54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 758,49 :,4 C = 6,0; R = 0,08 APLICA LA TEORÍA. Dado el prisma cuadrangular del dibujo, calcula en función de : 5. Suma los siguientes polinomios: P ( ) = 7 4 6 + 5 Q ( ) = 4 + 8 + 4 + 6 P ( ) + Q ( ) = 8 4 + + 9 + 6. Halla el opuesto de los siguientes polinomios: P ( ) = 5 5 7 + 4 Q ( ) = 4 + 6 + 5 + P ( ) = 5 5 + 7 4 + Q ( ) = 4 6 + 5 7. Calcula P ( ) Q ( ): P ( ) = 5 4 + 5 Q ( ) = 7 4 5 + + P ( ) Q ( ) = 4 + + 7 8. Los ingresos y los gastos de una empresa en millones de euros, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por: I (t ) = t t + 5 G (t ) = t 4t + 9 Halla la epresión B (t ) de los beneficios. B (t ) = I (t ) G (t ) = t 4 a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = + 4 = 4 b) V ( ) =. Cuáles de las siguientes epresiones son monomios? Calcula el grado de estos. a) 5 y b) y c) 7 y 5 + y d) 4a Son monomios: a) y d). El grado de a) es 4 El grado de d) es. Ordena de forma decreciente, según los grados, los siguientes polinomios y calcula el grado, el coeficiente principal y el término independiente: a) 7 5 + 4 b) 9 6 5 7 + 4 6 c) 8 5 + 4 5 d) 7 8 7 + 9 4 6 a) 5 + 7 + 4 Grado: ; coeficiente principal: 5 Término independiente: 4 b) 4 6 6 5 9 7 Grado: 6; coeficiente principal: 4 Término independiente: 7 c) 4 5 + 8 5 Grado: 5; coeficiente principal: 4 Término independiente: 0 d) 8 4 6 7 7 + 9 Grado: 8; coeficiente principal: Término independiente: 9 4. Halla el valor de a, b y c para que los siguientes polinomios sean iguales: P ( ) = a 4 8 + 4 b Q( ) = 5 4 8 c + 4 + 6 a = 5, b = 6, c = 0. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS PIENSA CALCULA Calcula, en función de, el área del rectángulo de la figura: A ( ) = ( + 5) = + 5 CARNÉ CALCULISTA 7 6 5 Calcula: ( ) = APLICA LA TEORÍA 9. Multiplica los polinomios: P ( ) = + 5 Q ( ) = + 4 6 5 + 4 7 + + 7 0 0. Multiplica los polinomios: P ( ) = 4 + 5 Q ( ) = + 4 7 + 6 6 5 5 4 9 + 7 4 + 0. Multiplica los polinomios: P ( ) = 5 5 + Q ( ) = 4 + 4 4 7 0 + 5 5 6 9 + 0 7 5 + 4 7 + 4 + 5. Calcula mentalmente: a) ( + ) 0 b) ( ) c) ( 7) d) ( + 6) 0 e) ( + 5) f) ( 6) g) ( + 9) h) ( 4) i) ( + ) ( ) a) b) c) 7 d) e) + 0 + 5 f) + 6 g) + 8 + 8 h) 8 + 6 i) 9
SOLUCIONARIO 55. Desarrolla y simplifica: a) ( + /) b) ( + 5 ) ( 5 ) c) (6 /) d) (5 + /4) (5 /4) a) 4 + + /4 b) 5 c) 6 8 + 4/9 d) 5 9/6 4. Halla el polinomio que da el área del cuadrado de la figura: A ( ) = ( + ) = + 6 + 9 5. Desarrolla los siguientes productos: a) 5 ( ) b) (7 4 4 ) c) ( 8 5 5 ) d) 6 4 ( 5 + ) a) 0 5 5 b) 4 7 + 8 5 c) 4 6 + 5 d) 6 9 + 5 6. Opera y simplifica a) ( + ) ( ) b) ( + 4) ( + 4)( 4) a) b) 8 + 7. Factoriza mentalmente: a) + 6 b) 6 + 9 c) 5 d) + 8 + 6 a) ( + ) b) ( ) c) ( + 5)( 5) d) ( + 4) 8. Factoriza: a) 4 + 8 b) 5 + 0 + 0 c) d) 9 0 + 5 a) 4 ( + ) b) 5 ( + ) c) ( + )( ) d) ( 5). DIVISIÓN DE POLINOMIOS PIENSA CALCULA Realiza mentalmente las siguientes divisiones: a) ( + 6 7 ) : b) ( + 6 + 9) : ( + ) c) ( 8 + 6) : ( 4) d) ( 5) : ( + 5) a) + 6 7 b) + c) 4 d) 5 CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 8,57 : 40 C = 0,; R = 0,7 APLICA LA TEORÍA 9. Divide y haz la comprobación: P ( ) = 5 8 4 + + 8 entre Q ( ) = C ( ) = 4 R ( ) = 0 + 6 Se comprueba que C ( ) Q ( ) + R ( ) = P ( ) 0. Divide por Ruffini: P ( ) = + 8 entre Q ( ) = + C ( ) = 6 + 5 R = 7 +. Divide: P ( ) = 6 5 + 4 7 + 0 5 entre Q ( ) = + 5 C ( ) = + 4 R ( ) = + 5. Divide por Ruffini: P ( ) = 4 6 + 9 + 0 entre Q ( ) = C ( ) = 9 8 R = 44. Divide: P ( ) = 7 + 6 9 5 5 4 + 9 + 8 entre Q ( ) = 4 + 5 C ( ) = + 4 R ( ) = 5 4. Divide por Ruffini: P ( ) = 5 4 + 7 + entre Q ( ) = + C ( ) = 4 + + 4 R = 8 5. Divide por Ruffini ( 4 7 8 ) : ( ) C ( ) = + 6 + 5 + R = 6. Halla un polinomio tal que al dividirlo entre 5 + se obtenga de cociente: + 4 y de resto: 7 + + 8 ( 5 + )( + 4) 7 + + 8 = = 5 + 6 4 + 4 + 4 4. TEOREMA DEL RESTO DEL FACTOR PIENSA CALCULA Tenemos un rectángulo de m de perímetro, luego la base más la altura medirán 6 m. Si la altura mide metros, la base medirá 6 m. La fórmula del área será: A ( ) = (6 ) A ( ) = 6 Completa en tu cuaderno la tabla de la derecha y halla cuándo el área es máima. 4 5 A ( ) = 6 6
56 SOLUCIONARIO El área es máima cuando = m CARNÉ CALCULISTA APLICA LA TEORÍA 7. Calcula mentalmente el valor numérico del siguiente polinomio P ( ) = 5 4 + 6 8 para los valores que se indican: a) Para = 0 b) Para = a) P (0) = 8 b) P () = 4 8. Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P ( ) = 4 + 5 a) Para = b) Para = a) P () = b) P ( ) = 45 9. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el polinomio P ( ) = 6 + 5 entre Se aplica el teorema del resto: R = P () = 0. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el polinomio P ( ) = 4 + 5 7 entre + Se aplica el teorema del resto: R = P ( ) = 8 4 5 A ( ) = 6 5 8 9 8 5 5 7 5 Calcula: : = 6 4 0. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5: ( + k 4) : ( + ) Se aplica el teorema del resto: P ( ) = 5 9k = 5 k = 4. Cuál de los números, o, es raíz del polinomio P ( ) = + 9 9? Se aplica el teorema del factor: R = P () = 0 = es raíz R = P ( ) = 0 = es raíz. Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P ( ) = 8 + 6 4. Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P ( ) = + 5 6 es divisible entre + Se aplica el teorema del factor: R = P ( ) = 0 sí es divisible. 5. Halla el valor de k para que el polinomio: P ( ) = 4 + k + 0 sea divisible entre Se aplica el teorema del factor: R = P () = 0 7 + k = 0 k = 7 6. El polinomio + 9 tiene alguna raíz real? Razona la respuesta. No, porque siempre es mayor o igual que cero y al sumarle 9, siempre es positivo; por tanto, nunca puede ser cero. EJERCICIOS PROBLEMAS. POLINOMIOS. SUMA RESTA 7. Cuáles de las siguientes epresiones son monomios? Calcula el grado de estos. a) 5 4 + y b) 5 y c) y 5 4 y d) 7 Son monomios: b) y d). El grado del b) es 5 El grado del d) es 0 8. Clasifica las siguientes epresiones algebraicas en monomios, binomios o trinomios. a) + y + z b) 7 5 y c) y d) a) Trinomio b) Monomio c) Binomio d) Binomio 9. Calcula el grado, el coeficiente principal y el término independiente de los siguientes polinomios: a) 5 4 + b) 4 7 5 4 7 c) 5 4 + d) 60 8 6 + 8 7 a) Grado: 4; coeficiente principal: 5 Término independiente: b) Grado: 7; coeficiente principal: 4 Término independiente: c) Grado: ; coeficiente principal: 5 Término independiente: d) Grado: 0; coeficiente principal: 6 Término independiente: 7 40. Suma los siguientes polinomios: P ( ) = 7 5 5 + Q ( ) = 4 + 5 4 + + 7 5 4 + 4. Calcula P ( ) Q ( ): P ( ) = 4 5 + 7 Q ( ) = 5 4 + 7 + 4 5 5 4 + 0 8 4 =, = P() = 8 + 6. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 4. Multiplica los polinomios: P ( ) = + Q ( ) = 5 + 6 4 5 5 4 + 7 5 +
