MODULACIÓN DE AMPLITUD

CAPÍTULO SIETE MODULACIÓN DE AMPLITUD 7. Inroduión Ahora nos ouparemos de la ransmisión de mensajes formados por señales oninuas (analógias). Cada señal de mensaje se seleiona de un número infinio de formas de onda posibles. Por ejemplo, en la ransmisión de radio y elevisión se iene un número infinio de mensajes posibles y no odas las formas de ondas son onoidas. Esa oleión de mensajes y formas de ondas puede ser modelada onvenienemene mediane proesos aleaorios oninuos, en donde ada funión miembro del proeso aleaorio orresponde a una forma de onda del mensaje. Para el análisis se define la ransmisión de señales analógias omo la ransmisión por un anal dado de una señal () de pasabajas, arbiraria y de energía finia. En algunos asos omaremos a () omo una señal de un solo ono (sinusoidal o de poenia). Si el anal es de pasabajas por nauraleza, la señal de pasabajas poradora de la informaión (o señal del mensaje) puede ransmiirse por el anal sin modifiaiones. Esa lase de ransmisión se onoe omo omuniaión en la banda base. La ransmisión de esa señal por un anal de omuniaiones de pasabandas, omo una línea elefónia o un anal saelial, requiere una adapaión obenida mediane un orrimieno de la banda de freuenias onenidas en la señal a ora banda de freuenias adeuada para la ransmisión. Ese orrimieno o raslaión se alanza mediane el proeso onoido omo modulaión. La modulaión es una operaión realizada en el ransmisor para obener una ransmisión efiiene y onfiable de la informaión y onsise en la variaión sisemáia de algún aribuo de una onda poradora o modulada, omo por ejemplo la ampliud, la fase o la freuenia, de auerdo on una funión de la señal del mensaje o señal moduladora. Aunque hay muhas énias de modulaión, es posible idenifiar dos ipos básios de ellas: la modulaión de onda poradora oninua (OC) y la modulaión de pulsos. En la modulaión OC, la onda poradora es oninua (usualmene una onda sinusoidal), y se ambia alguno de sus parámeros proporionalmene a la señal del mensaje. En la modulaión de pulsos, la onda poradora es una señal de pulsos (on freuenia una onda de pulsos) y se ambia un parámero de ella en proporión a la señal del mensaje. En ambos asos, el aribuo de la poradora puede ser ambiado en una forma oninua o disrea. La modulaión de pulsos disreos (digial) es un proeso disreo y es espeialmene apropiado para mensajes que son disreos por nauraleza, omo, por ejemplo, la salida de un eleipo. Sin embargo, on la ayuda del muesreo y la uanizaión, se pueden ransmiir señales del mensaje que varían oninuamene (analógias) usando énias de modulaión digial. La modulaión, además de usarse en los sisemas de omuniaión para adapar las araerísias de la señal a las araerísias del anal, ambién se uiliza para reduir el ruido y la inerferenia, para

380 ransmiir simuláneamene varias señales por un mismo anal y para superar limiaiones físias en el equipo. El análisis de Fourier se adapa eremadamene bien para el análisis de señales moduladas; ese esudio es el objeivo prinipal de ese apíulo. 7.. Neesidad de la Modulaión Anes de omenzar una disusión uaniaiva de sisemas de modulaión, se eaminarán las venajas de usar señales moduladas para la ransmisión de informaión. Ya hemos menionado que se requiere modulaión para adapar la señal al anal. Sin embargo, esa adapaión involura varios aspeos imporanes que mereen una epliaión adiional. Modulaión para Failidad de Radiaión. Si el anal de omuniaión onsise del espaio libre, enones se neesian anenas para radiar y reibir la señal. La radiaión eleromagnéia efiiene requiere de anenas uyas dimensiones sean del mismo orden de magniud que la longiud de onda de la señal que esá siendo radiada. Muhas señales, inluyendo las de audio, ienen omponenes de freuenia que llegan a 00 Hz o menos. Para esas señales, serían neesarias anenas de alrededor de 300 Km de longiud si la señal se fuese a radiar direamene. Si se usa modulaión para imprimir la señal del mensaje sobre una poradora de ala freuenia, digamos a 00 MHz, enones las anenas no neesian ener una longiud de más de un mero (longiud ransversal). Modulaión para Conenraión o Mulianalizaión. Si más de una señal usa un solo anal, la modulaión puede usarse para rasladar diferenes señales a posiiones esperales diferenes permiiendo así al reepor seleionar la señal deseada. Las apliaiones de la onenraión ( mulipleing en inglés) inluyen la elemería de daos, radiodifusión FM esereofónia y elefonía de larga disania. Modulaión para Superar Limiaiones en el Equipo. El rendimieno de los disposiivos de proesamieno de señales ales omo filros y amplifiadores, y la failidad on la ual esos disposiivos pueden onsruirse, depende de la siuaión de la señal en el dominio de la freuenia y de la relaión enre las freuenias más ala y más baja de la señal. La modulaión puede ser usada para rasladar la señal a una posiión en el dominio de la freuenia donde se umplan fáilmene los requerimienos de diseño. La modulaión ambién puede usarse para onverir una señal de banda anha (una señal para la ual la relaión enre la freuenia mayor y la menor es grande) en una señal de banda angosa. Oasionalmene, en apliaiones de proesamieno de señales, la banda de freuenias de la señal a proesar y la banda de freuenias del aparao proesador pueden no adaparse. Si el proesador es elaborado y omplejo, puede ser mejor dejar que opere en alguna banda de freuenias fija y, más bien, rasladar la banda de freuenias de la señal para que se orresponda on esa banda fija del equipo. La modulaión puede usarse para obener esa raslaión de freuenias.

