APLICACIÓN DEL STATISTICAL ARBITRAGE A LA

APLICACIÓN DEL STATISTICAL ARBITRAGE A LA SELECCIÓN DE UN PORTAFOLIO DE PARES BASADO EN COINTEGRACIÓN PARA MERCADOS EMERGENTES Área de invesigación: Finanzas Daniel Ulises Urruia Marínez Escuela Superior de Economía Insiuo Poliécnico Nacional México danielulises.urruia@gmail.com Agusín Cabrera Llanos Unidad Profesional Inerdisciplinaria de Bioecnología Insiuo Poliécnico Nacional México aicllbuda@yahoo.com Francisco Oriz Arango Escuela de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad Panamericana México forizar@up.edu.mx

APLICACIÓN DEL STATISTICAL ARBITRAGE A LA SELECCIÓN DE UN PORTAFOLIO DE PARES BASADO EN COINTEGRACIÓN PARA MERCADOS EMERGENTES Resumen El rabajo planea la aplicación del análisis de Coinegración basado en un modelo de Saisical Arbirage Trading para la idenificación de acivos que puedan ser empleados en una esraegia de Trading por Pares para Mercados Emergenes, a fin de obener un Spread con reversión a la media que permia obener señales de enrada y salida válidas, basadas en inervalos de confianza. Se uilizan dos ETFs doblemene inversos (-2x), el ProShares UlraShor FTSE China 25 (FXP) el cual es un ETF doble inverso sobre el índice FTSE 25 de China, y el ProShares UlraShor MSCI Emerging Markes (EEV) que después de gasos y comisiones ofrece dos veces el inverso adiivo del rendimieno diario del MSCI Emerging Markes Index, además se emplea al ishares MSCI Emerging Markes (EEM) que replica al 100% el índice MSCI Emerging Markes Index como Benchmark de la esraegia planeada, considerando daos diarios de Dic-2008 a Abr-2013. Para periodos de 120 días se obiene un desempeño acumulado de 14.2% con un índice de Sharpe de 3.22; en 252 días la esraegia muesra un desempeño acumulado de 11.2% con un Sharpe de 2.84, favorable con respeco a su Benchmark que obuvo rendimienos acumulados de 0.28% y - 1.79% en el mismo periodo respecivamene. Palabras clave. Saisical Arbirage, Trading por Pares, Coinegración

APLICACIÓN DEL STATISTICAL ARBITRAGE A LA SELECCIÓN DE UN PORTAFOLIO DE PARES BASADO EN COINTEGRACIÓN PARA MERCADOS EMERGENTES 1. Inroducción Pole (2007) planea que el érmino Saisical Arbirage involucra una gran variedad de esraegias las cuales comparen algunas caracerísicas pariculares. Todas ellas, esán basadas en i) algún modelo de decisión esadísico que permia generar rendimienos superiores al mercado, ii) buscan ener su libro de Trades Neural al Mercado 1 es decir busca no correlacionarse con el mercado y iii) las señales de rading arrojadas son sisemáicas. Thorp (2008) define al Saisical Arbirage como un Par de posiciones que se compensan la una a la ora de forma que logran obener ganancias seguras al momeno de efecuar el rading. Denro de las múliples esraegias que involucra el Saisical Arbirage, se encuenra el Trading por Pares o Pair Trading, la cual según Gaev, Goezmann y Rouwenhors (2006), Vidyamurhy (2004) y Pole (2007) 2 es una de las esraegias de especulación a coro plazo más populares en Wall Sree, y se ha converido en una de las herramienas de rading más empleada por los Hedge Funds 3 y Bancos de Inversión 4. El Trading Por Pares no es nuevo, es una esraegia que daa desde 1949 y que además se encuenra esrechamene involucrada con la creación del primer Hedge Fund. Según Wolfinger (2005) Alfred Winslow Jones fue el creador del primer Hedge Fund, cuya esraegia de inversión se caracerizaba por el empleo inensivo del apalancamieno a ravés de emplear posiciones accionarias largas y coras en exacamene los mismos monos, consiguiendo reducir de forma significaiva los riesgos de mercado y además obeniendo ganancias subsanciales y más o menos consanes del rade, siendo el anecedene más aniguo del Pair Trading. Thorp (2008) planea que en 1979, se avocó al diseño de un indicador que se conformara por las acciones de peor y mejor desempeño hisórico en un horizone deerminado. La idea cenral fue ordenar las acciones en función de su rendimieno promedio de dos semanas, con ello se obuvo que aquellas acciones con mejor desempeño endían a bajar su rendimieno en las siguienes semanas y aquellas con peor rendimieno endían a mejorarlo. De esa forma consruyó una esraegia denominada Mos Up, Mos Down, que consisía en omar posiciones largas en aquellas acciones con la mejor perspeciva en su desempeño, y ponerse coro en aquellas con el peor desempeño, obeniendo con ello una esraegia neural al mercado. 1 Un Libro de Trades Neural al Mercado busca obener beneficios de cualquier endencia y condición del mercado, endencia alcisa, bajisa o movimienos laerales. De forma que cuando exisa un movimieno lo suficienemene brusco la esraegia permiirá que los beneficios se coloquen cercanos a cero y de esa forma se oorgue una coberura al inversionisa. 2 Id. 3 McCrary (2002) y Wolfinger (2005), define a un Hedge Fund (Fondo de Coberura) como un vehículo de inversión coleciva similar en su operaividad a una Sociedad de Inversión Común, pero con la caracerísica de que consiuido de forma privada, generalmene manejado por Inversionisas Insiucionales, con esraegias caracerizadas por su carácer cuaniaivo y flexibilidad para seleccionar esraegias, acivos y emplear herramienas que no ienen disponibles los Adminisradores de Porafolio radicionales. 4 Se refiere a un segmeno de la Banca que se oriena a la aención de clienes individuales, corporaivos y gubernamenales para la emisión y vena de valores en el Mercado, es decir funge como agene colocador, oorga consuloría en maeria de fusiones y adquisiciones y acúa como formador de mercado en operaciones con derivados, deuda, divisas, acciones y commodiies.

