Relación de Problemas. Modelos de Probabilidad 1. Sabemos que en una ciudad, de cada 50000 personas, 1500 están viendo un cierto programa de TV. Cuál es la probabilidad de que de 100 personas elegidas aleatoriamente, menos de 4 estén viendo el programa?. 2. Una universidad sabe que el 75% de sus graduados tiene trabajo a los 12 meses de su graduación. Se eligen 8 graduados al azar. Se pide: a). Probabilidad de que al menos 6 tengan empleo a las 12 meses. b). Probabilidad de que como máximo 6 tengan empleo. 3. Un examen tipo test consiste en 20 preguntas, cada una de ellas con 4 posibles respuestas. Un estudiante es capaz de identificar y eliminar como incorrecta una de las opciones de cada pregunta y elige aleatoriamente entre las otras tres. El examen se aprueba si hay 12 o más preguntas correctas. a) Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe?. b) Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe si puede eliminar dos opciones de cada pregunta?. 4. Las llamadas de teléfono recibidas en una casa siguen un proceso de Poisson con parámetro λ = 2 cada hora. a) Si una persona toma una ducha de 10 minutos, cuál es la probabilidad de que el teléfono suene durante ese tiempo?. b) Durante cuánto tiempo puede tomar una ducha si desea que la probabilidad de no recibir ninguna llamada sea como mucho 0.5?. 5. Consideremos que el número de trozos de chocolate de una galleta sigue una distribución de Poisson. Queremos que la probabilidad de que una galleta seleccionada al azar tenga por lo menos tres trozos de chocolate sea mayor que 0.8. Encontrar el menor valor entero de la media de la distribución que asegura esa probabilidad. 6. En la realización de un programa, el número de errores cometidos por página sigue una distribución de Poisson de varianza 2. Cuál será la probabilidad de no cometerlos en un programa de 20 páginas?. 7. Un aparcamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada I según una Poisson con 3 coches por hora y a la entrada II con 4 coches por hora. Si el número de coches que llega a cada entrada son independientes, cuál es la probabilidad de que en una hora lleguen 3 coches al aparcamiento?. 8. En un proceso de fabricación de película fotográfica aparece por término medio 1 defecto por cada 20 metros de película. Si la distribución de defectos es Poisson, calcular la probabilidad de que haya 6 defectos en un rollo de 200 metros.
9. Se supone que una persona cualquiera contrae en promedio 3 resfriados durante el invierno y se distribuye según una P (λ). a) Calcular la probabilidad de que una persona en un invierno determinado, contraiga por lo menos 1 resfriado. b) Calcular la probabilidad de que de 5 personas elegidas al azar, 4 contraigan 2 resfriados en un invierno. 10. Supongamos que el tiempo de vida de un componente electrónico sigue una exponencial con λ = 0.1. a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de vida sea menor que 10. b) Calcular la probabilidad de que el tiempo de vida esté entre 5 y 15. c) Calcular t para que la probabilidad de que el tiempo de vida sea mayor que t sea 0.01. 11. Una máquina consta de 12 componentes cuya duración sigue una distribución exponencial de media 500 horas. La política de mantenimiento preventivo consiste en sustituir todos los componentes simultáneamente cada 700 horas. La máquina se avería cuando uno cualquiera de sus componentes lo hace, sustituyéndose en ese caso dicho componente por uno nuevo. Se supone que los componentes funcionan independientemente. a) Cuál es la probabilidad de que una máquina se averíe en el intervalo comprendido entre dos renovaciones? b) Si han transcurrido 500 horas desde la última sutitución de todos los componentes, cuál es la probabilidad de que la máquina se averíe antes de la próxima renovación?, depende esta probabilidad del número de averías que haya habido en las 500 horas?. 12. Un sistema electrónico consta de 4 subsistemas idénticos conectados en serie, con distribución exponencial de tiempo de fallo. Si el tiempo medio de fallo de cada subsistema es de 2000 horas, hallar la probabilidad de que el sistema falle antes del tiempo t y la probabilidad de que no haya fallos después de 100 horas. 13. La duración de un componente eléctrico sigue una distribución exponencial con media 10000 horas. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que si el componente ha durado más de 20000, dure más de 21000 horas. Comparar esta probabilidad con la probabilidad de que dure entre 0 y 1000 horas. Comentar razonadamente el resultado. b) Si se instalan 4 de esos componentes en serie en un aparato, calcular la probabilidad de que el aparato siga funcionando al cabo de 10000 horas. 14. La longitud, X, de los tornillos producidos por una máquina sigue una distribución normal con media 112 milímetros y desviación típica de 2.2 milímetros. Construir tres intervalos centrados en la media que contengan el 68.3%, el 95.5% y el 99.7% de la población respectivamente. Si Y es la longitud en centímetros, a) Obtener la distribución de Y. b) Hallar la probabilidad de que un tornillo elegido al azar mida más de 11.5 centrímetros.
