1. (PAU junio 2003 A1). Dada la siguiente ecuación matricial: 3 2 x 10 x 2 1 y 6 y 0 1 z 3 obtener de forma razonada los valores de x, y, z. 2. (PAU junio 2003 A2). Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas A y B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y 30 minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6.000 minutos al mes y para el de máquina de 4.800 minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 para el modelo A y de 10 para el modelo B, planificar la producción mensual para obtener el máximo beneficio y calcular éste. 3. (PAU junio 2003 B2). Debo tomar al menos 60 mgr de vitamina A y al menos 90 mgr de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10 mgr de vitamina A y 15 mgr de vitamina B y cada pastilla de la marca Y contiene 10 mgr de cada vitamina. Además, no es conveniente tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es 50 céntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 céntimos de euro, calcular de forma razonada: a) Cuántas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mínimo, y b) Cuál es el coste mínimo. 4. (PAU junio 2003 B3). Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron pagar 3. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3 25. El tercer día sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2 45. Calcular de forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche. 5. (PAU sept. 2003 A2). Una empresa dispone de un máximo de 16.000 unidades de un producto que puede vender en unidades sueltas o en lotes de cuatro unidades. Para empaquetar un lote de cuatro unidades se necesita el triple de material que para empaquetar una unidad suelta. Si se dispone de material para empaquetar 15.000 unidades sueltas, y si el beneficio que se obtiene por la venta de cada unidad suelta es de 2 y de cada lote de cuatro unidades es de 7, calcular de forma razonada el número de unidades sueltas y de lotes de cuatro unidades que hay que preparar para maximizar el beneficio y calcular éste. Sol: Debe preparar 12000 unidades sueltas y 1000 lotes de 4 unidades siendo el beneficio de 31000 6. (PAU sept. 2003 B2). Se pretende invertir en dos productos financieros A y B. La inversión en B debe ser por lo menos de 3.000 y no se quiere invertir en A más del doble que en B. Se supone que A proporcionará un beneficio del 10% y B del 5%. Si se dispone de 12.000, calcula de forma razonada cuanto se ha de invertir en cada producto para maximizar el beneficio y determina éste. 7. (PAU junio 2004 A1). Dadas las matrices 4 0 1 2 2 0 A B C 1 1 2 0 1 2 Calcular la matriz X que verifica la ecuación AXB=2C. 8. (PAU junio 2004 A2). Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el Pág. 1
beneficio y calcular éste. Sol: Debe dedicar 8 millones de euros a préstamos de riesgo alto, 10 millones a préstamos de riesgo medio, siendo el beneficio de 1,82 millones de euros. 9. (PAU junio 2004 B2). Juan decide invertir una cantidad de 12.000 en bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5. Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas. 10. (PAU junio 2004 B2). Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 por vagón de coches y 360 por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio. 11. (PAU Sept. 2004 A1). Obtener la matriz X que verifica AX B = 3X, siendo: 3 2 1 2 A 3 0 1 y B 1 2 1 3 1 12. (PAU Sept. 2004 A2). Un fabricante produce en dos talleres tres modelos distintos de archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar 12 archivadores del modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le cuesta 720 al día el funcionamiento del primer taller y 960 el del segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce 2, 2 y 12 archivadores, respectivamente Cuántos días debe trabajar cada taller para, cumpliendo el contrato, conseguir reducir al máximo los costes de funcionamiento? Cuál es el valor de dicho coste? Quedaría algún excedente de algún producto en los talleres? En caso afirmativo, determinar cuánto. Sol: Debe trabajar 3 días en el primer taller y 1 día en el 2º para que el coste sea mínimo, siendo de 3120 /día. Del archivador A fabricará 14 unidades, luego quedarán 2 archivadores A en los talleres. 13. (PAU Sept. 2004 B1). Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 a su madre. Como no tienen suficiente dinero, cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre paga el triple de lo que pagan los dos hijos juntos y, por cada 2 que paga el hermano menor, el mayor paga 3 Cuánto dinero ha de poner cada uno? 14. (PAU Sept. 2004 B2). Calcular los puntos de la región definida por x y 6 2x y 15 3 x 6 2 y 5 donde la función z = 3x + 2y alcanza los valores máximo y mínimo. Calcular dichos valores. 15. (PAU junio 2005 A1). Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados en la calle. Pedro reparte siempre el 20% del total de la propaganda, Juan reparte 100 hojas más que Elena y entre Pedro y Elena colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántas hojas reparten, respectivamente, Elena, Pedro y Juan y calcular estos valores. 16. (PAU junio 2005 A1). Las necesidades vitamínicas diarias de una persona son de un mínimo de 36 mgr. de vitamina A, 28 mgr, de vitamina C y 34 mgr. de vitamina D. Estas necesidades se cubren tomando pastillas de la marca Energic y de la marca Vigor. Cada pastilla de la marca Energic cuesta 0,03 y proporciona 2 Pág. 2
mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C y 8 mgr. de vitamina D. Cada pastilla de la marca Vigor cuesta 0,04 y proporciona 3 mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C y 2 mgr. de vitamina D. Cuántas pastillas de cada marca se han de tomar diariamente si se desean cubrir las necesidades vitamínicas básicas con el menor coste posible? Determinar dicho coste. 2 2 1 17. (PAU junio 2005 B1). Sea 2 3 1 la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y 2 5 1 matriz de sus términos independientes. Se pide: c) Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema. d) Obtener todas las soluciones del sistema. 1 1 1 la 18. (PAU junio 2005 B2). Un vendedor dispone de 350000 para invertir en dos tipos de microondas. El que dispone de más accesorios tiene un coste de 150 y reporta un beneficio de 15 por unidad vendida, mientras que el otro modelo sólo proporciona un beneficio de 11 por unidad vendida y tiene un coste de 100. Sabiendo que sólo se pueden almacenar 3000 microondas y que no se venderán más de 2000 del modelo más caro, determinar cuántos microondas de cada clase se deben comprar para maximizar el beneficio y calcular éste. 19. (PAU sept 2005 A1). Dos hermanos deciden invertir 10000 cada uno en distintos productos financieros. El mayor invirtió una cantidad A en un producto que ha proporcionado un beneficio del 6%, una cantidad B en otro que ha dado una rentabilidad del 5% y el resto en un plazo fijo al 2% de interés. El hermano menor invirtió esas mismas cantidades en otros productos que le han proporcionado, respectivamente, unos beneficios del 4, 3 y 7 %. Determinar las cantidades A, B y C invertidas si las ganancias del hermano mayor han sido 415 y las del pequeño 460. 20. (PAU sept 2005 A2). Representar la región factible dada por el sistema de inecuaciones: x y 1 x 2 y 1 x 3y 1/ 2 y hallar los puntos de la región en los que la función f (x, y) = 2x + 3y alcanza los valores máximo y mínimo y obtener dichos valores. a b 21. (PAU sept 2005 B1). Calcular la matriz X que verifica la ecuación matricial AXB = C, siendo: 0 c 1 0 1 2 1 2 A, B y C 1 1 1 3 3 8 22. (PAU sept 2005 B2). Una empresa farmacéutica tiene en la actualidad dos líneas de investigación, la de medicamentos antiinflamatorios no esteroides y la de fármacos ansiolíticos. Desea invertir en la investigación a lo sumo tres millones de euros, con la condición de dedicar por lo menos 1,5 millones de euros a los ansiolíticos, con los que espera obtener un beneficio del 10%. En cambio en la investigación sobre medicamentos antiinflamatorios, aunque se calcula un beneficio del 25%, no debe invertir más de un millón de euros Qué cantidad debe dedicar a cada línea de investigación para maximizar beneficios, si además debe dedicar a los ansiolíticos al menos el doble de dinero que a los antiinflamatorios? Qué beneficio obtendrá de esta forma la empresa? Pág. 3
