Cuso de Apoo en Matemática Página 4 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS La palaba tigonometía poviene del giego tí tes, gonon ángulo metia medida. Es la pate de la Matemática que nos auda a esolve poblemas elacionando haciendo cálculos con las medidas de los lados los ángulos de un tiángulo. En esta Unidad estudiaemos dos sistemas de medición de ángulos paa luego ecoda las pincipales funciones tigonométicas: seno, coseno tangente, obsevando su elación en los distintos cuadantes. Finalmente, las funciones tigonométicas invesas nos pemitián obtene el valo de un ángulo conociendo su ubicación el valo de la función. Todos estos ecusos nos audaán a esolve poblemas como el siguiente. Cómo medi el ancho de un ío sin cuzalo? Supongamos que se tienen apaatos paa medi distancias paa medi ángulos peo no se puede cuza el ío. Además la oilla es escapada sólo es posible movese pependiculamente al ío, donde ha un camino. Cómo medi el ancho del ío? Este otos poblemas similaes han podido se esueltos desde la antigüedad utilizando las elaciones tigonométicas ente los ángulos los lados de los tiángulos. En esta Unidad ecodaemos algunas de ellas. 8.. Ángulos Ángulo Un ángulo a en el plano es la egión deteminada po dos semiectas l l con oigen común O, cuando se hace gia el lado inicial l hasta el lado final l en el sentido contaio al de las agujas del eloj. Este sentido también es llamado antihoaio. l se denomina lado inicial l lado final de a lo denotamos po a A O B. Ejemplo: Ángulo nulo l coincide con l.
Tigonometía Ángulo ecto l es pependicula a l. Ángulo llano l es opuesta a l. Ángulo de gio.l coincide con l después de un gio. Si colocamos el oigen de un ángulo A O B en el oigen de coodenadas hacemos coincidi el lado inicial l con el semieje positivo de las, entonces el lado teminal l quedaá en algún cuadante. l está en el pime cuadante. l está en el segundo cuadante. De esta manea, podemos habla del cuadante al que petenece un ángulo. Po definición, los ángulos agudos son los que petenecen al pime cuadante. Página 5
Cuso de Apoo en Matemática Página 6 8... Sistemas de Medición de Ángulos Paa medi la amplitud de un ángulo tenemos difeentes sistemas de medición. Sistema Seagesimal El sistema seagesimal consiste en toma como unidad de medida la 9-ava pate de un ángulo ecto. Se denomina a dicha unidad gado seagesimal se la denota º. A la 6-ava pate de un gado se la llama minuto se la denota ' ; la 6-ava pate de un minuto se la denomina segundo se denota ''. Si se equiee más pecisión se considean décimas, centésimas, etc. de segundo. En pincipio sepaamos la pate entea la pate decimal de,8º Ahoa, usando popocionalidad diecta calculamos cuántos minutos son,8º. Sepaando luego la pate entea la pate decimal de los minutos. Con la egla de tes simple calculamos cuántos segundo son,8' Ejemplos: ) Un ángulo ecto mide 9º. ) Un ángulo llano mide 8º. ) Epesemos en gados, minutos segundos el ángulo que mide,8º.,8º º +,8º º 6',8º 6'.,8 6,8' 6' +,8' ' 6'',8' 6''.,8 48'' Consulta el manual de tu calculadoa paa pode epesa,8º como º 6' 48'' Así obtenemos:,8º º 6' 48'' Ota unidad de medida de ángulos, de uso fecuente es el adián. Sistema Radial Un adián epesenta la medida de un ángulo cental de una cicunfeencia, de modo tal que la longitud del aco compendido sea igual al adio de la cicunfeencia se denota po ad. El siguiente cuado muesta la coespondencia ente las longitudes de distintos acos de cicunfeencia sus coespondientes ángulos centales medidos en adianes.
Tigonometía Longitud del aco Ángulo cental adio ad. adios ad. longitud del aco AB longitud del adio A π adios π ad. PASO DE RADIANES A GRADOS Y DE GRADOS A RADIANES Se podía llega a pensa que el valo de un adián depende de la cicunfeencia elegida paa fomula la definición. Obsevemos sin embago que si el adio de una cicunfeencia se duplica, su longitud también se duplica. π ( ) ( π ) En consecuencia, el aco coespondiente a un ángulo cental también se duplica. Siguiendo este azonamiento, podemos afima que nuesta definición no depende de la cicunfeencia elegida. Siguiendo la definición, a un ángulo de adianes le coespondeá un aco de cicunfeencia que mide dos veces el adio. Longitud del aco Ángulo cental adios ad. En símbolos, 6º π ad Como la longitud de la cicunfeencia es π, el númeo de adianes de un ángulo de un gio es π, a que es el númeo de veces que el adio está contenido en la longitud de la π cicunfeencia, es deci, π. Longitud del aco Ángulo cental π adios π adios Página 7
Cuso de Apoo en Matemática Página 8 Otas equivalencias ente los dos sistemas son: π 6 º ad ad 6 π Ejemplos: a) Veamos cuántos adianes son 5º. 6º π ad 5º πad 5º 6º 4 5 π ad ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE b) Veamos cuántos gados son 6 π adianes π ad 6º π 6º π ad 6 6 π º ) A qué cuadante petenecen los siguientes ángulos? º, 9º, 9º, 8º ', 5º, 5º ) Epesa en gados, minutos segundos los ángulos que miden,8º, 7,º ) Dibuja el tiángulo de vétices A (, ) B (, ) C (, ) Poba que es equiláteo que en paticula el ángulo  mide 6º. 4) Enconta un punto P(, ) del pime cuadante de tal manea que la semiecta l de oigen O que pasa po P detemine un ángulo de º. 5) Completa la siguiente tabla: Gados º 9º 5º 5º 4º 7º 6º Radianes π 4 π π π 5 π π 6) Cuántos gados mide un adián?.
