LICENCIATURA DE FÍSICA ASIGNATURA ANÁLISIS MATEMÁTICO, CURSO 05-06 PROYECTO DOCENTE. GRUPO II. 1. TEMARIO DE LA ASIGNATUARA PARTE 1: 1. Preliminares. Introducción: Gramática de las Matemáticas. Número real. Introducción axiomática: consecuencias. Conjuntos inductivos. Números naturales. Propiedad Arquimediana: consecuencias. Números enteros. Números racionales e irracionales. Valor absoluto. Desigualdades. Plano cartesiano. Distancia en el plano. Número Complejo. Definición. Operaciones. Funciones y gráficas. Funciones trigonométricas: definición axiomática, consecuencias. Función inyectiva. Función sobreyectiva sobre un conjunto dado. Composición de funciones. Función monótona. Función inversa. Nociones de topología. Límites de funciones. Propiedades de los límites. Teorema del Sandwich. Continuidad. Continuidad en compactos. Extremos absolutos.. Teorema de Bolzano. Funciones monótonas. Funciones inversas. Continuidad uniforme. Sucesiones numéricas. Convergencia. Teorema fundamental del límite. 2. Cálculo diferencial. Derivada. Interpretación geométrica. Técnicas de derivación. Derivadas de funciones trigonométricas. Regla de la cadena. Derivación implícita. Teorema de la función inversa. Diferencial. Aplicaciones. 3. Aplicaciones del cálculo diferencial. Teorema de Rolle. Teoremas del valor medio. Crecimiento de funciones.
Límites infinitos. Representación gráfica de funciones. Regla de L'Hopital. Infinitésimos. Infinitésimos equivalentes. Derivación sucesiva. Polinomios de Taylor. Teorema de Taylor. Fórmulas del resto de Lagrange y de Cauchy. Aplicaciones. Funciones convexas. Extremos de una función. Condición necesaria de extremo relativo. Condición suficiente de extremo relativo. Representación gráfica de funciones. Asíntotas. 4. Calculo Integral. Integral indefinida.técnicas de integración. El problema del área. Integral de una función escalonada sobre un intervalo. Propiedades. Conjunto elemental. Medida de Lebesgue de un conjunto elemental. Propiedades. Integrabilidad e integral de Riemman de una función escalonada sobre un conjunto elemental. Propiedades. Condiciones necesarias y suficientes de integrabilidad. Condiciones suficientes. Primer y Segundo teorema fundamental del cálculo integral. Teorema del valor medio. Integración por partes. Cambio de variables. Propiedades de la integral. Aplicaciones. 5. Integrales impropias y aplicaciones del cálculo integral. Integrales impropias. Convergencia. Propiedades. Test de comparación. Convergencia absoluta y condicional. Test de Dirichlet. Aplicaciones del cálculo integral. Áreas planas. Longitudes. Volúmenes. Areas de superficies de revolución. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables. Aplicaciones Físicas. 6. Funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas inversas. Funciones exponencial y logarítmica. Exponente natural. Exponente entero. Exponente racional. Propiedades. Exponente real. Continuidad de la función exponencial. Logarítmos. Propiedades. Diferenciabilidad de las funciones exponencial y logarítmica. Integración. Funciones hiperbólicas. Funciones trigonométricas inversas. Propiedades. Derivación e integración de las funciones trigonométricas inversas. 7. Series. Series numéricas. Introducción. Definiciones básicas. Ejemplos. Propiedades. Condición necesaria de convergencia. Series de números no negativos. Propiedades de las series de términos no negativos. Principio de comparación. Test integral. Serie armónica generalizada. Test de comparación de cocientes. Test del cociente. Criterio de Raabe. Suma de series. Convergencia de series cuyos términos cambian