SOLUCIONARIO 57 4. Multiplica los polinomios: P ( ) = 4 4 5 + Q ( ) = + 7 7 4 6 4 5 + 7 4 7 + 0 7 + 7 44. Multiplica los polinomios: P ( ) = 5 + Q ( ) = 4 5 + 9 7 7 + 6 + 5 6 4 4 + 45. Desarrolla mentalmente: a) ( + ) b) ( + )( ) c) ( / /) d) ( + )( ) a) + 6 + 9 b) c) /4 / + 4/9 d) 46. Desarrolla los siguientes productos: a) 4 (5 4 6 ) b) 7 (5 ) c) ( 6 ) d) 5 4 ( + 5 ) a) 0 5 4 b) 5 5 + 4 c) 8 5 + d) 5 6 + 5 5 47. Opera y simplifica: a) ( + 5) ( + 5)( 5) b) ( /) + ( + /) a) 0 + 50 b) + /9 48. Factoriza mentalmente: a) 8 + b) + 0 + 5 c) 5 d) 4 + 49 a) 4 ( + ) b) ( + 5) c) ( + 5 )( 5 ) d) ( 7). DIVISIÓN DE POLINOMIOS 49. Divide y haz la comprobación: P ( ) = 5 6 4 + 0 8 + entre Q ( ) = 5 + C ( ) = 6 + 0 R ( ) = 6 + 0 8 Hay que hacer la comprobación: Q ( ) C ( ) + R ( ) tiene que dar P ( ) 50. Divide y haz la comprobación: P ( ) = 4 6 4 + 8 + 9 entre Q ( ) = 5 + C ( ) = + R ( ) = 5 + 6 + 6 Hay que hacer la comprobación: Q ( ) C ( ) + R ( ) tiene que dar P ( ) 5. Divide P ( ) = 6 6 5 0 + 50 4 entre Q ( ) = + C ( ) = 6 R ( ) = 4 + + 5. Divide por Ruffini: P ( ) = 4 6 + 4 + 5 entre Q ( ) = + C ( ) = + 8 R = 5. Divide por Ruffini: P ( ) = 5 4 + 5 + entre Q ( ) = C ( ) = 4 + + + R = 5 54. Divide por Ruffini: P ( ) = 6 4 4 + 6 + entre Q ( ) = C ( ) = 5 + 4 + 6 + + 4 R = 49 4. TEOREMA DEL RESTO DEL FACTOR 55. Calcula mentalmente el valor numérico del polinomio P ( ) = 4 7 5 + 9 6 para los valores que se indican: a) Para = 0 b) Para = a) P (0) = 6 b) P () = 56. Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P ( ) = 5 + 4 a) Para = b) Para = a) P () = b) P ( ) = 4 57. Cuál de los números, o, es raíz del polinomio P ( ) = +? R = P () = No es raíz. R = P ( ) = 0 Sí es raíz. 58. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea P ( ) = + k + 7 entre Se aplica el teorema del resto: P () = k = 5 59. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P ( ) = 4 + 7 entre + Se aplica el teorema del resto: R = P ( ) = 5 60. Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P ( ) = 4 6 + 8 + 6 9 es divisible entre Se aplica el teorema del factor: R = P () = 0 Sí es divisible. 6. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 7: ( 4 + k 5 + 6) : ( + ) Se aplica el teorema del resto: P ( ) = 7 k + = 7 k = 5 PARA AMPLIAR 6. Halla el valor de a, b y c para que los siguientes polinomios sean iguales: P ( ) = 6 5 b + 4 Q ( ) = a 5 + c a = 6, b = 0, c = 4
58 SOLUCIONARIO 6. Calcula mentalmente: a) ( / + 5) 0 b) ( 5) c) (7 /5) d) (5 + ) 0 a) b) 5 b) 7 /5 d) 64. Factoriza: a) 4 8 b) + + 8 c) 9 4 d) 5 4 0 + 5 a) 6 (4 ) b) ( + ) c) ( + )( ) d) 5 ( ) 65. Opera y simplifica: a) ( + /)( /) ( /) b) ( / /) ( / + /) a) 9/ b) 4 / 66. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea : ( 5 + k 7 + 4) : ( ) Se aplica el teorema del resto: P () = k = k = 5 67. Halla el valor de k para que el polinomio: sea divisible entre + P ( ) = + 5 + k 8 Se aplica el teorema del factor: P ( ) = 0 4 k = 0 k = 68. Halla el polinomio que da el área del siguiente triángulo: ( + 5) A ( ) = = + + 5 5 69. Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P ( ) = 4 PROBLEMAS 70. Escribe en forma de polinomio, en una variable, cada uno de los enunciados siguientes: a) El cuadrado de un número, menos dicho número, más 5 b) El cubo de un número, más el doble del cuadrado del número, menos el triple del número, más 4 c) El área de un cuadrado de lado d) El área de un rombo en el que una diagonal es el doble de la otra. a) P ( ) = + 5 b) P ( ) = + + 4 c) A ( ) = d) A ( ) = / = 7. Qué polinomio tenemos que sumar a P ( ) = 5 9 + 8 para obtener el polinomio Q ( ) = 4 + 5 +? Q ( ) P ( ) = 4 + 4 7 7. Dada una caja sin tapa y su desarrollo, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. 6 m 0 m a) A ( ) = (0 )(6 ) + (0 ) + + (6 ) = 60 4 A ( ) = 60 4 b) V ( ) = (0 )(6 ) = 4 + 60 7. Halla el polinomio que da el área del siguiente rectángulo: A ( ) = ( ) = 74. Halla el polinomio que da el área del siguiente triángulo rectángulo: A ( ) = ( + ) / = + / + 75. Halla el polinomio que da el área del siguiente rombo: + P() = 4 =, = A( ) = ( + )( )/ = / /
SOLUCIONARIO 59 76. Halla un polinomio tal que al dividirlo entre + se obtenga de cociente + 5 y de resto 5 + 9 ( + )( + 5 ) + 5 + 9 = = 5 + 5 4 9 8 + + 6 h / 77. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5: ( + k 4) : ( ) Se aplica el teorema del resto: P () = 5 4k + 4 = 5 k = /4 78. Halla el valor de k para que el polinomio P ( ) = 4 9 + k + 0 sea divisible entre + ) h = ( 4 = = = 4 A ( ) = = 4 8. Halla el polinomio que da el área del siguiente trapecio: Se aplica el teorema del factor: P ( ) = 0 k = 0 k = 79. Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P ( ) = + + A ( ) = + + = 8. Halla el polinomio que da el área del siguiente círculo: 5 y = + =, =, = PARA PROFUNDIZAR 80. Dado el siguiente paralelepípedo: A ( ) = π( 5) = π 0π + 5π 84. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 9: ( 4 + k) : ( 4) Se aplica el teorema del factor: calcula en función de el área y el volumen. A ( ) = 4 + 4 + = 5 V ( ) = 4 = 4 4 8. Halla el monomio que da el área de un triángulo equilátero en el que el lado mide P (4) = 9 k 0 = 9 k = 9 85. Halla el valor de k para que el polinomio P ( ) = 4 + 8 + k 8 5 sea divisible entre + 5 Se aplica el teorema del resto: P ( 5) = 0 5k 50 = 0 k = 4 86. El polinomio + 5 tiene alguna raíz real? Razona la respuesta. es siempre positivo o cero y al sumarle 5 es positivo. Por tanto, nunca se puede hacer cero. No tiene raíces reales.