38 Modulaión para Asignaión de Freuenias. La modulaión permie que varias esaiones de radio o elevisión se ransmian simuláneamene on freuenias poradoras diferenes y permie sinonizar diferenes reepores para seleionar esaiones diferenes. Modulaión para Reduir el Ruido y la Inerferenia. El efeo del ruido y la inerferenia no pueden ser eliminados ompleamene en un sisema de omuniaión. Sin embargo, es posible minimizar sus efeos usando ieros ipos de esquemas de modulaión. Esos esquemas generalmene requieren un anho de banda de ransmisión muho mayor que el anho de banda de la señal del mensaje. Por esa razón se inerambia anho de banda por reduión de ruido un aspeo imporane del diseño de sisemas de omuniaión. 7. Tipos de Modulaión Analógia Los ipos básios de modulaión analógia son la modulaión de onda oninua (OC) y la de pulsos. En la modulaión de onda oninua, se usa una señal sinusoidal () = A os( ω +φ ) omo una señal poradora. Enones una señal poradora modulada general puede ser represenada maemáiamene omo [ ] () = A()os ω +φ(), ω = π f (7.) En la E. (7.), f se onoe omo la freuenia poradora, A() es la ampliud insanánea de la poradora y φ() es el ángulo o desviaión de fase insanánea de la poradora. Cuando A() esá relaionada linealmene on la señal del mensaje (), el resulado es modulaión de ampliud. Si φ() o su derivada esá linealmene relaionada on (), enones enemos modulaión de fase o de freuenia. Se usa el nombre omún de modulaión angular para denoar ano la modulaión de fase omo la de freuenia. Mienras la modulaión es el proeso de ransferir informaión a una poradora, la operaión inversa de eraer la señal poradora de la informaión de la poradora modulada se onoe omo demodulaión. Para diferenes ipos de esquemas de modulaión onsideraremos diferenes méodos de demodulaión y supondremos que la demodulaión se hae en la ausenia de ruido. El efeo del ruido sobre la alidad de la señal de salida de diferenes méodos de ransmisión modulada será el objeivo de la disusión en un apíulo poserior. En el análisis de los esquemas de modulaión OC se presará muha aenión a res parámeros imporanes: la poenia ransmiida, el anho de banda de ransmisión y la omplejidad del equipo para modular y demodular. Esos parámeros, juno on la alidad de la señal de salida en la presenia de ruido, proporionarán la base para la omparaión de diferenes esquemas de modulaión. En la modulaión de pulsos, un ren periódio de pulsos oros aúa omo la señal poradora. 7.3 Transmisión de Señales de Banda Base Analógias Los sisemas de omuniaión en los uales ourre la ransmisión de señales sin modulaión se denominan sisemas de banda base. En la Fig. 7. se muesran los elemenos funionales de un sisemas de omuniaión de banda base. El ransmisor y el reepor amplifian la poenia de la señal

