas luminosas alternadas con otras oscuras (franjas de Young) [3,4]. Por lo tanto, en este trabajo se enfoca en el estudio de la difracción de la luz, y mediante este determinar el espesor de un cabello humano usando distintos láseres con diferentes longitudes de onda (purpura: 405 ± 10 nm, verde: 532 ± 10 nm, rojo: 650 ± 10 nm). Por lo que el objetivo general del proyecto es determinar el espesor de un cabello humano sin necesidad de medirlo directamente, es decir, se determinara de manera indirecta aplicando conceptos de difracción de la luz. Dentro de los objetivos particulares del proyecto se tienen los siguientes: Demostrar que el espesor del cabello según el modelo propuesto es independiente de la longitud del láser incidente. Observar y medir que la separación entre máximos de difracción está en dependencia de la longitud de onda incidente. 2

3 Aplicar programas de procesamiento de imágenes para tener una mayor precisión en la medición. Modelo de difracción de la luz desde el punto de vista de la física ondulatoria. La luz se puede ver como partícula o como onda. La óptica geométrica, depende de la naturaleza corpuscular de la luz. La óptica ondulatoria depende de la naturaleza ondulatoria de la luz. Los fenómenos de interferencia, difracción y polarización no se pueden explicar de manera adecuada con la óptica de rayos, pero se pueden entender si la luz es vista como una onda [5,6]. Los efectos de interferencia en las ondas de luz no son fáciles de observar debido a que las longitudes de ondas involucradas son relativamente pequeñas (del orden de nanómetros). Sin embargo, las dos condiciones siguientes facilitan la observación de interferencia entre dos fuentes de luz: 1. Las fuentes son coherentes, lo cual significa que las ondas que emiten deben mantener una fase constante una con respecto a la otra. 2. Las ondas tienen longitudes de onda idénticas. Por lo tanto para abordar el problema en el presente trabajo se considera que cuando un haz colimado de luz monocromática (en este caso los láseres) incide sobre un hilo cilíndrico, con sección circular, sobre una pantalla relativamente alejada se observa una serie de máximos de interferencias/difracción, separados por mínimos nulos, como se esquematiza en la Fig.1. El máximo central tiene una anchura mayor que los máximos laterales, y en teoría su intensidad es mucho mayor. Si la longitud de onda de la luz es λ y el diámetro del cabello es d, se demuestra que el m simo máximo de intensidad luminosa en la pantalla se encuentra en la posición angular (véase la Fig.1) está dada por: senα m = m λ d (1), con m = ±1, ±2, ±3, ±4.. m 3

4 Debido a que, en nuestro experimento, los valores de los ángulos α m para los primeros máximos de difracción son suficientemente pequeños, entonces se puede aplicar la siguiente aproximación [7]: Fig.1. Esquema representativo del patrón difracción cuando un láser incide sobre un cabello cuyo espesor es d. senα m tanα m = y m x (2) Donde x es la distancia entre el cabello y la pantalla en la cual se proyectará el patrón de difracción, e y m es la distancia del m simo máximo al centro del máximo de difracción. Con la aproximación anterior e igualando las Ec. (1) y (2), es inmediato deducir la siguiente expresión: y m = mλ x (3) d De acuerdo al modelo explicado anteriormente, la hipótesis de nuestro proyecto es la siguiente: La separación entre los máximos de difracción esta en dependencia de la longitud de onda de la luz incidente, siendo menor conforme λ disminuya. Además, la separación entre máximos también depende de la distancia entre el cabello y la pantalla en donde se proyecta el patrón de difracción x. Sin embargo, el valor obtenido experimentalmente del espesor del cabello humano es independiente de la longitud de onda de la luz incidente. Es importante mencionar que lo innovador de este trabajo radica en que se realizó el estudio con tres diferentes láseres con diferente longitud de onda, a diferencia de otros trabajos en donde se aborda el problema utilizando un solo láser. Además, los patrones de difracción son analizados con programas procesadores de imágenes como ImagenJ y video tracker, los cuales permiten una mayor precisión en cuanto a las mediciones y 4