60 SOLUCIONARIO 87. Observa la gráfica y calcula las raíces del polinomio P ( ) = 4 P() = 4 5. Divide P ( ) = 8 5 6 4 + 9 + 0 entre Q ( ) = 5 + 4. Haz la comprobación. C ( ) = 4 + R ( ) = + 4 Se comprueba que Q ( ) C ( ) + R ( ) = P ( ) 6. Divide por Ruffini P ( ) = 4 0 + entre Q ( ) = + C ( ) = + R = 7. Dado el siguiente paralelepípedo: = 0, = 4 APLICA TUS COMPETENCIAS 88. Calcula el polinomio que define un movimiento uniformemente acelerado en el que: a = 6 m/s, v 0 = 8 m/s y e 0 = m e (t ) = t + 8t + 89. Calcula el espacio que lleva recorrido cuando hayan pasado 5 s e (5) = 8 m 90. Calcula el espacio que recorre entre el segundo 0 y el segundo 0 e (0) e (0) = 6 8 = 980 m COMPRUEBA LO QUE SABES. Enuncia el teorema del resto y pon un ejemplo. El resto que se obtiene al dividir el polinomio P ( ) entre el binomio a es el valor numérico del polinomio para = a R = P (a) Ejemplo: Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P ( ) = 7 + 5 entre + R = P ( ) = ( ) 7 ( ) + 5 = 7 + + 5 = 9. Ordena el siguiente polinomio de forma decreciente según los grados y calcula el grado, el coeficiente principal y el término independiente: 5 6 7 5 + 9 6 7 + 5 5 + 9 Grado: 7 Coeficiente principal: 6 Término independiente: 9. Desarrolla mentalmente los apartados a) y b) y factoriza los apartados c) y d): a) ( 5) b) ( + )( ) c) + + d) 5 a) 4 0 + 5 b) c) ( + ) d) ( + 5 )( 5 ) 4. Multiplica los polinomios: P ( ) = 5 + Q ( ) = + 4 5 5 4 + + 5 6 + Calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A() = 5 4 + 5 + 4 = 94 b) V ( ) = 4 5 = 60 8. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5: ( + k 6) : ( ) Se aplica el teorema del resto y se tiene que verificar que: P () = 5 + k 6 = 5 8 + k 6 = 5 k = k = / WINDOWS/LINU PASO A PASO 9. Dados los polinomios: P ( ) = 5 + y Q ( ) = + 4 Calcula: P ( ) + Q ( ), P ( ) Q ( ), P ( ) Q ( ) 9. Desarrolla (5 + /7) 9. Factoriza + 0 + 5 94. Divide D ( ) = 6 5 0 48 entre d ( ) = + 6 95. Calcula el valor numérico del polinomio para =, = 0, = 5 P ( ) = 5 + 7 96. Representa la parábola y = y, observando la gráfica calcula las raíces del polinomio P ( ) = 4
SOLUCIONARIO 6 Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Wiris: 97. Halla el valor de k para que el resto de la división ( + k 6) : ( ) sea 5 PRACTICA 98. Desarrolla: a) 4 ( + ) b) ( + ) ( ) ( + )( ) a) 6 5 + 48 4 + 6 b) 4 + 7 99. Factoriza: a) 9 b) 5 a) ( + ) ( ) b) ( + 5 ) ( 5 ) 00. Dados los polinomios: P ( ) = + 5 Q ( ) = + 4 Calcula: P ( ) + Q ( ); P ( ) Q ( ); P ( ) Q ( ) P ( ) + Q ( ) = + + P ( ) Q ( ) = 4 + 9 P ( ) Q ( ) = 6 5 + 4 7 + + 7 0 0. Divide y haz la comprobación: 5 8 4 + + 8 entre C ( ) = 4 R ( ) = 0 + 6 Se comprueba que C ( ) Q ( ) + R ( ) = P ( ) 0. Divide 6 + 5 entre + C ( ) = 6 + R = 7 0. Halla gráficamente las raíces del polinomio: P ( ) = + 7 4 8 = 7, =, = Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 04. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir entre 6 + 5 Se aplica el teorema del resto: R = P () = 05. Halla un polinomio sabiendo que al dividirlo entre + 5 da de cociente + 7 4, y de resto, 8 9. Se aplica la prueba de la división: 4 + 5 + 55 9 06. Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P ( ) = 4 6 + 8 + 6 9 es divisible entre Se aplica el teorema del factor: R = P () = 0 Sí es divisible. 07. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5: ( + k 4) : ( + ) Se aplica el teorema del resto: P ( ) = 5 9k = 5 k = 4 08. Halla el valor de k para que + 5 + k sea divisible entre + Se aplica el teorema del factor: k = 8
6 SOLUCIONARIO 6. Ecuaciones de. er y. o grado. ECUACIONES DE. ER GRADO PIENSA CALCULA Resuelve mentalmente: a) + = 5 b) = 4 c) 4 = d) ( )( + 5) = 0 a) = b) = 7 c) = d) =, = 5 CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 875, : 6,9 C = 6,65; R = 0,0485 APLICA LA TEORÍA Resuelve las siguientes ecuaciones:. 4 + = 6 8 = 0. 6 + = 4 + 7 =. 8 + 4 = = 4. 4 + 4 = + 8 = 5. ( + ) + = 5 ( 4) = 6. 4 ( + 5) = 5 ( ) = 9/5 7. ( ) + 5( + ) = 4( ) + = 5/ 8. 5 ( + 4) = ( + ) = 0 Resuelve mentalmente: 9. ( )( + ) = 0 = 0, =, = 0. ( + )( 4)( + 5) = 0 = /, = 4, = 5/ Resuelve las siguientes ecuaciones: 5. = + 4 6 = 7 7 9. = + = 5/. + = + 4 4 = /5 9 7 5 0 0 4. + = 0 5 = 5. ECUACIONES DE. O GRADO PIENSA CALCULA Resuelve mentalmente si es posible: a) = 0 b) ( ) = 0 c) = 6 d) = 5 a) = 0 b) = 0, = c) = 4, = 4 d) No tiene solución. CARNÉ CALCULISTA Desarrolla: ( + 7) = 4 + 8 + 49 Factoriza: 6 + 9 = ( ) APLICA LA TEORÍA Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 5. = 5 = 5, = 5 6. = 0 = = 0 7. = 49 = 7, = 7 8. 5 = 0 = = 0 9. = 0 =, = Resuelve las siguientes ecuaciones: 0. 6 = 0 = 0, = 6. 6 = 0 = 4, = 4. 7 = 0 = = 0. 5 + 6 = 0 =, = 4. + 5 = 0 = 0, = 5 5. 5 = 0 = 5, = 5 6. 9 = 0 = 0, = 9 7. = 8 = 9, = 9 8. 9 = 0 =, =