38 y realizan las operaiones de filrado apropiadas. En el sisema no se ejeuan operaiones de modulaión ni demodulaión. El ruido y la disorsión de la señal debidos a las araerísias no ideales del anal haen que la señal de salida y() sea diferene de la señal de enrada (). Ahora se idenifiarán diferenes ipos de disorsión, sus ausas y las uras posibles. En un apíulo poserior se disuirán los efeos del ruido sobre la alidad de la señal y el diseño ópimo del ransmisor y reepor que minimiza esos efeos. Ruido () a Señal de enrada Transmisor Canal H (f) Reepor b Señal de salida + ruido Figura 7. Un sisema de omuniaión de banda base. 7.3. Disorsión de la Señal en la Transmisión en la Banda Base Se die que la señal de salida y() no esá disorsionada si se paree a la señal de enrada (). Más espeífiamene, si y() difiere de () por una onsane de proporionalidad y un reardo emporal finio, enones se die que la ransmisión no esá disorsionada. Es deir, y () = K( d ) (7.) para ransmisión sin disorsión. La onsane K es la aenuaión y d es el reardo emporal. La pérdida de poenia en la ransmisión es 0 log0 K y en la Tabla se dan valores ípios de pérdidas de ransmisión para varios medios. El requisio para ransmisión sin disorsión epresado por la E. (7.) puede umplirse si la funión de ransferenia oal del sisema enre los punos a y b en la Fig. 7. es H( f ) = Kep ( j π f ) para f < f (7.3) donde f es el anho de banda de la señal en la banda base. Si suponemos que el ransmisor y el reepor no produen disorsión de la señal, enones la respuesa del anal iene que saisfaer para una ransmisión sin disorsión. d H ( f ) = Kep ( j π f ) para f < f (7.4) La ondiión dada por la E. (7.4) es basane fuere y, en el mejor de los asos, los anales reales sólo pueden saisfaer esa ondiión aproimadamene. Por ello, siempre ourrirá algo de disorsión en la ransmisión de señales aunque se puede minimizar mediane un diseño apropiado. Un enfoque onveniene para minimizar la disorsión de una señal es idenifiar diferenes ipos de disorsión e inenar minimizar sus efeos dañinos por separado. d

383 Tabla. Valores ípios de pérdidas de ransmisión Medio de Transmisión Freuenia Pérdida, db/km Par de alambres (0.3 m de diámero) khz 0.05 Par de alambres renzados (alibre 6) Cable oaial ( m de diámero) 0kHz 00 khz 300kHz 00 khz MHz 3 MHz 3 6 4 Cable oaial (5 m de diámero) 00 MHz.5 Guía de onda reangular (5.5 m) 0 GHz 5 Guía de onda helioidal (5 m de diámero) 00 GHz.5 Cable de fibra ópia 3.6 0 4 Hz.4 0 4 Hz.8 0 4 Hz.5 0.5 0. Los res ipos omunes de disorsión enonrados en un anal son:. Disorsión de ampliud debida a H (f) K.. Disorsión de fase (o reardo) debida a que ángulo{ H ( f )} π f ± mπ ( m es un enero > 0) 3. Disorsión no lineal debida a elemenos no lineales presenes en el anal. d Las primeras dos aegorías se onoen omo disorsión lineal y la erera omo disorsión no lineal. Ahora las eaminaremos por separado. 7.3. Disorsión Lineal Si la respuesa de ampliud del anal no es plana en la banda de freuenias para las uales el espero de la enrada es diferene de ero, enones diferenes omponenes esperales de la señal de enrada son modifiados en forma diferene. El resulado es disorsión de ampliud. Las formas más omunes de la disorsión de ampliud son la aenuaión eesiva o el reale de las bajas freuenias en el espero de la señal. Resulados eperimenales indian que si H (f) es onsane hasa denro de ± db en la banda del mensaje, enones la disorsión de ampliud será despreiable. Más allá de esas

384 observaiones ualiaivas, no se puede deir muho sobre la disorsión de ampliud sin un análisis más deallado. Si el desplazamieno de fase es arbirario, diferenes omponenes de la señal de enrada sufren reardos emporales diferenes lo ual resula en disorsión de fase o de reardo. Una omponene esperal de la enrada on freuenia f sufre un reardo d (f), d ángulo de { H( f )} ( f ) = πf El leor puede verifiar que un ángulo de { H( f )} = π d f ± mπ resulará en una respuesa y () =± ( d ), es deir, no ourre disorsión. Cualquier ora respuesa de fase, inluyendo un desplazamieno onsane de fase θ, θ ± mπ, produirá disorsión. La disorsión por reardo es un problema ríio en la ransmisión de pulsos (daos). No obsane, el oído humano es sorprendenemene insensible a esa disorsión y por ano la disorsión por reardo no es preoupane en la ransmisión de audio. (7.5) 7.3.3 Compensaión El remedio eório para la disorsión lineal es la ompensaión mosrada en la Fig. 7.. Si la funión de ransferenia del ompensador saisfae la relaión H eq K ep ( j πfd ) = para f < f H ( f ) enemos enones que H ( f ) Heq ( f ) = Kep( j π fd ) y no se endrá disorsión. Sin embargo, es muy raro que se pueda diseñar un ompensador que saisfaga eaamene la E. (7.6). Pero son posibles eelenes aproimaiones, espeialmene on un filro ransversal omo el mosrado en la Fig. 7.3. (7.6) () Canal H (f) Compensador H eq (f) salida Figura 7. Compensador del anal. La salida del ompensador mosrado en la Fig. 7.3 puede esribirse omo y() = z() + z( Δ ) + z( Δ) 0 a parir de la ual obenemos la funión de ransferenia del filro omo H ( f ) = + ep( jωδ ) + ep( jω Δ), ω= π f eq 0 Generalizando esa relaión a un ompensador on M + derivaiones, enemos enones que