de signo. Convergencia absoluta. Convergencia condicional. Test de Dirichlet. Suma aproximada. Series alternadas. Criterio de Leibnitz. Series de potencias. Intervalo de convergencia. Continuidad de la suma. Integración término a término. Diferenciabilidad término a término. Series de Taylor. Funciones analíticas. Sucesiones y series de funciones en general. Convergencia puntual y uniforme. Comportamiento ante la continuidad, integrabilidad y diferenciabilidad. PARTE 2: 8. Vectores y curvas en Rn. Espacio vectorial real. Combinación lineal. Vectores linealmente independientes. Base. Coordenadas y vectores en Rn. Producto interno. Base ortonormal. Norma euclidea. Distancia. Conceptos topológicos. Representación geométrica de vectores en el espacio euclideo dos y tres -dimensional. Representación de la suma, la diferencia y el producto por un escalar. Producto vectorial y producto mixto. Funciones con valores vectoriales. Función vectorial. Operaciones. Límite. Continuidad. Propiedades. Gráfica. Curvas alabeadas en el espacio tridimensional. Interpretación geométrica. Derivada. Vectores tangente y normales. Ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio euclideo tridimensional. Planos. Relaciones métricas entre rectas y planos. 9. Cálculo de funciones de varias variables. Campos escalares. Límites. Límite doble. Límites direccionales Limites iterados. Continuidad. Derivadas parciales. Derivadas direccionales. Vector gradiente. Derivada de un campo escalar. Superficies. Plano tangente. Vector normal. Relaciones entre la derivada en un punto y las derivadas direccionales. Derivadas parciales sucesivas Funciones de Rn a Rm. Matriz Jacobiana. Diferencial. Regla de la cadena. Derivación inversa. Derivación implícita. Funciones de clase n. 10. Extremos de campos escalares. Extremos relativos. Puntos críticos y puntos de silla. Matriz Hessiana. Condición suficiente de extremo relativo. Extremos de funciones definidas en compactos. Extremos condicionados en forma de igualdad y de desigualdad. Condición necesaria de
extremo condicionado. Condición suficiente de extremo condicionado. Fórmula de Taylor TEORÍA. 2.REFERENCIAS. Apostol, T. M. Calculus (2 volúmenes), Ed. Reverté Ayres, F. y Elliot, M. Cálculo diferencial e integral, Ed. Mc. Graw -Hill. Burgos, J. Cálculo Infinitesimal una y varias variables (2 volúmenes), Ed. Mc Graw- Hill. Carothers,N.L. Real Analysis, Ed. Cambridge University Press Bradley, G. L. y Smith, K. L. Cálculo de una y varias variables (2 volúmenes), Ed. Prentica -Hall. Larson, R.E. Hostetler, R.P. y Edwards, B.H. Cálculo y Geometría Analítica (2 volúmenes), Ed. Mc Graw-Hill. Lewin, J Mathematical Analysis an interactive introduction, Ed. Cambridge University Press. Geoge, B. Thomas, J.R. Ross, L. Weir;M. Cálculo una variable, Ed. Addison Wesley Longman. PROBLEMAS Coquillat, F. Cálculo Integral, Ed. Tebar Flores Bombal, F. Rodriguez, L. y Vera, G. Problemas de Análisis Matemático (3volúmenes), Ed. AC. De Diego, B. Ejercicios de Análisis. Cálculo diferencial e Integral. Ed. Deimos. Demidowich, B.P. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Ed. Paraninfo. Liashko,I.I. Boiarchuck, A.K. y Golovach, G. P. Problemas Resueltos Matemática Superior (5 volúmenes). Ed. URSS Fernandez Viña, J.A. y Sanchez Mañez, E. Ejercicios y Complementos Análisis Matemático I. Ed. Tecnos.