SOLUCIONARIO 6 9. 4 + 4 = 0 = = 0. + 8 = 0 = 0, = 8. 4 8 = 0 = 9/, = 9/. 0 = 0 = 5/, = 4. 4 = 0 = 0, = /4 4. = 4 =, = 5. 8 = 0 = /, = /4 6. ( ) = 0 =, = 5 7. ( + )( + ) = 6 = 5, = 0 8. ( ) = 8 = /, = 9/ 9. ( ) = ( ) =, = 0 40. + = = /, = / 9 4 4. + + = 0 0 = 5, = 8. NÚMERO DE SOLUCIONES. FACTORIZACIÓN PIENSA CALCULA Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y da todas las soluciones reales: a) 5 4 6 b) 6 4 9 c) 4 a) ± b) 0 c) No tiene solución real. CARNÉ CALCULISTA APLICA LA TEORÍA Sin resolverlas y sin hallar el discriminante, calcula mentalmente cuántas soluciones tienen las ecuaciones: 4. 5 = 0 8 7 5 5 Calcula: : = 6 5 4 4 Tiene dos soluciones. 4. + 5 = 0 No tiene solución real. 44. = 0 Tiene una solución doble. 45. 8 = 0 Tiene dos soluciones. Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuántas soluciones tienen: 46. 6 + 7 = 0 = 6 8 = 8 > 0 Tiene dos soluciones. 47. 8 + 6 = 0 = 64 64 = 0 Tiene una solución doble. 48. + 5 = 0 = 9 40 = < 0 No tiene solución real. 49. 9 = 0 = 8 + 6 = 7 > 0 Tiene dos soluciones. Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: 50. + 4 + 4 ( + ) 5. 6 + 9 ( ) 5. 5 ( + 5)( 5) 5. 4 + 4 + ( + ) Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios: 54. + 4 5 ( )( + 5) 55. ( )( + ) 56. + 9 5 ( + 5)( /) 57. 8 + 4 5 8( + 5/)( /4) Halla, en cada caso, una ecuación de.º grado cuyas soluciones son: 58. = 5, = 7 ( 5)( + 7) = 0 + 5 = 0 59. = /5, = ( /5)( + ) = 0 + /5 6/5 = 0 5 + 6 = 0
64 SOLUCIONARIO 60. = 4, = / ( + 4)( + /) = 0 + 4 / + 8/ = 0 + 4 + 8 = 0 6. = /5, = / ( /5)( + /) = 0 /0 /0 = 0 0 = 0 Calcula la suma y el producto de las soluciones de las siguientes ecuaciones, sin resolver estas: 6. 5 5 + 9 = 0 5 S = =, P = 5 6. 6 + = 0 S = 6, P = 64. 5 = 0 S = 0, P = 5 65. 4 = 0 4 S = =, P = 0 4. PROBLEMAS DE ECUACIONES PIENSA CALCULA Calcula mentalmente: a) El lado de un cuadrado cuya área es 6 m b) Tres números enteros consecutivos cuya suma sea a) 4 m b), 4, 5 CARNÉ CALCULISTA Desarrolla: ( + ) ( ) = 4 Factoriza: 9 + 0 + 5 = ( + 5) APLICA LA TEORÍA 9 5 66. La suma de dos números es 6, y uno es el doble del otro. Calcula dichos números. + = 6 = Los números son: y 4 67. La base de un rectángulo mide 8 cm más que la altura. Si su perímetro mide 64 cm, calcula las dimensiones del rectángulo. ( + 8) + = 64 = Las dimensiones son: altura = cm; base = 0 cm + 8 9 68. Se mezcla café de 4,8 /kg con café de 7, /kg. Si se desea obtener 60 kg de mezcla a 6,5 /kg, cuántos kilos de cada clase se deben mezclar? 4,8 + 7,(60 ) = 6,5 60 = 7,5 Café A: 7,5 kg Café B: 4,5 kg 69. Una madre tiene 6 años más que su hijo, y dentro de 0 años la edad de la madre será el doble de la del hijo. Cuántos años tienen en la actualidad? Hijo Precio ( /kg) Peso (kg) Dinero ( ) Madre + 6 = ( + 0) = 6 Edad del hijo = 6 años. Edad de la madre = 4 años. 70. Una moto sale de una ciudad A hacia otra B con una velocidad de 70 km/h. Tres horas más tarde, un coche sale de la misma ciudad y en el mismo sentido con una velocidad de 00 km/h. Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar a la moto? A El espacio que recorre la moto es igual que el que recorre el coche y la fórmula es e = v t 70t = 00 (t ) t = 0 El coche tarda 7 horas en alcanzar a la moto. 7. Halla dos números cuya diferencia sea 5 y la suma de sus cuadrados sea 7 Un número y el otro 5 + ( 5) = 7 = 8, = Hay dos soluciones: N.º mayor = 8 N.º menor = N.º mayor = N.º menor = 8 7. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 8. Halla dichos números. Los números son y + + ( + ) = 8 = 9, = 0 Hay dos soluciones: Actualmente Dentro de 0 años + 0 + 6 + 6 70 km/h 00 km/h N.º menor = 9 N.º mayor = 0 N.º menor = 0 N.º mayor = 9 Café A Café B Mezcla 4,8 7, 6,5 60 60 4,8 + 7,(60 ) = 6,50 60 7. Calcula las dimensiones de una finca rectangular sabiendo que tiene dam de larga más que de ancha y su superficie es de 40 dam B
SOLUCIONARIO 65 + Área = 40 dam 88. 9 ( + 4) = 5 ( 4) = 6/ 89. (7 + 5) = 4 (5 + ) = 5/ ( + ) = 40 = 5, = 8 La solución negativa no tiene sentido. Ancho = 5 dam Largo = 8 dam EJERCICIOS PROBLEMAS. ECUACIONES DE. ER GRADO Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 74. + = 9 = 7 75. = = 5 76. = 5 = 5 77. = 7 = 78. 4 = = /4 79. 5 = 0 = 5 80. 5 + 7 = 0 = 7/5 8. ( 4)( + 5) = 0 = 0, = 4, = 5 8. ( + )(5 6)( + 5) = 0 = /, = 6/5, = 5 Resuelve las siguientes ecuaciones: 8. 7 + = 4 0 = 4 84. 5 + = 7 + 4 = 85. 6 + 5 = + = 4 86. 6 4 + 6 = + 5 = 5/4 87. 4( + 5) + = 4 ( 4) = 4/ 90. 5( ) + ( + ) = 6( ) = 6 9. = + = 5/ 4 9. = 5 = 4 9. ( ) = 5 + 4 = 6/7 5 0 94. + = 0 = 8/. ECUACIONES DE. o GRADO Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 95. = 8 = 9, = 9 96. = 0 = = 0 97. = 6 = 6, = 6 98. 7 = 0 = = 0 99. 64 = 0 = 8, = 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: 00. = 0 = 0, = 0. ( ) 6 = 0 =, = 6 0. 6 7 = 0 =, = 7 0. ( + ) = 4 = = 04. + 6 = 0 =, = 05. 5 = 0 = 5, = 5 0 4 +