385 M Heq ( f ) = ep( jωmδ) m ep( jωmδ) m= M que esá en la forma de una serie de Fourier eponenial on periodiidad /Δ. Por lo ano, si se va a ompensar el anal en la banda f m del mensaje, podemos aproimar el lado dereho de la E. (7.6) mediane una serie de Fourier (en el dominio de la freuenia) on periodiidad /Δ f m. Si la aproimaión en serie de Fourier iene M + érminos, enones se neesia un ompensador on M + derivaiones. (7.7) enrada () Reardo Δ Reardo Δ 0 + + + + y() salida Figura 7.3 Un filro ransversal ompensador de res derivaiones. 7.3.4 Disorsión No Lineal y Compansión Los anales y disposiivos elerónios práios, ales omo amplifiadores, on freuenia ehiben araerísias de ransferenia no lineales que resulan en una disorsión no lineal de la señal. En la Fig. 7.4 se muesra un ejemplo de la araerísia de ransferenia de un elemeno no lineal sin memoria. En general, esos disposiivos aúan linealmene uando la enrada () es pequeña, pero disorsionan la señal uando la ampliud de la enrada es grande. Enrada () Aproimaión lineal Salida y() Caraerísia de ransferenia real Figura 7.4 Caraerísia de ransferenia de un disposiivo no lineal.

386 Para invesigar la nauraleza de la disorsión no lineal de la señal, supongamos que la araerísia de ransferenia del disposiivo no lineal puede ser modelada por la relaión y() = a () + a () + a () +L (7.8) 3 3 Ahora, si la enrada es la suma de dos ondas oseno, digamos os π f+ os π f, enones la salida onendrá érminos de disorsión armónia en las freuenias f, f y érminos de disorsión de inermodulaión en las freuenias f ± f, f ± f, f ± f, y así suesivamene. En un aso general, si () = () + (), enones y() onendrá los érminos (), (), () (), y así suesivamene. En el dominio de la freuenia es fáil ver que aunque X (f) y X (f) puedan esar separadas en freuenia, el espero de () () [obenido a parir de X ( f ) X ( f )] puede solaparse on X (f) o X (f) o on ambas. Esa forma de disorsión por inermodulaión (o diafonía) es de imporania en sisemas donde varias señales son onenradas (mulianalizadas) y ransmiidas por el mismo anal. La araerísia de ransferenia mosrada en la Fig. 7.4 sugiere que una soluión para minimizar la disorsión no lineal es manener la ampliud de la señal denro de la banda lineal de operaión de la araerísia. Eso se obiene usualmene usando dos disposiivos no lineales, un ompresor y un epansor, omo se muesra en la Fig. 7.5. Un ompresor esenialmene redue la banda de ampliudes de una señal de enrada de manera que aiga denro de la banda lineal del anal. Para una señal () de valores posiivos, por ejemplo, podemos usar un ompresor on una araerísia de ransferenia g omp [ ( )] = log e [ ( )]. Pueso que un ompresor redue la banda de la señal de enrada, ambién redue la banda de la señal de salida. La señal de salida es epandida al nivel apropiado mediane el epansor que opera a la salida del anal. Idealmene, un epansor iene una araerísia de ransferenia g ep que produe gep { gomp [ ( )]} = ( ). Por ejemplo, si g omp [ ( )] = log e [ ( )], enones g ep [ y( )] = ep[ y( )] produirá gep { gomp [ ( )]} = (). La operaión ombinada de omprimir y epandir se denomina ompansión. La ompansión se usa eensivamene en sisemas elefónios para ompensar por la diferenia en el nivel de la señal enre oradores alos y bajos. () Compresor Canal (supueso no lineal) Epansor y() Figura 7.5 Compansión. 7.4 Esquemas de Modulaión Lineales OC La modulaión lineal se refiere al orrimieno direo de freuenias del espero del mensaje usando una poradora sinusoidal. La poradora modulada es represenada por () = A()os ω (7.9)