23. (PAU junio 2006 A1). Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La segunda, invirtió 125.000, 250.000 y 125.000 euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000 euros en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la primera constructora es del 13,75%, la de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determina la rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado. 24. (PAU junio 2006 B1). Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer: x y 2z 6 x z 5 2x y 11 25. (PAU junio 2006 B2). Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1, 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26.300 barriles de gasolina 95, 40.600 barriles de gasolina 98 y 29.500 barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste. 26. (PAU sept 2006 A1). Determina la matriz A que verifica la ecuación AB+ A = 2B t 3 1, donde B 0 2 representa la matriz transpuesta de B. 27. (PAU sept 2006 A2). Una destilería produce dos tipos de whisky blend mezclando sólo dos maltas destiladas distintas, A y B. El primero tiene un 70% de malta A y se vende a 12 /litro, mientras que el segundo tiene un 50% de dicha malta y se vende a 16 /litro. La disponibilidad de las maltas A y B son 132 y 90 litros, respectivamente Cuántos litros de cada whisky debe producir la destilería para maximizar sus ingresos, sabiendo que la demanda del segundo whisky nunca supera a la del primero en más del 80%? Cuáles serían en este caso los ingresos de la destilería?. Sol: Debe producir 105 l del wisky tipo I y 117 l del wisky del tipo II para que el beneficio sea máximo. El beneficio es de 3132. 28. (PAU sept 2006 B1). En el primer curso de bachillerato de un instituto hay matriculados un total de 65 alumnos divididos en tres grupos: A, B y C. Comen en el centro 42 de ellos, que corresponden a la mitad de los del grupo A, las cuatro quintas partes de los del B y las dos terceras partes de los del C. A una salida fuera del centro acudieron las tres cuartas partes de los alumnos del grupo A, todos los del B y las dos terceras partes de los del C, sumando en total 52 estudiantes. Cuántos alumnos hay en cada grupo? 1 2 29. (PAU 2007 junio A1) Dada la matriz A, calcula 1 3 transpuesta e inversa de A, respectivamente. A A t 5A 1, siendo A t y A 1 las matrices 30. (PAU 2007 junio A2) Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de abono, A y B, a partir de dos materias primas Ml y M2. Para fabricar l tonelada de A hacen falta 500 Kg. de Ml y 750 Kg. de M2, mientras que las cantidades de Ml y M2 utilizadas para fabricar l Tm. de B son 800 Kg. y 400 Kg., respectivamente. La empresa tiene contratado un suministro máximo de 10 Tm. de cada materia prima y vende a l.000 y l.500 cada Tm. de abono A y B, respectivamente. Sabiendo que la demanda de B nunca llega a triplicar la de A, cuántas toneladas de cada abono debe fabricar para maximizar sus ingresos y cuáles son éstos? Pág. 4
31. (PAU 2007 junio B1) Los tres modelos existentes de una marca de automóviles cuestan 12.000, 15.000 y 22.000 euros, respectivamente. Un concesionario ha ingresado 1.265.000 euros por la venta de automóviles de esta marca. Cuántos coches ha vendido de cada modelo si del más barato se vendieron tantos como de los otros dos juntos y del más caro la tercera parte de los coches que cuestan 15.000 euros? 32. (PAU 2007 junio B2) a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema determinado por las siguientes inecuaciones: 3y 4x 8 0, y 4x 4, y 2, x 1. b) Halla los vértices de la región anterior. c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f (x, y) = 3x y en dicha región. Determina dicho valor mínimo. 33. (PAU sept 2007 A1). Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cada gramo del complemento A contiene 2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento B contiene 2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. Cuántos gramos de cada complemento son necesarios para producir exactamente una dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos? 34. (PAU sept 2007 A2). a) Halla los vértices de la región determinada por las siguientes inecuaciones: 3x y 12, x 2y 3, y x 2 2, 2x 3y 1. b) Calcula los puntos de la región donde la función f(x) = 3x 2y alcanza los valores máximo y mínimo y determina éstos. 35. (PAU sept 2007 B1). Obtén todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales: x y z 1 2x y z 0 2x 7 y z 4 36. (PAU 2008 junio A1) Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganancias obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 euros, 4.000 euros por una en la urbanización B y 6.000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B. 37. (PAU 2008 junio A2) a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones: 3x 2y 5 x 2y 1 5x 4y 16 x y 5 b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior. c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f(x, y) = 3x y en dicha región. Determina dicho valor mínimo. 38. (PAU 2008 junio B1) Determina la matriz X que verifica la ecuación AX+I=AB t, siendo I la matriz identidad, 1 1 2 1 A, B y B t la transpuesta de la matriz B. 1 1 1 1 Pág. 5