15. Sea X una variable aleatoria normal con µ = 5 y σ = 10. Calcular: a) Pr(X > 10), b) Pr( 20 < X < 15), c) el valor de x tal que Pr(X > x) = 0.05. 16. La longitud L de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria N(32, 0.3), considerándose aceptables aquellas cuya medida se encuentra en el intervalo (31.1,32.6). a) Calcular la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea aceptable. b) Si se toma al azar una muestra de tres piezas, cuál es la probabilidad de que la primera y la tercera sean aceptables y la segunda no lo sea?. c) Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 3 piezas al menos una sea aceptable?. d) Las piezas se embalan en lotes de 500 piezas. Calcular la probabilidad de que un lote tenga más de 15 defectuosas. 17. Se considera el siguiente juego. Participar cuesta una cantidad fija c que se ha de pagar de antemano y el juego consiste en acertar el número de caras que se obtendrán al lanzar una moneda equilibrada 10.000 veces; llamamos S a esta variable aleatoria. Para adivinar el valor de S, el jugador puede elegir 101 números naturales cualesquiera. si S está entre ellos el jugador gana 10.000 ptas; si no está pirde la misma cantidad. Se pide: a) Indicar cuál es la elección de número más recomendable para el apostante. b) Calcular la probabilidad de ganar utilizando esos números (utilizar el Teorema Central del Límite). c) Se dice que un juego es justo si la esperanza de ganancia del jugador es cero. A partir de la probabilidad de ganar halla da en el apartado anterior, calcular el valor de c para que el juego se justo. d) Si nos informan de que la moneda está trucada y la probabilidad de salir cara es 0.4, razonar si el juego sigue siendo justo. En el caso de que no lo sea indicar si el apostante saldrá beneficiado o perjudicado al pagar c. 18. Un sistema está formado por tres componentes conectados en serie. El sistema falla cuando falla uno de los componentes. Los componentes C1 y C2 tienen tiempo de vida T1 y T2 que se distribuyen como una exponencial de media 28000 horas. La distribución de probabilidad de la vida del componente C3, T3, es N(3000, 200). Las tiempos de vida de los tres componentes son independientes. C1 C2 C3 a) Calcular la probabilidad de que el componente C1 dure más de 3000 horas. b) Calcular la probabilidad de que el componente C1 dure más de 6000 horas, si ha durado ya 3000 horas. c) Calcular la probabilidad de qu el sistema dure más de 3000 horas. d) Para reforzar el componente C3 se instala un componente gemelo en paralelo,
con un interruptor que hace entrar en funcionamiento a la pareja cuando el componente C3 falla. Suponiendo que el interruptor funciona siempre que es necesario, calcular la probabilidad de que el sstema dure más de 3000 horas. C3 C1 C2 C3 19. En una planta industrial dos bombas B1 y B2 en paralelo conducen agua desde un pozo a una depuradora D, y posteriormente a otras dos bomas B3 y B4, también en paralelo, la trasladan a un depósito. Pozo B2 B4 D B1 B3 Depósito Los tiempos de vida de la depuradora y de las bombas son variables aleatorias independientes con distribución exponencial, siendo 20000 horas la vida media de la depuradora y 30000 horas la de cada bomba. a) Calcular la probabilidad de que el agua llegue al depósito después de 20000 horas de funcionamiento. b) Calcular la probabilidad de que una depuradora que ha trabajado T horas falle antes de las mil horas siguientes. Es razonable que para evitar fallos de la depuradora se renueve ésta cada 20000 horas?, por qué?. 20. Los circuitos integrados (chips) se optienen a partir de obleas de silicio y son muy susceptibles a culaquier fallo en la superficie de la oblea. Se define como defecto fatal aquel defecto que pueda echar a perder un chip. El número de defectos fatales por 100 milímetros cuadrados de oblea de silicio viene caracterizado por una variable aleatoria de media 0.1 a) Cuál es la probabilidad de que en un chip de 20 20 mm 2 haya más de un defecto fatal?. b) Si se toman 25 chips diferentes de 10 10 mm 2, cuál es la probabilidad de que más de 22 de esos chips no tengan defectos? c) Si se pretenden obtener chips de 10 10 mm 2 de las obleas de 100 mm de diámetro, cuál es la probabilidad de encontrar más de 12 defectos fatales en la superficie útil total de 4 obleas?
