Factor. 8º Grado Matemática. Teorema de Pitágoras Distancia y Punto Medio. Slide 1 / 109. Slide 2 / 109. Slide 4 / 109. Slide 3 / 109.

/ 109 Slide / 109 8º Grado Matemática Ne w Je rs e y e nte r for Te aching and Le arning Iniciativa de Mate mática Progre s iva Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no comede rcia l e s tudia nte s y profe s ore s. No pue de s e r utiliza pado ra cua lquie r propós ito come rcia l s in cons e l e ntimie nto por e s crito de s us propie ta rios. NJTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u trapa barajo otros profe s ore s, pa rticipa r e n una comunida d de a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a pa dre s, e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los ma te ria le s de los curs os. Teorema de Pitágoras istancia y Punto Medio Nos otros, e n la s ocia ción de Educa ción de Nue va J enje) rs e y ( s omos funda dore s orgullos os y a poyonjtl de y la orga niza ción inde pe ndie nte s in fine s de lucro. NJE a dopta la mis ión de NJTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s. 013-01-0 www.njctl.org lick para ir al s itio we b: www.njctl.org Slide 3 / 109 Slide / 109 Tabla de ontenidos Vínculo para preguntas de muestra PR álculo N 1 lick en un tema para ir a esta sección Teorema de Pitágoras Fórmula de istancia Puntos Medios Glosario ommon ore Standards: 8.G.6, 8.G.7, 8.G.8 Slide 5 / 109 Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones. Slide 6 / 109 El cuadro tiene partes 1 lgunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! uando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero. Un número entero que puede dividir a otro número sin dejar resto (Haz click sobre el subrayado.) uántos tercios es en un entero? uántos quintos hay en un entero? Factor Vocabulario 15 3 uántos novenos hay en un entero? El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para armar una "pared de palabras". Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer número Ejemplos/ ontraejemplos (ómo se utiliza en esta lección) 5 R.1 3 16 5 3 es un factor de 15 Su significado 3 x 5 = 15 3 y 5 son factores de 15 3 no es un factor de 16 Volver al tema Vínculo para volver a la página del tema.

/ 109 Slide 8 / 109 Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras Este es un teorema que se utiliza para los triángulos rectángulos. Fue conocido primero en la antigua abilonia y Egipto a partir de 1900.. Sin embargo, no fue conocido extensamente hasta que Pitágoras lo declaró. lick para volver a la tabla de ontenidos Pitágoras vivió en el siglo 6.. en la isla de Samos en el Mar Egeo. También vivió en Egipto, abilonia, y el sur de Italia. Fue un filósofo y un profesor. Slide 9 / 109 Slide 10 / 109 Lados de un Triángulo Rectángulo En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos (a y b) es igual a el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c). click para revelar Hipotenusa c a - Opuesto al angulo recto - El mas largo de revelar los 3 lados click para b a + b = c liquea sobre los links de abajo para ver varias animaciones de prueba emostración con agua Mueve el cursor para mostrar c atetos click para revelar - lados que forman el ángulo recto Movimiento de cuadrados click para revelar Slide 11 / 109 Slide 1 / 109 ateto que falta ateto que falta Eleva al cuadrado -5 Sustrae b = 00-5 Encuentra la Raíz uadrada Marca la 9 pulgadas 5 + b = 5 as Sustituye los números gad 5 + b = 15 a + b = c pul 5 pies Escribe la Ecuación 18 15 pies a + b = c 9 + b = 18 Escribe la Ecuación Sustituye los números Eleva al cuadrado 81 + b = 3-81 b = 3-81 Sustrae Encuentra la Raíz uadrada Marca la

/ 109 Slide 1 / 109 Hipotenusa que falta a +b =c omo usas la fórmula para encontrar los lados que faltan. Escribe la Ecuación Sustituye los números 7 pulgadas + 7 = c 16 + 9 = c 65 = c pulgadas Eleva al cuadrados Suma Encuentra la Raíz uadrada Marca la ateto que falta Hipotenusa que falta Escribe la Ecuación Escribe la Ecuación Sustituye los números Sustituye los números Eleva al cuadrado Eleva al cuadrado Sustrae Suma Encuentra la Raíz uadrada Encuentra la Raíz uadrada Marca la Marca la Slide 15 / 109 uál es la longitud del tercer lado? 1 uál es la longitud del tercer lado? 1 Slide 15 (nswer) / 109 x + 7 = x 16 + 9 = x 65 = x x 7 7 Slide 16 / 109 uál es la longitud del tercer lado? x 1 uál es la longitud del tercer lado? Slide 16 (nswer) / 109 x 1 15 + 1 = x 5 + 1681 = x 1906 = x 15 15

