FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS ESTADÍSTICA Serie Semestre: 019-1 1.- De 1000 casos seleccionados al azar de cáncer de pulmón, 83 terminaron en muerte. Qué tan grande debe ser una muestra para tener una confianza del 95% de que el error en la estimación de la tasa de mortalidad de cáncer en el pulmón ser menor que 0.03? Respuesta: 6.- El promedio muestral de resistencia final a la tensión, para una muestra de 35 anillos de acero de aleación magnética de alta resistencia, empleados en generadores de turbina fue 15.3 [Ksi], en tanto que la desviación estándar de la muestra fue 4.8 [Ksi]. Obtener un intervalo de confianza de 99% para el verdadero promedio de resistencia final a la tensión de tales anillos. Respuesta: [150.14. 154.39] 3.- El esfuerzo de cedencia de ciertas barras de acero que se registró en una revista especializada, dio los siguientes datos: N n = 150, x= 477, s = 13 mm Estimar el esfuerzo de cedencia verdadero para barras de ese tipo y tamaño con un intervalo de confianza del 90%. Son necesarias algunas hipótesis para que sea válida la respuesta? Respuesta: [475.5, 478.75] 4.- El comportamiento de vigas de concreto reforzado a la fatiga, en agua de mar, fue estudiado por T. Hodgkiess et al. El número de ciclos que fallan las vigas en agua de mar, sujetas a determinado esfuerzo flexionante y de carga es el siguiente (en miles de ciclos): 774, 633, 477, 68, 407, 576, 659, 963, 193. Estimar el intervalo de confianza de 90% del número promedio de ciclos hasta que se produce la falla para vigas de este tipo. Respuesta: [399.5, 700.45] 5.- Se emplean dos máquinas para llenar botellas de plástico con detergente para lavar platos. Se tienen como datos las desviaciones estándar del volumen de llenado en onzas de líquido para las dos máquinas, 1= 0.15 y = 0.18, respectivamente. Se seleccionan dos muestras aleatorias de n 1 = 9 botellas de la máquina 1 y n = 10 botellas de la máquina, y las medias de la muestra de los volúmenes de llenado son x 1 = 30.87 onzas líquidas y x = 30.68 onzas líquidas. a) Construir un intervalo de confianza de dos lados del 90% respecto a la diferencia de medias del volumen de llenado. b) Construir un intervalo de confianza de dos lados del 95% respecto a la diferencia de medias del volumen de llenado. Comparar el ancho de este intervalo con el obtenido en el inciso (a). c) Construir un intervalo de confianza superior del 95% respecto a la diferencia de medias del volumen de llenado. Respuesta: a) [0.06537, 0.31469], b) El intervalo es mayor, c) 0.31469 6.- Una compañía transportista trata de decidir si compra neumáticos A ó B para su flotilla. Para estimar la diferencia de las dos marcas, lleva a cabo un experimento utilizando 1 de cada marca. Los neumáticos se usan hasta que se gastan obteniéndose los siguientes resultados para A y B, medias 36,300 y y 6100 respectivamente. Calcular un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las medias de las poblaciones A y B, suponiendo que las poblaciones se distribuyen normalmente y con variancias desconocidas pero iguales. Respuesta: [-65.54, 9.4] 38,100 km y variancias 5000 km, 7.- Las edades de cinco profesores universitarios en una muestra aleatoria son 39, 54, 61, 7 y 59 años. Obtener un intervalo de confianza de 99%, a partir de estos datos, para la variancia poblacional de las edades de todos los profesores de la universidad, suponiendo que las edades se distribuyen normalmente. Respuesta: [38.89, 79.4] 8.- Se deben eliminar gases ácidos de otros gases de refinería en una instalación de productos químicos para reducir al mínimo la corrosión de las plantas. Dos métodos para eliminar estos gases produjeron el ritmo de corrosión (mm/año) que se representan a continuación: Método A: 0.3 0.7 0.5 0.8 0.9 0.7 0.8 Método B: 0.7 0.8 0.7 0.6.1 0.6 1.4.3 Estimar la relación de las variancias para los dos métodos de eliminación de gases ácidos con un intervalo de confianza del 90 %. Qué hipótesis se deben hacer para que sea válida la respuesta? (Los datos provienen de A.J. Kosseim et al, Chemical Engineersing Progress,80,1984,página 64.) Respuesta: [0.04, 0.365]