387 en la ual la ampliud de la poradora A() esá relaionada linealmene on la señal del mensaje (). Dependiendo de la nauraleza de la relaión esperal enre () y A(), enemos los siguienes ipos de esquemas de modulaión lineal: modulaión de banda laeral doble (DSB, por sus siglas en inglés), modulaión de ampliud (AM), modulaión de banda laeral únia (SSB por sus siglas en inglés) y modulaión de banda laeral residual (VSB por sus siglas en inglés). Cada uno de esos esquemas iene sus propias venajas disinivas, desvenajas y apliaiones práias. Ahora esudiaremos esos diferenes ipos de esquemas de modulaión lineal realando ópios ales omo los esperos de las señales, poenia y anho de banda, méodos de demodulaión y la omplejidad de ransmisores y reepores. En nuesra disusión sobre esquemas de modulaión lineales, usaremos uno de res modelos diferenes para la señal del mensaje (): un solo ono de freuenia, f, una ombinaión de onos resringidos en freuenia a menores o iguales que f, o una señal arbiraria de pasabajas de energía finia on una ransformada de Fourier X(f), la ual es idéniamene igual a ero para f > f. 7.4. Modulaión de Banda Laeral Doble (DSB) La modulaión de banda laeral doble (DSB, por sus iniiales en inglés) resula uando la ampliud A() es proporional a la señal del mensaje (), es deir, el mensaje de pasabajas () es mulipliado por una forma de onda poradora A osω, omo se muesra en la Fig. 7.6a. La señal modulada () es () = A ()os ω = A()os ω, ω = π f (7.0) y se llama la señal modulada en banda laeral doble. La E. (7.0) revela que la ampliud insanánea de la poradora A() es proporional a la señal del mensaje (). Un ejemplo en el dominio del iempo de la señal modulada () se muesra en la Fig. 7.6d para una señal del mensaje sinusoidal. Del eorema de modulaión se dedue que el espero de la señal DSB dada en la E. (7.0) es X ( f ) = A [ X ( f + f ) + X ( f f )] (7.) donde f = ω /π. Las represenaiones en el dominio de la freuenia de X(f) y X (f) se muesran en las Figs. 7.6 e y 7.6f para una señal de mensaje de pasabajas. La banda esperal oupada por la señal del mensaje se llama la banda de freuenias de la banda base y la señal del mensaje usualmene se onoe omo la señal de la banda base. La operaión de mulipliar señales se llama mezlado o heerodinaje. En la señal rasladada, la pare del espero de la señal de la banda base que esá sobre f aparee en el inervalo f a f + f y se denomina la señal de la banda laeral superior. La pare de la señal modulada que esá enre f f y f se llama la señal de la banda laeral inferior. La señal poradora de freuenia f ambién se onoe omo la señal del osilador loal, la señal mezladora o la señal heerodina. Como se observa en la Fig. 7.6f, el espero de X (f) no iene una poradora idenifiable. Por ello, ese ipo de modulaión ambién se onoe omo modulaión de banda laeral doble on poradora suprimida (DSB-SC). La freuenia poradora f es normalmene muho más ala que el anho de banda de la señal de la banda base f. Es deir, f >> f (7. )

388 ( ( r () z() Filro de pasabajas y() A os ω os ω (a) Modulador (b) Demodulador sinrónio () Moduladora sinusoidal Inversión de fase (d) Señal modulada X(f) f 0 f f (e) Espero del mensaje Banda laeral X (f) inferior f Banda laeral superior f f f f + f 0 f f f f + f f (e) Espero DSB Z(f) Respuesa del filro de banda base f f 0 f f f f f + f (f) f Figura 7.6 Modulaión de banda laeral doble. (a) Modulador. (b) Demodulador sinrónio (o oherene). () Señal moduladora sinusoidal. (d) Señal modulada. (e) Espero del mensaje para una () arbiraria. (f) X (f). (g) Z(f).

389 Poenia y Anho de Banda de la Señal Transmiida. De la Fig. 7.6f vemos que el anho de banda B T requerido para ransmiir una señal del mensaje on anho de banda f usando modulaión de banda laeral doble es f Hz: B T = f (7.3) Para alular la poenia ransmiida promedio S T de la señal modulada, supongamos que () es una señal de poenia. Enones, S A T T = lím ( ) os ( ω T T T T T A A = lím ( ) d+ ( )os ωd T T T T ) d El valor de la segunda inegral es ero, y si definimos la poenia promedio de la señal S omo S = d T lím ( ) T T T enones S T = S S (7.4) donde S = A es la poenia promedio de la poradora. Demodulaión de la Señal de la Banda Base. Si suponemos que el anal es ideal, enones la señal reibida r () endrá la misma forma que (). Es deir, () = a ( )osω r donde a /A es la aenuaión del anal. La señal del mensaje en la banda base () puede ser reuperada de la señal reibida r () mulipliando r () por una poradora loal y filrando a pasabajas la señal produo. La salida del mulipliador es y el espero de Z(f) esá dado por z() = [ a ()os ω ]osω = a ( ) + a ( )os ω Z ( f ) = a X( f ) + a [ X( f f ) + X( f + f )] El espero de Z(f) se muesra en la Fig. 7.6g, de la ual es obvio que si f < f f o f > f enones no hay solapamieno de X(f) on X(f f ) o on X(f + f ). Por ano, filrando Z(f) mediane un filro de pasabajas on una freuenia de ore B, f < B < f f produirá una señal de salida y(), y() = a ()

