CAPÍTULO. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.. Introducción.. Raíce comune.. Diviión entera de polinomio.. Decompoición de un polinomio en producto de factore.5. Método de fraccione imple.6. Método de Hermite.7. Problema reuelto
Capítulo Integración de funcione racionale MÉTODOS FRACCIONES SIMPLES HERMITE
Capítulo Integración de funcione racionale.. Introducción A Una función racional e el cociente de do polinomio f(). Supondremo que lo do polinomio A() y () no tienen ningún cero en común, e decir, que no eite ningún número, real o complejo, 0, tal que lo 0. En ete cao e dice que la función e anule a la vez A ( 0 ) ( 0 ) irreducible. Para calcular.. Raíce comune f eguiremo lo iguiente pao. En ete cao, e tiene una factorización de lo do polinomio de la forma: A ( 0 ) A, ( 0 ), y aí análogamente con toda y cada una de la raíce comune a lo do. En eta condicione, para / 0, la A A función racional e reduce a la función implificada, ahora ya in raíce comune (irreducible). Aí pue, etudiaremo la integrale del tipo A A, donde e una función irreducible... Diviión entera de polinomio Se realizará en el cao de que el grado del numerador A() ea uperior o igual al grado del denominador (). En tal cao, eiten polinomio único Q() y R() tale que: A() () Q() R(), con grado R() < grado () Aí, e puede eprear la función racional f() como:
Integración de funcione racionale 9 f() A Q() R Al polinomio Q() e le llama parte entera de la función racional y u integración e encilla. Aí, la integral de f() queda de la forma: Q f R Aí, tendríamo que integrar una función racional irreducible en la que el grado del numerador e etrictamente inferior al del denominador. Para encontrar eto polinomio Q(), R() e uficiente con realizar la diviión entera de polinomio en la forma tradicional. Por tanto, a partir de ahora conideraremo funcione racionale irreducible en la que el grado del numerador ea etrictamente menor que el grado del denominador... Decompoición de un polinomio en producto de factore El objetivo ahora erá encontrar una decompoición de la función racional de la forma anterior a integrar, en uma de otra funcione racionale que ean má imple y fácile de integrar. Para deducir dicha decompoición, el primer pao neceario requiere factorizar el denominador, o ea, calcular la raíce del mimo. E decir, bata encontrar la raíce de (), reolviendo para ello la ecuación polinómica () 0. Eta raíce erán, en general, número complejo, y dependiendo de la naturaleza y multiplicidad de la mima e elegirá una decompoición u otra de la función racional. Para localizar la raíce de () 0 e utilizarán lo método conocido (fórmula para polinomio de egundo grado, Ruffini para grado uperior, o cualquier otro método válido para u reolución). Según ean eta raíce, como ha quedado dicho anteriormente, utilizaremo do método para reolver ete tipo de integrale: decompoición en fraccione imple o método de Hermite. Ante de integrar una función racional irreducible, e intenta decomponerla en una uma de funcione fácile de integrar. Para ello previamente hemo calculado toda la raíce de () (reale y compleja). Sean éta a,a, Κ,ar reale con orden de multiplicidad m,m, Κ,mr, repectivamente. Si tenemo una raíz compleja, también debe aparecer
50 Introducción al cálculo integral neceariamente u conjugada; aí pue, ean α ± iβ,, α ± iβ Κ la pareja n, Κ,n, de raíce compleja conjugada con orden de multiplicidad repectivamente. Aí, () puede decomponere (e demuetra en álgebra) en producto de factore como: n n [ r ( ) (( ) ) ] β α β m mr λ ( a ) Κ ( a ) ( α ) Κ (obérvee que [ ( α iβ )][ ( α iβ )] ( α ) β k k k k k k ), donde λ e el coeficiente del término de mayor grado de () (coeficiente director de ()). De eta manera, de la decompoición en factore de () e obtiene la R decompoición en fraccione imple de : R λ A A a a A m... m a...... a r m r mr a r M N... α β... M n N n [( α ) β ] n... P T α β P T [ ] n β ( α ) n n donde A,,M,N, P, T on contante reale a determinar. k k k k k k.5. Método de fraccione imple Ete método e aplicará cuando la única raíce con multiplicidad mayor etricta a uno de () ean reale. La decompoición en uma de funcione racionale encilla a integrar de la función racional irreducible original e realizará egún el iguiente criterio: Por cada raíz real imple a aparecerá un umando de la forma: A a
