Estadística I Tema 3: Análisis de datos bivariantes

Transcripción

1 Estadística I Tema 3: Análisis de datos bivariantes

2 Tema 3: Análisis de datos bivariantes Contenidos 1. Introducción. Datos bivariantes. 2. Representaciones. Tablas de doble entrada. Distribución conjunta de frecuencias. Frecuencias marginales y condicionadas. Tabla de doble entrada con alguna variable cuantitativa. 3. Gráficos y resúmenes numéricos: Variables cualitativas: diagramas de barras (agrupadas, apiladas) Variable cualitativa y cuantitativa: Múltiples diagramas de caja, histogramas Múltiples resúmenes numéricos. Variables cuantitativas: Diagrama de dispersión. Tipos de relación entre dos variables cuantitativas. Medidas de dependencia lineal: covarianza y coeficiente de correlación

3 Tema 3: Análisis de datos bivariantes Lecturas recomendadas Peña, D. y Romo, J., Introducción a la Estadística para las Ciencias Sociales. Capítulos 7, 8 y 9. Newbold, P. Estadística para los Negocios y la Economía. Secciones 2.5 y PID: Mini-Vídeos de autoformación por Internet y teléfonos móviles Descriptiva: Dos variables cualitativas Descriptiva: Dos variables cuantitativas

4 Introducción. Datos bivariantes El paro afecta en igual medida a toda la población independientemente de la formación que tengan los individuos? Los individuos con mayor nivel educativo están más, menos o igualmente satisfechos con su vida que aquellos que tienen un nivel educativo menor? Cambia la satisfacción media de los alumnos con los profesores de asignaturas de cursos superiores con respecto a los de primer curso? Sigue habiendo brecha de género en el salario?, en qué medida hay relación entre el salario y el nivel de formación? Guardan algún tipo de relación el volumen de ventas de una empresa y sus activos humanos? Guardan algún tipo de relación la superficie de una vivienda y su precio? Qué relación hay entre la satisfacción media de los alumnos con un profesor y la claridad de sus explicaciones?

5 Introducción. Datos bivariantes Además de analizar las variables de manera individual, queremos ver si hay relación entre ellas y analizar cómo es esa relación en caso de haberla. Datos bivariantes: provienen de la observación simultánea de dos variables (X, Y ) en una muestra de n individuos. Los datos bivariantes son parejas de valores, numéricos o no, de la forma: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n )

6 Tablas de doble entrada. Distribución conjunta de frecuencias absolutas. Muestra: 10 madrileños. Variable X : Nivel educativo (1=Primaria o menos, 2=Secundaria, 3=Post-secundaria) Variable Y : Situación laboral (1=Empleado, 2=Desempleado, 3=Inactivo) Individuo Nivel educativo (X ) Situación laboral (Y ) X / Y Empleado (1) Desempleado (2) Inactivo (3) Primaria (1) Secundaria (2) Post-secundaria (3) 2 0 1

7 Tablas de doble entrada. Distribución conjunta de frecuencias absolutas. Muestra: 10 madrileños. Variable X : Nivel educativo (1=Primaria o menos, 2=Secundaria, 3=Post-secundaria) Variable Y : Situación laboral (1=Empleado, 2=Desempleado, 3=Inactivo) Individuo Nivel educativo (X ) Situación laboral (Y ) X / Y Empleado (1) Desempleado (2) Inactivo (3) Primaria (1) Secundaria (2) Post-secundaria (3) 2 0 1

8 Distribuciones de frecuencias absolutas conjuntas y marginales. Cuando al menos alguna de las dos variables es cualitativa, la tabla de doble entrada también se denomina tabla de contingencia. Muestra: 1508 madrileños (Encuesta de Condiciones de Vida, INE). Variable X : Nivel educativo (1=Primaria o menos, 2=Secundaria, 3=Post-secundaria) Variable Y : Situación laboral (1=Empleado, 2=Desempleado, 3=Inactivo) X / Y Empleado Desempleado Inactivo Primaria Secundaria Post-secundaria

