Números reales y sus propiedades.

Transcripción

1 Números reales sus propiedades. (Notas redactadas por A. DIEGO M. I. PLATZECK para el curso de Matemática General) Los números naturales,,,..., han sido creados por el hombre para contar los objetos de conjuntos finitos, el número natural n es una medida de la cantidad de objetos de un conjunto. Pero es necesario medir o comparar también longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cantidades de calor, de electricidad, etc.. Para este tipo de cantidades sabemos decidir cuándo dos de ellas son equivalentes o iguales, mediante eperiencias apropiadas. (Dos varillas que se pueden hacer coincidir son iguales en longitud, dos cuerpos que equilibran una balanza de platillos son iguales en peso, etc.). Se sabe además sumar dos cantidades de una misma especie subdividir una cantidad dada en n partes iguales. De ahora en adelante, consideraremos el problema de medir cantidades en el caso de longitudes. El problema de precisar la noción de medida o longitud de un segmento se presentó tempranamente a los geómetras griegos hace unos 5 siglos. Dado un segmento OU que se considerará como unidad de medida otro segmento PQ, puede ocurrir que PQ se pueda partir en n segmentos iguales a OU; en este caso n es la medida o longitud del segmento PQ (con respecto a la unidad OU ). P Q O U Naturalmente, la circunstancia anterior es casual. En general, OU no cabrá un número eacto de veces en PQ. Subdividamos ahora la unidad OU en m partes iguales. Se dice que cada una de estas partes (submúltiplos de OU) tiene longitud igual a. Si se tiene un segmento PQ que puede m dividirse en eactamente n partes iguales de longitud m, se dice que la longitud de PQ es n m. En el ejemplo de la siguiente figura, la longitud de PQ (con respecto a la unidad OU ) es 7 5. O U P En la figura siguiente, el segmento AC es el segmento suma de los segmentos AB BC. A B C OBSERVACIONES: ) Es claro que si se subdivide la unidad OU en m partes iguales luego cada una de ellas en p partes iguales, la unidad OU quedó subdividida en m p partes, de modo que la medida de cada una de ellas es. Necesitaremos entonces p segmentos consecutivos de m p esa medida para obtener uno de los segmentos resultantes de la primera subdivisión, es decir que: p. m m p

2 ) Una consecuencia importante de la observación anterior es que r r p m m p r a que ella nos dice que si la medida de un segmento es respecto de la unidad OU, es m decir que el mismo puede dividirse en r partes iguales de longitud podrá dividirse en r p partes iguales de longitud. m p, es claro que también m ) Otra consecuencia inmediata es que si en la figura siguiente, la medida de AB es de BC es m q entonces la medida de AC es A p q. m B C p la m Como resultado de las observaciones anteriores es fácil verificar que, si respecto de la unidad OU, la medida de AB es m n la de BC es r m s r n, entonces la de AC es. s n s m r m s r n m s r n Esto es:. n s n s n s n s Por otro lado, puede también verificarse que si la medida de un segmento CD con relación a la unidad AB es r s la medida de AB en relación con la unidad OU es m, la medida de CD n r m r m r m en relación a OU es, (esto es ). Por ejemplo, las partes de un segmento s n s n s n 5 que mide tiene longitud Históricamente, los números racionales han surgido de la necesidad de medir distintos tipos de cantidades las operaciones entre ellos (suma producto) aparecieron naturalmente en la forma que se indica en el párrafo anterior. Dado un segmento OU, puede preguntarse si cualquier segmento PQ tiene una medida racional con respecto a la unidad OU, en la forma indicada antes, es decir, si ha algún submúltiplo de OU que quepa eactamente un número entero de veces en PQ. La respuesta es negativa fue dada por los matemáticos Pitagóricos de la manera que veremos a continuación: La hipotenusa OP de un triángulo rectángulo isósceles OPU no tiene medida racional con respecto a la unidad OU. P O U

3 En efecto, supongamos por el absurdo, que la medida de OP es el número racional a. Por el b a teorema de Pitágoras tendríamos que: b Esto es un absurdo porque: El cuadrado de un número racional no puede ser. Veámoslo: Podemos suponer, simplificando los posible factores comunes del numerador del denominador, que a es irreducible. b a Si fuese, resultaría que a b, es decir que a es un número par. b El entero a no puede ser impar pues su cuadrado a sería impar a que: ( k ) k k ( k k) En consecuencia: a es par, o sea a q, pero entonces a q b, lo que implica que q b. De aquí resulta, como antes, que b es par, pues su cuadrado lo es. Concluimos a entonces que a b son pares, lo que contradice la hipótesis de que es irreducible. b OBSERVACIÓN : Se puede mencionar otra demostración de este hecho, que se basa en el Teorema Fundamental de la Aritmética, es decir, en el teorema que afirma que cualquier número entero positivo puede descomponerse como un producto de números primos, en una única forma, ecepto por el orden de los factores. En efecto, si reemplazamos en la fórmula a b, las epresiones de a b como productos de factores primos, tomando, por ejemplo obtendremos que k k k a 5 L, b r r 5 r L k k k r r r 5 L 5 L lo que es una contradicción, pues el primer miembro tiene una cantidad par de factores, mientras que el segundo miembro tiene una cantidad impar. Aunque estas dos demostraciones se basan en técnicas mu distintas (el hecho de que el cuadrado de un número par o impar mantiene el mismo tipo de paridad que el número original la primera, mientras que la segunda hace uso de las reglas de la divisibilidad) ambas se basan en la prueba por reducción al absurdo, es decir, en el uso del principio de no contradicción son en consecuencia, demostraciones indirectas, que muchas veces terminamos aceptando por familiaridad, aunque con una sensación de incomodidad desconfianza, hasta manejar con convencimiento las reglas de la lógica. Nota: Esta Observación agregada en itálica ha sido agregada a las Notas originales de loa profesores Diego Platzeck. E.N. Güichal.