Integración de funcione racionale 5 Por cada raíz real b con multiplicidad m mayor etricta a uno aparecerán m umando de la forma: b... m m b m m b Cada raíz compleja α i β imple e une a u conjugada α i β, adoptando la forma ( α) β. Por cada una de eta pareja aparecerá un umando en la decompoición de la forma: M N ( α) β Seguidamente e procede al cálculo de toda la contante reale indeterminada que aparecen en lo numerado de todo lo umando en la decompoición, A,,... Aí pue, la pregunta ahora ería: cómo determinar la contante de lo numeradore de cada una de la fraccione imple? El primer pao para reponder a eta pregunta conite en realizar operacione con todo lo umando, con el objeto de reducirlo a común denominador, que en general coincidirá con (), para paar a coniderar una igualdad entre lo numeradore polinómico R() y el reultante en el miembro de la derecha de la decompoición, fruto de la operación de colocar el denominador común. Una vez obtenida eta igualdad entre polinomio, e puede optar por al meno do camino: el primero, má general, conite en identificar lo coeficiente de lo término de igual grado en ambo miembro de la igualdad; el egundo e realizará dando valore encillo a la variable para ambo miembro de la igualdad (en epecial, valore que correpondan a la raíce reale de ()). En definitiva, el método de obtención de la contante puede variar, pero todo e reduce a una igualdad entre polinomio. Por ello, cabe decir que eta decompoición e única, pueto que do polinomio on iguale i y ólo i todo u coeficiente coinciden. En ambo cao, e llegará a un itema lineal cuadrado, cuya incógnita erán la contante a determinar, con olución única garantizada.
5 Introducción al cálculo integral Una vez efectuada eta decompoición y conocida toda la contante que aparecen en ella, la integrale que deberemo reolver adoptarán alguna de la iguiente epreione: A ) a A Log a C ) ( b) p ( b) p p C p p ( b) C (i p e natural y p ) ) M N ( r ) ( r ) N Mr M M Log Log M N Mr Mr M [( r ) ] ( r) Log [( r ) ] N Mr [( r ) ] N Mr arctg r r r M ( r ) Mr N r C Ejemplo ) Calcular: I ( )( ) Como la función racional a integrar e irreducible y el grado del numerador, 0, e etrictamente menor que el del denominador,, procedemo a calcular la raíce de éte último. Obviamente, éta on
Integración de funcione racionale 5,. Como amba on reale, el método de decompoición a utilizar erá el de fraccione imple. Por tanto, decomponemo la función racional de la iguiente manera: ( )( ) A A ( ) ( ) ( )( ) Igualando lo numeradore de ambo miembro, una vez pueto el denominador común, llegamo a que: A( ) ( ) Para calcular A y, uamo el egundo procedimiento comentado, e decir, damo a lo valore de la raíce reale del denominador de la función racional original. Aí pue, i, y i A Por tanto, la integral original quedará, aplicando la propiedade de la integración: I / / Log Log C 5 ) Calcular: I 5 ( )( ) De nuevo, la función racional a integrar e irreducible y el grado del numerador,, e etrictamente menor que el del denominador,. La raíce de éte on, real y imple,, real y doble. Como no poee raíce compleja, uaremo la decompoición dada por el método de fraccione imple: 5 ( )( ) A C
5 Introducción al cálculo integral Igualando lo numeradore, tenemo que: A ( )( ) C ( ) ( )( ) 5 A A A C C Uaremo ahora el primer procedimiento ugerido para calcular la contante indeterminada, e decir, igualaremo lo coeficiente del mimo grado a ambo lado de la igualdad: grado : grado : grado 0: 0 A A C 5 A C Ete itema contiene tre ecuacione y tre incógnita. Su reolución e encilla, obteniéndoe el iguiente reultado: A,, C Por tanto, la integral original quedará como: / I / ( ) Log Log C ) Calcular: I 6 8 76 ( )( 5)( ) La función racional e irreducible (e puede comprobar fácilmente que ni, ni 5, ni, raíce del denominador, lo on del polinomio que aparece en el numerador), y ademá el grado del numerador,, e