66 SOLUCIONARIO 06. ( 4) = ( ) = 0, = 07. ( ) 7 = 0 =, = 5 08. 4 9 = 0 = /, = / 09. 6 7 = 0 = /, = / 5 0. = ( ) 4 = 9/, = 0. 5 4 = = 0, = 4/. 5 + 6 = 0 = /4, =. 4 5 = + 6 = /5, =. NÚMERO DE SOLUCIONES. FACTORIZACIÓN Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuántas soluciones tienen: 4. + = 0 = + 48= 49 > 0 Tiene dos soluciones. 5. 4 + = 0 = 6 5 = 6 < 0 No tiene soluciones reales. 6. 9 + 4 = 0 = 44 44 = 0 Tiene una solución doble. 7. 4 + = 0 = 44 08 = 64 < 0 No tiene soluciones reales. Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios: 8. 4 4 ( /4) 9. 44 ( + )( ) 0. 9 + + 4 9( + /). 0 7 6 0( + /5)( /4) Halla, en cada caso, una ecuación de.º grado cuyas soluciones son:. = 4, = 5 6 ( 4)( + 5) = 0 + 0 = 0. = /4, = ( /4)( + ) = 0 + 5 /4 / = 0 4 + 5 6 = 0 4. =, = / ( + )( + /) = 0 + 0 / + = 0 + 0 + = 0 5. = /5, = / ( /5)( + /) = 0 + /0 /5 = 0 0 + 6 = 0 Calcula la suma y el producto de las soluciones de las siguientes ecuaciones, sin resolver estas: 6. 8 + = 0 S = 8, P = 7. 7 + = 0 S = 7, P = 8. 6 + = 0 S = /6, P = / 9. 5 6 + = 0 S = 6/5, P = /5 4. PROBLEMAS DE ECUACIONES 0. Calcula tres números enteros consecutivos tales que la suma de los tres sea igual al doble del segundo. Primer número: Segundo número: Tercer número: + + + + = = 0 Primer número = Segundo número = 0 Tercer número =. Si se disminuye la altura de un rectángulo en,5 cm, el área disminuye en cm. Calcula la base del rectángulo.,5 = = 6 La base mide 6 cm. Hace siete años, la edad de un padre era cinco veces la del hijo. Si actualmente es solo el triple, qué edad tiene cada uno? Hijo Padre 5 + 7 = ( + 7) = 7 Edad del hijo = 4 años. Edad del padre = 4 años. Hace 7 años Actualmente + 7 5 5 + 7. Se mezcla azúcar de,5 /kg con azúcar de,4 /kg y se obtienen 00 kg de mezcla a,9 /kg. Cuántos kilos de cada clase se han mezclado?,5
SOLUCIONARIO 67 Precio ( /kg) Peso (kg) Dinero ( ),5 +,4(00 ) =,9 00 = 80 Azúcar A: 80 kg Azúcar B: 0 kg 4. Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las tres y media? = 80 = 5 El ángulo que forman es de 90 5 = 75 5. Un vehículo sale de A con dirección a B y lleva una velocidad constante de 80 km/h. En el mismo instante, otro vehículo sale de B hacia A con una velocidad de 60 km/h. Si la distancia entre A y B es de 80 km, a qué distancia de A se cruzan los dos vehículos? A A A El tiempo que tardan ambos es el mismo y la fórmula es: e = v t t = Se encuentran a 60 km de A Azúcar A Azúcar B Mezcla,5,4,9 00 00,5 +,4(00 ) =,9 00 0 6. Calcula dos números naturales consecutivos tales que su producto sea ( + ) = = y = Hay dos soluciones: Número menor =, número mayor = Número menor =, número mayor = 7. Un triángulo rectángulo tiene un área de 44 m. Calcula la longitud de los catetos si uno de ellos mide m más que el otro. ( + ) = 44 = y = 8 La solución negativa no tiene sentido. Los catetos miden: 8 m y m 9 7 6 6 90 80 km/h 60 km/h 80 km e v 80 km 80 km/h 60 km/h 80 = = 60 80 60 5 4 C 80 + B B B PARA AMPLIAR Resuelve las siguientes ecuaciones: 8. 4 + = + 8 = 9. + + 7 = 9 0 = 40. 5 + = 8 = 7 4. 5 + 9 + = + 5 + 7 = 4 4. ( 7) + = 5 = 5 4. ( ) = 4( ) 5 = 44. ( ) = ( + 4) 5 = 6 45. ( + ) = ( ) = / 46. 8( + ) = 7 + (5 + ) = 47. ( 6) = ( + 5) = /5 48. ( ) = 4 (5 6) = /9 49. 4( ) ( ) = (4 ) = 6 5 + 4 50. = = 7 5 + 9 5. = = 4 + 5. = = 7 5 5. = = / 5 4 + 54. = + 4 = / 55. = 5 = 7 7 + 6 6 5 5 6
68 SOLUCIONARIO + + 7 56. (5 4) = 5 4 6 = / 7 + 4 57. + = 5 4 = 4/ + 58. = + 7 4 = / 59. = + 4 5 = / 4 + 5 60. = 8 8 = / 7 6. ( ) + = + 4 6 = + 0 6. = + 4 = 5 7 6. = + 6 4 = 5/4 + + 64. = 6 6 = 65. = 5 = 4 + + 66. = + 6 5 = + 67. + = + 4 6 6 = 4/5 5 68. 8 = 4( ) = 5 + 7 69. = 4 8 = / 4 7 70. = 8 6 8 = + + 7. = 6 4 = /5 8 9 + 6 + 9 + + 5 4 5 7. 5 = 0 = = 0 7. 8 = 0 = 9, = 9 74. + 5 = 0 = 5, = 75. 44 = 0 =, = 76. 5 = 0 = /, = 77. 4 = 0 = 0, = 4 78. 4 = 0 =, = 6 79. 4 5 = 0 = 5/, = 5/ 80. + 6 = 0 =, = / 8. 5 7 + = 0 = /5, = 8. 69 = 0 =, = 8. + 6 = 0 = /, = 84. 5 9 = 0 = 0, = 9/5 85. = 4 = 0, = 4 86. 5 5 + 4 = 0 = 4/5, = /5 87. 4 8 = 0 = 9/, = 9/ 88. 6 + = 0 =, = /6 89. 4 + 9 = 0 = 0, = 9/4 90. 4 7 + = 0 = /4, = 9. 9 = 0 = /, = /
SOLUCIONARIO 69 9. 4 8 + = 0 = /, = / 9. 5 + = 0 = /5, = 0 94. 9 + 0 = 0 = 5, = 4 95. 4 + 0 = 0 =, = 5/4 96. 5 = 0 = /5, = /5 97. 9 8 7 = 0 = /, = 7/ 98. 5 + 8 4 = 0 =, = /5 99. + 4 = 0 = /4, = 0 00. 4 7 + 5 = 0 =, = 5/4 0. 7 5 = 0 = /7, = 0. ( ) = 0 = = / 0. ( ) = 0 = 0, = 04. ( )( ) = 0 =, = / 05. ( + )( ) = ( + ) + 5 =, = 5 06. ( + ) (6 + ) = ( + )( ) = = 0 07. 6 + = 0 5 5 = /5, = 08. 5 = 0 4 8 = /, = 5/4 09. = 8 =, = 4/ 0. 0 8 = 0 = /, = 4. = = /, =. 6 + 5 = 5 + 8 0 = 5, =. 0 = 4 7 = /, = 7/ 4. ( 7) 8 = 0 =, = 6 5. 6 = 4 = = / 6. + = = 9/4, = 7. + = + 6 4 = = 8. + + = 5 =, = / 4 9. = + 6 =, = 4/ 0. 4 + = =, = PROBLEMAS. Se ha plantado /5 de la superficie de una huerta con cebollas; /5 con patatas; / con judías, y el resto, que son 40 m, con tomates. Qué superficie tiene la huerta? Superficie de la huerta: 5 + + + 40 = = 600 5 La huerta mide 600 m. Natalia y Roberto tienen, respectivamente, 8 y años. Al cabo de cuántos años la edad de Natalia será el doble de la de Roberto? Natalia Roberto + 0 8 + = ( + ) = 4 0 + 6 4 5 Actualmente Dentro de años 8 8 + + Dentro de 4 años, Natalia tendrá y Roberto 6 años.