4 Después de esto, la situación se planteaba en los términos siguientes: los números racionales no son suficientes para asignar a cada segmento una medida la solución natural fue la de ampliar el sistema de los números racionales (positivos) agregándoles otros números, de manera que a todo segmento se pudiese asignar como medida uno de estos números que cada uno de estos números correspondiese a la medida de un segmento. Estos números deben estar ordenados de modo que números (medidas) maores correspondan a segmentos más grandes. Un número queda caracterizado por sus aproimaciones racionales por defecto por eceso. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Recordemos con un ejemplo el significado de la representación decimal de un número: 98, Observemos en este punto que un número cua representación decimal es finita, es un número racional. El sistema decimal de escritura ha conducido naturalmente a la adopción del sistema métrico decimal; en términos generales, este sistema consiste en medir cantidades utilizando submúltiplos iguales a 0, 0,, etc., de la unidad de medida. 0 Es claro lo que significa decir que un segmento mide 98,7. Pero al medir un segmento PQ puede ocurrir que su medida no sea un múltiplo de n, por grande que elijamos a n. 0 En este caso el número decimal finito (luego racional) a 0, a a a La n obtenido en el proceso de medición es sólo una medida aproimada por defecto del segmento PQ (con un error menor que 0 ). n Deberíamos escribir entonces a como una epresión decimal infinita: a 0, a a a La n L Recíprocamente, a una epresión decimal infinita de este tipo, podemos hacer corresponder un segmento de medida. La escritura decimal nos provee así de una manera cómoda de designar a un número real. A los números racionales corresponden epresiones decimales periódicas, por ejemplo: 0, L 0, L 7, 888L 0 0, 5 0, L

5 Decimos que estos números son periódicos porque una secuencia de cifras, llamada período, se repite indefinidamente a partir de un cierto dígito. Así, en la epresión de se repite 8. 0 En el caso de, se repite 0 indefinidamente. Para evitar ambigüedades, se prefiere la notación 0, 0, 857 7, , 05, En estos ejemplos, la epresión decimal se obtiene haciendo la división en la forma habitual. No es difícil convencerse de que realmente la medida a asignar a un segmento de, por ejemplo, longitud, utilizando el sistema métrico decimal, es 0,. Demostraremos ahora que: a) La representación decimal de un número racional es periódica. recíprocamente: b) Si una epresión decimal de un número es periódica, el número es racional. a) Obtengamos en primer lugar la epresión decimal de , Al llegar a este punto, no hace falta proseguir la división, pues el que apareció en el segundo lugar del cociente aparecerá ahora, a que se obtuvo de dividir 60 por ésta es la opera-ción que se debe realizar a continuación. De la misma manera, seguirán luego, 8, 5, 7,. Vemos así que lo que motiva la periodicidad es la repetición de un resto al dividir, 6 en el caso anterior. Se presenta la pregunta: ocurre esta repetición en general, al dividir un número natural a por un número natural b? La respuesta es sí, pues los posibles restos son 0,,,..., b, b. (0,,,..., en el caso del ejemplo), luego, después de a lo sumo b pasos uno de los restos se repite. b) Comencemos con un ejemplo. Sea a, L, 0, 5

6 0 a, L, 0, Restando miembro a miembro ambas epresiones obtenemos: 0 a a, 08, o sea: ( 0 ) a 99a 08. Luego: a En este ejemplo, el período comienza inmediatamente después de la coma tiene dos cifras. Se ha multiplicado por 0 00 con el objeto de correr dos lugares la coma decimal. Hemos obtenido así el número,, que tiene la misma parte decimal que a, L, de modo que al restarle a se obtiene un número entero. Es fácil comprender que, si en un número a el período tiene p cifras siguiendo inmediatamente a la coma decimal, 0 p a a será un número entero b entonces, de 0 p a a b, resulta: b a p 0. (Nótese aquí que 0, 9999L 0, 9 ) Hemos probado que si el período sigue inmediatamente a la coma decimal, el número correspondiente es racional. Si el período no sigue inmediatamente a la coma decimal procederemos como se ilustra en el ejemplo siguiente: Sea b, 87L, 87. Entonces 0 b 87, L 87,. Hemos multiplicado por 0 para reducir la situación al caso anterior, o sea, correr la coma de modo que el período comience inmediatamente después de la coma. Aplicando entonces el procedimiento visto, al número 87, obtenemos: b 87,, 999 luego b En el caso general, si el período comienza r cifras después de la coma, multiplicando por 0 r nos colocamos en el caso anterior. La proposición anterior tiene por objeto distinguir a los números racionales por su epresión decimal. Es conveniente recordar aquí que los números que no son racionales se llaman irracionales. Podemos indicar ahora fácilmente ejemplos de estos números: 0, , (donde el desarrollo decimal continúa según se sugiere en las cifras escritas). Por una vía diferente hemos dado anteriormente otro ejemplo de número irracional, en efecto, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuos catetos tienen 6

7 longitud verifica según probamos no es racional. Dicho brevemente, es irracional. Hasta ahora hemos hablado de números positivos. Históricamente, los números negativos aparecieron recién a principios del siglo XVII (aparentemente sugeridos por el desarrollo de las actividades comerciales: una deuda podía ser considerada como una cantidad negativa). En esta época se convino en agregar a los números positivos los números negativos de una manera formal: con cada número positivo se considera su negativo correspondiente:, de manera que ( ) 0. Todos estos números constituen el conjunto IR de los números reales. Este conjunto contiene al conjunto Q de los números racionales (constituido por los racionales positivos, sus negativos el cero). Se denomina Z al conjunto de los números enteros, constituido por los números naturales,,,,, sus negativos el cero. El conjunto de los naturales se notará con IN. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES. Dada una recta dos puntos diferentes O U en ella, elijamos OU como unidad de longitud; llamaremos a la semirecta OU la semirecta positiva a la semirecta opuesta, la semirecta negativa. O Dado un punto P en la semirecta positiva, la medida del segmento OP se denomina la abscisa de P. Si S es un punto de la semirecta negativa P, de abscisa, es su simétrico respecto de O, la abscisa de S es:. - 0 S O U P Se tiene así una correspondencia entre los números reales los puntos de la recta que asocia a cada punto su abscisa. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES. El propósito de este párrafo es destacar ciertas propiedades básicas que gobiernan el cálculo con números reales. Una vez establecidas esas propiedades deduciremos de ellas las reglas habituales de cálculo. La suma el producto de los números naturales verifican las propiedades asociativa conmutativa la multiplicación es distributiva con respecto a la suma. Si agregamos a los naturales el 0 se tiene también n 0 n. Las operaciones de suma producto entre racionales positivos: m r n ms rn s rs m r U n mn s rs, conservan estas propiedades. Pero además, dado un número racional distinto de 0, a el número a s es tal que a r a r, s. Se puede razonablemente admitir que todas estas 7