Integración de funcione racionale 55 etrictamente menor que el del denominador,. Por tanto, la decompoición a travé del método de fraccione imple queda: 6 8 76 A C 5 5 ( ) ( )( ) C( )( 5) ( )( 5)( ) A 5 Como la raíce del denominador on reale imple, daremo jutamente eo valore a la variable en la igualdad de numeradore en la decompoición: 0 A A 5 5 76 8C 6 8C C 5 50 90 76 6 Aí, la integral I e calcula como: I 5 5 5 5 Log C 7 9 5 ) Calcular: I La raíce del denominador on 0, de multiplicidad igual a tre, y, imple. Como eto valore no anulan al numerador, la función racional e irreducible. Ademá, el grado del numerador,, e etrictamente menor que el del denominador,. Eto no lleva a realizar la decompoición por medio del método de fraccione imple: 7 9 5 A C D A C ( ) ( ) D
56 Introducción al cálculo integral Aplicando la egunda opción dada para calcular lo coeficiente contante, daremo a lo valore de u do raíce reale ditinta y otro do valore arbitrario hata coneguir un itema de cuatro ecuacione con cuatro incógnita: 0 5 A A 5 D A C D 0 C C A C 8D 5 C 8 C De la do última ecuacione reulta que: C. Aí, I quedará: I 5 5 Log Log C 5) Calcular: I ( )( ) El denominador poee una raíz real,, imple, y una pareja de raíce compleja conjugada, que on lo cero del polinomio. Eta raíce no lo on del numerador, por lo que la función racional e irreducible. De nuevo, el grado del numerador,, e etrictamente menor que el del denominador,. Aunque en ete cao aparecen raíce compleja, éta on imple, por lo que de nuevo debemo emplear el método de decompoición de fraccione imple: ( )( ) A C A ( C )( ) ( )( )
Integración de funcione racionale 57 En ete cao, optamo por la primera opción para el cálculo de la contante indeterminada, igualando lo coeficiente de lo término del mimo grado en ambo miembro: A A A C C : 0 A A : A C A, : A C 7, C 7 Por tanto, la integral I quedará: I 7 7 Log 7 7 Eta nueva integral la epararemo en do, con el objetivo de llegar en una de ella a obtener un Logaritmo, y en la otra un arco tangente. I Log / Log 6 Log 8 arctg C Llevando ete reultado a la integral original, tenemo que:
58 Introducción al cálculo integral I Log Log 8 7 7 7 arctg C.6. Método de Hermite P Ete método e aplicará para calcular integrale del tipo Q, cuando grado P() < grado Q(), y Q() tiene raíce compleja con multiplicidad mayor etricta a uno. Dicho método e baa en que P Q e puede decomponer como igue: P Q d R D A M N... a b r Donde, i Q() ( a) m... ( b) n... ( r) [ ] p m D() ( a )... ( b) n... ( r), entonce, [ ] p e decir, D()m.c.d.[Q(),Q'()], o, lo que e lo mimo, el polinomio que [ ] reulta de dividir Q() por ( a) ( b) Κ ( r ) Κ. En reumen, D() e el polinomio Q() ya decompueto en factore y con cada uno de ello rebajado en uno u orden de multiplicidad. Por otra parte, R() e un polinomio de coeficiente a determinar y de grado inferior en una unidad al de D().
Integración de funcione racionale 59 [ ] Aí, i llamamo C() al polinomio ( a) Κ ( b) Κ ( r ) Q, podemo ecribir: D decir, C(), e P Q d R D C Integrando miembro a miembro eta igualdad, donde grado () [grado C()] P R Q D C Nótee que ete método de Hermite ya no proporciona una parte del reultado bucado, y que la integral que no queda por calcular e una función racional con numerador () y denominador C(), que e puede decomponer por medio del método anterior de fraccione imple, ya que la raíce compleja de C(), en cao de eitir, deben er imple. Por tanto, podemo ecribir: C A a b M N r... Aunque el método de Hermite e largo, no ólo porque debemo obtener d R lo coeficiente indeterminado ino porque hay que realizar, que, D aunque encilla e muy engorroa de calcular, el método e aplicable a cualquier función racional, ya que e una generalización del método de fraccione imple teniendo en cuenta que añadimo el término d R D Nota Omitimo la demotración de ete método por er muy compleja..