70 SOLUCIONARIO. Qué ángulo forman las agujas del reloj a las tres y cuarto? Ángulo que forman las agujas: = 90 = 7,5 Formarán un ángulo de 7,5 4. Los lados de un rectángulo miden 5 m y m. Al aumentar los lados en una misma cantidad, el área aumenta en 48 m. Cuánto se ha ampliado cada lado? m (5 + )( + ) = 6 + 8 + 5 = 6 + 8 48 = 0 =, = 4 La solución negativa no tiene sentido. Se aumenta 4 m 5. Dos ciudades A y B están a 00 km de distancia. A las diez de la mañana un coche sale desde A hacia B con una velocidad de 80 km/h. Dos horas más tarde, otro coche sale desde B hacia A con una velocidad de 0 km/h. A qué hora se encuentran y a qué distancia de A? A 5 m 5 m 80t + 0(t ) = 00 t =,7 Se encuentran a,7 h = h 4 minutos, es decir, a las horas y 4 minutos, y a una distancia = 6 km de A 6. La edad de Rubén es la quinta parte de la edad de su padre. Dentro de años, la edad de Rubén será la cuarta parte de la edad de su padre. Qué edad tiene cada uno actualmente? 4( + ) = 5 + = 9 Edad de Rubén = 9 años. Edad del padre = 45 años. 7. Calcula un número tal que si se le quita su quinta parte, el resultado sea 60 Número: /5 = 60 = 75 0 9 7 6 6 Actualmente Dentro de años + 5 5 + 5 4 5 + 48 = 6 m + 5 + 80 km/h 0 km/h 00 km B 00 Rubén Padre 8. El cristal rectangular de una puerta mide 0 cm más de alto que de ancho y su superficie mide 0 800 cm. Calcula cuánto miden los lados del cristal. 0 + 9. El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor menos unidades. Encuentra dichos números. Número menor: Número mayor: + ( + ) = 4 =, = Hay dos soluciones: El número menor: ; el número mayor: El número menor: ; el número mayor: 0. Ana tiene años, su hermano Pablo tiene 4, y su padre, 4. Cuántos años deben pasar para que la suma de las edades de Ana y Pablo sea igual a la de su padre? Ana Pablo Padre Actualmente Dentro de años + 4 4 + 4 4 + + + 4 + = 4 + = 6 Tienen que pasar 6 años.. Calcula el área de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en 6 cm, el área se hace nueve veces más grande. 9πR = π(r + 6) R =, R = / El radio negativo no tiene sentido. El radio vale R = cm y su área es 9π cm. Se mezclan 800 kg de harina de 0,4 /kg con 500 kg de harina de 0,54 /kg. Qué precio tiene el kilo de la mezcla? Precio ( /kg) Masa (kg) Dinero ( ) (0 + ) = 0 800 = 60, = 80 La solución negativa no tiene sentido. Ancho: 60 cm Alto: 80 cm 0,4 800 + 0,54 500 = 5 00 = 0,499 = 0,5 Harina A Harina B Mezcla 0,4 0,54 800 500 5 00 0,4 800 + 0,54 500 = 5 00. Sonia se ha comprado un libro y un disco que tenían el mismo precio, pero que han rebajado un 5% y un 0%, respectivamente, cuando ha ido a pagar. Si se ha ahorrado 9, cuánto costaba cada producto? Precio del libro = precio del disco: 0,5 + 0, = 9 = 6 Los dos productos valían 6
SOLUCIONARIO 7 4. Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarlo en 5 unidades, el área aumente en 95 unidades cuadradas. 9. Halla un ángulo que sea igual a un tercio de su ángulo suplementario. + 5 80º = 80 = 45 El ángulo es de 45 ( + 5) = + 95 = 7 El lado del cuadrado mide 7 unidades. 5. Calcula dos números enteros tales que su diferencia sea y la suma de sus cuadrados sea 884 + ( ) = 884 = 0, = Hay dos soluciones: Número menor: número mayor: 0 Número menor: 0 número mayor: 6. A qué hora coinciden, por primera vez, las manecillas del reloj después de las horas? Sea el ángulo que recorre la aguja minutera. ( 0) = =,7 Se encontrarán cuando la aguja minutera haya recorrido un ángulo de,7, es decir,,7 : 0 =,09 h = hora 5 minutos 4 segundos. 7. Ruth tiene 7 años y su madre tiene 47. Cuánto ha de transcurrir para que la edad de la hija sea la mitad de la de la madre? Ruth Madre 47 + = (7 + ) = A los años. 8. De un tablero de 400 cm se cortan dos piezas cuadradas, una de ellas con 5 cm más de lado que la otra. Si las tiras de madera que sobran miden 8 cm, cuánto miden los lados de las piezas cuadradas cortadas? Actualmente Dentro de años 7 7 + 0 9 7 6 6 47 47 + + ( + 5) + 8 = 400 = 6, = La solución negativa no tiene sentido. Las piezas son de cm de lado y de + 5 = 6 cm de lado, respectivamente. 5 4 + 5 + 5 + 5 40. Se desea obtener 8 000 kg de pienso mezclando maíz a un precio de 0,5 /kg con cebada a un precio de 0, /kg. Si se desea que el precio de la mezcla sea de 0,45 /kg, cuántos kilos de maíz y de cebada necesitamos? Precio ( /kg) Masa (kg) Dinero ( ) 0,5 + 0,(8 000 ) = 0,45 8 000 = 6 000 Maíz: 6 000 kg Cebada: 000 kg 4. Andrés sale a caminar desde su casa a una velocidad de 6 km/h. Una hora más tarde, su hermana Virginia sale a buscarle en bicicleta a una velocidad de 6 km/h. Cuánto tardará en alcanzarlo? V Tiempo que tarda Virginia en alcanzar a Andrés desde la salida de Andrés: 6t = 6(t ) t = /0 h =, h Tarda en alcanzarlo /0 h = 0, h = 8 min 4. Se desea mezclar 50 kg de azúcar blanca de,4 /kg con azúcar morena de,48 /kg. Cuántos kilos de azúcar morena se necesitan para que la mezcla salga a, /kg? Precio ( /kg) Masa (kg) Dinero ( ),4 50 +,48 =,(50 + ) = 5 Se necesitan 5 kg de azúcar morena. PARA PROFUNDIZAR Maíz Cebada Mezcla 0,5 0,54 8 000 8 000 0,5 + 0,(8 000 ) = 45 8 000 6 km/h 6 km/h A Azúcar blanca Azúcar morena Mezcla,4,48, 50 50 +,4 50 +,48 =,(50 + ) 4. Elvira compra unos zapatos, una camisa y una chaqueta. Si la camisa cuesta la mitad que la chaqueta y esta la mitad que los zapatos, y ha pagado 6, cuánto cuesta cada cosa? Precio de la camisa: + + 4 = 6 = 8 La camisa vale 8, la chaqueta, 6 y los zapatos, 7
7 SOLUCIONARIO 44. Los lados de un rectángulo miden 7 y 9 cm. Si se amplían los lados en una misma cantidad, la nueva área es de 4 cm. Cuánto se ha ampliado cada lado? 9 cm 45. A qué hora forman las manecillas del reloj un ángulo de 0 por primera vez después de las horas? Sea el ángulo de la aguja horaria. 0 + = = 0,9 La aguja horaria recorre un ángulo de 0,9 La aguja minutera recorre un ángulo de 0,9 que corresponde a,88 minutos, es decir, serán las: horas minutos y 49 segundos. 46. Calcula un número tal que multiplicado por su mitad sea igual a su cuarta parte más 9 Número: = + 9 = 4, = 9/ 4 47. Halla un número cuya mitad más su cuarta parte sea igual a 9 Número: + = 9 = 5 4 48. Halla un número cuya mitad, más su tercera parte, más una unidad, sea igual que el número. Número: 9 + 7 cm 7 + + + = = 6 (7 + )(9 + ) = 4 = 0, = 4 La solución negativa no tiene sentido. Se ha ampliado 4 cm 0 49. Las diagonales de un rombo miden 8 cm y cm. Qué longitud se debe añadir a las diagonales para que el área del rombo se duplique? 9 cm 7 6 6 5 4 0 (8 + )( + ) 4 = = 6, = 6 La solución negativa no tiene sentido. Hay que aumentar 6 cm 50. Halla el valor de k en la siguiente ecuación de forma que su solución sea : k = k = 6 k = 4 5. Una solución de la ecuación 0 6 = 0 es /. Calcula la otra solución sin resolver la ecuación. / + = b/a / + = /0 = /0 / = /5 5. En la ecuación 8 8 + k = 0, halla el valor de k de forma que una solución sea el doble de la otra. Sean las soluciones, = + = b/a = 9/4 = /4 = c/a = k/8 9/8 = k/8 k = 9 Para k = 9 las soluciones son = /4, = / 5. Un grifo llena un depósito en horas y otro lo hace en 6 horas. Cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito los dos grifos a la vez? Tiempo que tardan: (/ + /6) = = Tardan horas. 8 4 54. En un rectángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos mide 50 m. Si la razón de los lados es 4/, calcula el área del rectángulo. 50 m 8 cm cm cm Sea la mitad del lado menor. 4 + ) ( = 50 = 0, = 0 La solución negativa no tiene sentido. Para = 0 m, el área es: A = 80 60 = 4 800 m 55. Julio invierte 4 000 en acciones de dos empresas. En una gana el 5% y en otra pierde un,5%. Si al venderlas obtiene 4 60, cuánto invirtió en cada empresa?