39. (PAU sept 2008 A1). Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo íntegramente comprando un ordenador portátil, una cámara digital y haciendo un viaje. El precio del ordenador portátil excede en 140 euros a la suma de los precios de la cámara y del viaje. Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es la mitad que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en el caso de que no se comprara la cámara digital y todavía le quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje. 1 3 40. (PAU sept 2008 B1). Dada la matriz A 4 2 a) Halla su inversa. 2 6 8 b) Resuelve la ecuación XA 5A 10 20 41. (PAU sept 2008 B2). Cierto armador se dedica a la pesca de rape y merluza. Las cuotas pesqueras imponen que sus capturas totales no excedan las 30 toneladas (Tm). Por otro lado, la cantidad de rape como máximo puede triplicar a la de merluza y, además, esta última no puede superar las 18 Tm. Si el precio del rape es de 15 /kg y el de la merluza 10 /kg, qué cantidades de cada especie debe pescar para maximizar sus ingresos? 42. (PAU 2009 junio A1) Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg de manzanas y 230 de peras. Para ello prepara dos bolsas de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A obtiene un beneficio de 2,5 euros y 3 euros por cada una del tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas, cuántas bolsas de cada tipo debe preparar para maximizar sus ganancias? Cuál es el beneficio máximo? 43. (PAU 2009 junio A2) Resuelve el sistema: x y z 2 2x z 3 x 5y 7z 4 Si (x, y, 0) es una solución del sistema anterior, cuáles son los valores de x y de y? 44. (PAU 2009 sept A1) Obtén todas las matrices columna = B, siendo 1 1 1 A 0 1 1 y 1 2 0 x X y que sean soluciones de la ecuación matricial AX z 1 B 1. Cuáles de esas matrices X tienen la primera fila nula? 0 45. (PAU 2009 sept A2) En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma de los que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que están en contra de la citada normativa. Determina cuántos entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y cuántos no opinaron. 46. (PAU 2009 sept D1) Una empresa va a construir dos tipos de apartamentos, uno de lujo y otro de superlujo. El coste del modelo de lujo es de 1 millón de euros y del de superlujo de 1,5 millones, disponiendo para la operación de 60 millones de euros. Para evitar riesgos, se cree conveniente construir al menos tantos apartamentos de lujo como de superlujo y, en todo caso, no construir más de 45 apartamentos de lujo. Pág. 6
Cuántos apartamentos de cada tipo le interesa construir a la empresa si quiere maximizar el número total de apartamentos construidos? Agotará el presupuesto disponible? 47. (PAU 2009 sept D2) Dado el siguiente sistema de inecuaciones: x 2 x 3y 5 0 y 4x 6 3y x 4 y x 2 a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del mismo y determina sus vértices. b) Obtén los puntos donde la función f (x, y) = 2x 3y alcanza los valores mínimo y máximo en dicha región. 48. (PAU 2010 junio A1) En un homo mallorquín se fabrican dos tipos de ensaimadas, grandes y pequeñas. Cada ensaimada grande requiere para su elaboración 500 g. de masa y 250 g. de relleno, mientras que una pequeña requiere 250 g. de masa y 250 g. de relleno. Se dispone de 20 kg. de masa y 15 kg. de relleno. El beneficio obtenido por la venta de una ensaimada grande es de 2 euros y el de una pequeña es de 1,5 euros. a) Cuántas ensaimadas de cada tipo tiene que fabricar el horno para que el beneficio obtenido sea máximo? b) Cuál es el beneficio máximo? 49. (PAU 2010 junio B1) Obtén la matriz X que verifica: 1 2 2 3 2 0 1 2 X 5 1 3 2 4 1 3 3 50. (PAU 2010 sept A1) Un ganadero dispone de alimento concentrado y forraje para alimentar sus vacas. Cada kg. de alimento concentrado contiene 300 gr. de Proteína Cruda (PC), 100 gr. de Fibra Cruda (FC) y 2 Mcal. de Energía Neta de Lactancia (ENL) y su coste es 11 euros. Por su parte, cada kg. de forraje contiene 400 gr. de PC, 300 gr. de FC y 1 Mcal. de ENL, siendo su coste 6,5 euros. Determina la ración alimenticia de mínimo coste si sabemos que cada vaca debe ingerir al menos 3500 gr. de PC, 1500 gr. de FC y 15 Mcal. de ENL. Cuál es su coste? 