/ 109 uál es la longitud del tercer lado? 3 uál es la longitud del tercer lado? 7 3 Slide 17 (nswer) / 109 7 z z Slide 18 / 109 uál es la longitud del tercer lado? Slide 18 (nswer) / 109 uál es la longitud del tercer lado? x 3 3 3 + = x x 9 + 16 = x 5 = x 5=x x + = 7 x + 16 = 9 x = 33 Slide 19 / 109 Ternas Pitagóricas 5 3 Hay combinaciones de números enteros que funcionan en el Teorema de Pitágoras. Estos conjuntos de números son conocidos como Ternas Pitagóricas. 3--5 es la más famosa de las ternas. Si reconoces los lados del triángulo como una terna (o múltiplo de una), no será necesario usar una calculadora! Slide 0 / 109 Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas? Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier otras ternas funcionan. 1 = 1 = 3 = 9 = 16 5 = 5 6 = 36 7 = 9 8 = 6 9 = 81 10 = 100 11 = 11 1 = 1 13 = 169 1 = 196 15 = 5 16 = 56 17 = 89 18 = 3 19 = 361 0 = 00 1 = 1 = 8 3 = 59 = 576 5 = 65 6 = 676 7 = 79 8 = 78 9 = 81 30 = 900

(nswer) / 109 Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas? Slide 1 / 109 uál es la longitud del tercer lado? 5 Ternas Usa la lista de cuadrados parapitagóricas ver si cualquier otras ternas funcionan. 3--5 5-1 - 13 7 - - 5 8-17 1 = 1 1 = 1 11-15 = 11 = 1 = 1 = 8 de esas 3 = 9 Múltiplos 13 = 169 3 = 59 =combinaciones 16 1 = 196 = 576 también 5 = 5 funcionan! 15 = 5 5 = 65 6 = 36 16 = 56 6 = 676 7 = 9 17 = 89 7 = 79 8 = 6 18 = 3 8 = 78 9 = 81 19 = 361 9 = 81 10 = 100 0 = 00 30 = 900 6 8 Slide 1 (nswer) / 109 uál es la longitud del tercer lado? 6 + 8 = x 36+ 6 = x 100 = x 10 = x 5 Slide / 109 6 uál es la longitud del tercer lado? ó 6 5 así que 13 8 Slide (nswer) / 109 uál es la longitud del tercer lado? 7 uál es la longitud del tercer lado? 8 5 6 Slide 3 / 109 5 + x = 13 5+ x = 169 x = 1 13 x = 1 Ó 5-1-13 50

(nswer) / 109 8 uál es la longitud del tercer lado? Los catetos de un triángulo rectángulo son 7.0 y 3.0, cuál es la longitud de la hipotenusa? 8 50 x + 8 = 50 x + 30 = 500 x = 196 x = 1 Ó Slide (nswer) / 109 Los catetos de un triángulo rectángulo son 7.0 y 3.0, cuál es la longitud de la hipotenusa? 8 Slide 5 / 109 9 Los catetos de un triángulo rectángulo son de y 1 de longitud cuál es la longitud de la hipotenusa? 3 + 7 = x 9 + 9 = x 58 = x Slide 5 (nswer) / 109 9 Los catetos de un triángulo rectángulo son de y 1 de longitud cuál es la longitud de la hipotenusa? 7 Slide / 109 + 1 = x + 1 = x 18 = x Slide 6 / 109 10 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de.5. uál es la longitud del otro cateto?

(nswer) / 109 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de.5. uál es la longitud del otro cateto? 11 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de.5. uál es la longitud del otro cateto? x +.5 = x + 6.5 = 16 x = 9.75 10 Slide 7 / 109 Slide 7 (nswer) / 109 11 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de.5. uál es la longitud del otro cateto? Slide 8 / 109 Este es un problema genial y bosqueja mucho de lo que hemos aprendido. Inténtalo en tus grupos. Luego trabajaremos en él paso a paso juntos para responder las preguntas que desglosan al problema en partes. En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se muestran en centímetros. x +.5 = 9 x + 0.5 = 81 x = 60.75 uál es la longitud de? From PR sample test Slide 9 / 109 1 Qué hemos aprendido que nos ayudará a resolver este problema? Slide 9 (nswer) / 109 1 Qué hemos aprendido que nos ayudará a resolver este problema? Teorema de Pitágoras Terna pitagórica Fórmula de distancia Sólo y Fórmula de distancia Sólo y En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se muestran en centímetros. Teorema de Pitágoras Terna pitagórica Sólo y En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se muestran en centímetros. uál es la longitud de? uál es la longitud de? From PR sample test From PR sample test