Gaev, Goezmann y Rouwenhors (2006) 5 planean que el Pair Trading se refinó y popularizó a mediados de los años 80 s, cuando el Quan Nunzio Taraglia conforma un equipo de físicos, maemáicos y experos en análisis compuacional con el objeivo de idenificar oporunidades de arbiraje en los mercados de capial. El llamado Taraglia Group denro de Morgan Sanley, diseñó un sisema de rading auomaizado que incorporaba la habilidad e inuición de los raders para idenificar oporunidades de arbiraje y lo empaqueo en un conjuno de reglas simples de decisión que les permiía idenificar Pares de acciones cuyos precios se movían conjunamene. Mediane el empleo de dicha esraegia lograron obener en 1987 beneficios por $50 millones de dólares, Gerry Bamberger quien era pare del Taraglia Group fue el responsable de popularizar el Pair Trading y de implemenarlo a ravés de la modelación cuaniaiva y la ejecución compuacional basada en reglas de decisión 6. Thomaidis, Kondakis y Dounias (2006), Gaev, Goezmann y Rouwenhors (2006) 7, Vidyamurhy (2004) 8, Pole (2007) 9, Alexander y Dimiriu (2002), Alexander, Giblin y Weddingon (2002) y Avellaneda y Lee (2008) coinciden en definir al Pair Trading como una esraegia que consise en idenificar dos acivos con una rayecoria de precios muy similar. Si los precios de los acivos se mueven conjunamene, se asume que el Spread enre esos, su disancia relaiva, presena reversión a la media. Cuando el precio de uno de los acivos se incremena de relaivamene con respeco al precio del par, la esraegia sugiere ponerse coro en el acivo sobrevaluado y ponerse largo en el acivo subvaluado de forma simulánea. De esa forma el porafolio consruido por pares mosrará un comporamieno muy disane con respeco al desempeño del mercado, o al menos con respeco a esraegias de inversión radicionales que consisen en omar pociones largas sobre las ganadoras, por ano el Trading por Pares generalmene mosrará un desempeño favorable mienras el mercado en general experimena grandes pérdidas. El Trading por Pares ha desperado un gran inerés en la lieraura en recienes años, con lo cual se han generado un sinfín de meodología para la idenificación de los pares y la consrucción de reglas de decisión del rading day. Sin embargo, el presene rabajo planea la aplicación del análisis de Coinegración basado en un modelo de Saisical Arbirage Trading para la idenificación de acivos que puedan ser empleados en una esraegia de Trading por Pares para Mercados Emergenes, a fin de obener un Spread con reversión a la media que proporcione señales de enrada y salida válidas, basadas en inervalos de confianza. Se uilizan dos ETFs doblemene inversos (-2x), el ProShares UlraShor FTSE China 25 (FXP) el cual es un ETF doble inverso sobre el índice FTSE 25 de China, y el ProShares UlraShor MSCI Emerging Markes (EEV) 10 que después de gasos y comisiones ofrece dos veces el inverso adiivo del rendimieno diario del MSCI Emerging Markes Index, además se emplea al EEM que replica al 100% del índice MSCI Emerging 5 Id. 6 Para ahondar en información adicional sobre las caracerísicas e hisoria del Pair Trading se sugiere consular hp://www.pairradefinder.com/pairtrading.pdf 7 Loc.Ci 8 Loc.Ci. 9 Loc.Ci 10 El FXP y EEV son gesionados por la empresa ProShares quien se especializa en el diseño de ETF apalancados e inversos y comunes como insrumenos esraégicos de rading para esraegias de inversión long-shor para una mayor información sobre sus producos se puede consular hp://www.proshares.com/