9.- Al probar 100 resistores que fabricó la compañía A se encuentra que 1 no cumplieron con las especificaciones de tolerancia. a) Determinar un intervalo de confianza de 95% para la fracción verdadera de los resistores que tienen fallas. Qué hipótesis son necesarias para que la respuesta sea válida? b) Se desea estimar la proporción verdadera que no cumple con las especificaciones de tolerancia, con una exactitud de 0.05 y un coeficiente de confianza de 0.95. Cuántos resistores se deben muestrear? Respuestas: [0.056, 0.184], 163. 10.- El Journal of communication, invierno de 1978, publicó un estudio con respecto a los programas de "violencia" vistos en televisión. Las muestras obtenidas de poblaciones con baja frecuencia de ver programas de televisión (10-19 programas por semana) y con una alta frecuencia (40-49 programas por semana), fueron divididas en grupos según la edad, y se anotó el número de personas, Y, que ven una gran cantidad de programas violentos. Los datos para dos grupos de edad se muestran en la tabla siguiente, en donde n i denota el tamaño de la muestra para cada clase. Si Y 1, Y, Y 3 y Y 4 tienen distribuciones binomiales independientes con los parámetros p 1, p, p 3 y p 4, respectivamente, encuentre un intervalo de confianza de 95% para ( p3 - p1 ) - ( p4 - p ). Esta función de las p i representa una comparación entre el cambio en costumbres de ver la televisión para adultos jóvenes y el cambio correspondiente para adultos mayores, al pasar de las personas con baja frecuencia hacia las personas con altas frecuencias de ver programas de televisión. (Los datos sugieren que la frecuencia de ver violencia en la televisión puede aumentar entre los adultos jóvenes, pero disminuir entre los adultos mayores.) Grupo de edad Frecuencias 16-34 55 y más baja y 1 = 0 n 1 = 31 y = 13 n = 30 alta y 3 = 18 n 3 = 6 y 4 = 7 n 4 = 8 Respuesta: [-0.1, 0.56] 11.- Un investigador ha preparado el nivel de dosificación de un fármaco que afirma que provocará sueño en por lo menos 80 % de las personas que padecen insomnio. Después de examinar la dosificación, se considera que su afirmación acerca de la efectividad del fármaco es exagerada. En un intento por refutar su afirmación se administra la dosificación prescrita a 0 personas que padecen insomnio, y se observa Y, el número de personas que se adormecen debido al fármaco. Se desea probar la hipótesis H 0 : p = 0.8 frente a la alternativa H a : p <0.8. Supóngase que se utiliza la región de rechazo { Y 1 }. a) Obtener. b) Obtener para p = 0.6. c) Obtener para p = 0.4. Respuesta: a) 0.03, b) 0.416 1.- El voltaje de salida en cierto circuito eléctrico debe ser igual a 130, según se especifica. Una muestra de 40 lecturas independientes para este circuito dió una media muestral de 18.6 y una desviación estándar de.1. Pruebe la hipótesis de que el voltaje de salida promedio es 130 frente a la hipótesis alternativa de que es menor que 130. Utilizar un nivel de significación de 5 %. Respuesta: H o Se rechaza. 13.- Unos cohetes determinados se fabrican con alcance de 500 metros. Teóricamente, se supone que el alcance se reduce después de haber estado almacenados durante algún tiempo. Seis de esos cohetes se almacenan durante un determinado período y, a continuación, se prueban. Los alcances que se determinan en las pruebas son los siguientes: 490, 510, 360, 410, 300 y 440. El alcance, es más corto después del almacenamiento? Probar en el nivel de significación de 1% Respuesta: H o no se rechaza. 14.- Se emplean dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16.0 onzas. El proceso de llenado puede suponerse normal, con desviaciones estándar de 1= 0.015 y = 0.018. Ingeniería de calidad sospecha que ambas máquinas llenan hasta el mismo volumen neto, sin importar que este volumen sea o no de 16.0 onzas. Se toma una muestra aleatoria de la salida de cada máquina.