8 propiedades de los números racionales se conservan para los números reales, dado que éstos se pueden aproimar tanto como se quiera por números racionales. La introducción de los números negativos permite escribir además la igualdad a ( a) 0. Conviene destacar que cualquier definición matemáticamente rigurosa de los números reales entraña dificultades que están fuera del alcance los propósitos de este curso. Definiciones de este tipo se han formulado recién en la segunda mitad del siglo pasado. (En un Apéndice al final de estas Notas, se agregan algunos comentarios relacionados con estas dificultades) PROPIEDADES BÁSICAS DEL CÁLCULO. Si a, b, c son números reales, se verifican las siguientes propiedades: S- ASOCIATIVIDAD DE LA SUMA: ( a b) c a ( b c). S- CONMUTATIVIDAD DE LA SUMA: a b b a. S- 0 ES NEUTRO ADITIVO, o sea: a 0 a, para todo a IR.. S- TODO NÚMERO REAL TIENE INVERSO ADITIVO, esto es: dado a IR, eiste un único número real, que notaremos con a, tal que a ( a) 0. M- ASOCIATIVIDAD DEL PRODUCTO: ( a b) c a ( b c). M- CONMUTATIVIDAD DEL PRODUCTO: a b b a. M- ES NEUTRO MULTIPLICATIVO, o sea: a a, para todo a IR.. M- TODO NÚMERO REAL DISTINTO DE 0 TIENE INVERSO MULTIPLI- CATIVO, esto es: dado a IR, a 0, eiste un único número real, que notaremos con, tal que a. a a D- DISTRIBUTIVIDAD DEL PRODUCTO CON RESPECTO A LA SUMA: a ( b c) a b a c. Notaremos: a ( b) a b a a b b (( a b) c) d a b c d (( a b) c) d a b c d n a a a L a a. n veces 8

9 Números reales sus propiedades. (cont.) (Notas redactadas por A. DIEGO M. I. PLATZECK para el curso de Matemática General) ALGUNAS PROPIEDADES USUALES QUE SE DEDUCEN DE LAS ANTERIORES. Además de las propiedades enunciadas precedentemente, es sabido que los números reales tienen otras propiedades. Algunas de éstas son tan simples que el lector se preguntará seguramente para qué hace falta una demostración. Por ejemplo, nosotros probaremos que a 0 0, cosa bien conocida. Al decir que probaremos que a 0 0, se quiere significar que podemos deducir la validez de esta propiedad utilizando solamente las propiedades básicas eplícitamente mencionadas antes. Naturalmente, una alternativa razonable es incluir a 0 0 entre las propiedades básicas podríamos incluir también entre éstas, muchas otras propiedades de cua validez está convencido el lector. Obtendríamos de este modo una lista bastante numerosa de propiedades que aún así no incluiría muchas propiedades que se pueden presentar en los cálculos. La elección de este pequeño número de propiedades básicas es guiada en definitiva por la idea de economizar esfuerzos: con sólo memorizar estas propiedades uno puede determinar la validez de toda otra propiedad algebraica que se necesite en el cálculo. Obsérvese que las propiedades asociativa conmutativa de la adición son las que nos permiten suprimir paréntesis e intercambiar el orden de los sumandos; así, puede verificar el lector que: (( d c) ( e b) ) a a b c d e. Análoga propiedad vale para un producto de varios factores. REGLAS PARA DESPEJAR.. b a equivale a a b. En efecto, sumando b a ambos miembros de la igualdad b a, se tiene: b ( b) a ( b), o sea 0 a b, esto es: a b. a. Si b 0, b a es equivalente a. b Basta multiplicar en este caso por se tiene b b b b a, o sea: a b. De aquí obtenemos la le de simplificación: Si b 0 b b, entonces.. ( a) a. Resulta de despejar a en a ( a) 0.

10 . a a ( a 0 ). Resulta de despejar a en a a 5. ( a b) ab. Resulta de despejar a b en ( a b) ( a b) 0. Análogamente se ve que ( a b c d) abcd.. 6. Anulación de un producto: a 0 0 si a b 0, entonces a 0 ó b 0. Probemos primero que a 0 0 : a 0 a ( 0 0) a 0 a 0. Restando a ambos miembros a 0 se tiene que a 0 0. Supongamos ahora que a b 0. Si a 0, 0 0 a a b. Luego b 0. a En general, si el producto de varios factores es cero, por lo menos uno de ellos es cero. Esta regla es útil en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación: ( ) 0 son:, 0. En efecto, es la única solución de ( ) 0, es la única solución de 0, 0 es la única solución de 0. Por la regla de la anulación del producto, éstas son las únicas soluciones de la ecuación dada. 7. Reglas de los signos: ( a) b a ( b) ( a b) ( a) ( b) a b. Probemos primero que ( a) b ( a b ) : a b ( a) b ( a ( a) ) b 0 b 0 Despejando ( a) b se obtiene: ( a) b ( a b ). ( ) ( ( )) Finalmente: ( a) ( b) a ( b) a b. (En el último caso utilizamos la regla ). 8. Reglas relativas al cociente: a c equivale a: a d b c. b d a c a d b c ± ± b d b d a c a c b d b d

11 a b c d a b a b a d b c a b a b b a c a b b a. c c A título de ejemplo probaremos que: a c a d b c. Multipliquemos ambos b d b d miembros por b d : a c b d b d a b d c a d b c; b d b d Por otra parte: b d a d b c a d b c; b d Luego: a c b d b d a d b c. b d b d Simplificando b d se obtiene la igualdad deseada. (Nótese que b d 0 ) 9. Utilizando la propiedad distributiva, se prueba que: ( a b) ( c d) a c a d b c b d ( a b) a b a b ( ab) ( a b) a b Si n IN, n a ( ) L a a L a a a L a n veces n veces n veces 0. Reglas de la potenciación. a a; a b ( a b) a n a m a n si n, m IN ; m ( a ) n n n a n m nm Recordemos a título de ejemplo: n m a a a a L a a a L a a a a L a a a n veces m veces n m veces si n, m IN. Agregaremos ahora a nuestra lista de propiedades básicas las que se refieren al orden: O- Dado un número real a, una sólo una de las siguientes alternativas es válida: ) a 0, ) a es positivo, ) a es positivo. O- La suma el producto de números positivos es un número positivo. n m