Markes Index como Benchmark de la esraegia planeada, considerando daos diarios de Dic-2008 a Abr-2013. El diseño de la esraegia se encuenra programado en MATLAB y las pruebas economéricas realizadas para la selección de pares se efecuaron con la ayuda de E-Views. 2. Meodología de la Esraegia. La esraegia de rading planeada esará basada en la meodología propuesa por Avellaneda y Lee (2008) y Thomaidis, Kondakis y Dounias (2006), además de aplicar la écnica de coinegración sobre el spread de los dos acivos seleccionados planeadas en los rabajos de Engle y Granger (1987), Burgess (2000), Vidyamurhy (2004) y Gaev, Goezmann y Rouwenhors (2006). Para cada uno de los acivos se consruyen los Rendimienos Acumulados o base cero para periodos individuales de iempo: 1 R S S 1, 1,2,... N 1 R ( k) (1 R )(1 R )...(1 R ) 1 k 1 (1), 1,2,... N (2) k 1 i, k 1 i 1, 1,2,... N (3) 1 R ( k ) (1 R ) Donde S es el precio del acivo, R es el rendimieno del acivo en el periodo. La Gráfica 1 muesra el Rendimieno Acumulado base cero a res años de los ETF EEM, FXP, EEV, de esa puede concluirse que de haberse inverido $100,000 US el 16 de abril de 2010 en cual quiera de esos ETF, al 16 de abril de 2013 se endrían $101,410 US. De esa forma es posible idenificar una posible relación enre los precios de los acivos y de manera gráfica se observa el movimieno conjuno de esos.

Gráfica 1: Rendimieno Acumulado base cero de res años de EEV,FXP,EEM (Abr-10 a Abr-2013) Poseriormene se obienen los rendimienos logarímicos conocidos como rendimienos compuesos coninuamene si P ln( S) es el precio logarímico de un ETF y es pequeña, enonces los Rendimienos Coninuamene Compuesos son aproximadamene iguales a los Rendimienos Efecivos ln(1 R) R. S S 1 ln(1 ) ln 1 r R P P, 1,2,... N (4) Si se iene que P es la serie de precios del FXP y Q es la serie de precios para el EEV, se comienza el análisis planeando el siguiene modelo para inenar enconrar la correlación enre el rendimieno de los acivos: P Q ln ln X p Q 1 1 (5)

P Q ln -0.0005437 0.868583ln X p Q 1 1 De esa forma es posible apreciar que exise una correlación posiiva enre los rendimienos logarímicos del FXP y el EEV significaiva a un 95% de confianza, además esa relación es esrechamene fuere pues se obuvo un R 2 de 84.88%, lo cual nos indica en una primera insancia que exise un movimieno conjuno enre el par seleccionado. Como lo muesra la Gráfica 2 es posible apreciar pequeñas desviaciones posiivas y negaivas con respeco al rendimieno de equilibrio del par. (6) Gráfica 2: Diagrama de dispersión enre rendimieno logarímico EEV y FXP Se efecúa la prueba de coinegración de Engel y Granger (1987) con consane de forma que se logre verificar que exise coinegración enre los pares seleccionados, obeniendo que efecivamene se cumple esa condición con base en ello es posible asumir que exise reversión a la media enre esos dos acivos, es decir que en algún periodo del iempo convergerán sus precios y sus rendimienos. Ver Tabla 1.