Máquina 1 Máquina 16.03 16.01 16.0 16.03 16.04 15.96 15.97 16.04 16.05 15.98 15.96 16.0 16.05 16.0 16.01 16.01 16.0 15.99 15.99 16.00 a) Piensa usted que la ingeniería de calidad está en lo correcto? Utilizar = 0.05. b) Suponiendo tamaños de muestras iguales qué tamaño de muestra se utilizaría para asegurar que = 0.05 si la diferencia en medias reales es 0.075?. Suponer = 0.5 c) Cuál es la potencia de la prueba en el inciso (a) para una diferencia en medias reales de 0.075? Respuesta: b), c) prácticamente 1. 15.- Qué eficiencia en la combustión debe esperar el propietario de una residencia con un calentador de petróleo? El EPA (Environment News, enero de 1977) afirma que 80% o más es excelente, 75% a 79% es bueno, 70% a 74% mediano y menos de 70% es malo. Un contratista de calefacción para casas vende dos tipos de calentadores de petróleo (llamémosles A y B ) decidió comparar sus eficiencias promedio. Se hizo un análisis de las eficiencias para 8 calentadores del tipo A y 6 del tipo B. En la siguiente tabla se muestran los porcentajes de eficiencia para los 14 calentadores. Tipo A Tipo B 7 78 78 76 73 81 69 74 75 8 74 75 69 75 a) Presentan los datos evidencia suficiente para indicar una diferencia en la eficiencia media de los dos tipos de calentadores para casas? Encontrar el valor p aproximado para la prueba e interpretar su valor. b) Determinar un intervalo de confianza de 90% para ( - A B ) interpretar el resultado. Respuesta: a) H 0 se rechaza. b) [-7.588, -1.496] 16.- Un lote de cierta materia prima es muestreado al azar para efectuar inferencias sobre su peso. Se extrae una muestra de 10 elementos, obteniéndose un peso promedio igual a 14 [ g ], con una variancia insesgada de [ g ]. Se juzga que el peso de la materia prima X, se distribuye normalmente de manera cercana con N X, X. a) Obtener intervalos de confianza del 90% para la media, la desviación estándar y para la variancia de X. b) Determinar el tamaño de muestra necesario para que el error en la estimación de la media no exceda 0.5 [ g ]. c) Probar el valor de X = 13.5 g >13.5 g, en contra de la alternativa X empleando los valores de la muestra, con 1 - = 0.95 d) Si x = 14 g delimitara las regiones de aceptación y de rechazo de H 0 en la prueba del inciso anterior, cuánto valdría? e) Otro lote Y de materia prima se muestrea con n = 9, obteniéndose = 13 g = 3.75 g. Determinar si este lote se puede y y s y confundir con el anterior con un nivel de significancia del 1%. Respuesta: a) [13.10,14.81], [1.063, 5.4135], [1.03,.367] b) 34, c) H 0 no se rechaza. d) 0.14 17.- Se está investigando el diámetro de barras de acero manufacturadas en diferentes máquinas de extrusión. Se seleccionan dos muestras aleatorias de tamaño n1 = 13 y = 16, las medias y variancias de muestra son: n x1 = 8.73, s1 = 0.3 y x = 8.68, s = 0.34, respectivamente. a) Suponiendo que 1 =, construir un intervalo de confianza de dos colas del 95% respecto a la diferencia en los diámetros de barra medios. Explicar qué se puede concluir y por qué. b) Probar la hipótesis de que las variancias son iguales, contra la hipótesis de que son diferentes, a un nivel de significancia de %. Respuesta: [-0.3849, 0.4849], b) La hipóteis nula no se rechaza.
