Profesor: Arturo Cifuentes Auxiliar: Pedro Ramírez, Javier Zapata R. Auxiliar #10 Supongan que quieren hacer un contrato forward para comprar un monto Q de activos. En un mundo ideal, podrían encontrar un contrato donde cubrir por completo la posición. Supongamos que quieren armar el contrato forward para el momento t 2, entonces: En t 1 fijan el precio F 1 del contrato forward para la fecha t 2 En t 2 adquieren los activos al precio spot S 2 En la fecha t 2, el precio del forward (los outflows menos los inflows ejecutados) resulta igual a Q(S 2 F 1 ). Análogamente, si el contrato hubiera sido hasta un instante T, y pudieran adquirirse contratos forwards para la fecha T, el precio del forward hubiera sido Q(S T F 1 ). En este caso, el F 1 es el precio fijado del contrato forward para la fecha T. Supongamos que este mundo es mas real y quieren fijar un contrato futuro para una fecha t 2. Lamentablemente, no hay contratos futuros para esa fecha pero si la hay para la fecha T, la que debiera ser la fecha del contrato más próximo a la fecha que buscan pero siempre de mayor vencimiento (T>t 2 ). En este caso el proceder será el siguiente: En t 1 fijan el precio F 1 del contrato forward (de compra) para la fecha T En t 2 adquieren los activos al precio spot S 2 A diferencia del caso anterior, además ahora cierran la posición, es decir, toman una posición corta (de venta) sobre el mismo monto Q de activos sobre el cual tomaron una posición larga en un futuro. Para ello venden un futuro sobre Q a un precio futuro F 2 con vencimiento en T, cerrando así la posición tomada en Q unidades a precio F 1. Cuál es la idea de cerrar la posición? Es que ahora esos Q activos que se comprometieron a comprar con el futuro en T a un precio F1, se los venderán a otro inversionista a un precio F2. Si se fijan la idea de tomar el contrato forward inicial a un vencimiento T, mayor que la fecha en que se desea adquirir los activos (t2) es para poder cerrar la posición durante el resto de período que queda, ya que el mercado de futuros es más líquido para períodos más cortos de tiempo que para períodos largos. Al cerrar la posición lo que logran es anular un contrato donde tienen una posición larga, con otro donde tienen una posición corta. De esta manera lo que reciban en uno, se lo entregarán al otro.
En la fecha t 2, el precio del forward (los outflows ( menos los inflows ejecutados) resulta igual a Q(S t2 + F 1 -F 2 )= QS t2 - Q(F 2 F 1 ). Volviendo ahora formalmente a lo que vieron en cátedra. Si ahora agregan el caso de que pudieron cubrir parcialmente la posición (manteniendo el hecho de que no encontraron un contrato forward para la fecha que buscaban), es decir, del monto Q de activos solo pudieron cubrir una cantidad H menor que Q, entonces: En t 1 fijan el precio F 1 del contrato forward para la fecha T, sobre la cantidad H En t 2 adquieren los Q activos al precio spot S 2 Cierran la posición, es decir, toman una posición corta (de venta) sobre el mismo monto H de activos. Para ello venden un futuro sobre H a un precio futuro F 2 con vencimiento en T. En la fecha t 2, el precio del forward (los outflows( Q S t2 + H F 1 ) menos los inflows ( HF 2 ) ejecutados) resulta igual a Q S t2 + H F 1 -HF 2 =Q S t2 H(F 2 F 1 ). Dada la incertidumbre de los precios spot y los futuros, la mejor estrategia que minimiza la varianza será h* = H*/Q = optimal hedge ratio = ρ (σ ΔS / σ ΔF ), con ρ la correlación entre ΔS y ΔF, definidos como S T S y F T S respectivamente. Futuro de Tipo de Cambio ( Mirar ejercicios Auxiliar 9) Para efectos prácticos, consideremos que la tasa de interés sobre pesos y dólares planas y continuas (r CLP y r USD ). En el caso de un mercado ideal, una persona en t 1 que quisiera asegurar su compra de dólares en t 2 procederá iguale que en los casos descritos anteriormente, y en la fecha t 2 el valor de su posición larga en el forward será Q(S t2 F 1 ). En este caso, F 1 corresponde al tipo de cambio fijado para la fecha t 2.Por su parte S t2, corresponde al tipo de cambio spot en la fecha t 2. Cuál es el valor de un contrato forward en momento t, tal que t 1 <t<t 2 (es decir después de fijar el contrato y antes de que llegue su vencimiento)? ( ) Es decir, el monto en dólares que tendrán que adquirir en t2, en valor presentes (descontado a r USD ) menos el outflow por la compra del futuro, con el monto que recibirán en dólares, pasado a pesos (Q * F1) y traído a valor presente (r CLP ). En el caso de un contrato de venta de dólares, es la contraparte de quien hace un contrato largo de compra de dólares. Es decir, el valor de su posición es al revés: ( )