390 que es una réplia de la señal del mensaje ransmiida (). Aunque el anho de banda del filro de pasabajas puede esar enre f y f f, él debe ser an pequeño omo sea posible para reduir los efeos de ualquier ruido que pueda aompañar la señal reibida. Si hay ruido presene, enones se debe inserar un filro de pasabandas on una freuenia enral f y un anho de banda de f anes del mulipliador en la Fig. 7.6b para limiar la poenia de ruido que enra al demodulador. El esquema de reuperaión de la señal mosrado en la Fig. 7.6b se denomina un esquema de demodulaión sinrónio o oherene. Ese esquema requiere que en el reepor esé disponible una señal de un osilador loal que esé perfeamene sinronizado on la señal poradora usada para generar la señal modulada. Ése es un requisio basane rígido y no puede obenerse fáilmene en sisemas práios. La fala de sinronismo resulará en disorsión de la señal. Suponga que la señal del osilador loal iene una desviaión de freuenia igual a Δω y y una desviaión de fase igual a θ. Enones la señal produo z() endrá la forma y la señal de salida y() será z( ) = a ( )os( Δω +θ ) + érminos de freuenia doble y() = a ()os( Δω + θ ) (7.5) Más adelane se verifiará que uando Δω = 0 y θ = π/, la señal se pierde ompleamene. Cuando θ= 0, enones y() = a ()os Δω variará provoando una seria disorsión de la señal. Ese problema es basane grave ya que usualmene f >> f de modo que aun un error porenual pequeño en f oasionará una desviaión Δf que puede ser omparable o mayor que f! La evidenia eperimenal india que para señales de audio, una Δf > 30 Hz se onviere en inaepable. Para señales de audio puede ser posible ajusar manualmene la freuenia y la fase de la poradora loal hasa que la salida suene bien. Desaforunadamene, las desviaiones de fase y de freuenia de la poradora on freuenia son anidades que varían on el iempo requiriendo enones ajuses asi oninuos. Eisen varias énias usada para generar una poradora oherene para la demodulaión. En el méodo mosrado en la Fig. 7.7, se erae una omponene de la poradora de la señal DSB usando un iruio uadráio y un filro de pasabandas. Si () iene un valor CD igual a ero, enones () no iene ninguna omponene esperal en f. No obsane, () endrá una omponene CD diferene de ero y por ano se puede eraer una omponene de freuenia disrea en f del espero de r () usando un filro on una pasabanda angosa. La freuenia de esa omponene puede ser reduida a la miad para proporionar la poradora deseada para la modulaión. Señal DSB r () Ciruio uadráio BPF enrado en f Divisor de freuenia Señal de sinronizaión Figura 7.7 Un sinronizador uadráio.

39 En el segundo méodo mosrado en la Fig. 7.8, una pequeña señal poradora (piloo) se ransmie juno on la señal DSB; en el reepor, la poradora piloo puede eraerse, amplifiarse y usarse omo una poradora loal sinronizada para la demodulaión (Fig. 7.8b). Si la ampliud de la poradora inserada es lo sufiienemene grande, enones la señal reibida puede ser demodulada sin ener que generar la poradora en el reepor. Una señal DSB on una omponene de poradora disrea grande se llama una señal modulada en ampliud (AM). () () Señal DSB + poradora LPF y( ) A os ω ( a) Filro de poradora ( b) Amplifiador Figura 7.8 Sisema DSB on poradora piloo. (a) Transmisor. (b) Reepor Ejemplo. Evalúe el efeo de un error de fase en el osilador loal en la demodulaión de banda laeral doble sinrónia. Soluión. Suponga que el error de fase del osilador loal es φ. Enones la poradora loal es epresada omo os( ω +φ ). Ahora, () ()os DSB = m ω donde m() es la señal del mensaje y si designamos la salida del mulipliador en la Fig. 7.6b por d(), enones d( ) = [ m( )os ω ]os ( ω +φ) = m( )[os φ+ os ( ω +φ ) = m( )os φ+ m( )os( ω +φ) El segundo érmino en el lado dereho es eliminado por el filro de pasabajas y obenemos y() = m()os φ (7.6) Esa salida es proporional a m() uando φ es una onsane. La salida se pierde ompleamene uando φ=±π. Así pues, el error de fase en la poradora loal produe aenuaión en la señal de salida sin ninguna disorsión siempre que φ sea onsane pero diferene de ±π/. Si el error de fase varía aleaoriamene on el iempo, enones la salida ambién variará aleaoriamene y es deir indeseable.