12 Conviene advertir que a ( ) es positivo. a puede ser positivo; por ejemplo, cuando a, Naturalmente, a < b (ó b > a) significa que b a es positivo. En particular, 0 < b quiere decir que b 0 b es positivo. Observemos que si a < b, entonces b < a, pues lo primero significa que b a > 0 b < a significa que a ( b) b a > 0. La notación b a ( a b) significa que, o bien es b < a, ó b a. Por ejemplo: pues < pues. Transitividad del orden. Si a < b b < c, entonces a < c. En efecto: a < b quiere decir que b a > 0, b < c quiere decir que c b > 0. Sumando teniendo en cuenta O, resulta que b a c b > 0, o sea: a < c. Lees de monotonía. De la suma: Si a < b entonces a c < b c. Del producto: Si a < b c > 0, entonces a c < b c. Probemos la segunda: Como a < b, b a > 0, pero también c es positivo, luego por O resulta que ( ba) c > 0, es decir que a c < b c. En cambio, si a < b c < 0, la desigualdad se invierte, es decir: a c > b c. Dejamos la verificación a cargo del lector. Signo del producto. De lo anterior resulta que: Si a > 0 b > 0, entonces a b > 0. Si a < 0 b > 0, entonces a b < 0. Si a < 0 b < 0, entonces a b > 0. Resulta de esto que el producto de varios factores no nulos es positivo si ha un número par de factores negativos es negativo en caso contrario. En particular, el cuadrado de cualquier número no nulo es positivo. Note que de aquí resulta que > 0 también que si a > 0, 0 a > entonces a > 0 si a b son ambos positivos o bien si a b b son ambos negativos. EJEMPLOS:. Nos interesa saber el signo de ( ) ( ) (para cada valor de ). Será más sencillo estudiar primero el signo de cada factor por separado:

13 ( ): ( ): ( ) ( ): - Decir que > 0 es decir que > 0, o sea >, lo que hemos representado en la primera recta. Así, > 0 equivale a >, representado en la segunda recta. Utilizando las reglas sobre el signo del producto, resulta que ( ) ( ) > 0 si > ó < que ( ) ( ) < 0 si < <, lo que hemos representado en la tercera recta.. Nos interesa ahora ver para qué valores de vale que >. Sumando a ambos miembros nos queda: ( ) 8 > 0, o sea > ( 8): 8/ ( ): 8 : / Note que 8 > 0 equivale a > 8, o sea > 8. Probaremos ahora que para un número a positivo se tiene que: si < a, entonces < a < a < a < L< a n < L si > a, entonces > a > a > a > L> a n > L 5

14 En efecto, si < a, multiplicando por a, que es positivo, resulta a < a, multiplicando nuevamente por a, a < a, etc. Si > a, se procede en forma análoga. Se tiene también que: n 0 < a < b implica que a n < b, para todo n IN n N. En efecto, de a < b resulta, multiplicando por b a, que 0< <. Luego, por lo anterior: b a <, o bien a n n n n <, es decir que: a < b. b b Finalmente, observemos la siguiente regla de uso frecuente: Si 0 < a < b, entonces 0 < < b a, cua deducción es inmediata multiplicando por. a b Notaremos: (a, b) { IR : a < < b } [a, b] { IR : a b } [a, b) { IR : a < b } (a, b] { IR : a < b } [a, { IR : a } (a, ) { IR : > a } (, a] { IR : a } (, a) { IR : < a } Intervalos. a a a a a a a a b b b b (, ) IR Estos conjuntos se denominan intervalos. A la derecha hemos indicado su representación gráfica. 6

15 Números reales sus propiedades. (cont.) (Notas redactadas por A. DIEGO M. I. PLATZECK para el curso de Matemática General) Valor absoluto. Definición: Llamamos valor absoluto de a al número a definido como sigue: a a si a > 0 0 si a 0 a si a < 0 Así, de acuerdo con la definición:,. Propiedades.. a b a b, a b a. b. a b a b.. a b a b. Probemos. Demostración de.: a a b b, luego: a b a b. Análogamente: a a b b, luego: ( a b) a b. Pero, por definición, uno de los dos valores: a b, (a b) coincide con a b, de donde resulta. Demostración de.: a b ( ab) b ab, Luego: a b a b (i) Intercambiando b con a se tiene: b a b a a b, o sea: ( a b) ab (ii) Como antes, uno de los valores a usando (i) o (ii) según sea el caso. b, ( a b ) es a b, de donde resulta., Interpretación geométrica. Si a b son las abscisas de dos puntos de una recta o como se dice para abreviar, si a b son dos puntos de una recta, a b es la distancia entre esos puntos o la longitud del

16 segmento de etremos a b (en relación a la unidad de medida elegida en la representación). En efecto, si a < b, entonces b a a b es la distancia entre a b. Si b < a, entonces a b a b es la distancia entre a b. Notemos que si r > 0: a-r a ar { IR : a r } { a r, a r } { IR : a < r } ( a r, a r ) a-r a ar a-r a ar { IR : a r } [ a r, a r ] Estas desigualdades se obtienen teniendo en cuenta la interpretación geométrica. Ellas podrían ser demostradas a partir de las propiedades básicas sus consecuencias. Potenciación racional real. Sea a > 0. a es el número positivo cuo cuadrado es a. Quiere decir que a es una solución de la ecuación a, la otra es el número real a. Es erróneo escribir a a cuando a es negativo. En general, se tiene que a a. n Para cualquier n IN, se define a como el número positivo b tal que b n a. Admitimos la eistencia de tal número b. No puede eistir otro número b en tales condiciones, es decir: n n (*) Si b b son números positivos b b, entonces b b. En efecto, si fuese b b, entonces se tendría que: o bien b < b o b < b. En el primer caso tendremos que b n n n < b ; en el segundo b < b n, contradiciendo la hipótesis; luego, necesariamente debe ser b b. De acuerdo a la definición, si a > 0: Observe que a a, a a. n a n n a ( a) n a. n n m Definición: Si a > 0 m, n IN definimos a a. Se debe notar que a km kn m n kn km n m a, esto es: a a. En efecto, llamemos b kn a km b b kn n a m m, entonces: kn kn n k kn km kn kn n m n m ( a ) a ; b ( a ) ( a ) ( a ) m k kn a. (Hemos utilizado propiedades de la eponenciación entera vistas anteriormente). kn kn De b b, por la propiedad (*) resulta que b b.