/ 109 Primero, observa que tenemos dos triángulos rectángulos (rectas perpendiculares forman ángulos rectos). Los triángulos están remarcados en rojo y azul en el diagrama de abajo. En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se muestran en centímetros. Slide 31 / 109 13 uál es la longitud del tercer lado en el triángulo rojo? 3 cm 6 cm 9 cm 13.5 cm En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se muestran en centímetros. uál es la longitud de? uál es la longitud de? Slide 31 (nswer) / 109 13 uál es la longitud del tercer lado en el triángulo rojo? 3 cm 6 cm 9 cm 13.5 cm a + 8 = 10 a + 6 = 100 a = 36 a=6 En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se muestran en centímetros. Slide 3 / 109 1 ómo se relaciona a? > < = no hay suficiente información para relacionar esos segmentos En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se muestran en centímetros. 6 uál es la longitud de? uál es la longitud de? Slide 3 (nswer) / 109 1 ómo se relaciona a? > < = = Los dos triángulospara rectángulos son esos no hay suficiente información relacionar segmentos iguales, de manera que sus ángulos correspondientes son iguales. También, si usas el Teorema de En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se Pitágonas de nuevo, para calcular muestran en centímetros., también será igual a 6. Slide 33 / 109 15 uál es la longitud de? Los alumnos escriben sus respuestas aquí En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se muestran en centímetros. uál es la longitud de? 6 uál es la longitud de?

(nswer) / 109 Recíproco del Teorema de Pitágoras 15 uál es la longitud de? Los alumnos escriben sus respuestas aquí En Δ, es perpendicular a. Las dimensiones se muestran en centímetros. uál es la longitud de? Slide 3 / 109 Si a y b son las medidas de los lados cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo, y c = a + b, entonces el triángulo es rectángulo Si c a + b, Entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo. 6+6 1 a = 3 pies b = pies Slide 35 / 109 orolario del Teorema de Pitágoras En otras palabras, puedes comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo al ver si el Teorema de Pitágoras es cierto. Prueba el Teorema de Pitágoras. Si la ecuación final es verdadera, entonces el triángulo es rectángulo. Si la ecuación final es falsa, entonces el triángulo no es rectángulo.. Slide 36 / 109 8 pulg. 17 pulg. 15 pulg Es un Triángulo Rectángulo? a + b = c 8 + 15 = 17 Si No 6 pies 10 pies Sustituye los números Eleva al cuadrado 89 = 89 Simplifica ambos lados Si! Son iguales? Slide 37 (nswer) / 109 16 6 +es 8 un = 10triángulo Ó rectángulo? Este triángulo 36 + 6 = 100 100 = 100 SI Si No Este triángulo es un triángulo rectángulo? Escribe la Ecuación 6 + 5 = 89 Slide 37 / 109 16 c = 5 pies 10 pies Terna Pitagórica 6 pies 3--5 8 pies 8 pies

/ 109 17 Slide 38 (nswer) / 109 Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si 36 pies No 17 Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si pies 36 pies No 30 pies 30 pies pies + 30 = 36 576 + 900 = 196 176 = 196 NO Slide 39 / 109 Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si No 10 pulgadas 18 Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si 10 pulgadas No 8 pulgadas 8 pulgadas 1 pugadas 1 pugadas 8 + 10 = 1 6 + 100 = 1 16 = 196 NO Slide 0 / 109 19 Si Este triángulo es un triángulo rectángulo? 5 pies 13 pies No Slide 0 (nswer) / 109 19 Si No 1 pies Este triángulo es un triángulo rectángulo? 18 Slide 39 (nswer) / 109 13 pies 5 pies Si - Terna Pitagórica! 5-1-13 1 pies