39 Ejemplo. Evalúe el efeo de un pequeño error de freuenia en el osilador loal en la demodulaión DSB sinrónia. Soluión. Suponga que el error de freuenia del osilador loal es Δω. La poradora loal es epresada enones omo os(ω +Δω ). Así que d() = m()os ω os( ω +Δω) = m( )os ( Δ ω) + m( )os ω y y() = m()os( Δω ) (7.7) Es deir, la salida es la señal m() mulipliada por una sinusoide de baja freuenia. Es deir un efeo de baido y, omo ya se menionó, es una disorsión muy indeseable. 7.4. Modulaión de Ampliud Ordinaria (AM) Una señal modulada en ampliud es generada añadiendo una omponene grande de poradora a la señal DSB. La señal AM iene la forma () = A [ + ()]os ω (7.8) = A ( )os ω (7.9) d onde A() es la envolvene de la poradora modulada. Para una reuperaión fáil de la señal usando esquemas de demodulaión senillos, la ampliud de la señal iene que ser pequeña y la omponene CD de la señal iene que ser igual a ero, es deir, T ( ) < y lím ( ) d = 0 T T T Más adelane se epliará la neesidad de esas resriiones. En el dominio de la freuenia, el espero de la señal AM esá dado por X ( f ) = A [ ( ) X f f + X ( f + f )] + A [ ( ) ( )] δ f f +δ f + f En la Fig. 7.9 se muesran ejemplos de señales AM en el dominio del iempo y en el de la freuenia. (7.0)

BB 393 ( ) ( ) envolvene (a) X(f) (b) f 0 f f () poradora banda laeral banda laeral inferior superior f 0 f f f f + f (d) Figura 7.9 Modulaión de ampliud. (a) señal del mensaje sinusoidal. Señal AM. () Espero del mensaje para una señal arbiraria (). (d) Espero de la señal modulada. 7.4.3 Índie de Modulaión Dos araerísias únias de la señal AM son que esá presene una omponene on freuenia de la poradora y que la envolvene A() de la poradora modulada iene la misma forma que () siempre que f >> f y que A ( ) = A[ + ( )] no se haga negaiva. Nuesra suposiión de que () < garaniza que A() no se hará negaiva. Si () es menor que, enones A() se hae negaiva y resula una disorsión de envolvene, omo se muesra en la Fig. 7.0. Un parámero imporane de una señal AM es su índie de modulaión m, el ual se define omo m [ A ( )] [ A ( )] má mín = ( [ A ( )] + [ A ( )] má Cuando m es mayor que se die que la poradora esá sobremodulada, resulando en disorsión de envolvene. mín 7.) 7.4.4 Poenia y Anho de Banda de la Señal Transmiida De la Fig. 7.9d vemos que el anho de banda de la señal AM es T = f Suponiendo que () es una señal de poenia, podemos alular la poenia promedio de la señal ransmiida omo

394 donde S T T = lím [ ( )] os T + ω T S A d T A lím [ ( ) ( )][ os ] T T = + + + ω d = S (7.) + SS = A y S es la poenia promedio normalizada de la señal. La onda poradora por sí sola, sin modulaión, no ranspora ninguna informaión hasa el reepor. Por ello, podemos onluir que una porión de la poenia ransmiida S T es desperdiiada en la poradora. Más adelane veremos que la simpliidad de los demoduladores AM depende de esa poenia y, por ano, la poradora no es del odo una pérdida. () A() disorsión de envolvene A A A (a) (b) Figura 7.0 Disorsión de envolvene de una señal AM. (a) Señal modulada. (b) Envolvene A(). Para señales AM, el porenaje de la poenia oal que lleva informaión se usa omo una medida de la efiienia de poenia. Ésa se denoa por η y la definimos omo SS η= S + S S (7.3) Se deja omo un ejeriio demosrar que la máima efiienia para una señal arbiraria () es 50% y, omo se demosrará más adelane, la máima efiienia para una señal de mensaje en onda seno es 33.3% (reuerde que () < y por ano S ). Ejemplo 3. Una esaión AM omerial esá ransmiiendo on una poenia promedio de 0 kw. El índie de modulaión es 0.707 para una señal del mensaje sinusoidal. Deermine la efiienia de poenia de ransmisión y la poenia promedio en la omponene de poradora de la señal ransmiida.

395 Soluión. Para una señal del mensaje sinusoidal on un índie de modulaión de 0.707, la señal modulada esá dada por Por lo ano, ( ) = A (+ 0.707 os ω )osω S = = (0.707) 0.5 0.5S η = S + 0.5S = 0% Ahora, S + 0.5S = 0 kw, y de aquí que S = 8 kw. Observe la proporión enre la poenia usada para ransmiir informaión y la usada para ransmiir la poradora. Ejemplo 4. Ora forma de esribir la efiienia η de la AM ordinaria es omo el porenaje de la poenia oal llevada por las bandas laerales, es deir, Ps η = (7.4) donde P s es la poenia ransporada por las bandas laerales y P es la poenia oal de la señal AM. (a) Deermine η para m = 0.5 (50 % de modulaión). (b) Demuesre que para AM de un solo ono, η má es 33.3 % para m =. P Soluión. Para modulaión de un solo ono () = a osω el índie de modulaión es a m = A Por lo ano, y la señal AM es enones o enones m () = a osω = ma osω m m m m ( ) = [ A + ( )]os ω = A [+ mos ω ]osω ( ) = Aos ω + ma os ω os ω m = A osω + ma os ( ω ω ) + ma os ( ω +ω ) m m P = poenia en la poradora = m m A