5 trazar espectros de intensidad de la luz para observar de mejor manera el carácter ondulatorio de la luz. 2. DESARROLLO EXPERIMENTAL Para este trabajo se utilizaron los siguientes materiales y equipo: Mesas Newport y accesorios. Láseres (λ = 650 ± 10 nm, 5mW; λ = 532 ± 10 nm, 5mW; 405 ± 10 nm, < 1 mw ). Flexómetro Cámara fotográfica de un celular Programa procesador de imágenes ImageJ. Programa procesador de imágenes y videos video Tracker. Cabellos Pantalla Programa procesador de datos y graficas Origin 8 Microscopio Óptico Para el montaje del experimento se utilizaron dos mesas Newport, ver Fig. 2, las cuales sirvieron como base para montar parte de sus accesorios, los cuales sirvieron para fijar el puntero laser y alinear el cabello de forma perpendicular a él. Posteriormente, se miden determinadas distancias (109.2, 99.2, 89.4, 79.6, 69.5 y 59.4 cm, todas con una incertidumbre del ±0.05 cm, esto tomando en cuenta la división más pequeña del flexómetro dividida entre dos [8]) entre el cabello y la pantalla en donde el patrón de difracción se proyectará. Es importante mencionar que sobre la pantalla se colocó una referencia (una línea trazada con un lápiz de 2 cm de longitud) para medir las distancias entre los máximos de difracción (ver Fig. 2). Una vez alineado el sistema se oprime el botón de encendido del láser para generar el patrón de difracción. Después con una cámara de celular se toman las fotografías de los patrones de difracción procurando que estas estén lo más alineadas posible y que salga en la imagen la referencia para que sea analizada con los programas. Este proceso se repite con las distancias mencionadas anteriormente utilizando cada uno de los láseres. Finalmente, las imágenes son 5

6 analizadas con los programas para obtener las distancias entre los máximos de difracción al máximo central, así como para determinar el espectro de intensidades. Fig 2. Montaje experimental del sistema para llevar acabo los experimentos de difracción Cómo medir con imagej? En la Fig. 3 se muestra una breve explicación de cómo medir con ImageJ. Lo primero es abrir la imagen que se desea analizar y ubicar la referencia que se colocó en la pantalla previamente (en este caso 2 cm), ver I. Posteriormente, se le da la escala al programa, así como las unidades en que se está midiendo, ver II. Después, se comienza a medir del centro del máximo central a los centros de los máximos laterales, ver III, y finalmente el programa nos proporciona el resultado, ver IV. Cómo medir con video tracker? En la Fig. 4 se muestra brevemente el procedimiento para obtener el espectro de intensidades de los patrones de difracción. El programa video tracker cuenta con la función de analizar imágenes, lo primero que se hace es fijar un sistema de referencia (en nuestro caso se utilizó un sistema coordenado x-y), después se ubican dos puntos 6

7 con diferente intensidad, en los cuales se pide la posición en el eje x (dato obtenido con ImageJ) y en el eje y el valor de la intensidad, la cual se puso 100% al punto máximo central. Finalmente, se crea un perfil de línea para realizar un barrido sobre el eje x, para que el programa nos proporcione valores numéricos de posición (cm) vs intensidad(luxes). Fig. 3. Descripción breve de cómo medir las distancias entre los máximos de difracción y al máximo central con imagej. Es importante mencionar que el programa nos proporciona la intensidad en luxes, sin embargo, hay que tener en cuenta que el valor del 100% que nosotros proporcionamos al programa solo fue porque a simple vista es el de mayor intensidad, por lo que no podemos asumir que el resultado este dado en luxes, es por ello que en el análisis se pondrán unidades arbitrarias (u.a). 7