Dependiene au-saisic Prob.* z-saisic Prob.* REEV -35.412 0.000-1159.886 0.000 RFXP -34.187 0.000-1121.580 0.000 Tabla 1: Resulados Prueba de coinegración Engel y Granger (1987). Una vez corroborado que el par funciona y presena relaciones de largo plazo enre sus rendimienos acumulados, y que además es posible asumir la exisencia de un proceso de reversión a la media, se procede a consruir el Spread sobre el cual se fijarán las reglas de rading. Se asume que exise una relación enre los vecores de precios P y Q la cual saisface la siguiene ecuación: P Q X (7) Que en su forma diferencial saisface un proceso dinámico esocásico: dp d dq dx (8) Donde indica la pare sisemáica de la ecuación, X son los residuos o la pare ' idiosincráica de la ecuación definidos como X P P, siendo esacionarios y un proceso de reversión a la media por consrucción, de forma que puede ser como un indicador que capura las desviaciones emporales del precio relaivo enre P y Q con respeco a su precio de equilibrio, es la razón de coberura o Hedge Raio, el cual indica la canidad de acciones que se deben adquirir de Q para cubrir una posición de una unidad en P y cuyo signo + o - indica si se raa de una posición larga o una posición cora. Todos los parámeros de la ecuación fueron calculados a ravés de una regresión simple mediane Mínimos Cuadrados Ordinarios. Se efecúa el cálculo de los parámeros para 120 y 252 días, se obiene que para 252 días hay un Hedge Raio =1.1683, que indica que por cada acción que compre del acivo P comprare ese número de acciones de Q para cubrir la posición, eniendo posición larga en los dos acivos al inicio de la esraegia. Para 120 días se obiene un Hedge Raio =1.2010. Además de esa ecuación se exrae la serie de residuos X, que se empleará para formar las reglas de rading. Además el modelo asume que la flucuación de los precios del par, definido como un Spread enre el precio relaivo de P y Q puede ser esimado fácilmene a ravés de un modelo paramérico para X, a ravés de un proceso Ornsein- Uhlenbeck con la siguiene forma: dx ( X ) d dw, 0 (9) 1

En donde dx X X 1, y el proceso resula esacionario y auorregresivo de orden 1, es decir es calibrado a ravés de un modelo AR-1 y es obenido a ravés de la media ariméica de X : 1 N X, 1,2,..., N N 1 (10) En paricular dx X X 1 posee una media no condicional de cero y una media E dx X ( X ) d, y donde los parámeros de la ecuación condicional igual a 1 diferencial esocásica varían en función de los incremenos en el érmino de perurbación esocásico dw. Todos los parámeros fueron calculados mediane Mínimos Cuadrados Ordinarios. Gráfica 3: Simulación a 100 pasos de Porceso O-U FXP v.s. EEV A ravés del proceso de reversión a la media es posible el cálculo de un indicador medio de rebalanceo del porafolio, que esima el promedio de días en que el Spread X reorna a su valor de equilibrio y es necesario cambiar el signo de las posiciones, para ello se emplea la log(2) fórmula c, obeniendo que para la venana de 252 días, el porafolio de pares presena reversión a la media cada 31 días en promedio, mienras que para la venana de 120 día el Spread presena reversión a la media cada 20 días. A fin de corroborar que X sea un proceso esacionario que sigue un proceso Ornsein Uhlenbeck como el modelado aneriormene, se emplea la prueba Dickey-Fuller

Aumenada, la cual permie conocer cuando un proceso esocásico es esacionario en función de las raíces de la ecuación caracerísica la cual se denoa como: p X X u (11) i i 1 En donde la prueba de hipóesis que se planea es : Ho : 0 H1: 0 Si 0 enonces la serie es no esacionaria y presena raíces uniarias y por lo ano no seguiría un proceso de reversión a la media, en consecuencia el Spread formado no sería apo para el Trading y se deberían cambiar los acivos que lo formaron, efecuada la prueba se obiene que el Spread formado no presena raíz uniaria y por lo ano es esacionario. Ver Tabla 2. (12) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic -4.888075 0.0000 Tes criical values: 1% level -2.567145 5% level -1.941122 10% level -1.616498 Tabla 2: Prueba Dickey-Fuller Aumenada para el Spread Enfocados en el proceso X es posible esablecer inervalos de confianza que permian la consrucción de la reglas de rading que se incorporarán al sisema, el inervalo superior esá definido como Z n y el inervalo inferior esá definido como Z n, donde n es un inervalo enre 1 y 0 y es la desviación ípica de los residuos denoada como: N 1 2 ( X ) N 1 (13)