9 Distribuciones de frecuencias absolutas conjuntas y marginales. Y si sólo nos interesa la situación laboral de los madrileños? o sólo su nivel educativo? X / Y Empleado Desempleado Inactivo Total Primaria Secundaria Post-secundaria Total

10 Estructura general de la tabla de doble entrada Tabla de doble entrada con k filas y m columnas Y y 1 y j y m Total x 1 n 11 n 1j n 1m n 1 Notación:..... X x i n i1 n ij n im n i x k n k1 n kj n km n k Total n 1 n j n m n n ij frecuencia absoluta en la casilla (i, j) Total de fila i: n i = n i1 + n i2 + + n im Total de columna j: n j = n 1j + n 2j + + n kj n tamaño muestral n = n

11 Distribuciones de frecuencias relativas conjuntas y marginales. X / Y Empleado Desempleado Inactivo Total Primaria Secundaria Post-secundaria Total El 0.53 % de los encuestados tienen estudios de Post-secundaria y están desempleados. Con las frecuencias relativas podríamos comparar los resultados obtenidos en estudios similares (de otros países) sin que los tamaños de los estudios tengan que ser iguales o parecidos.

12 Distribuciones conjunta y marginales de frecuencias relativas f ij = n ij /n frecuencia relativa en la casilla (i, j) Y y 1 y j y m Total x 1 f 11 f 1j f 1m f X x i f i1 f ij f im f i..... x k f k1 f kj f km f k Total f 1 f j f m 1 Frecuencia relativa marginal de la fila i: f i = f i1 + + f ij + + f im Frecuencia relativa marginal de la columna j: f j = f 1j + + f ij + + f kj

13 Representaciones gráficas. Diagramas de barras agrupadas y apiladas En Excel: Insertar gráfico Columna agrupada

14 Representaciones gráficas. Diagramas de barras agrupadas y apiladas En Excel: Insertar gráfico Columna agrupada

15 Distribución de frecuencias condicionadas Y si sólo nos interesa la situación laboral de los individuos con nivel educativo más alto? y si queremos analizar la relación entre el nivel educativo y la situación laboral? Tiene sentido comparar el número de desempleados con estudios de secundaria con el número de desempleados con estudios de post-secudaria sin tener en cuenta cuántos individuos con estudios de secundaria y cuántos con estudios de post-secundaria hay?

16 Distribución de frecuencias condicionadas Dada la distribución conjunta de (X, Y ), se denomina distribución condicionada a la distribución de frecuencias absolutas de una de las variables, suponiendo conocido y fijado el valor de la otra variable. Notación: Y X = x i. Distribución de frecuencias de la situación laboral (Y ) para personas con un nivel educativo (X ) de Post-secudndaria. Y X = Post-secundaria Empleado Desempleado Inactivo Total Frecuencia Frecuencia relativa El 1.93 % de los encuestados que tienen un mayor nivel educativo están desempleados qué porcentaje de individuos con estudios de secundaria o de nivel superior están desempleados?

17 Distribución de frecuencias condicionadas Puede condicionarse también al hecho de que la variable tome varios valores: Y (X Secundaria). Y (X Secundaria) Empleado Desempleado Inactivo Total Frec. absolutas Frec. relativas El 3.3 % de los encuestados con estudios de secundaria o de nivel superior están desempleados.

18 Distribución de frecuencias condicionadas Podemos emplear las distribuciones condicionadas para tratar de analizar la relación entre la situación laboral y el nivel de estudios? En Excel: Insertar gráfico Columna 100 % apilada

19 Tabla de doble entrada para variables cuantitativas Muestra: 43 alumnos. Variable X : Núm. de veces que han ido al teatro en el último mes. Variable Y : Núm. de veces que han ido al cine en el último mes. X e Y son cuantitativas discretas y toman un número pequeño de valores distintos datos sin agrupar Teatro / Cine Total Total Cuál es el número medio de veces que han ido al cine en el último mes (independientemente del número de veces que hayan ido al teatro)?, y al teatro? Cuál es el número medio de veces que han ido al cine en el último mes aquellos que no han ido ninguna vez al teatro?, y entre los que han ido 1 vez al teatro?, y 2?, y 3?