/ 109 Puedes construir un triángulo rectángulo con tres tablas de madera que miden 7.5 pulgadas, 18 pulgadas y 19.5 pulgadas? 0 Puedes construir un triángulo rectángulo con tres tablas de madera que miden 7.5 pulgadas, 18 pulgadas y 19.5 pulgadas? Si Si No No 0 Slide 1 (nswer) / 109 7.5 + 18 = 19.5 56.5 + 3 = 380.5 380.5 = 380.5 SI Slide / 109 Slide 3 / 109 Trabaja con tus compañeros para completar: Pasos para los problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras. 1. ibuja un triángulo rectángulo para representar la situación.. Resuelve la longitud del lado desconocido. 3. Redondea a la décima más cercana. Para llegar desde la escuela secundaria a su casa, Jamal recorre 5.0 millas al este y luego.0 millas al norte. uando Sheila va a su casa desde la misma escuela secundaria, viaja 8.0 millas al este y.0 millas al sur. uál es la medida de la distancia más corta, expresada a la décima de milla, entre la casa de Jamal y la casa de Sheila? From the Ne w York S ta te Educa tion e pa rtme nt. Office of s s e s s me nt P olicy, e ve lopme nt a nd dminis tra tion. Inte rne t. va ila ble from www.nys e dre ge nts.org/inte gra te dlge bra ; a cce s s e d 17, J une, 011. Slide 3 (nswer) / 109 Slide / 109 Trabaja con tus compañeros para completar: Para llegar desde la escuela secundaria a su casa, Jamal recorre 5.0 millas al este y luego.0 millas al norte. uando Sheila va a su casa desde la misma escuela secundaria, viaja 8.0 millas al este y.0 millas al sur. uál es la medida de la distancia más corta, expresada a la décima de milla, entre la casa de Jamal y la casa de Sheila? Un sorbete se coloca en una caja rectangular que tiene 3 pulgadas por pulgadas por 8 pulgadas, como se muestra en el diagrama adjunto. Si el sorbete encaja exactamente en la caja en diagonal desde la esquina frontal inferior izquierda a la esquina trasera superior derecha, qué longitud tiene el sorbete, expresada a la décima de pulgada más cercana? Trabaja con tus compañeros para completar: 6 + 3 = x 36 + 9 = x 5 = x 6.7 = x From the Ne w York S ta te Educa tion e pa rtme nt. Office of s s e s s me nt P olicy, e ve lopme nt a nd dminis tra tion. Inte rne t. va ila ble from www.nys e dre ge nts.org/inte gra te dlge bra ; a cce s s e d 17, J une, 011. From the Ne w York S ta te Educa tion e pa rtme nt. Office of s s e s s me nt P olicy, e ve lopme nt a nd dminis tra tion. Inte rne t. va ila ble from www.nys e dre ge nts.org/inte gra te dlge bra ; a cce s s e d 17, J une, 011.

Slide (nswer) / 109 Slide 5 / 109 Trabaja con tus compañeros para completar: Un sorbete se coloca en una caja rectangular que tiene 3 pulgadas por pulgadas por 8 pulgadas, como se muestra en el diagrama adjunto. Si el sorbete encaja exactamente en la caja en diagonal desde la esquina frontal inferior izquierda a la esquina trasera superior derecha, qué longitud tiene el sorbete, expresada a la décima de pulgada más cercana? 3 + = 5 Terna pitagórica c=5 c + d = e 5 + 8 = e 89 = e 9. = e e c a d El teorema de Pitágoras puede aplicarse a Figuras de 3 imensiones En esta figura: a = altura inclnada (altura de la cara triangular ) b = 1/ de la longitud de la base (del punto medio de lado de la base hacia el centro de la base de la pirámide) h = altura de la pirámide b From the Ne w York S ta te Educa tion e pa rtme nt. Office of s s e s s me nt P olicy, e ve lopme nt a nd dminis tra tion. Inte rne t. va ila ble from www.nys e dre ge nts.org/inte gra te dlge bra ; a cce s s e d 17, J une, 011. Slide 6 / 109 Slide 6 (nswer) / 109 Un triángulo rectángulo está formado entre tres longitudes. Si conoces dos de las medidas, puedes calcular la tercera. Si conoces dos de las medidas, puedes calcular la tercera. EJEMPLO: Encuentra la altura inclinada de la pirámide cuya altura es de 5 cm y cuya base tiene una longitud de 8 cm EJEMPLO: Encuentra la altura inclinada de la pirámide cuya altura es de 5 cm y cuya base tiene una longitud de 8 cm Un triángulo rectángulo está formado entre tres longitudes. Encuentra la altura inclinada de la pirámide, cuya longitud de la base es de 10 cm y la altura es de 1 cm. oloca las medidas en el diagrama. Slide 7 (nswer) / 109 Encuentra la altura inclinada de la pirámide, cuya longitud de la base es de 10 cm y la altura es de 1 cm. oloca las medidas en el diagrama. Slide 7 / 109