51. (PAU 2010 sept B1) En un cine se han vendido en una semana un total de 1405 entradas y la recaudación ha sido de 7920 euros. El precio de la entrada normal es de 6 euros y la del día del espectador 4 euros. El precio de la entrada para los jubilados es siempre de 3 euros. Se sabe, además, que la recaudación de las entradas de precio reducido es igual al 10% de la recaudación de las entradas normales. Cuántas entradas de cada tipo se han vendido? 52. (PAU 2011 junio A1) Un comerciante vende tres tipos de relojes, A, B y C. Los del tipo A los vende a 200 euros, los del tipo B a 500 euros y los del tipo C a 250 euros. En un mes determinado vendió 200 relojes en total. Si la cantidad de los que vendió ese mes de tipo B fue igual a los que vendió de tipo A y tipo C conjuntamente, calcula cuántos vendió de cada tipo si la recaudación de ese mes fue de 73500 euros. 53. (PAU 2011 junio B1) Dadas las matrices: 1 2 1 0 3 1 A, B y C 1 4 2 1 2 1 a) Calcula la matriz inversa de la matriz C. b) Obtén la matriz X que verifica AX + B t = C, siendo B t la matriz transpuesta de B. Pág. 7
54. (PAU 2011 sept A1) El dueño de una tienda de golosinas dispone de 10 paquetes de pipas, 30 chicles y 18 bombones. Decide que para venderlas mejor va a confeccionar dos tipos de paquetes: El tipo A estará formado por un paquete de pipas, dos chicles y dos bombones y se venderá a 1,5 euros. El tipo B estará formado por un paquete de pipas, cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2 euros. Cuántos paquetes de cada tipo conviene preparar para conseguir los ingresos máximos? Determina los ingresos máximos. 3 1 1 2 2 1 8 8 55. (PAU 2011 sept B1) Sean las matrices A, B, C y D 2 4 0 1 1 2 8 3 a) Calcula AB + 3C. b) Determina la matriz X que verifica que AX +I = D, donde I es la matriz identidad. 56. (PAU 2012 junio A1) Un comerciante quiere invertir hasta 1000 euros en la compra de dos tipos de aparatos, A y B, pudiendo almacenar en total hasta 80 aparatos. Cada aparato de tipo A le cuesta 15 euros y lo vende a 22, cada uno del tipo B le cuesta 11 y lo vende a 17 euros. Cuántos aparatos debe comprar de cada tipo para maximizar su beneficio? Cuál es el beneficio máximo? 1 2 2 6 57. (PAU 2012 junio B1). Dadas matrices A y B obtén todas las matrices de la forma 1 3 1 2 x 0 X que satisfacen la relación AX XA = B. y z 58. (PAU 2012 sept. A1) Plantea y escribe el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es 2 3 1 3 4 2 1 y cuyo término independiente es 0. Resuelve el sistema. 2 2 1 1 59. (PAU 2012 sept. B1) Sea el siguiente sistema de inecuaciones lineales: x y 1 x y 2 x y 1 x y 1 a) Resuélvelo gráficamente. b) Halla el máximo y el mínimo de la función z = 2x + y en el conjunto solución de dicho sistema. 60. (PAU 2013 junio A1) Resuelve las siguientes cuestiones: a) Calcula las matrices X e Y sabiendo que X 3 1 Y 4 3 y 0 5 2X Y. 7 3 3 2 b) Obtén la inversa de la matriz A. 2 2 1 0 c) Obtén la matriz X tal que XA. 8 6 61. (PAU 2013 junio B1) Una persona adquirió en el mercado cierta cantidad de unidades de memoria externa, de lectores de libros electrónicos y de tabletas gráficas a un precio de 100, 120 y 150 euros la unidad, respectivamente. El importe total de la compra fue de 1160 y el número total de unidades adquiridas 9. Además, compró una unidad más de tabletas gráficas que de lectores de libros electrónicos. Cuántas unidades adquirió de cada producto? Pág. 8
62. (PAU 2013 julio A1) Sean las matrices: 1 2 2 1 0 1 A, B y C 0 3 1 2 1 2 Resuelve la ecuación XAB XC 2C. 63. (PAU 2013 julio B1) Un estudiante reparte propaganda publicitaria para conseguir ingresos. Le pagan 8 cts. de euro por cada impreso colocado en el parabrisas de un coche y 12 cts. por cada uno depositado en un buzón. Ha calculado que cada día puede repartir como máximo 150 impresos y la empresa le exige diariamente que la diferencia entre los colocados en coches y el doble de los colocados en buzones no sea inferior a 30 unidades. Además, tiene que introducir en buzones al menos 15 impresos diariamente. Cuántos impresos debe colocar en coches y buzones para maximizar sus ingresos diarios?. Cuál es este ingreso máximo?. Pág. 9