Tigonometía 7) En una cicunfeencia de cm de adio, un aco mide 6 cm. Cuánto mide, en gados en adianes, el ángulo coespondiente?. 8) Un ángulo mide adianes. Si dibujamos su aco tomando un adio de 5 cm, cuánto mediá dicho aco?. 8.. Funciones tigonométicas de un ángulo Si tomamos un ángulo con lado teminal l punto sobe l, la distancia de P al oigen es El cociente Seno sen + se llama seno de a se denota: odenada de P distancia de P al oigen el cociente se llama coseno de a se denota: Coseno cos abscisa de P distancia de P al oigen l P(, ) l P P(, ) un Estos cocientes apaentemente dependen del punto P(, ) elegido sobe l, peo no es así, pues dependen únicamente del ángulo. En efecto, si P'(', ') es oto punto sobe l, obsevemos las figuas de la izquieda. Como los tiángulos ectángulos PX P' X' donde X (, ) X (, ) son semejantes, los lados son Página 9
Cuso de Apoo en Matemática Página 4 l P X (, ) X (, ) son semejantes, los lados son popocionales, luego: P ' ' ' ' + Como cos sen, las igualdades anteioes ' + ' muestan que cos sen son independientes del punto elegido sobe la ecta. Relación Fundamental Paa pensa... A pati de las definiciones se deduce que: - sen, - cos Po qué? Además, podemos obtene la elación fundamental sen + cos es deci, + + sen a + cos a P l Ejemplo: Sea el ángulo cuo lado teminal l pasa po P(, ). Entonces: sen +, cos En este ejemplo se calculaon las funciones tigonométicas de un ángulo cua medida no se conoce. Ahoa veemos cómo se pueden calcula los valoes de las funciones tigonométicas paa los ángulos de º, 45º 6º.
Tigonometía l Ejemplo: ángulo de 45º P(, ) Como +, entonces 45º sen 45º cos 45º l Ejemplo: ángulo de 6º (ecoda el ejecicio ) Como ( ) + 4, entonces sen 6º cos 6º A pati de las funciones seno coseno es posible obtene una nueva función llamada la tangente del ángulo, definida po: Tangente nte tg Obsevemos que... P(, ) 6º como no se puede dividi po, debemos eclui los ángulos de 9º 7º. O sea tg sen cos sen cos odenada de P abscisa de P ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 9) Mosta que: sen º Recoda el ejecicio 4. ) Mosta que: ; cos º sen º ; cos º sen 9º ; cos 9º sen 8º ; cos 8º - sen 7º - ; cos 7º Página 4
Cuso de Apoo en Matemática Página 4 ) Halla la tangente de los ángulos que miden: º, º, 45º, 6º ) Halla sen, cos tg, si es el ángulo cuo lado teminal l pasa po P(-, ). Paa las aplicaciones es impotante conoce los valoes de las funciones tigonométicas de cualquie ángulo. Los métodos paa calculalos no son elementales se basan en el cálculo infinitesimal; dichos métodos pemiten calcula los valoes con la pecisión que se quiea. No obstante, una calculadoa común da los valoes con una apoimación que esulta mu buena paa la maoía de los poblemas. Paa los ángulos especiales de º, º, 45º, 6º 9º es conveniente usa los valoes eactos calculados con anteioidad. 8.. Tiángulos Rectángulos β b c Teoema de Pitágoas Consideemos un tiángulo ectángulo cuos catetos miden a b su hipotenusa c. Sean β sus ángulos agudos. β se dicen ángulos complementaios su suma es siempe + β 9º. Las elaciones ente estas cantidades que conviene tene pesente son: c a + b Las definiciones de las funciones tigonométicas sen c a cos c b tg b a las coespondientes paa β. sen β c b cos β c a tg β a b La suma de los ángulos inteioes de un tiángulo vale 8º; po lo que en un tiángulo ectángulo: β 9º -
Tigonometía Relaciones tigonométicas de ángulos complementa ios Ejemplo: A pati del tiángulo anteio usando las elaciones mencionadas, obtenemos: sen (9º - ) sen β c b cos cos (9º - ) cos β c a sen tg (9º - ) tg β a b tg Veamos ahoa cómo podemos halla los ángulos de un tiángulo ectángulo, si se conocen sus lados. Este valo de, también se podía habe hallado a pati del seno coseno de ángulos agudos, es deci: sen 4 ac sen 5 5 cos 5 4 ac cos 5 4 5 Ejemplo: Supongamos que a, b 4, po el teoema de Pitágoas, c 5. Queemos halla el valo de. De la definición de las funciones tigonométicas tenemos que Denotamos po tg 4 ac tg 4 el ángulo agudo cua tangente es 4. Su valo numéico 6,86º 6º 5' 6'' puede se hallado utilizando la calculadoa. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ) Calcula sen, cos tg en los siguientes casos. a) a 5 ; b. b) a 6 ; c. Página 4
