Curso: CII2750 Optimización Profesores: Paul Bosch, Juan Pablo Cavada Fernando Paredes, Pablo Rey Solemne 1 Fecha: Miércoles 7 de mayo de 2014 Semestre Otoño 2014 Problema 1 Una empresa importadora de autos, recibe las unidades en tres puertos diferentes, Iquique, San Antonio y Puerto Montt. Con estos embarques, debe satisfacer la demanda de autos en las concesionarias de diferentes ciudades del país. En la Tabla siguiente se muestran en las tres primeras columnas, los costos (en miles de pesos) por unidad transportada, en la última columna se muestra la estimación de la demanda (en cientos) en cada ciudad y en la última fila está la capacidad (en cientos) que tiene la importadora en cada uno de los tres puertos por donde entran los autos. Puertos Costos de envio por unidad en M Demanda Ciudades Iquique San Antonio Puerto Montt Estimada Arica 10 300 1000 15 Iquique 5 195 1000 20 Antofagasta 20 140 750 55 La Serena 50 45 100 20 Valparaiso 70 5 60 70 Santiago 65 5 55 300 Concepción 250 40 50 100 Valdivia 800 210 40 25 Puerto Montt 1000 300 5 40 Capacidad Portuaria 200 250 195 (en cientos) (a) (0,7 puntos) Formule un modelo que permita satisfacer la demanda de autos con un costo mínimo de transporte. (b) (1,3 puntos) Considere ahora que la demanda en cada ciudad sube un 20% y usted decide asumir el reto de satisfacer la nueva demanda, para lo cual contempla el aumento de la capacidad portuaria en un sólo puerto. Por cada auto que usted le transporta a las concesionarias, usted obtiene una ganancia de 10 M (10.000 pesos) y el aumento de la capacidad portuaria tiene un costo por unidad adicional de 1000 pesos, 3000 pesos y 1800 pesos para los puertos de Iquique, 1
San Antonio y Puerto Montt, respectivamente. Además, se debe incurrir en un costo fijo por concepto de compra de terreno (sólo en el puerto que decidió aumentar su capacidad) para estacionar los autos de 1000 M en los Puertos de Iquique y Puerto Montt, y de 1800 M en el Puerto de San Antonio. Formule un modelo que le permita satisfacer la nueva demanda con el mayor beneficio posible. Problema 2 Dado el siguiente modelo de optimización: min x 2 1 + x 2 2 + 2x 1 x 1 1 x 2 2 0 x 1 + 5 0 x 2 1 + x 2 2 64 (P) (a) (0,5 puntos) Sin resolver previamente, demuestre que el problema (P) admite solución óptima. (b) (1,0 punto) Resuelva el problema (P) gráficamente, trazando curvas de nivel de la función objetivo sobre el dominio y utilizando propiedades de su gradiente en los puntos que es diferenciable. (c) (0,5 puntos) Considere el modelo de optimización anterior relajado sin la última restricción, pero ahora como un problema de maximización. Analice si el nuevo problema admite solución óptima. Justifique. Problema 3 Considere la función g : R 2 R definida por: g(x, y) = (x 2 + 4y 2 )e (1 x2 y 2). (a) (0,5 puntos) Identifique cuáles de los puntos p 1 = (0, 0), p 2 = (0, 1), p 3 = (0, 2), p 4 = (1, 0) y p 5 = ( 1, 1) son puntos estacionarios de g. (b) (1,0 punto) Cuáles de los puntos del ítem anterior corresponden a máximos o mínimos locales de g? Justifique. (c) (0,5 puntos) Es la función g convexa en todo R 2? Justifique. 2
Pauta Problema 1 (a) Datos Denotemos por: I = {1, 2, 3} : Números de puertos. J = {1, 2,..., 9} : Números de ciudades. c ij : Costo de transporte de una unidad desde el puerto i hasta la ciudad j. d j : Cantidad demandada de autos de la ciudad j. P i : Capacidad del puerto i. Notemos que se cumple la relación: P i = d j = 645 Variables de Decisión x ij : Cantidad de autos que se enviarán a la ciudad j desde el puerto i. Restricciones Demanda. Se debe satisfacer la demanda de autos de cada ciudad: x ij = d j, j J Capacidad Portuaria. La cantidad de autos que salen desde cada puerto no puede ser mayor que la capacidad del puerto: x ij = P i, i I No negatividad. Las variables no pueden ser negativas: x ij 0. Es importante hacer notar que no necesitamos que las variables sean enteras dado que este problema se modela como un Problema de Transporte Clásico. 3