SOBRE EL PROGRAMA 3. PLAN DE LA ASIGNATURA En ésta asignatura se desarrollan conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, que son herramientas necesarias para la comprensión de otras asignaturas de la licenciatura. El programa consta de dos partes, que comentaremos brevemente. Tenemos que señalar que en el desarrollo de los temas tendremos que equilibrar rigor y la práctica. el PARTE 1. Está dedicada al cálculo infinitesimal de funciones reales de variable real. Revisamos en primer lugar el concepto de número. Se revisa el concepto de límite y de continuidad. Se desarrollan los conceptos de derivada y de integral, y la relación entre ambos. Se desarrollan los conceptos de serie de números reales, así como los de sucesiones y series de funciones reales de variable real. Pondremos especial énfasis en las aplicaciones de la derivada y de la integral a la resolución de problemas físicos. PARTE 2. Se estudia el cálculo diferencial de campos escalares y vectoriales. Se pondrá especial énfasis en el estudio de problemas de optimización. METODOLOGÍA. A ésta asignatura le corresponden según el actual plan de estudios 15 créditos. Esto es equivalente aproximadamente a un curso anual de 5 horas de clase cada semana. Se dedicará aproximadamente 3 horas a la semana al desarrollo de la teoría y 2 horas a las clases prácticas. Objetivo importante del curso es conseguir que el alumno adquiera destreza manejando las técnicas matemáticas que se explican en la asignatura. Por ello se dará gran
importancia a las partes conceptual y práctica, a veces, en detrimento de la parte formal. Las clases teóricas tienen como objetivo mostrar al alumno los resultados fundamentales de la materia. En las clases de teoría se explican los conceptos, resultados y métodos utilizados en la resolución de problemas, realizando la prueba de los teoremas que consideremos más importantes, y realizando ejemplos y problemas que faciliten la comprensión. Se hará entrega a los alumnos de enunciados de ejercicios para ser resueltos. Las clases prácticas tienen como objetivo que el alumno adquiera una verdadera comprensión de los conceptos teóricos y que el alumno aprenda a utilizar dichos conceptos. En las clases prácticas se resolverán los problemas que consideremos básicos. Se insiste al alumno en la necesidad de mantener una actitud crítica frente a la asignatura y de hacer un estudio continuado de la misma a lo largo de todo el curso. EVALUACIÓN Y CALIFICACIÓN. A lo largo del curso se realizarán dos exámenes parciales, además de las correspondientes convocatorias oficiales de junio, septiembre, y diciembre. Los exámenes parciales aprobados se mantendrán solo en la convocatoria de junio. Una nota mayor o igual a cinco supone la aprobación del correspondiente examen. Cada examen parcial consistirá en la resolución de varios ejercicios teóricoprácticos y de varios ejercicios prácticos, a corregir respectivamente por los profesores de teoría y de prácticas y cuya valoración estará indicada en la hoja del examen. Durante el curso se realizarán además de los citados exámenes parciales varios controles y se propondrán varios problemas para construir la nota del parcial y fomentar el seguimiento continuo de la asignatura. Corresponde el sesenta por ciento de la nota a las clases de teoría y el cuarenta por ciento restante a las clases de prácticas. PROFESORADO Grupo 2: Teoría: José María Soriano Arbizu. Prácticas: Alejandro Rodríguez Martínez Horario de clases: Primer Cuatrimestre: Teoría: Lunes, Martes, Miércoles de seis y media a siete y media horas de la tarde. Prácticas: Jueves y Viernes de cinco a seis horas de la tarde.
Segundo Cuatrimestre: Teoría: Lunes, Martes, Miércoles de siete y media a ocho y media horas de la tarde. Prácticas: Jueves y Viernes de seis y media a siete y media horas de la tarde. Calendario de exámenes: Primer Parcial: 20-01-06, aulas III y IV, hora 16. Segundo Parcial: 09-06-06, aulas I y II, hora 9:30. Primera convocatoria: 26-06-06, aulas I y II, hora 9:30. Segunda convocatoria: 11-09-06, aulas magna, hora 9:30. Convocatoria de Diciembre: 16-12-05, aula III, hora 16. Convocatoria de Febrero: 13-02-06,, aula magna, hora 16. Tienen derecho a ésta convocatoria los alumnos que en el momento de la misma les falten como máximo el 10 por ciento de los créditos que constituyen la carga lectiva global que son 321 créditos. Sevilla, 14 de julio 2005 Firmado: José María Soriano Arbizu Firmado: Alejandro Rodríguez Martinez