SOLUCIONARIO 7 Dinero invertido en una empresa: 0,5 0,05(4 000 ) = 60 = 6 000 En una empresa invierte 6 000 y en la otra 8 000 APLICA TUS COMPETENCIAS 56. En cuánto tiempo recorrerá un móvil 4 00 m, si parte con una velocidad de 5 m/s y con una aceleración de 4,5 m/s? 4,5 t + 5t = 4 00 t = 40 segundos 57. Se deja caer una pelota desde 0 m. Si la aceleración es de 9,8 m/s, cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al suelo? La fórmula que tienes que aplicar es: e = gt 9,8 t = 0 t =,47 segundos 5. Halla una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones: = /, = 5 ( /)( + 5) = 0 + 7 / 5/ = 0 + 7 5 = 0 6. Encuentra un número tal que multiplicado por su cuarta parte sea igual al doble del número menos unidades. Número: = 8 + = 0 4 =, = 6 Hay dos soluciones: el número y el número 6 7. Los lados de un rectángulo miden 9 cm y 7 cm. Si se amplían los lados en una misma cantidad, la nueva área es de 4 cm. Cuánto se ha ampliado cada uno? COMPRUEBA LO QUE SABES. E plica cómo se factoriza un trinomio de segundo grado y pon un ejemplo. Un trinomio de segundo grado a + b + c con las soluciones y se descompone factorialmente de la siguiente forma: a + b + c = a( )( ) Ejemplo: Halla la descomposición factorial de 4 + 8 5: 4 + 8 5 = 0 tiene las soluciones 5 =, = Luego: 4 + 8 5 = 4( )( + 5 ). Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( 5) 4( ) = ( ) 7 7 b) = ( + ) 5 a) 5/ b) /5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + 4 = 0 b) + 5 4 + 0 = + 5 0 7 5 0 7 5 a) = 6, = b) = /, = 4. Justifica el número de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones, sin resolverlas: a) 5 + 7 = 0 b) + 8 = 0 c) 4 = 0 d) 9 + 4 + 6 = 0 a) = 5 8 = < 0 No tiene solución real. b) = 44 96 = 48 > 0 Tiene dos soluciones. c) = 6 > 0 Tiene dos soluciones. d) = 576 576 = 0 Tiene una solución doble. 7 cm (9 + )(7 + ) = 4 + 6 80 = 0 = 0, = 4 La solución negativa no tiene sentido. Se ha ampliado 4 cm 8. Teresa tiene años, su hermano Diego tiene 7, y su padre, 44. Cuántos años deben pasar para que la suma de las edades de Teresa y de Diego sea igual a la del padre? Teresa Diego Padre + + 7 + = 44 + = 5 años. WINDOWS/LINU PASO A PASO 9 cm Edad actual Dentro de años + 7 7 + 44 44 + 58. Resuelve la siguiente ecuación: 4 + = 59. Resuelve la siguiente ecuación: + 4 = 0 60. Representa gráficamente la siguiente parábola y calcula las soluciones de la ecuación correspondiente observando la gráfica. y = + 4 9 + 4 7 +
74 SOLUCIONARIO 6. Halla la descomposición factorial del polinomio + 6 6. Halla una ecuación de. o grado que tenga las raíces 5 y Representa gráficamente las siguientes parábolas y calcula las soluciones de las ecuaciones correspondientes observando las gráficas. 7. y = 4 Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Wiris: 6. El lado de un cuadrado mide m más que el lado de otro cuadrado. Si la suma de las dos áreas es 89 m, calcula las dimensiones de los cuadrados. ( + ) ( + ) =, = 74. y = + 4 + 4 PRACTICA Resuelve las siguientes ecuaciones: 64. 6 + = 4 + 7 = 65. 4 ( + 5) = 5 ( ) = = 75. y = + + = 9/5 7 9 66. = + 7 5 0 = 5/ 0 67. + = 0 5 = 5 68. 4 = 0 = 0, = /4 69. 4 8 = 0 = 9/, = 9/ 70. 5 + 6 = 0 =, = 76. y = + 4 =, = 7. 4 + 4 = 0 = = 7. 8 = 0 = /, = /4 = 4, =
SOLUCIONARIO 75 Halla la descomposición factorial de los siguientes trinomios de segundo grado: 77. 0 ( + 4)( 5) 78. + 8 + 5 ( + )( + 5) Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raíces: 79. = 7, = 9 + 6 = 0 80. =, = + = 0 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 8. Calcula un número tal que, si se le quita su quinta parte, el resultado sea 60 /5 = 60 = 75 8. Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que son números enteros consecutivos. Cateto menor: + ( + ) = ( + ) =, = La solución negativa no tiene sentido. Los lados del triángulo miden:, 4 y 5 cm 8. Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarlo en 5 unidades, el área aumente en 95 unidades cuadradas. ( + 5) = + 95 = 7 84. Se desea mezclar 50 kg de azúcar blanca de,4 /kg con azúcar moreno de,48 /kg. Cuántos kilos de azúcar moreno se necesitan para que la mezcla salga a, /kg?,4 50 +,48 =,(50 + ) = 5 kg 85. Las diagonales de un rombo miden 8 cm y cm. Qué longitud se debe añadir a las diagonales para que el área del rombo se duplique? (8 + )( + ) = 8 = 6, = 6 La solución negativa no tiene sentido. Hay que aumentar 6 cm
76 SOLUCIONARIO 7. Sistemas de ecuaciones lineales. SISTEMAS LINEALES. RESOLUCIÓN GRÁFICA PIENSA CALCULA a) En qué punto se cortan la gráfica roja y la azul del dibujo? s r. Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente: + y = 4 y = } Criterio: = = 4 Tiene infinitas soluciones. Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado. b) Tienen algún punto en común las rectas del dibujo? Cómo son estas rectas? a) P (, ) b) No. Son paralelas. CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 7,58 : 0,4 C = 06,58; R = 0,0008 APLICA LA TEORÍA. Comprueba que =, y = es solución del siguiente sistema: y = 9 5 + y = 4} ( ) = 6 + = 9 5 + ( ) = 0 6 = 4 s r =, y = ; =, y = ; =, y = 5, 4. Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente: y = 7 + y = } Criterio: Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. P(, ). Resuelve gráficamente el siguiente sistema: + y = 4 y = 5} =, y = P(, ) 5. Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene. Haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente: + y = 5 6 + y = } =, y = 5 Criterio: = 6 No tiene una solución. Son rectas paralelas.