8 Fig. 4. Análisis del patrón de difracción con video tracker y determinación de los puntos experimentales de la posición e intensidad de los máximos de difracción, correspondientes a una distancia pantalla-cabello de ± cm. 3. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS La Fig. 5(a) muestra un patrón de difracción generado por el láser rojo (λ = 650 ± 10 nm). En la tabla 1 se presentan los valores numéricos de las mediciones de las distancias entre el máximo de difracción central a los primeros cinco máximos consecutivos (y1, y2, y3, y4 y y5). En primera instancia, se puede observar que conforme disminuye la distancia pantalla-cabello, la separación entre el máximo central y los máximos también disminuye, lo cual concuerda con la Ecu. (3). Con el programa video tracker se puede trazar un perfil de línea, lo que nos brindó información de cómo disminuye la intensidad de la luz conforme los máximos de difracción estén más distante del centro. Tomando los valores numéricos de distancia e intensidad proporcionados por video tracker, se realizó el grafico del espectro con ayuda de Origin 8 (software para analizar datos y crear graficas), del tal forma que se puede determinar la posición de los máximos de difracción, los cuales coinciden aproximadamente con los medidos con imagej, ver Fig. 5(b). 8

9 Tabla 1. Valores numéricos de las mediciones realizadas con ImageJ para el patrón de difracción con el láser rojo. x(± cm) y 1 (± cm) y 2 (± cm) y 3 (± cm) y 4 (± cm) y 5 (± cm) En la Fig. 5(c) se puede observar que la variación de la distancia x se comporta linealmente con las distancias y1, y2, y3, y4 y y5. Por lo tanto, se puede realizar un ajuste a los puntos experimentales por el método de mínimos cuadrados para determinar la pendiente. Una vez determinada la pendiente en cada caso se iguala con el valor dado por la Ecu. (3), es decir, p = mλ d (4) Fig 5. (a) Patrón de difracción a una distancia de cm del cabello a la pantalla. (b) Espectro de intensidad (unidades arbitrarias) realizado con video tracker en donde se puede ver como disminuye la intensidad conforme los máximos de difracción se alejan del máximo central. (c) Grafica que presenta la variación de la pendiente de x(cm) vs Y m(cm). Las imágenes anteriores corresponden al patrón de difracción correspondiente al laser rojo. 9

10 Por lo que por medio de la Ecu.(4) se determina el valor del espesor del cabello, los resultados se muestran en la tabla 2. Como se puede observar el valor obtenido del espesor del cabello humano que se analizó se aproxima independientemente del máximo con el que se calculó, tomando el promedio de las mediciones con su respectiva desviación estándar tenemos que el espesor del cabello obtenido experimentalmente con el láser rojo es ± 4.33 μm. En la tabla 3 se presentan los valores numéricos para el caso de los patrones difracción correspondientes al láser verde. Se puede observar que las distancias y1, y2, y3, y4 y y5 disminuyen en comparación a las medidas usando el láser rojo de una mayor longitud de onda. En la Fig. 6(a-c) se presenta el patrón de difracción, su espectro de intensidades así como las gráficas de x vs y m para los patrones de difracción del láser color verde. Tabla 2. Resultados de la pendiente para cada máximo de difracción, coeficiente R 2 y determinación del espesor del cabello usando el láser rojo. P R 2 d(μm) y y y y y Tabla 3. Valores numéricos de las mediciones realizadas con ImageJ para el patrón de difracción con el láser verde. x(cm) y 1(cm) y 2(cm) y 3(cm) y 4(cm) y 5(cm) En la tabla 4 también se puede observar que la pendiente de las rectas disminuye, sin embargo, utilizando la Ec.(4) para determinar el espesor del cabello se obtuvo un resultado de ± 2.73 μm, el cual es muy cercano al obtenido usando el láser rojo. 10