/ 109 Slide 8 (nswer) / 109 Encuentra la longitud de la base de la pirámide, cuya altura es de 1 metros y la altura inclinada es de 9 m. oloca las mediciones en el diagrama. Encuentra la longitud de la base de la pirámide, cuya altura es de 1 metros y la altura inclinada es de 9 m. oloca las mediciones en el diagrama. Slide 9 / 109 Los tamaños de monitores de televisión y de computadoras son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de computadora de 1 pulgadas tiene una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. uál es la altura de la pantalla? 1 Los tamaños de monitores de televisión y de computadoras son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de computadora de 1 pulgadas x + 11 = tiene 1 una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. uál es la altura de la pantalla? x + 11 = 196 1 Slide 9 (nswer) / 109 x = 75 alcula la altura de la pirámide, cuya longitud de la base es de 16 pulgadas y la altura inclinada es de 17 pulgadas oloca las medidas en el diagrama. Slide 50 (nswer) / 109 alcula la altura de la pirámide, cuya longitud de la base es de 16 pulgadas y la altura inclinada es de 17 pulgadas oloca las medidas en el diagrama. Slide 50 / 109 pulgadas

/ 109 Un árbol fue alcanzado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está ahora a 8 m contantdo desde la base del árbol y aún parcialmente unido a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. Qué tan alto era el árbol originalmente? 3 Un árbol fue alcanzado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está ahora a 8 m contantdo desde la base del árbol y aún parcialmente unido a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. Qué tan alto era el árbol originalmente? 3 Slide 51 (nswer) / 109 3 + 8 = x 9 + 6 = x 73 = x La base del árbol es 3 m, la parte que cayó es de 8.5 m de altura, de manera que la altura del árbol en total es de 11.5 m. Slide 5 / 109 Supón que tienes una escalera de 13 pies de longitud. Para poder subirte la colocas a 5 pies de distancia de la pared del edificio. Tienes que colocar un cartel arriba del edificio a 10 pies de altura sobre el nivel del suelo. Es suficientemente larga la escalera para que puedas llegar a la altura necesaria para colocar el cartel? Sí Sí No No Supón que tienes una escalera de 13 pies de longitud. Para poder subirte la colocas a 5 pies de distancia de la pared del edificio. Tienes que colocar un cartel arriba del edificio a 10 pies de altura sobre el nivel del suelo. Es suficientemente larga la escalera para que puedas llegar a la altura necesaria para colocar el cartel? Slide 5 (nswer) / 109 p Sí Slide 53 / 109 cabas de recoger una pelota en el suelo en la tercera base, y ves al jugador del otro equipo correr hacia primera base. Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Un diamante de béisbol es un cuadrado) da base 90 pies. 90 pies. 1ra base 3ra base 90 pies. 90 pies Slide 53 (nswer) / 109 5 cabas de recoger una pelota en el suelo en la tercera base, y ves al jugador del otro equipo correr hacia primera base. Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Un diamante de béisbol es un cuadrado) da base 90 + 90 = x 8100 + 8100 = x 90 pies. 16,00 = x 90 pies. 5 1ra base 3ra base 90 pies. 90 pies asa pies asa

/ 109 Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, a 5 pies sobre el suelo. Hay arbustos al costado de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. Qué longitud deberá tener la escalera para alcanzar la ventana? 6 Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, a 5 pies sobre el suelo. Hay arbustos al costado de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. Qué longitud deberá tener la escalera para alcanzar la ventana? 6 Slide 5 (nswer) / 109 10 + 5 = x 100 + 5 = x 35 = x Slide 55 / 109 Scott quiere nadar a través de un río que tiene 00 metros de ancho. omienza a nadar perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. Hasta qué punto nadó en realidad desde el punto de inicio? 7 Scott quiere nadar a través de un río que tiene 00 metros de ancho. omienza a nadar perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. Hasta qué punto nadó en realidad desde el punto de inicio? 00 m 100 m 7 Slide 55 (nswer) / 109 00 + 100 = x 160,000 + 10,000 = x 170,000 = x Slide 56 / 109 Slide 57 / 109 Si tienes dos puntos en un gráfico, como por ejemplo (5,) y (5,6), puedes encontrar la distancia entre ellos simplemente contando las unidades en el gráfico, ya que se encuentran en una línea vertical Fórmula de istancia La distancia entre esos dos puntos es unidades. lick para volver a la tabla de ontenidos El punto más alto esta á unidades por encima del punto más bajo