60 Introducción al cálculo integral Ejemplo ) Calcular: I ( ) ( ) En ete cao, el denominador poee raíce compleja doble, por lo que, como el grado del numerador, 0, e etrictamente menor que el denominador, 6, debemo aplicar la decompoición dada por el método de Hermite: ( ) ( ) d a b c ( )( ) A C Una vez realizada la derivada del cociente y pueto denominador común (como en el cao de fraccione imple), uaremo el procedimiento de igualar lo coeficiente de lo término del mimo grado en ambo lado de la igualdad, para obtener el itema que no determine el valor de la contante indeterminada: 5 : 0 A : 0 a A C : 0 b A C : 0 c b a A C : 0 a c A C : b c A C Reolviendo ete itema, llegamo a que: a, b, c 0, A,, C 5 Por tanto, la integral original tendrá la forma: I ( )( )
Integración de funcione racionale 6 ( )( ) Log Log arctg C ) Calcular: I ( )( ) De nuevo, el denominador poee una pareja de raíce compleja conjugada de multiplicidad do, y el grado del numerador, 0, e etrictamente menor que el del denominador, 8, por lo que, aplicando el método de Hermite, obtenemo: ( )( ) d a b M N c d ( ) A Nótee que la raíz real no aparece en el denominador del cociente a derivar, debido a que u multiplicidad e uno, y al rebajarla en un grado e convierte en cero. Realizada la derivación y la pueta de denominador común, una vez má igualamo lo coeficiente de lo término del mimo grado, obteniendo el iguiente itema lineal: 7 : 0 A M 0 6 : 0 a A M N 5 : 0 a b A M N : 0 b a c A M N : 0 c a d A N : 0 d c A : 0 c d : d La olución única de ete itema e:
6 Introducción al cálculo integral 5 5 a, b, c, d, A,, M, N Por tanto, I queda: 5 I 5 ( ) ( ) 5 8 5 Log Log Log arctg C 8 ) Calcular: I 7 0 ( 5)( ) 8 El denominador factorizado no muetra la eitencia de raíce compleja conjugada doble. Como, ademá, la función racional e irreducible y el grado del numerador,, e etrictamente menor que el del denominador, 5, procedemo a aplicar el método de decompoición de Hermite: 7 0 ( 5)( ) 8 d a b M N A 5 Procediendo como en lo ejemplo anteriore, e llega al iguiente itema lineal que determina la contante: : 7 A M : 0 a A M N : 5a b 8A 8M N : 8b a 8A 0M 8N : 8 0a 0b A 0N cuya olución e:
Integración de funcione racionale 6 a, b, A, M 5, N Aí, reulta que: I 5 5 5 Log 5 Log 7 arctg( ) C donde la última integral e de uno de lo tipo que hemo vito en el cao de aplicación del método de fraccione imple, cuando la raíce del denominador eran compleja conjugada imple..7. Problema reuelto ) I 5 ( ) 8 Debido a la eitencia de raíce compleja conjugada en el denominador, e aegura que el método de decompoición de Hermite va a permitir reolver eta integral. En ete cao, vamo a aplicar una generalización del método de fraccione imple, que aquí va a funcionar, aunque, en general, acabaríamo por recurrir al método de Hermite neceariamente. Vamo, por tanto, a aplicar la decompoición de fraccione imple, tratando a la raíce compleja conjugada con multiplicidad mayor etricta a uno como lo hacemo con la que on reale. En ete ejemplo aparecerán tre umando debido a la única pareja de raíce compleja conjugada triple: 5 ( ) 8 A C D ( ) E F ( ) Si ponemo denominador común e igualamo lo coeficiente de lo término del mimo grado, llegamo al itema lineal:
6 Introducción al cálculo integral 5 : A : : A C : D : 8 A C E : D F Su olución e: A,, C 0, D 0, E, F 0 Por tanto, la integral quedará: I ( ) Log arctg ( ) C ) I ( ) Aquí í que aplicamo el método de Hermite, debido a la eitencia de raíce compleja conjugada doble. ( ) d a b M N El itema lineal al que llegamo e: : 0 M : 0 a N : 0 b M : a N
Integración de funcione racionale 65 cuya olución e: a, b 0, M 0, N que, llevada a la integral, reulta en: I ( ) arctg C ) Proponemo un último ejemplo: I ( ) Como en cao anteriore, al aplicar Hermite reulta: ( ) d a b c d M N El itema queda: 5 : 0 M : 0 a N : 0 b M : 0 c a N : 0 b d M : c N Su olución e: 5 a, b 0, c, d 0, M 0, N 8 8 8 La integral e reuelve finalmente como:
66 Introducción al cálculo integral I 8 5 ( ) 8 8 5 arctg C 8 ( )