17 El lector sabe que un número racional positivo puede escribirse de infinitas formas como cociente de dos números naturales que si m es la epresión irreducible de un número n k m racional positivo, toda otra epresión es de la forma, con k IN. k n m km m n kn n Por lo que hemos visto recién: a a. La definición de a depende solamente del número racional m n no de su epresión como cociente de números naturales. Obsérvese que si el número racional es el número natural n, a n n n a a. Probemos ahora que si α, β Q, α > 0, β > 0 entonces: () α α a b α ( a b) () α β a a α β a () ( a ) a α β αβ a, b son números reales positivos, Probaremos la segunda, las otras se prueban con una técnica análoga. Podemos suponer, reduciendo las fracciones a común denominador, que α m n, βr n, de modo que α β m r. Se trata de probar que: n n m n r n a a a n m Llamemos b a n r a, b a m r. Elevando b b a la potencia n-ésima, se tiene: n n n m n r n m n r ( ) ( ) ( ) n n m r m r ( ) m r n b a a a a a a a n b a a Nuevamente, de b n b n a m r, resulta que b b. n m r mr Tenemos así definida la potenciación para eponentes racionales positivos. Como todo número real positivo se puede aproimar tanto como se quiera por un número racional α>0, se define a (con a > 0) por medio de sus aproimaciones a α. Éste es un punto delicado de la teoría del número real, que no abordaremos aquí. Admitiremos que las propiedades (), () () valen si α β son números reales positivos. A pesar de que no estudiaremos el problema de dar una definición precisa de eponenciación con eponente irracional indiquemos que para calcular, por ejemplo, podemos proceder utilizando la epresión decimal de, L. Los números,,,,,,,,, potencias racionales de, son aproimaciones cada vez mejores de La eponenciación a se puede etender a números reales arbitrarios, de modo que las propiedades (), () () sigan siendo válidas. Para ello se pone: i) a 0 ( a 0 ).

18 ii) a α α a ( α> 0 ). NOTA: La elección de estas definiciones no es arbitraria. Ellas se imponen si queremos α β α β que la propiedad () a a a sea válida para eponentes α β arbitrarios: α 0 α 0 Para β 0, () se escribe: a a a a α. Luego, a 0, necesariamente. α α α α Análogamente, para β α, () se escribe a a a ( ) a 0 entonces, obligadamente, se tiene que a α α. a Es materia de verificación, caso por caso, que las propiedades (), () () siguen siendo α β α β válidas si α, β IR,. A título de ejemplo, demostraremos () a a a. Primer caso: α > 0, β > 0. Es conocido. α 0 Segundo caso: α arbitrario, β0: a a α α 0 a a. Tercer caso: α > 0, β < 0: Sea β λ ( λ > 0 ). Supongamos primero que α λ ; α α β α λ α a Entonces: a a a a a λ λ a a αλ α β a a. (Note que pusimos α a λ a α λ a α. Esto proviene de a αλ λ a a, que vale porque αλ 0, λ > 0) Si α < λ, entonces: α α β α λ α a a a a a a λ λ λα a a a ( λα) α λ a a α β a. Cuarto caso: α > 0, β < 0. Pongamos α λ, β δ, ( λ > 0, δ > 0). Entonces: α β a a λ δ λ δ a a a ( λ δ) α β a a. OBSERVACIONES: n ) Se conviene en escribir 0 0, si n, a que 0 n 0. ) A veces se habla también de las raíces de orden impar de números negativos. Por 5 ejemplo: 8,. En general, si n es impar a < 0, ponemos: n a b siempre que b n a. Notemos que b < 0. Una definición análoga es imposible en la teoría de números reales para raíces de orden par de números negativos. (Por qué?)

19 ESTUDIO DE LA EXPRESIÓN: a b c 0 ( a 0 ). b Como a b c a a c, comenzaremos estudiando la epresión: a p q. p p p p p p q q q. De esto resulta inmediatamente que: p ) El menor valor de p q se obtiene cuando. En efecto, para este valor: p 0 para p, p > 0. ) Si ) Si p q < 0, p q > 0 para todo en particular se puede asegurar que p q 0 no tiene raíces reales. p q 0, entonces p q ( α) ( β) donde: p p p p (*) α q, β q. En particular α β son las únicas raíces de la ecuación p q 0. (*) se deduce de: p p p p p q q p p p p q q. q EJERCICIO: Obtenga {: p q > 0} represéntelo gráficamente. En el caso general, a b c 0 tiene por raíces: si b a c 0. b b ac ; a b b a c a No tiene raíces reales si b ac < 0. 5

20 El número b ac se llama el discriminante de la ecuación. Para obtener estas fórmulas basta reemplazar en las epresiones de α β, p por b a q por c a. 6

21 EJERCICIOS RESUELTOS ECUACIONES E INECUACIONES Ejercicio nº.-: Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones: 6 a) b) Solución: 6 a) ± 9 Departamento de Matemáticas b) Cambio: z 5 ± z z 5z ± 69 z 5 ± z 9 ± z (no vale) Dos soluciones:, - Ejercicio nº.- Resuelve: a) 5 b) Solución: a) ± 5 6 Comprobación: 5 ± 9 5 ± sí vale 5 no vale Ha una solución: - b) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6 ( ) ± 8 ± 00 8 ± 0 Soluciones válidas (no anulan el denominador)

22 Ejercicio nº.- Factoriza resuelve: Solución: Sacamos factor común: Factorizamos 9 ( 9 9) : 9 9 ( )( )( ) 0 Por tanto, las soluciones de la ecuación son: ,,, Ejercicio nº.: En un eamen tipo test, que constaba de 0 preguntas, era obligatorio responder a todas. Cada pregunta acertada se valoró con un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Sabiendo que la puntuación total que obtuvo Pablo fue de,5 puntos, cuántas preguntas acertó? Solución: Llamamos al número de preguntas que acertó. Acertó Así: Falló 0 Como cada acierto vale un punto, cada fallo resta medio punto, la puntuación total fue: Resolvemos la ecuación:. ( 0 ) 5 0, 5,, 5 0 0, 5, 5 0, 5, 5 5 0, 5 Por tanto, acertó 5 preguntas Ejercicio nº 5.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: Solución: ( ) ( ) ; 9 ; 9 0 ± 69 8 La solución 9 ± 8 5 ± 5 8 no es válida,puesto que no válida La única solución del sistema es,. Ejercicio nº 6- En una empresa obtienen 6 euros de beneficio por cada envío que hacen; pero si el envío es defectuoso, pierden por él 8 euros. En un día hicieron 00 envíos, obteniendo euros de beneficio. Cuántos envíos válidos cuántos defectuosos hicieron ese día? Solución: Llamamos al número de envíos válidos e al número de envíos defectuosos. Así: ( 00 ) ; 6 88; Por tanto, el número de envíos válidos fue de 89 el de envíos defectuosos, 08.