18.- Una encuesta Yankelovich, Skelly y White, que apareció el 30 de noviembre de 1984 dijo que el 54% de 07 personas entrevistadas pensaba que el sistema de impuestos al ingreso en los Estados Unidos era demasiado complicado. Se puede concluir con seguridad, al nivel de significación de 5%, de que la mayor parte de los norteamericanos piensan que el sistema de impuestos al ingreso es demasiado complicado en Estados Unidos? 19.- Se realizó un estudio para determinar si más italianos que estadounidenses prefieren la champagne blanca que la rosada en las ceremonias nupciales. De los 300 italianos seleccionados al azar, 7 prefirieron la champagne blanca, y de los 400 estadounidenses seleccionados, 70 la prefirieron en lugar de la rosada. Puede concluirse que una proporción más alta de italianos que estadounidenses prefiere la champagne blanca en las ceremonias nupciales? Utilizar un nivel de significancia de 0.05 Respuesta: Se rechaza la hipótesis nula. 0.- Para cierto estudio de una cadena de televisión, se realizó un muestreo aleatorio para determinar la forma en la que se distribuye el tiempo que una persona ve la televisión por semana. Se desea probar la hipótesis de que el número de horas que una persona ve la televisión a la semana tiene una distribución normal. Los datos y cálculos parciales para realizar la prueba son los siguientes: Horas que ven televisión a la semana Número de personas observada Número de personas esperadas [ 0, 10 ) 7 4. [ 10, 0 ) 5 5.14 [ 0, 30 ) 66 63.14 [ 30, 40 ) 58 63.14 [ 40, 50 ) 4 5.14 [ 50, ) 5 4. 185 a) Determinar los valores de 0 y 0 bajo los cuales se debe realizar la prueba. b) Plantear las pruebas de hipótesis nula y alterna y concluir la prueba. Utilizar = 0.1. Respuesta: a) 30, 1; b) La hipótesis nula no se rechaza. 1.- Los siguientes datos representan el número de horas de estudio ( x ) y la calificación obtenida ( y ) en un examen para una muestra de 6 estudiantes. Estudiante A B C D E F Horas 1 4 4 7 1 Calificación 71 71 74 80 80 86 a) Representar los datos en un diagrama de dispersión. b) Ajustar a los datos un modelo lineal de regresión empleando el criterio de mínimos cuadrados. c) Si estudia 5 horas, cuál calificación esperaría? d) Calcular la covariancia y el coeficiente de correlación. Interpretar los resultados de la relación de las variables. Respuesta: c) 77, d) r=0.95.- La revista motor Trend presenta con frecuencia datos de rendimiento para automóviles. La tabla siguiente muestra el rendimiento de gasolina por kilometro y el cilindraje del motor para 15 automóviles
Kilómetros litro, y Desplazamiento, x ( pulgadas cúbicas 18.9 350 17.0 350 0.0 50 18.5 351 0.07 5 11.0 440.1 31 1.47 6 30.40 96.9 16.50 350 14.39 500 16.59 400 19.73 318 13.9 351 16.5 350 a) Ajustar a un modelo de regresión lineal que relacione los kilómetros recorridos con el cilindraje del motor. b) Probar la significación de la regresión. (Utilizar la prueba F y = 0.1 ) c) Qué porcentaje de la variabilidad total en los kilómetros recorridos explica el modelo? d) Obtener un intervalo de confianza del 90% de la media de kilómetros recorridos si el cilindraje es de 75 pulgadas cúbicas. ) y x1 x x3 x4 40 5 4 91 100 36 31 1 90 95 90 45 4 88 110 74 60 5 87 88 301 65 5 91 94 316 7 6 94 99 300 80 5 87 97 96 84 5 86 96 67 75 4 88 110 76 60 5 91 105 88 50 5 90 100 61 38 3 89 98 Ajustar el modelo de regresión múltiple a estos datos. Respuesta: -10.7+0.605x 1 +8.9x +1.44x 3 +0.014x 4 4.- Los auditores deben comparar muchas veces el valor revisado (o actual) de un artículo del catálogo de inventario con el valor en los libros (o nominal). Si una compañía tiene su inventario y sus libros al día, debe existir una gran relación entre los valores revisados y los nominales. Una muestra de diez artículos del catálogo de cierta compañía dio los datos siguientes acerca de los valores revisados y valores nominales. Ajustar el modelo Y = 0 + 1 x + a través de estos datos. Cuál es su estimación para el cambio esperado en el valor revisado para un cambio de una unidad en el valor nominal? Si el valor nominal es x = 100, qué utilizaría para estimar el valor revisado? 3.- Se piensa que la energía eléctrica que consume una planta química se relaciona con la temperatura ambiental promedio, el número de días en el mes x, y las toneladas del producto producido x4.se disponen los datos históricos al año pasado y se presentan en la siguiente tabla. x1
Valor Artículo revisado, y i Valor nominal, x i 1 9 10 a) Presentan los datos suficiente evidencia para indicar que la pendiente 1 difiere de cero? Realizar la prueba con = 0.05 b) Obtener un intervalo de confianza del 95% para 1. Respuesta: Sí, - 0.967, - 0.33 14 1 3 7 9 4 9 7 5 45 47 6 109 11 7 40 36 8 38 41 9 60 59 10 170 167 Respuesta: ŷ = 0.7198 +0.99139 x 5.- Sean los siguientes datos de x y y. x y 3 - -1 1 0 1 1 0.5