11 Fig 6. (a) Patrón de difracción a una distancia de cm del cabello a la pantalla. (b) Espectro de intensidad (unidades arbitrarias) realizado con video tracker en donde se puede ver como disminuye la intensidad conforme los máximos de difracción se alejan del máximo central. (c) Grafica que presenta la variación de la pendiente de x(cm) vs Y m(cm). Las imágenes anteriores corresponden al patrón de difracción correspondiente al laser verde. Tabla 4. Resultados de la pendiente para cada máximo de difracción, coeficiente R 2 y determinación del espesor del cabello usando el láser verde. P R 2 d(μm) y y y y y Finalmente, en la tabla 5 se presentan los valores numéricos obtenidos de las mediciones de los patrones de difracción generados con el láser purpura. En la Fig. 7(ac) se presenta el patrón de difracción, espectro de intensidades y las gráficas de x vs y m. En la tabla 6 se puede observar que la pendiente disminuye a diferencias de los láseres utilizados anteriormente, sin embargo, nuevamente el valor del espesor del cabello no varía demasiado con respecto al obtenido con los otros láseres. El promedio de los resultados, tomando el valor obtenido para cada máximo así como su desviación estándar, es ± 4.86 μm. 11

12 Tabla 5. Valores numéricos de las mediciones realizadas con ImageJ para el patrón de difracción con el láser purpura. x(cm) y 1(cm) y 2(cm) y 3(cm) y 4(cm) y 5(cm) Tabla 6. Resultados de la pendiente para cada máximo de difracción, coeficiente R 2 y determinación del espesor del cabello usando el láser purpura. P R 2 d(μm) y y y y y Fig 7. (a) Patrón de difracción a una distancia de cm del cabello a la pantalla. (b) Espectro de intensidad (unidades arbitrarias) realizado con video tracker en donde se puede ver como disminuye la intensidad conforme los máximos de difracción se alejan del máximo central. (c) Grafica que presenta la variación de la pendiente de x(cm) vs Y m(cm). Las imágenes anteriores corresponden al patrón de difracción correspondiente al laser purpura. 12

13 Para corroborar los resultados anteriores se tomó una imagen con el Microscopio Óptico (MO) del cabello estudiado, ver Fig. 8. Tomando la escala del MO se encontró aproximadamente el espesor de 75 μm, lo cual concuerda aproximadamente con el encontrado experimentalmente. Fig. 8. Imagen de MO del cabello usado para el estudio de difracción de la luz. 4. CONCLUSIONES En este trabajo se realizó el estudio de la naturaleza ondulatoria de la luz por medio de medir el espesor de un cabello humano. Se determinó que el espesor del cabello es independiente de la longitud de onda del láser incidente. También, logramos comprobar experimentalmente que la separación entre los máximos de difracción esta en 13

14 dependencia de la distancia cabello-pantalla y de la longitud de onda del láser incidente. Se utilizaron programas de procesamiento de imágenes para obtener una mejor precisión en las mediciones y observar el espectro de intensidades conforme los máximos de difracción se encuentran distantes del máximo central, teniendo así una mejor comprensión sobre la naturaleza ondulatoria de la luz. Para verificar los resultados obtenidos se tomó una imagen de MO del cabello encontrando un resultado relativamente cercano al encontrado experimentalmente. Finalmente, con este proyecto logramos una mejor comprensión de la interacción entre radiación electromagnética y materia, en particular el fenómeno de difracción. 5. BIBLIOGRAFÍA [1] Leopoldo M. Falicov. (1967). La estructura electrónica de los sólidos. USA: Unión Panamericana Washington D.C. [2] P.V. Pavplov. (1987). Física del estado sólido. URSS: Mir Moscú. [3] Robert Resnick, David Holliday, Kenneth S. Krane. (2007). Física cuarta edición en español volumen 2. México: Patria. [4] Giancoli,D.C. (2006). Física, principios con aplicaciones (6 ed.), México: Pearson. [5] Lea, S. (1999). Física: La naturaleza de las cosas. Argentina: International Thompson Editores. [6] R. M. Eisberg, R. Resnick. (1989). Física cuántica: átomos, moléculas, sólidos y partículas. México: Limusa 1 er ed. [7] Swokowski, Earl. (1994). Introducción al Cálculo con Geometría Analítica. México: Grupo Iberoamérica. [8] Berta Oda Moda. (2013). Introducción al análisis grafico de datos experimentales. México: Facultad de Ciencias UNAM. 14