23 Ejercicio nº 7: Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: Solución: > < > < > < Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: { < > -7} { / -7 < < } (-7, ) Ejercicio nº 8.- Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones: ( ) ( ) b) 5 a) Solución: ( ) ( ) 5 a) b) : Cambio z z Ejercicio nº 9.- Resuelve este sistema: Solución: Ejercicio nº 0.- Se mezcla cierta cantidad de café de 6 euros/kg con otra cantidad de café de euros/kg, obteniendo 8 kg de mezcla. Sabiendo que el precio del café mezclado es de,5 euros/kg, cuántos kilogramos se han mezclado de cada clase? Solución: Llamamos a la cantidad de café (en kg) del primer tipo e a la cantidad de café (en kg) del segundo tipo. Así: ( ) , Se han mezclado kg de café de 6 euros/kg con 6 kg de café de euros/kg. > < ± ± ± ± ± ± ± (no vale) z z z z z Dos soluciones: -7, ; ± ± ± : Solución 6 8 ; 6; 6

24 Ejercicio nº.- Resuelve estas ecuaciones: a) 6 b) Solución: a) 6 ( ) ± Comprobación: 5 5 sí vale no vale. 7 ± ± 7 8 Ha una solución: b) 0 ± 9 8 ± Soluciones válidas (no anulan los denominadores) Ejercicio nº.-resuelve la siguiente ecuación: 0 Solución: Factorizamos: 0 ( )( )( ) Por tanto, las soluciones de la ecuación son:,, Ejercicio nº.- Un padre ha comprado un jerse para cada uno de sus cinco hijos, gastándose en total 08,75 euros. Tres de los jerses tenían un 5% de descuento, otro de ellos tenía un 0% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mismo, cuánto ha tenido que pagar por cada jerse? Solución: Llamamos a lo que costaba cada jerse antes de los descuentos. Los que tienen un 5% de descuento valdrán ahora 0,85. El que está rebajado un 0% costará 0,8. Por tanto, el total que ha pagado es: 0,85 0,8 08,75,55 0,8 08,75,5 08,75 08, 75 5, 5 euros Por el que no tiene descuento ha pagado 5 euros. El que tiene un 0% de descuento cuesta ahora 0 euros. Por cada uno de los tres que tenían rebaja de un 5% ha tenido que pagar,5 euros.

25 Ejercicio nº.- Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos amigos más, cada uno de ellos tendría que pagar,5 euros menos. Cuántos amigos son? Solución: euros. 500 Cada uno tiene que pagar número de amigos. al Llamamos Si fueran amigos dos amigos más, cada uno tendría que pagar: euros menos) (,5 euros 5 500, ( ) son 500 euros, en total Como, Resolvemos la ecuación: , , , ,5 Ejercicio nº.- Resuelve el siguiente sistema: Solución: Ejercicio nº 6.- Resuelve el sistema de ecuaciones: Solución: ( ) Son, por tanto, 8 amigos. ± ± ± (no vale) ; 5 ; 5 Ha dos soluciones: ± ± ± : Solución 0 6 0; ± ± ± 8 5 5

26 Ejercicio nº 7.- Halla las soluciones de este sistema: Solución: Ejercicio nº 8.- Cuales son esos números?. 8 suma de dos números es la de sus inversos es La Solución: Llamamos e a los números que buscamos. Así: Ejercicio nº 9.- Cristina tiene 8 años más que Carlos, hace años tenía el doble de edad que él. Cuántos años tiene actualmente cada uno? Solución: Llamamos a la edad que tiene actualmente Carlos hacemos un cuadro que resuma la información: La edad de Cristina hace años era el doble que la de Carlos, es decir: ( ) 6 Resolvemos la ecuación: 6 0 Por tanto, Carlos tiene 0 años Cristina, 8. ( ) 5 ; 5 ; ; 5 ± válida no Ha una solución: ; ( ) ( ) ; ± ± ± ; Los números son el el 8.

27 Ejercicio nº 0.- Encuentra las soluciones de las ecuaciones siguientes: b) a) Solución: Ejercicio nº.- el siguiente sistema : Solución: Ejercicio nº.- Resuelve el siguiente sistema: Solución: ± ( ) a) es válida sí b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ± ± ± Soluciones válidas: no anulan los denominadores 0 : Solución 0 ; 0 ± ± ± ; ; 6 0 ± Solución ;

28 Ejercicio nº.- Alberto compró bolígrafos cuadernos, pagando en total,9 euros. Una semana después, los bolígrafos tenían un 0% de descuento los cuadernos, un 5%. Si los hubiera comprado con estas rebajas, habría tenido que pagar, euros. Cuánto le costó a Alberto cada bolígrafo cuánto cada cuaderno? Solución: Llamamos al precio de cada bolígrafo e al precio de cada cuaderno, antes de la rebaja. Así: Antes de la rebaja, cada bolígrafo costaba 0, euros cada cuaderno, euro. Ejercicio nº.- Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación: Solución: ± ± ± La parábola -6 corta al eje X en en. En el intervalo [, ], toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [, ]. Ejercicio nº 5.- Resuelve el siguiente sistema Solución: 9 7,,,, 5 9,,,,,9,,7,,9, 0,85 0,8,9,8 5,,9, ,, 0, 0 0 ; 0 ± ± ± : Solución