Función objetivo Para minimizar los costos, debemos calcular los costos totales de transporte, los cuales están dados por: min z = x ij c ij En resumen, el Modelo Matemático del problema queda de la forma: Pauta Problema 1 (b) s.a min z = x ij c ij x ij = d j, j = 1, 2,..., 9 x ij = P i, i = 1, 2, 3 x ij 0 Debemos agregar los datos adicionales por: Datos G : Ganancia por cada auto transportado (G = 10.000 pesos). A i : Aumento en el costo de transporte de cada auto asociado al aumento de la capacidad en el puerto i = 1, 2, 3. CF i : Costo fijo por concepto de compra de terreno en el puerto i. Observación. Notemos que si denotamos por 9 x ij la cantidad de autos que se trasporta desde cada puerto i, entonces la cantidad de autos adicionales que necesitaríamos que saliesen desde cada puerto está expresado como Variables de Decisión x ij P i x ij : Cantidad de autos que se enviarán a la ciudad j desde el puerto i. Para i = 1, 2, 3 tenemos { 1 : Si se decide ampliar el puerto i y i = 0 : en caso contrario 4
Restricciones Demanda. Se debe satisfacer la demanda que subió en un 20%: x ij = 1.2 d j, j J Capacidad Portuaria. La cantidad de autos que llegan a las ciudades no puede ser mayor que la cantidad de autos que salen desde los puertos, sin embargo debemos considerar que un puerto será ampliado, para lo cual, si denotamos por M = 0.2 d j = 129, entonces las restricciones para cada puerto quedan de la forma: x ij = P i + My i, i I Se aumenta la capacidad portuaria en un solo puerto: y i = 1 Naturaleza de las variables. Las variables x ij no pueden ser negativas dado que representan cantidades x ij 0, i, j I J y las variables y i tienen que ser binarias y i {0, 1}, i I Función objetivo En este caso, se busca maximizar el beneficio. Las ganancias están dadas por la cantiadad de autos que se transporta a las consecionarias de cada ciudad: Por otro lado, los costos asociados son: G El costo fijo por la compra del terreno en caso de que el puerto se amplie: x ij CF i y i 5
El costo por transporte de cada auto sin considerar la ampliación: x ij c ij El costo por unidad adicional de auto transportado para el puerto que se amplió se expresa como: ( ) A i y i = M A i y i x ij P i) ( Note que este costo por unidad adicional es independiente de a que ciudad se transporta el auto. Por lo tanto, la posible función objetivo queda de la forma: ( max z = G x ij CF i y i + x ij c ij + M En resumen, el modelo matemático queda de la forma: ( max z = G x ij CF i y i + x ij c ij + M s.a x ij = 1.2d j, j = 1, 2,..., 9 x ij = P i + My i, i = 1, 2, 3 y i = 1 x ij 0 y i {0, 1} ) A i y i ) A i y i 6
Pauta pregunta 2 (a) (i) El dominio es no vacío ya que contiene al menos el punto (5,2). (ii) La función objetivo es continua en R 2 ya que es un polinomio. Luego en particular es continua en el dominio R 2. (iii) El dominio es cerrado ya que está definido por restricciones amplias ( ), las cuales están definidas por funciones continuas ( polinomios ). (iv) El dominio D es acotado ya que si (x 1, x 2 ) pertenece al dominio, entonces (x 1, x 2 ) 2 8 (porque cumple la tercera restricción). Luego, Teorema de B-W el problema (P) admite solución óptima. (b) Trazando curvas de nivel de la función objetivo sobre el dominio y utilizando propiedades de su gradiente en los puntos que es diferenciable, es decir en R 2, se tiene la familia de circunferencias concéntricas, con centro en el punto (-1,0), a saber: {(x 1, x 2 ) : x 1 + 1) 2 + x 2 2 = c} donde c es una constante mayor o igual a cero. Ahora tomando la dirección de máximo descenso definida por f(x 1, x 2 ) = (2(x 1 + 1), 2x 2 ), con f la función objetivo del problema (P), se obtienen las soluciones óptimas (5, ±2) (ver figura). (c) Ahora al relajar la última restricción, se obtiene un dominio no acotado y f(x 1, x 2 = 0) = x 2 1 + 2x 1 para x 1 y entonces se tiene que el nuevo problema no admite solución óptima. 7
Pauta pregunta 3 (a) Las derivadas parciales de g son: g x = 2x(4y2 + x 2 1)e ( x2 y2 +1) g y = 2y(x2 + 4y 2 4)e ( x2 y2 +1). Reemplazando los valores de cada punto, obtenemos que: g(p 1 ) = g(0, 0) = (0, 0) g(p 2 ) = g(0, 1) = (0, 0) g(p 3 ) = g(0, 2) = (0, 4 12 e 15 ) (0, 0) g(p 4 ) = g(1, 0) = (0, 0) g(p 5 ) = g( 1, 1) = (2 4e, 2 4e) (0, 0) Los puntos p 1, p 2 y p 4 son puntos críticos, mientras que p 3 y p 5, no. (b) La matriz hessiana de g es: 2e ( x2 y 2 +1) (2x 4 + x 2 (8y 2 5) 4y 2 + 1) 4xy e ( x2 y 2 +1) (x 2 + 4y 2 5) Hg(x, y) = 4xy e ( x2 y 2 +1) (x 2 + 4y 2 5) 2e ( x2 y 2 +1) (x 2 (2y 2 1) + 8y 4 20y 2 + 4) Evaluando en los tres puntos encontrados en (a) queda: ( ) 2e 0 Hg(0, 0) = mínimo. 0 2e ( ) 4 0 Hg(1, 0) = punto silla. 0 6 ( ) 6 0 Hg(0, 1) = máximo. 0 16 (c) Para que una función dos veces diferenciable sea convexa, se debe cumplir que su Hessiano debe ser semidefinido positivo en todo punto. En la parte (b) se han identificado dos puntos donde esto no sucede, por lo tanto, la función g no es convexa. 8