/ 109 uál es la distancia entre estos dos puntos? 8 uál es la distancia entre estos dos puntos? 8 Slide 58 (nswer) / 109 La distancia es 5. El punto azuel está a cinco a la derecha del punto rojo. La distancia siempre es positiva. Slide 59 / 109 uál es la distancia entre estos dos puntos? 9 uál es la distancia entre estos dos puntos? 9 Slide 59 (nswer) / 109 3 Slide 60 / 109 30 uál es la distancia entre estos dos puntos? Slide 61 / 109 La mayoría de los conjuntos de puntos no se encuentran en una línea vertical u horizontal. Por ejemplo: ontando las unidades entre estos dos puntos es imposible. sí que los matemáticos han desarrollado una fórmula usando el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos.

/ 109 c b a ibuja el triángulo rectángulo en torno a estos dos puntos. continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo. c = a + b c = 3 + c = 9 + 16 c b c = 5 c=5 a ibuja el triángulo rectángulo en torno a estos dos puntos. continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo. Slide 6 (nswer) / 109 La distancia entre los dos puntos (,) y (5,6) es 5 unidades Slide 63 / 109 Ejemplo: Ejemplo: Slide 63 (nswer) / 109 Intenta con este problema ahora La distancia entre los dos puntos (-3,8) y (-9,5) es aproximadamente 6.7 unidades Slide 6 (nswer) / 109 Intenta con este problema ahora Slide 6 / 109 c = a + b c = 3 + 6 c = 9 + 36 c = 5 3

/ 109 Slide 66 / 109 c = a + b ibuja triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Marca los puntos como se muestra. Luego sustituye en la fórmula de Pitágoras d = (x - x1) + (y - y1) d = (x - x1) + (y - y1) Esta es la fórmula de distancia, ahora sustituída en valores. erivación de una fórmula para el cálculo de distancia... (x, y) d longitud = y - y1 (x1, y1) longitud = x - x1 Slide 66 (nswer) / 109 ibuja triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Marca los puntos como se muestra. Luego sustituye en la fórmula de Pitágoras d= (5 - ) + (6 - ) (x, y ) d= (3) + () d= 9 + 16 d= 5 d=5 d Slide 67 / 109 c = a + b Fórmula de istancia d = (x - x1) + (y - y1) d = (x - x1) + (y - y1) Esta es la fórmula de distancia, ahora sustituída en valores. longitud = y - y1 (x1, y1) longitud = x - x1 Puede encontrar la distancia d entre dos puntos (x1, y1) y (x, y) utilizando la siguiente fórmula. d= (x - x1) + (y - y1) distancia en la coordenada x-. distancia en la coordenada y. Slide 68 / 109 Slide 68 (nswer) / 109 uando solo damos dos puntos, usa la fórmula. Encuentra la distancia entre: Punto 1 (-, -7) Punto (-5, -) Encuentra la distancia entre: Punto 1 (-, -7) Punto (-5, -) uando solo damos dos puntos, usa la fórmula.

/ 109 31 Slide 69 (nswer) / 109 Encuentra la distancia entre (,3) y (6,8). Redondea la respuesta a la décima más cercana. x1 Pista = y1 = 3 x = 6 y = 8 Slide 70 / 109 3 Slide 70 (nswer) / 109 Encuentra la distancia entre (-7,-) y (11,3). Redondea la respuesta a la décima más cercana. x1 = Pista -7 y1 = - x = 11 y = 3 Slide 71 / 109 33 Encuentra la distancia entre (,6) y (1,5). Redondea la respuesta a la décima más cercana. Slide 71 (nswer) / 109

/ 109 Encuentra la distancia entre (7,-5) y (9,-1). Redondea la respuesta a la décima más cercana 3 Encuentra la distancia entre (7,-5) y (9,-1). Redondea la respuesta a la décima más cercana 3 Slide 7 (nswer) / 109 Slide 73 / 109 ómo podrías encontrar el perímetro de este rectángulo? Slide 73 (nswer) / 109 ómo podrías encontrar el perímetro de este rectángulo? Se puede hacer una cosa o la otra; contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos desde los pares ordenados. Se puede hacer una cosa o la otra; contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos desde los pares ordenados. longitud = 8 ancho = 6 8 + 6 + 8 + 6 = 8 Slide 7 / 109 Slide 75 / 109 Puedes usar la fórmula de distancia para resolver problemas de geometría. Podemos contar cuántas unidades de largo tiene cada segmento es en este cuadrilátero para encontrar el perímetro? (3,3) (3,3) (9,) (0,-1) (0,-1) (8,0) (9,) (8,0) Encuentra el perímetro de. Utiliza la fórmula de la distancia para encontrar las cuatro longitudes de los lados. continuación, suma todos juntos = = = = = = = =