29 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO TEMA ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EJERCICIO : Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c).(5 ) 9 0 d) e 5 0 f) g) h) 6 i) 9 0 j) 5 k) l) ( 5)( ) m) n) ñ) o) 5 p) 6 q) r) s) t) ( )( 7)( - ) 0 u) (9 )( ) 0 v) 5 5 w) ) 7 ) 0 z) ) Solución: a) Multiplicamos los dos miembros por 6: Las soluciones son. 6 b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio z: z 6z 5 0 z Si z Si z Las soluciones de esta ecuación son,, c) Sabemos que si a b, entonces, o bien a b o bien a b. 9 En este caso: Así: Las soluciones son. 0

30 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO d) equivale a z z 68 0, siendo z z Si z no ha solución real. Si z Las soluciones pedidas son. e Hacemos el cambio: z z Así obtenemos: 6 6 z z 0 z Si z Si z f) g). Elevamos al cuadrado operamos: Por tanto, ha cuatro soluciones:,,, h) 5 6( ) 5( ) 6 6( ) 6( ) 6( ) i) ( 0 0 9) 0 Ha tres soluciones: 0,, j) 5 5 Elevamos al cuadrado operamos: no válida k) 0 9 8

31 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO 6 l) Haciendo z, se obtiene: z z 8 0 z Si z Las soluciones son. Si z no ha solución real. m) Multiplicamos ambos miembros por 6: Las soluciones son n) Elevamos al cuadrado ambos miembros: 6 Volvemos a elevar al cuadrado: 9 9 es la posible solución. Lo comprobamos: 9 9 Luego 9 es la solución buscada. ñ) Multiplicamos ambos miembros por ( ): Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: 8 7 es solución es solución Las soluciones son. o) Multiplicamos ambos miembros por : Comprobación de las posibles soluciones: 5 es solución ; 8 Las soluciones son. 8 5 es solución

32 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO p) 6 Elevamos ambos miembros al cuadrado: Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación: 6 es solución no es solución La única solución es. 8 5 q) Hacemos común denominador: Comprobamos las soluciones: es solución Las soluciones son. es solución. r) Multiplicamos ambos miembros por : Comprobamos si es, o no, solución en la ecuación inicial: 8 es solución 7 s) Elevamos ambos miembros al cuadrado: Volvemos a elevar al cuadrado: Comprobamos si es, o no, solución: 9 7 ; Ambos miembros coinciden, luego 9 es la solución buscada.

33 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO 5 t) Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. Así: Las soluciones son 0,,, u) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir que: Las soluciones son 0,,. 0 v) 5 5 Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad: Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: es solución. no es solución. w) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir: Las soluciones son 0,,. ) Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por : Comprobamos si son o no solución, sustituendo en la ecuación inicial: es solución. 5 6 : 6 7 es solución ) Haciendo z, obtenemos z z 0 z Así: z z no ha solución. Las soluciones son:, z) Elevamos al cuadrado ambos miembros:

34 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: 5 5 no es solución. 5 5 es solución ) Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por : Comprobamos estas soluciones en la ecuación: 5 5 es solución es solución. Las soluciones son:, 6 EJERCICIO : Escribe una ecuación cuas soluciones sean,. Solución: La ecuación 0 tiene como soluciones las pedidas. Multiplicando estos tres factores se llega a la ecuación buscada: es la solución. 8 6 SISTEMAS DE INECUACIONES EJERCICIO : Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones b) a) 7 6 c) 5 e) 5 i) m) f) 5 8 j) n) g) 5 k) ñ) d) 5 5 h) 5 l) o)

35 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO 7 Solución: a Comenzamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema: Despejamos de la ª ecuación de la ª, e igualamos: La solución es: 7, 5 b) Aplicamos el método de reducción en multiplicando la segunda ecuación por 6: Luego: 6 6 La solución es:, c Despejamos de la ª ecuación sustituimos en la primera: Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad: Así: Comprobamos si ambas soluciones son válidas sustituendo en la ª ecuación: 0, es solución del sistema , no es solución del sistema. 8 8 d) Simplificamos cada una de las ecuaciones del sistema: 9 Aplicamos el método de reducción en, multiplicando por la ª ecuación: La solución del sistema es:,

36 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO 8 e Despejamos de la ª ecuación sustituimos en la primera: ; Así: Las soluciones del sistema son: 5 ; f) Método de sustitución Despejamos de la primera ecuación sustituimos en la segunda: Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por : Se calcula el valor de : Comprobamos con la calculadora: 8 a b/c 0 a b/c / a b/c 8 a b/c 5 0 a b/c / g) Comenzamos por simplificar el sistema: Utilizaremos el método de reducción en, multiplicando la primera ecuación por : Calculamos el valor de : La solución que cumple el sistema es: 7, Comprobamos dicha solución: 7 7 h) Utilizaremos el método de reducción en ; para ello multiplicamos la ª ecuación por : Calculamos sustituendo el valor de en la ª ecuación: La solución buscada es:, Comprobamos la solución: 5 5

37 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO 9 i) Comenzamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema: Despejamos de la primera ecuación sustituimos en la segunda: Calculamos el valor de : 6 Comprobamos con la calculadora: 7 a b/c / a b/c / j) Comenzamos por simplificar la segunda ecuación transformándola en otra equivalente: El sistema es: Resolvemos por el método de sustitución: Luego: La solución al sistema es:, Comprobamos la solución: k) Transformamos la segunda ecuación en una equivalente sin denominadores: El sistema a resolver es: 5 Despejamos de la segunda ecuación sustituimos en la primera: Si Si Las soluciones al sistema son:

38 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO 0 l) Multiplicamos la segunda ecuación por para aplicar el método de reducción: si 6 5 Como 6 5 si 6 5 Las soluciones son: m) Despejamos de la segunda ecuación sustituimos en la primera: Hacemos el cambio: z z Así obtenemos: z z 6 0 z Si z Si Si z 9 z Si z Si Si n) El sistema inicial es equivalente a 5 Aplicamos el método de igualación: 5 5 Elevamos al cuadrado los dos miembros de la última igualdad: Si Si Comprobamos las soluciones sobre el sistema: Luego ambas soluciones son válidas: ñ) Despejamos de la segunda ecuación sustituimos en la primera: Las soluciones son:

39 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO o) Empezamos simplificando la primera ecuación multiplicándola por :: 6 6 Como 6: Por tanto, el sistema a resolver es: Despejamos en la segunda ecuación sustituimos en la primera: ; Ecuación bicuadrada: Si Si Si Si Comprobemos si las dos primeras soluciones son, o no, válidas: Análogamente se cumpliría para las otras dos. Luego, las soluciones son: PROBLEMAS EJERCICIO : Un grupo de amigos alquilan un piso por 600 al mes para vivir en él. Con el fin de ahorrar en los gastos del piso, deciden que dos personas más compartan con ellos el piso; de esta manera pagarían 80 menos. Calcula cuántas personas van a vivir inicialmente en el piso la cantidad que pagaría cada una por el alquiler. Solución: nº de personas que alquilan el piso precio que paga cada una por el alquiler 600 Aplicamos el método de sustitción: El sistema a resolver será: Luego el número de personas que alquilan el piso es 5, cada una paga mensualmente NO SIRVE EJERCICIO 5 : Hace cinco años, la edad de un padre era seis veces superior a la del hijo; sin embargo, en la actualidad solo es 5 años más que el triple de la edad del hijo. Calcula las edades actuales de ambos. Solución: EDAD DEL HACE 5 AÑOS HOY PADRE HIJO 5 En la actualidad: edad del padre edad hijo La edad actual del padre es de 5 años, la del hijo, 0 años.

40 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO EJERCICIO 6 : Halla dos números que sumen tales que la diferencia de sus cuadrados sea 8. Solución: Llamamos e a los dos números buscados planteamos un sistema: Los números buscados son EJERCICIO 7 : Antonio gastó la tercera parte del dinero de una herencia en un televisor nuevo, del 5 resto en reformar la casa, el 0 de la cantidad inicial en ropa el resto, 60, los ahorró. Cuánto dinero heredó? Solución: dinero heredado Televisor le quedan por gastar Casa 6 de Ropa de 0 Ahorro 60 La ecuación que resuelve el problema será: Multiplicamos ambos miembros por 0: es la cantidad heredada. 5 EJERCICIO 8 : El área de un rombo es de 0 cm. Calcula la longitud de las diagonales sabiendo que suman 6 cm. Solución: Llamamos 6 a las longitudes de ambas diagonales. A ROMBO Diagonal maor Diagonal menor 6 Así: Si Si Luego, la longitud de las diagonales es de 6 cm 0 cm. EJERCICIO 9 : La diagonal de un rectángulo mide cm más que uno de los lados. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de cm. Solución:

41 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO 7 Despejamos en la primera ecuación sustituimos en la segunda: Si 7 Calculamos el valor de : Si no sirve una longitud no puede ser negativa Luego las dimensiones del rectángulo son cm cm. EJERCICIO 0 : Un grupo de estudiantes organiza una ecursión para lo cuál alquilan un autocar cuo precio es de 50. Al salir, aparecen 6 estudiantes más esto hace que cada uno de los anteriores pague menos. Calcula el número de estudiantes que fueron a la ecursión que cantidad pagó cada uno. Solución: nº de estudiantes que van a la ecursión precio que paga cada estudiante 50 El sistema a resolver será: 50 6 Aplicamos el método de sustitución: no sirve 50 El precio por alumno será: 5 6 Luego, van 6 estudiantes a la ecursión cada uno paga 5. EJERCICIO : Un bodeguero quiere mezclar vino de calidad superior cuo precio es de 6 /l con otro más corriente de /l. Dispone en total de 5 l. Calcula el número de litros de cada clase para que la mezcla cueste, /l. Solución: litros del vino que cuesta 6 /l, litros del vino que cuesta /l, El sistema a resolver será: 6 5, Luego, Ha de mezclar 89 l de vino bueno con 6 l del más corriente. EJERCICIO : Pablo tiene unos ingresos anuales de 000. Parte de ese dinero está en una cuenta en la que le dan el % anual; el resto lo gasta. Calcula la cantidad de dinero gastado ahorrado, sabiendo que al final del año recibe 60 de intereses. Solución: Dinero gastado Dinero ahorrado de Gasta ahorra

42 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO EJERCICIO : Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que tiene 8 cm de área que su diagonal mide 0 cm. 8 Solución: Llamamos a la base e a la altura del rectángulo. Por tanto, tenemos que: 0 Despejamos en la primera ecuación sustituimos en la segunda: Hacemos el cambio: z z Así obtenemos: z 00z 0 0 z 7 6 Si z Si z Observa que las soluciones negativas no son válidas, pues representa una longitud. El rectángulo es, por tanto, de 8 cm 6 cm. EJERCICIO : Un rectángulo tiene 60 cm de área. Su perímetro es de cm. Halla sus dimesiones. Solución: Llamamos a la base del rectángulo e a su altura. 60 Por tanto, tenemos que: 7 Despejamos en la segunda ecuación sustituimos en la primera: El rectángulo es, por tanto, de cm 5 cm. EJERCICIO 5 : El producto de dos números es 8 la suma de sus cuadrados es 65. De qué números se trata? 8 Solución: Llamamos e a los números que buscamos. Por tanto, tenemos que: 65 Despejamos en la primera ecuación sustituimos en la segunda: Hacemos el cambio: z z Así obtenemos: z z 78 0 z Si 7 Si z Si 7 z 9 z 6 Si z Si 7 Si 7

43 Tema Ecuaciones, Inecuaciones Sistemas Matemáticas B º ESO 5 INECUACIONES EJERCICIO 6 : Resuelve las siguientes inecuaciones escribe la solución en forma de intervalo: a) 5 6 b) 5 c) d) e) f) 5 0 g) 0 h) 5 6 i) 0 j) 6 8 k) 0 l) 0 m) 0 n) 0 ñ) ( ) 0 Solución: a) La solución en forma de intervalo será:, b) Multiplicamos por 8 la inecuación agrupamos los términos como en las ecuaciones: La solución buscada es 0,. c) Multiplicamos la inecuación por, quitamos paréntesis agrupamos los términos como en las ecuaciones: La solución en forma de intervalo es,. 5 d) Multiplicamos todo por para quitar el denominador: La solución en forma de intervalo es,. 6 e) > - > - < La solución es el intervalo (-,) f) El factor 5 0 si 5, el factor 0, si. La solución será el intervalo, 5 g) Igualamos, por separado el numerador el denominador a cero: El numerador: (Se coge porque es ) El denominador 0 (El denominador nunca se coge) Estudiamos los signos Solución, 7,. h) Reducimos a una ecuación de segundo grado calculamos sus soluciones: Luego la solución a la inecuación es, U 7,.