20 Tabla de doble entrada para variables cuantitativas Muestra: 1000 empresas americanas. Variable X : Volumen de ventas. Variable Y : Núm. de trabajadores. X e Y son cuantitativas discretas y toman un número grande de valores distintos (o si son continuas) datos agrupados X / Y [1,25) [25,50) [50,75) [75,99] Total [1,100) [100,200) [200,300] Total Cuántas empresas tienen un volumen de ventas inferior a 100?, Qué porcentaje de empresas con menos de 25 trabajadores tiene un volumen de ventas de al menos 200? Qué proporción de empresas tiene menos de 25 trabajadores y su volumen de ventas es de al menos 200? Cuál es el tamaño medio de todas las empresas de la muestra?, y de aquellas que tienen un volumen de ventas por debajo de 100?

21 Ejercicio (Encuesta de Condiciones de Vida. Modulo año 2013, I.N.E.) Qué distribuciones están representadas en la tabla anterior? Qué porcentaje de encuestados con educación secundaria primera etapa puntúan su satisfacción con valores entre 5 y 6? Muchas de las tablas que salen en informes son tablas de frecuencias condicionadas

22 Ejercicio (Encuesta de Condiciones de Vida. Modulo año 2013, I.N.E.) Verdadero o falso? Si es falso, tienes suficiente información como para obtener el porcentaje verdadero? Entre los encuestados más satisfechos con su vida actual (puntuación entre 9 y 10), el 23.3 % tienen educación superior. El 75.5 % de los encuestados con educación superior están satisfechos o muy satisfechos con su vida actual (puntuación por encima de 7) El 38.5 % de los encuestados puntúa su satisfacción con su vida actual por debajo de 5. Es incorrecto sumar frecuencias condicionadas cuando se condiciona en valores distintos

23 Ejercicio Comenta los siguientes gráficos: Qué distribuciones están representadas en la tabla anterior? Qué relación observas entre la satisacción media con su vida actual y el nivel educativo de los individuos?

24 Variable cualitativa y variable cuantitativa. Introducción En la mayoría de los estudios se recogen datos de distinta naturaleza, cualitativos y cuantitativos. Es habitual que las variables cualitativas se utilicen como variables de clasificación: se estudia el comportamiento de una variable cuantitativa según las categorías de la variable cualitativa. Ejemplo Muestra: 248 asignaturas de la antigua Ingeniería Técnica Mécánica. Variable Y : Satisfacción media de los alumnos con el profesor de la asignatura Variable X : Curso en que se imparte la asignatura. cambia la satisfacción media de los alumnos con los profesores de asignaturas de cursos superiores con respecto a los de primer curso?

25 Variable cualitativa y variable cuantitativa. Múltiples box-plot Los gráficos múltiples en los que se representa la distribución de la variable continua para cada una de las categorías de la variable cualitativa son muy útiles para hacer comparaciones:

26 Cualitativa y Cuantitativa. Múltiples histogramas cambia la satisfacción media de los alumnos con los profesores de asignaturas de tercer curso con respecto a los de primer curso? Min prim = 1,39, Q prim 1 = 2,26, M prim = 3,02, x prim = 2,982, Q prim 3 = 3,76, Max prim = 4,71 Min ter = 1,920, Q1 ter = 2,71, M ter = 3,26, x ter = 3,335, Q3 ter = 4,008, Max ter = 4,8

27 Variable cualitativa y variable cuantitativa. Múltiples histogramas Sigue habiendo brecha de género en el salario?

28 Múltiples resúmenes numéricos. Tablas de datos En qué medida hay relación entre el salario y el nivel de formación? Son habituales las tablas en las que se presentan medidas numéricas de la variable cuantitativa para la categorías de la otra variable

29 Múltiples resúmenes numéricos. Tablas de datos En qué medida hay relación entre el salario y el nivel de formación? Se pueden comparar las medias de cada grupo, y también la variabilidad. Los resultados de una tabla se pueden representar gráficamente.