(nswer) / 109 Slide 76 / 109 35 Encuentra el perímetro del EFG. Redondea la respuesta a la décima más cercana. F (3,) G (1,1) E (7,-1) Slide 76 (nswer) / 109 Slide 77 / 109 36 Encuentra el perímetro del cuadrado Redondea la respuesta a la décima más cercana. H (1,5) K (-1,3) I (3,3) J (1,1) Slide 77 (nswer) / 109 36 Encuentra el perímetro del cuadrado Redondea la respuesta a la décima más cercana. 37 Encuentra el perímetro del paralelogramo. Redondea tu respuesta a la decena más cercana. L (1,) H (1,5) K (-1,3) Slide 78 / 109 I (3,3) O (0,-1) J (1,1) La longitud de cada lado es #8 Entonces el perímetro es veces #8 # 11.3 M (6,) N (5,-1)

(nswer) / 109 Slide 79 / 109 Punto Medio lick para volver a la tabla de ontenidos Slide 80 / 109 Slide 81 / 109 Encuentra el punto medio de este segmento. Encuentra el punto medio de este segmento. Qué es un punto medio? omo encontraste el punto medio? uáles son las coordenadas del punto medio? uáles son las coordenadas del punto medio? ómo se relaciona con las coordenadas de los puntos extremos? (, 10) (3, ) (9, ) (, ) Slide 81 (nswer) / 109 Encuentra el punto medio de este segmento. uáles son las coordenadas del punto medio? ómo se relaciona con las coordenadas de los puntos extremos? Punto medio = (6, ) Está en el medio del segmento. (9, ) (3, ) Promedio de las coordenas X. Promedio de las coordenadas y. Slide 8 / 109 Fórmula del Punto Medio Para calcular punto medio de un segmento con los puntos extremos (x1,y1) y (x,y) usa la fórmula: ( x1 + x y1 + y, ) Las coordenadas del punto medio de los ejes x e y son los promedios de las coordenadas de los puntos extremos de x e y, respectivamente.

/ 109 Slide 8 / 109 El punto medio de un segmento es el punto M de a medio camino entre los extremos y. El punto medio de un segmento es el punto M de a medio camino entre los extremos y. Usa la fórmula del punto medio: (,5) ( (,5) M (8,1) x1 + x y1 + y, ) (8,1) Mira la próxima página para la respuesta Slide 8 (nswer) / 109 Slide 85 / 109 Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3) El punto medio de un segmento es el punto M de a medio camino entre los extremos y. Usa la fórmula del punto medio: Usa la fórmula del punto medio: ( (,5) (8,1) M x1 + x y1 + y, ( ) x1 + x, y1 + y ) Sustituye en valores: +8, 5+1 Simplifica los numeradores: 10, 6 Escribe fracciones simplificadas ( ) ( ) (5,3) es el punto medio de Slide 85 (nswer) / 109 Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3) Usa la fórmula del punto medio:, y1 + y ) Sustituye en valores: 1 + -5, 0 + 3 Simplifica los numeradores: -, 3 Escribe fracciones simplificadas: nswer ( x1 + x ( ( ) ) (-,1.5) es el punto medio Slide 86 / 109 38 uál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (,10) y (6,-)? (3,) (,7) (,3) (1.5,3)

(nswer) / 109 uál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (,10) y (6,-)? (3,) (,7) (,3) (1.5,3) 38 Slide 87 / 109 39 uál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (,5) y (-,6)? (3,6.5) (1,5.5) (-1,5.5) (1,0.5) Slide 87 (nswer) / 109 uál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (,5) y (-,6)? 0 uál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (-,-7) y (-1,)? (3,6.5) (-8,-.5) (1,5.5) (-,-.5) (-1,5.5) (-1,-6.5) (1,0.5) (-8,-) 39 Slide 88 / 109 Slide 88 (nswer) / 109 uál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (-,-7) y (-1,)? (-8,-.5) (-,-.5) (-1,-6.5) (-8,-) 0 Slide 89 / 109 1 uál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (10,9) y (5,3)? (6.5,) (6,7.5) (7.5,6) (15,1)