SOLUCIONARIO 77 Sistema incompatible. Se sustituye el valor de de la segunda ecuación en la primera ecuación. =, y = 6. Escribe un sistema que tenga como solución =, y = + y = 5 y = }. MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN E IGUALACIÓN PIENSA CALCULA Resuelve mentalmente el siguiente sistema sustituyendo el valor de y de la primera ecuación en la segunda: + y = + y = 50} 0. Resuelve el siguiente sistema: = y + = 6y} Se igualan los valores de la. = /, y = /4. Resuelve el siguiente sistema: = y y = 7 Se eliminan los denominadores: = 6y 6 y = } Se sustituye el valor de de la primera ecuación en la segunda. = 4, y =. Resuelve el siguiente sistema: y = 0,5 y = 0,5 + 0,5} Se igualan los valores de la y. =, y = 0,5. REDUCCIÓN QUÉ MÉTODO UTILIZAR + = 50 = 50 = 50 y = y = 50 = 00 CARNÉ CALCULISTA Desarrolla: (a 5) = 4a 0a + 5 Factoriza: 0 + 5 = ( 5) APLICA LA TEORÍA 7. Resuelve por el método más sencillo: y = 4y = 0} Se sustituye el valor de y de la primera ecuación en la segunda. =, y = 8. Resuelve por el método más sencillo: y = 7 y = } Se igualan los valores de la y. = 4, y = 5 9. Resuelve por el método más sencillo: + y = = 5y 7 } PIENSA CALCULA Suma mentalmente las dos ecuaciones del sistema y halla el valor de Sustituye mentalmente este valor en la primera ecuación y halla el valor de y 5 + y = y = 4} 8 = 6 = 5 + y = y = CARNÉ CALCULISTA + Resuelve la ecuación: = 4 5 = 8 APLICA LA TEORÍA. Resuelve por el método más sencillo: + y = 7 5 y = } Se suman las dos ecuaciones. =, y = 4. Resuelve por el método más sencillo: y = 8 + 7y = } 5 6 Se cambia de signo la primera ecuación y se suman. =, y =
78 SOLUCIONARIO 5. Resuelve por el método más sencillo: + y = 5 6 + 5y = } Se multiplica la primera ecuación por y se le resta la segunda. =, y = 6. Resuelve por el método más sencillo: y = 4 + 5y = } Se multiplica la primera ecuación por 5 y la segunda por y se suman. =, y = 7. Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo: y = 4 + y = 5} Por sustitución. =, y = 7 8. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema: + y = 7 4 y = 4} Por reducción, se suman las dos ecuaciones. = /, y = 9. Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo: = y = y 6} Por igualación. = 9, y = 5 4. PROBLEMAS DE SISTEMAS PIENSA CALCULA En el dibujo está planteado un sistema correspondiente a dos ecuaciones con dos incógnitas. a) Suma las dos ecuaciones y halla el valor de una tarjeta. b) Observando la primera ecuación y sabiendo el valor de una tarjeta, calcula el valor de un disco blu-ray. a) tarjetas = 0 tarjeta = 0 b) disco blu-ray = 5 CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: 6 = 0 = 0, = APLICA LA TEORÍA 0. Halla dos números sabiendo que uno es el doble del otro y que entre los dos suman 5 Primer número: Segundo número: y y = + y = 5} = 7, y = 4. En un garaje hay 8 vehículos entre coches y motos. Sin contar las ruedas de repuesto hay 58 ruedas. Cuántas motos y coches hay? Número de coches: Número de motos: y 4 + 4y = 8 4 + y = 58} Coches: =, motos: y = 7. El perímetro de un triángulo isósceles mide 65 m, y cada uno de los lados iguales mide el doble del lado desigual. Cuánto mide cada lado? Medida del lado desigual: Medida de cada uno de los lados iguales: y + y = 65 + y = } Lado desigual: = m Cada lado igual: y = 6 m. El doble de un número más el triple de otro número es igual a 80, y el quíntuplo del primero menos la mitad del segundo es igual a 56. De qué números se trata? Primer número: Segundo número: y + /y = 80 5 y / = 56} =, y = 8 y 4. Los alumnos de un centro van a ir al teatro. El precio de una entrada sin descuento es de 4,5 ycon descuento especial para colegios es de,5. Se sacan 50 entradas, unas con descuento y otras sin descuento, y en total se pagan 675. Cuántas entradas se han comprado con descuento? sin descuento? Número de entradas sin descuento: Número de entradas con descuento: y,5 +,5y = 50 4,5 +,5y = 675} Entradas sin descuento: = 00 entradas. Entradas con descuento: y = 50 entradas. y
SOLUCIONARIO 79 5. Tres DVD y CD cuestan ; 4 DVD y 4 CD cuestan 8. Calcula cuánto cuestan cada DVD y cada CD. 0. y = 4 + y = 7} Precio del DVD: Precio del CD: y + y = 4 + 4y = 8} Cada DVD: = Cada CD: y =,5 P(, ) 6. Halla la ecuación de la recta a + by = sabiendo que pasa por los puntos A (, ) y B (, 7) a + b = a + 7b = } a = 0, b = 4 La recta es: 0 4y = 5 y = EJERCICIOS PROBLEMAS. SISTEMAS LINEALES. RESOLUCIÓN GRÁFICA =, y =. + y = 6 y = } 7. Comprueba que =, y = 5 es solución del siguiente sistema: + y = 4 + 5y = } ( ) + 5 = + 0 = 4 ( ) + 5 = 4 + 5 = Resuelve gráficamente los siguientes sistemas: 8. y = 5 + y = 4} =, y = 4. 4y = + y = } P(, 4) P(, ) P(4, ) =, y = 9. y = + y = 8} = 4, y =. + 4y = 0 + y = 9} P(, ) P(, ) =, y = =, y =
80 SOLUCIONARIO Aplica el criterio que relaciona los coeficientes de cada sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente: 4. + y = + y = } Criterio: = No tiene solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible. 7. + y = 7 + 9y = 5} 7 Criterio: = 9 5 No tiene solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible. 5. + y = + 4y = 6} Criterio: = = 4 6 Tiene infinitas soluciones. Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado. 8. + y = 4 y = } Criterio: = = 4 Tiene infinitas soluciones Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado. =, y = ; =, y = 0; = 5, y = 6. 4y = 5 + y = 4} Criterio: Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. = 0, y = ; =, y = ; =, y = 9. 4y = 9 5y = 0} Criterio: 5 Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. P(5, ) P(, ) =, y = = 5, y =
SOLUCIONARIO 8 40. Escribe un sistema que tenga como solución: =, y = + y = + y = }. MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN E IGUALACIÓN Resuelve por el método más sencillo: 4. = y + 7y = } Se sustituye el valor de de la primera ecuación en la segunda ecuación. =, y = 4. 7 + y = 4 y = 5 } Se sustituye el valor de y de la segunda ecuación en la primera ecuación. = /, y = / 4. y = 5 y = } Se igualan los valores de la y. = 6/5, y = 7/5 44. y = + y = 5 4} Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de y. =, y = 45. y = y = 7 } Se sustituye el valor de y de la segunda ecuación en la primera ecuación. =, y = 46. = 0,75y = 0,5y + 5 } Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de. = 4,, y =,6. REDUCCIÓN QUÉ MÉTODO UTILIZAR Resuelve por el método más sencillo: 47. + y = 7 + 5y = } Se aplica el método de reducción. Se suman las dos ecuaciones. =, y = 4 48. y = 4y = 0} Se aplica el método de sustitución. Se sustituye el valor de y de la primera ecuación en la segunda ecuación. =, y = 49. 4 5y = 5y = 9} Se aplica el método de reducción. Se cambia de signo la segunda ecuación y se suman. =, y = 50. = y + + 4y = 5} Se aplica el método de sustitución. Se sustituye el valor de de la primera ecuación en la segunda ecuación. = /5, y = /5 5. 4y = 5 + 6y = 5} Se aplica el método de reducción. m.c.m. (4, 6) = Se multiplica la primera por y la segunda por y se suman. =, y = 0 5. y = + y = 4 } Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de y de las dos ecuaciones. =, y = 0 5. y = 9 5 + 4y = } Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por y se suman. =, y = 54. y = + 8 y = } Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de y =, y = y 55. + = 5 y = 4 Se eliminan denominadores. + y = 0 y = 54} Se aplica el método de sustitución. Se despeja y de la segunda ecuación y se sustituye en la primera. = /4, y = / y 56. + = 4 5 ( ) + (y + ) = 4 Se eliminan denominadores: 5 4y = 0 + y = 5} Se resuelve por reducción multiplicando la segunda ecuación por y sumando. =, y = 5/
8 SOLUCIONARIO 4. PROBLEMAS DE SISTEMAS 57. Halla dos números sabiendo que uno es el cuádruplo del otro y que entre los dos suman 55 Primer número: Segundo número: y y = 4 + y = 55} =, y = 44 58. Dos hogazas de pan y 8 barras pesan 6 kg y barras y una hogaza pesan 4 kg. Cuánto pesa cada barra de pan y cada hogaza? Peso de la hogaza: Peso de la barra: y 8y = 6 + y = 4} Peso hogaza: =,5 kg Peso de la barra: y = 0,5 kg = 5 g PARA AMPLIAR 6. Resuelve gráficamente los sistemas: a) + y = 0 b) y = 0 y = 0} b) y = 0} a) = 0, y = 0 b) O(0, 0) 59. El triple de un número menos el doble de otro número es igual a 45 y el doble del primero menos la cuarta parte del segundo es igual a 4. De qué números se trata? Primer número: Segundo número: y y = 45 + y /4 = 4} =, y = = 0, y = 0 O(0, 0) 60. El perímetro de un romboide mide 4 m y un lado mide 7 metros más que el otro. Cuánto mide cada lado? Lado menor: Lado mayor: y + y = 4 y = + 7 } = 7 m, y = 4 m 6. Un ángulo de un rombo mide el doble que el otro. Cuánto mide cada ángulo? Ángulo menor: Ángulo mayor: y y = + y = 80} = 60, y = 0 y y Resuelve por el método más sencillo los siguientes sistemas: 6. + y = 5 4y = 40} Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por y se suman. = 4, y = 5 64. = 6 y = y } Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de = 7, y = 9 65. + y = y = 45} Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por, la segunda por y se suman. =, y = 66. 5y = 4 y = 7 } Se aplica el método de sustitución. Se sustituye y de la segunda ecuación y se sustituye en la primera. =, y = 67. = y 7 = 5 y} Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de =, y = 4