De esa forma las reglas de rading quedan definidas como : Comprar el Spread si: X Z Vender el Spread si: X Z Ese es el crierio esándar para reglas de rade adopado por la mayoría de los esudios, el inervalo permanece consane denro de la venana de rade que sea escogida. 3. Resulados de la Esraegia. Se planea que en la venana de 120 días el porafolio de pares esá formado por Z P 1.2010Q X, es decir inicialmene compro el Spread res veces, me encuenro largo en FXP y coro en EEV por 1.20 acciones, aproximadamene cada 20 días exise un rebalanceo de las posiciones, para el día 40 se aprecia que mi posición pasó a ser neural por las condiciones de mercado y el fondo sólo obuvo Cash en su inerior, para el día 60 exisió un rebalanceo y ahora me encuenro largo 1.20 acciones en EEV y coro 1 acción en FXP, para el día 100 se vuelve a la posición inicial. La esraegia planeada en 120 días obuvo un desempeño acumulado del 14.2% neo, quiando cosos de ransacción por rade del 0.05%, y un índice de Sharpe de 3.22 lo cual indica que la esraegia es rediuable en el coro plazo. Por oro lado el rendimieno acumulado del Benchmark para 120 días fue de 0.28%.Ver Gráfica 4. Gráfica 4: Esraegia Pair Trading 120 días Se planea que en la venana de 252 días el porafolio de pares esá formado por Z P 1.1683Q X, es decir inicialmene compro mi Spread durane 120 días al

menos, me encuenro largo en FXP y coro en EEV por 1.16 acciones, aproximadamene cada 31 días exise un rebalanceo de las posiciones, para el día 130 se aprecia que mi posición pasó a ser neural por las condiciones de mercado y el fondo sólo obuvo Cash en su inerior, para el día 160 exisió un rebalanceo y ahora me encuenro largo 1.16 acciones en EEV y coro 1 acción en FXP, para el día 220 la posición se vuelve neural. La esraegia planeada en 252 días obuvo un desempeño acumulado del 11.2% neo, quiando cosos de ransacción por rade del 0.05%, y un índice de Sharpe de 2.84 lo cual indica que la esraegia es rediuable en un año de rade. Mienras que el rendimieno del EEM propueso como Benchmark para ese periodo fue de -1.79%. Ver Gráfica 5. 4. Conclusiones. Gráfica 5: Esraegia de Trading 252 días. La esraegia propuesa resula rediuable en el coro plazo, y permie ser implemenada como una esraegia de gesión aciva no correlacionada con el mercado. Para fuuros rabajos se planea la inclusión de Ineligencia Arificial para la ejecución de las señales de Trading. La elaboración de un inervalo de Trading dinámico, así como la esimación de un Hedge Raio dinámico a ravés de Filros de Kalman, Finalmene se considera el empleo de daos de ala frecuencia y un parámero de esimación de efecivo en el porafolio y los picos de efecivo que va dejando el Hedge Raio con cada operación.

5. Bibliografía Alexander, C & Dimiriu, A. (2002). Coinegraion-based rading sraegies: A new approach o enhanced index racking and saisical arbirage. Discussion Paper 2002-08, ISMA Cenre Discussion Papers in Finance Series. Alexander, C, Giblin, I, & Weddingon, W.(2002). Coinegraion and asse allocaion: A new acive hedge fund sraegy. Discussion Paper 2003-08, ISMA Cenre Discussion Papers in Finance Series. Avellaneda, M., & Lee, J., (2008). Saisical Arbirage in he U.S. Equiies Marke. Quaniaive Finance, 10: 61-782. Burgess, N. (2000). Saisical arbirage models of he FTSE 100. Abu-Mosafa, Y., LeBaron, B., Lo, A. W., and Weigend, A. S., (eds.). Compuaional Finance (1999). The MIT Press. 297 312. Engle, R. F. & Granger, C. W. J. (1987). Co-inegraion and error correcion: Represenaion, esimaion, and esing. Economerica. 55:251 276. Gaev, E., Goezmann, W., & Rouwenhors, K. (2006). Pairs rading: performance of a relaive-value arbirage rule. The Review of Financial Sudies, 19(3):797 827. Thomaidis, N. S., Kondakis, N., & Dounias, G. (2006). An inelligen saisical arbirage rading sysem. Lecure Noes in Arificial Inelligence. 3955:596 599. Pole, A. (2007). Saisical arbirage: algorihmic rading insighs and echniques. New Jersey: Wiley. Thorp, E., (1967). Bea he Marke: A scienific Sock Marke Sysem. Random House. New York: Random House. Thorp, E., (2008). Saisical Arbirage Par I. Wilmo Magazine. hp://www.wilmo.com/pdfs/080617_horp.pdf Vidyamurhy, G. (2004). Pairs rading: quaniaive mehods and analysis. New Jersey: Wiley. Wolfinger, D. (2005). Creae Your Own Hedge Fund: Increase Profis and Reduce Risks wih ETFs and Opions. New Jersey: Wiley.