(nswer) / 109 uál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (10,9) y (5,3)? Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-,3) y (0,). Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema? (6.5,) (6,7.5) Fórmula Pitagórica (7.5,6) Fórmula de istancia (15,1) Fórmula del Punto Medio Fórmula del Área de un írculo 1 Slide 90 / 109 Slide 90 (nswer) / 109 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-,3) y (0,). Slide 91 / 109 3 Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema? Fórmula Pitagórica Fórmula de istancia Fórmula del Punto Medio Fórmula del Área de un írculo Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-,3) y (0,). (.5,-) (,.5) (-,.5) (-1,1.5) Slide 91 (nswer) / 109 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-,3) y (0,). Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-1,10) y (,6). (.5,-) (-7,8) (,.5) (-5,8) (-,.5) (5,8) (-1,1.5) (7,8) 3 Slide 9 / 109

(nswer) / 109 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-1,10) y (,6). (-7,8) (-5,8) (5,8) (7,8) Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y Q. Encuentra las coordenadas del punto que falta. Q=? M (8,1) Slide 93 / 109 P (8,-6) Usa la fórmula del punto medio y resuelve para el desconocido. ( x1 + x y1 + y, Sustituye Multiplica ambos lados por Suma o Resta Slide 9 / 109 Slide 9 (nswer) / 109 Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. uáles son las coordenadas del punto que falta? (-13,-) (-8.5,-9.5) (-.5,-7.5) (-1.5,-6.5) (8, 8) 5 P = (-,3) M = (-8.5,-9.5) Q=? Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. uáles son las coordenadas del punto que falta? (-13,-) (-8.5,-9.5) (-.5,-7.5) (-1.5,-6.5) P = (-,3) M = (-8.5,-9.5) Q=? 5 ) Slide 95 / 109 Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. uáles son las coordenadas del punto que falta? (1,-1) (-13,19) (-8,11) (-19,8) Q = (-6,9) M = (-7,10) P=? 6 Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. uáles son las coordenadas del punto que falta? (1,-1) (-13,19) (-8,11) (-19,8) 6 Slide 95 (nswer) / 109 Q = (-6,9) M = (-7,10) P=?

/ 109 Slide 97 / 109 Recíproco del Teorema de Pitágoras Si a y b son las medidas de los lados más cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo y equivale al cuadrado de b más el cuadrado de a, entonces ese triángulo es un triángulo rectángulo. Glosario Ejemplo: a+b = c lick para volver a la tabla de ontenidos c a 3 b triángulo rectángulo Slide 98 / 109 Slide 99 / 109 istancia Hipotenusa Longitud Es la medida de cuán alejados están dos puntos a lo largo de un espacio. +3 = 5 16+9 = 5 5 = 5 5 Volver al tema El lado más largo de un triángulo rectángulo que es el opuesto al ángulo recto. Fórmula de distancia d= (x - x1) + (y - y1) distancia en la coordenada distancia x-. en la coordenada y. Hipotenusa 10 0 6 0=8 10 8 8 a+b = c 10 8 8 Volver al tema Volver al tema Slide 100 / 109 Slide 101 / 109 atetos Punto medio El medio de algo. lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo. Fórmula de punto medio: a +b = c ( x1 + x y1 + y, ) El punto que está a la mitad de una recta. ( ( ( ) ) ) x1 + x y1 + y, + 10 +,, 1 ( 6), atetos Volver al tema Volver al tema

/ 109 Slide 103 / 109 Teorema de Pitágoras Ternas pitagóricas ombinaciones de números enteros que funcionan en el Teorema de Pitágoras. El un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados (a y b) es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c). Fórmula: Ejemplo: +3 = 5 16+9 = 5 5 = 5 5 3 +3 = 5 16+9 = 5 5 = 5 Volver al tema Slide 10 / 109 5 3 13 5 1 5+1 = 13 5+1 = 169 169 = 169 + = 7 +16 = 9 0 = 9 7 Volver al tema Slide 105 / 109 Triángulo rectángulo Un triángulo que tiene un ángulo recto (90 ). Hipotenusa 60º atetos 30º Escalera Vela 5º 5º Volver al tema Volver al tema Slide 106 / 109 Slide 107 / 109 Volver al tema Volver al tema

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