396 La poenia oal P es Así pues, on la ondiión que m. (a) Para m = 0.5, P s = poenia en las bandas laerales = ( ) ( ) ma + ma = m A 4 ( ) P = P + P = A + m A = + m A s 4 P s m A 4 η= 00% = m 00% 00% P m A = + m ( + 4 ) (0.5) η= 00% =.% + (0.5) (b) Como m, se puede ver que η máz ourre para m = y esá dada por η = 00% = 33.3% 7.4.5 Demodulaión de Señales AM La venaja de la modulaión AM sobre la DSB es que un esquema muy senillo, onoido omo deeión de envolvene, puede ser usado para la demodulaión si se ransmie sufiiene poenia de poradora. La señal del mensaje en la banda base ( ) puede ser reuperada de la señal AM r () usando el iruio senillo mosrado en la Fig. 7.a. La E. (7.8) muesra que siempre que () <, la envolvene de la señal reibida nuna pasará por ero y la porión posiiva de la envolvene se aproima a la señal del mensaje () sin depender de la fase o freuenia eaas de la poradora. La pare posiiva de la envolvene es reuperada mediane la reifiaión de r () y suavizando la onda reifiada usando una red RC. Durane el semiilo posiivo de la señal de enrada, el diodo es polarizado direamene y el apaior C se arga rápidamene hasa el valor pio de la señal. Conforme la señal de enrada ae por debajo de su máimo, el diodo se abre y es deir seguido por una desarga lena del apaior a ravés del resisor R hasa el próimo semiilo posiivo, uando la señal de enrada eede el volaje del apaior y el diodo ondue de nuevo. El apaior se arga hasa el nuevo valor pio, y el proeso se repie. Para una mejor operaión, la freuenia de la poradora debe ser muho más ala que f, y la onsane de iempo de la desarga del iruio RC debe ser ajusada de modo que la pendiene máima negaiva de la envolvene nuna eederá la asa de desarga eponenial. Si la onsane de iempo es demasiado grande, enones el deeor de envolvene no puede seguir a la envolvene (Fig. 7.). Si la onsane es demasiado pequeña se generará una onda demasiado disorsionada (Fig. 7.d) y la demodulaión se hae inefiiene. Bajo ondiiones de operaión ideales, la salida del demodulador es z() = k + k ()

397 donde k es una desviaión de CD debida a la poradora y k es la ganania del iruio demodulador. Se puede usar un apaior de aoplamieno o un ransformador para remover la desviaión CD; sin embargo, ualquier érmino CD en la señal del mensaje () ambién será eliminado [una de las razones para nuesra suposiión de que el valor de () es igual a ero]. Además de remover omponenes CD, el filro de remoión CD aenuará las omponenes de baja freuenia de la señal del mensaje. Por ello, la AM no es adeuada para ransmiir señales de mensajes que onienen onenidos signifiaivos de baja freuenia. Ejemplo 5. La enrada a un deeor de envolvene (Fig. 7.) es una señal AM de un solo ono ( ) = A(+μos ω ) os ω, donde μ es una onsane, 0 < μ < y ω >> ω m. m (a) Demuesre que si la salida del deeor va a seguir la envolvene de (), se requiere que en odo insane 0 μsenω m 0 ω m (7.5) RC +μosωm0 (b) Demuesre que si la salida del deeor va a seguir la envolvene odo el iempo, se requiere que μ RC (7.6) ω μ m Soluión (a) La Fig. 7. muesra la envolvene de () y la salida del deeor (el volaje en el apaior en la Fig. 7.). Suponga que el apaior se desarga de su valor pio E0 = A(+μos ω 0) en 0 = 0. Enones el volaje v () en el apaior de la Fig. 7. esá dado por v () = E e 0 El inervalo enre dos pios suesivos de la poradora es /f = π/ω y RC >> /ω. Eso signifia que la onsane de iempo RC es muho mayor que el inervalo enro dos pios suesivos de la poradora. En onseuenia, v() puede ser aproimada por v () E0 RC Así que si v () va a seguir la envolvene de (), se requiere que en ualquier insane 0 ( RC) (+μos ωm0) +μos ω m 0 + RCf f

398 r () R C z( ) (a) Envolvene z() Poradora a (b) Envolvene z() Poradora a () Envolvene z() Poradora a (d) Figura 7. Demodulaión de envolvene de señales AM. (a) Deeor de envolvene. (b) Demodulaión orrea. () RC demasiado grande. (d) RC demasiado pequeña. Ahora, si ω m << ω, enones y, por ano, ω +μosω m 0 + = +μos ω m0 + f f m ω ω = +μos ωm os μsen ω sen f m 0 m 0 f ω +μosω μ senω m m 0 m 0 f m