Problema 1 Un productor de carne de vacuno está comprometido a comprar 200 mil libras de ganado para el 15 de Noviembre. Hoy es 15 de Octubre, y el productor quiere usar el contrato futuro a Diciembre del mismo año para cubrir su riesgo (hedge its risk). Los contratos ofrecidos a esa fecha son por 40 mil libras de ganado cada uno. Para ello, el productor cuenta con la siguiente información: La desviación estándar de los cambios mensuales en el precio spot del ganado (en centavos/libra) es 1,2. La desviación estándar de los cambios mensuales en el precio de los futuros de ganado, para el contrato más próximo (a Diciembre del año en curso) es 1,4. La correlación entre el cambio del precio de los futuros y y el precio spot es 0,7. Qué estrategia debería seguir el productor de vacuno? Problema 2 Usted produce harina y desea adquirir 3.2 mil kilogramos de trigo en un 1 mes más. Las únicas opciones posibles de hedge son contratos forward de compra para 2 meses más, de un tamaño de 3 mil kilogramos, para comprar hoy o en un mes más. Usted desconoce el comportamiento entre el precio del trigo y sus futuros además solamente puede adquirir un contrato. a) Qué estrategia debiera tomar? b) Si el precio de trigo hoy y en un mes más son $10 y $12 respectivamente. Los precios del futuro hoy y en un mes más son $14 y $15 respectivamente. Cuánto ganó o perdió con su estrategia? a) La estrategia es adquirir una posición larga en un futuro hoy. En un mes más, adquirir una posición corta en un futuro y adquirir el activo. b) Q S t2 H(F 2 F 1 ) = 100x 3.2 x 12 100x 3 x (15-14) = 3840 300 = 3540 Problema 3 Considere un portafolio compuesto por dos opciones escritas en la misma acción: - Posición larga (compradora) en una call europea - Posición corta (vendedora) en una put europea ambas con la misma fecha de expiración, T, y el mismo precio de ejercicio, K. (a) Cuál es el pago de este portafolio en T, como función del precio de la acción en T? V(T)=c(T)-p(T)=max(S(T)-K,0)-max(K-S(T),0) S(T)>K S(T)<K V(T)S S(T)-K -K-S(T) (b) Qué otro derivado tiene la misma función de pago?
Una posición larga (compra) de un forward con contrato K. (siempre se ejerce en T y da como flujo la diferencia entre el precio del subyacente y el precio de ejercicio). Problema 4 Considere ahora la siguiente estructura de pagos: Los precios de las opciones disponibles son: Precio Strike 55 60 65 Call 12,8327 9,9979 7,6542 Put 2,667 4,3626 6,5493 a) Qué combinaciones de opciones subyacen a la estructura de pagos del gráfico? (considere la posibilidad con el menor número de opciones posibles). Determine cuánto vale la estructura. b) Encuentre el valor de X en la figura. Cómo se arman las estructuras? En el caso que usen opciones Call:
En el caso que usen opciones Put: a) Existen 2 formas de armar la estructura de pagos: Alternativa 1 (usando Calls): - Compro una Call con precio de ejercicio 55 - Vendo dos Calls con precio de ejercicio 60 - Compro una Call con precio de ejercicio 65
Alternativa 2 (usando Puts): - Compro una Put con precio de ejercicio 55 - Vendo dos Puts con precio de ejercicio 60 - Compro una Put con precio de ejercicio 65 Valor alternativa 1: V = 12,8327-2*9,9979 + 7,6542 = 0,4911 Valor alternativa 2: V = 2,6670-2*4,3626 + 6,5493 = 0,4911 b) Alternativa 1, cuando ST = 60: max(0,60-55)-2*max(0,60-60)+max(0,60-65)-v=5-0,4911=4,5089 Alternativa 2, cuando ST = 60: max(0,55-60)-2*max(0,60-60)+max(0,65-60)-v=5-0,4911=4,5089 Problema 5 Suponga que usted tiene la siguiente información sobre precios de opciones que expiran en la misma fecha (las opciones no son fraccionables):
a) Qué combinaciones de opciones subyacen a la estructura de pagos del gráfico? (considere la posibilidad con el menor número de opciones posibles) Determine cuánto vale la estructura. La estructura se arma comprando 2 puts y comprando una call con precio de ejercicio igual a 60 Demostración: Dado que el punto de inflexión está en 60, claramente se necesitan X puts e Y calls con precio de ejercicio de 60. Analicemos la ganancia neta de la estructura cuando St=49,64: X*10,36+0*Y-X*4,3626-Y*9,9979=2 (1) Analicemos la ganancia neta de la estructura cuando St=80,72: X*0+Y*20,72-X*4,3626-Y*9,9979=2 (2) (1)-(2): X*10,36- Y*20,72=0, luego X=2Y Reemplazando X=2Y en (1) 1,9969*Y=2, luego Y=1 y X=2 (1 call y 2 puts) Valor: V = 9,9979 + 2*4,3626 = 18,72 El problema se podría haber resuelto más rápido con un poco de intuición: Caso call: 82,72-60=20,72 Caso put: 60-49,64=10,36 Como 20,72=2*10,36, luego X=2Y b) Cuál es la apuesta de un inversionista que compra esta estructura? Un inversionista que invierte en esta estructura está apostando a grandes variaciones en el precio. Además, cree más probable una caída en el precio que una subida.