30 Múltiples resúmenes numéricos. Pictogramas Se observan diferencias entre los salarios que perciben los trabajadores dependiendo de la CCAA en que trabajan? Los resultados de una tabla se pueden representar por medio de pictogramas. En este caso, de un cartograma:

31 Variables cuantitativas. Diagrama de dispersión Hay relación entre la superficie de una vivienda y su precio? Muestra: 15 viviendas. Variable Y : Precio. Variable X : m 2 habitables. m 2 habitables precio Price of a house (euro) Size of a house (m^2)

32 Tipos de relación entre variables cuantitativas

33 Medidas de dependencia lineal para variables cuantitativas La covarianza es una medida de variación conjunta de las dos variables. Cuantifica la información existente en un gráfico de x y dispersión sobre la asociación lineal entre dos variables Covarianza: s xy = 1 n 1 9 Y x i>media(x) y i>media(y) x i<media(x) y i<media(y) 2 n i=1 x iy i n xȳ ( {}}{ ) n (x i x)(y i ȳ) i=1 X < s xy <

34 Medidas de dependencia lineal s xy >> 0 Relación lineal positiva. s xy << 0 Relación lineal negativa. s xy 0 No existe relación lineal o existe relación no lineal. Inconvenientes de la covarianza: No está acotada ni superior ni inferiormente. Por lo tanto no se sabe cuándo es s xy suficientemente grande o pequeña. Depende de las unidades de medida de las variables: Si s xy es la covarianza de X e Y, y a, b R, b 0 y T = a + by, entonces s xt = bs xy.

35 Medidas de dependencia lineal Coeficiente de correlación lineal de Pearson: Ventajas? Está acotado: 1 r(x,y) 1 r (x,y) = s xy s x s y Es adimensional. Interpretación del coeficiente de correlación de Pearson: r (x,y) > 0 Dependencia Directa. r (x,y) < 0 Dependencia Indirecta. r (x,y) = 1 Relación Lineal Perfecta. r (x,y) = 0 X e Y están Incorreladas (ausencia de relación lineal).

36 Medidas de dependencia lineal Ejemplo Se tienen tres variables medidas sobre 91 países: esperanza de vida en hombres, esperanza de vida en mujeres y producto interior bruto. Las covarianzas entre los tres posibles pares de dos variables son , y , respectivamente. En cambio, las correlaciones entre las tres variables son 0.98, 0.64 y 0.65, respectivamente. Por lo tanto, aunque las covarianzas entre la esperanza de vida en hombres y mujeres y el producto interior bruto sean mayores que la covarianza entre la esperanza de vida para hombres y la esperanza de vida para mujeres, la correlación es mayor entre estas dos últimas variables.

37 Ejercicio: encuestas alumnos Muestra: 248 asignaturas de la antigua Ingeniería Técnica Mecánica. Y : Satisfacción media de los alumnos con el profesor de la asignatura (satisfaction prof) X 1: Puntuación media del profesor en cuanto a organización de las clases con claridad (class organization) X 2: Puntuación media del profesor en cuanto al entusiasmo mostrado (enthusiasm) X 3: Puntuación media del profesor en cuanto a fomentar la participación en clase (class participation) X 4: Puntuación media del profesor por su puntualidad (punctuality) X 5: Interés medio mostrado por los alumnos porque el profesor les imparta otra asignatura (another subject) X 6: Incremento medio del interés mostrado por los alumnos en la asignatura (increase interest) A continuación se representan diferentes diagramas de dispersión

38 Ejercicio: encuestas alumnos atisfaction_pr class_organization enthusiasm class_participation punctuality another_subject increase_interest

39 Ejercicio: encuestas alumnos Qué puedes indicar sobre estas relaciones? De la siguiente lista, en la que se recogen las correlaciones de la variable satisfacción Y con el resto de variables cuantitativas X 1,..., X 6, qué correlación se corresponde con cada relación? 0,8803 0,7973 0,9785 0,9631 0,6674 0,5710