3. Los circuitos integrados (chips) se obtienen a partir de obl fabricación, los chips son muy susceptibles a cualquier defecto como defecto fatal aquel defecto de la oblea que pueda echar a de pista de los chips que se están produciendo a partir de dicha El número de defectos fatales por 100 milímetros cuadrados d por una variable aleatoria de media 0,1. a) Cuál es la probabilidad d haya más de un defecto fa b) Si se toman 25 chips difere probabilidad de que má defectos? 58 chips de 10x10 mm 2 c) Si se pretenden obtener obleas de 100 milímetros de encontrar más de 12 total de 4 obleas? 21. El valor de una determinada X: Nº señal de defectuosos s producida por un 100 aparato mm 2 = sufre (0,1 pequeñas ) perturbaciones que consideramos aleatorias. a) Supongamos que a) la distribución de los valores de s se puede aproximar por una distribución Normal con media 12De y desviación la figura se típica observa 0.5. Entre que un chip de 20x los valores de la señal que son mayores quede 12.5, 10x10. cuáltenemos es la proporción pues: de valores que son mayores que 13?. 4 b) Queremos ahora medir la señal s con un aparato Y: Nº de dedefectuosos medición. Sea por X 400 la mm 2 = X i i= 1 v.a. valor proporcionado por el aparato al realizar una medición y ɛ la variable error cometido por el aparato al realizar la medición. Suponiendo 0,4 que ɛ sigue una distribución p( Y > 1) normal = p( con ( 0,4 media ) > 10 ) y= desviación 1 p( típica ( 0,4) 0.4, 1) = 1 e y es independiente de s. Cuál es la relación entre s, X y ɛ, cuál es la distribución de X? b) ( 0) ( ( 0,1) 0) 0, 1 p X = = p = = e = 0,9048 0, 9 c) Se planifica realizar varias mediciones y proporcionar su media para aproximar el valor de la señal. Cuántas mediciones habrá que tomar para que nos aseguremos con una probabilidad mayor o igual a 0.95 que el valor proporcionado no se p( alejará B( 25; enp más ) > 22 de ) 0.1 unidades p( B( 25;0,9 de la) señal > 22promedio? ) = 1 p( B( 25;0,9) 2 d) Después de ser producida la señal entra en un dispositivo que la transforma en una señal saliente c) con 4 obleas tres estado: a 58 chips -1, 0, 1. de La10x10 señal spor out toma oblea, el valor son 232-1 chips de 10x10 si la señal entrante es menor 232 que 11.5, toma el valor 0 si la señal entrante está entre 11.5 y 12.5, Z = y toma X i el= valor (23,2) 1 si la señal entrante es mayor que T.C 12.5. Calcula la función i= de1 probabilidad de s out. Si se toman 1124 valores de s out, cuál es en promedio el número de valores no nulos de s out? p ( Z > 12) = p( (23,2) > 12) = 1 p( (23,2) 12) 22. La resistencia de ciertos componentes eléctricos fabricados en un proceso es una v.a. que sigue una distribución Normal de = 1media p 36 ohmios y varianza 0.64 ohmios 2. Dicho componente se considera defectuoso para montarlo en cualquier sistema cuando su resistencia es menor de= 351 ohmios. Se pide: a) Proporción de componentes defectuosos. = p ( 0, 5 N( 23,2;4,816) 12, 5) 1 p( 4,92 N( 0; 1) 2,22) 1 p( ( N(0;1) 2,22) = 0, 98679 b) Se toma una muestra aleatoria de 400 componentes, cuál es la probabilidad de que haya al menos 350 componentes no defectuosos?. c) Un sistema acopla 2 componentes en serie, calcular la probabilidad de que el sistema funcione. Y si se acoplan en paralelo? p(0 = 1 p N(0;
23. Una empresa fabrica bombillas blancas de bajo consumo cuya duración media es de 10 años, pero algunas de ellas son defectuosas y tienen una vida media de 1 año. Se sabe que l 10% de la bombillas fabricadas son defectuosas. (a) Un cliente compra una bombilla de esta empresa y después de un año sigue funcionando: Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? Cuál es la probabilidad de que funcione otro año más? (b) La empresa fabrica también luces decorativas que se venden en tiras de 100 bombillas, el tiempo de vida de las bombillas en la misma tira es independiente y tienen un tiempo de vida medio de 6 meses. Cuál es la función de distribución y de densidad de la variable Y =tiempo de vida (en meses) de una bombilla. Cuál es la probabilidad de que después de tenerlas encendidas durante un mes todas sigan funcionando? Qué distribución sigue la variable aleatoria X =Número de bombillas que siguen funcionando al final del mes? 24. Un estudiante compra un nuevo PC que se bloquea frecuentemente. El estudiante cree que el número de veces que se bloquea sigue un proceso de Poisson con una media de tres bloqueos a la hora (a) Calcula la probabilidad de el PC siga funcionando sin bloquearse durante al menos una hora después de encenderlo. (b) Si el PC no se ha bloqueado después de una hora, calcula la probabilidad de que no se bloquee después de (t + 2) horas (c) Otro estudiante ha comprado otro PC que parece ser más fiable ya que éste sólo se bloquea una media de 1 vez por hora. Cuál es la probabilidad de que el PC de este estudiante se bloquee antes que el del anterior si los dos encienden sus PCs al mismo tiempo? 25. Los coches que llegan a un semáforo siguen un proceso de Poisson con media de 4 vehículos por minuto. El semáforo está 40 segundos en rojo y 80 segundos en verde. (a) Cuál es la probabilidad de que haya 4 coches en cola cuando el semáforo se pone en verde? (b) Cuál es la probabilidad de que haya más de 7 coches en cola? (c) Cuál es la probabilidad de que en un periodo de 6 horas haya al menos una ocasión en la que haya más de 7 coches en cola? Recomendados: C3 Junio 2005, C3 Septiembre 2005, C1 Junio 2006, C4 Septiembre 2006, C2 c) y C4 Junio 2007, C2 a) y d) Septiembre 2007, C1 y C2 Septiembre 2008, C2 a) y C3 Mayo 2009, P1 Junio 2009.