Cuso de Apoo en Matemática Página 44 4) a) Si sen a, calcula el valo eacto de b c. b) Si tg β a, calcula el valo eacto de b c. c) Calcula el valo eacto del áea del tiángulo si c cos β 4. 5) a) Halla el áea de un tiángulo ectángulo en el cual un ángulo mide º la hipotenusa mide 4. b) En un tiángulo ectángulo, un ángulo mide 6º el cateto opuesto mide. Halla su peímeto. 6) a) Halla los ángulos del tiángulo ectángulo cuos catetos miden 5. b) La hipotenusa de un tiángulo ectángulo mide 8 uno de sus catetos 7. Halla sus ángulos. 8.4. Signos de las Funciones Tigonométicas Los signos de las funciones tigonométicas dependen del cuadante en que se encuenta el ángulo. Así po ejemplo, si está en el segundo cuadante, como > : P(, ) < ; > sen > cos < tg < ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 7) Compoba que los signos de las funciones tigonométicas en los distintos cuadantes son los indicados en las figuas siguientes:
Tigonometía 8) Halla el signo de las funciones tigonométicas de los siguientes ángulos, sin halla el valo numéico: 98º, º, 75º, 6º, º, 85º 9) Detemina el cuadante en que se encuenta el ángulo en cada uno de los siguientes casos: a) sen < cos > b) sen > cos < c) sen < tg > d) tg < cos > 8.5. Relaciones ente las Funciones Tigonométicas Hemos visto que paa cada ángulo vale la elación fundamental sen + cos definimos la tangente de un ángulo distinto de 9º 7º como: tg sen. cos Ejemplo: Sea un ángulo del tece cuadante del cual se conoce que sen - a) Calculemos el cos : Como sen + cos, entonces cos ± - sen ± - - ± 8 8 ± 9 como está en el tece cuadante, cos <, luego, cos - 8. Página 45
Cuso de Apoo en Matemática b) Calculemos la tangente de : tg sen cos - - 8. 8 Ejemplo: Sea el ángulo del segundo cuadante tal que tg -. P(, ) Utilizamos la elación fundamental sen + cos. a) Calculemos cos sen Como - tg, entonces sen - cos cos Usando que sen + cos, tenemos que: (- ) cos + cos cos cos cos ± Dado que está en el segundo cuadante, cos <, luego cos - b) Calculemos sen : sen Como - tg, entonces cos cos sen + sen 9 sen P(, ) sen ± sen 9 sen 9 9 ± Como está en el segundo cuadante, sen >, entonces sen. Página 46 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Tigonometía ) Calcula las funciones tigonométicas del ángulo en los siguientes casos: a) sen -, en el cuato cuadante; b) tg, en el pime cuadante; c) cos - 5, en el segundo cuadante; d) tg, en el tece cuadante; 8.6. Funciones Tigonométicas Invesas de un Angulo Hemos visto que conocido el valo de una función tigonomética paa ángulos agudos, es posible halla el valo del ángulo mediante las funciones aco seno, aco coseno, aco tangente. Nuesto objetivo es ahoa, calcula estas funciones paa ángulos del segundo, teceo cuato cuadante, paa lo que debemos tene en cuenta el signo de las funciones tigonométicas seno, coseno tangente. sen + Obsevemos que... las calculadoas científicas devuelven: mediante la función ac sen si sen >, un ángulo del pime cuadante, si sen <, un ángulo del cuato cuadante, cos + mediante la función ac cos si cos >, un ángulo del pime cuadante, si cos <, un ángulo del segundo cuadante, Página 47
Cuso de Apoo en Matemática Página 48 + mediante la función ac tg si tg >, un ángulo del pime cuadante tg si tg <, un ángulo del cuato cuadante. Si el ángulo que nos inteesa no se encuenta en el cuadante que la calculadoa nos devuelve, debemos hace la educción coespondiente. P - β P Ejemplo: Calculemos sabiendo que sen,8867 está en el segundo cuadante. Opeando con la calculadoa obtenemos: β ac sen,8867 57º ángulo que petenece al pime cuadante. Obsevemos en la figua que los tiángulos XP X' P' son conguentes, pues son siméticos especto del eje, X (, ) X (-, ). Luego, sen β sen. Paa calcula, que es el ángulo que nos inteesa, basta obseva del dibujo que 8º - β 8º - 57º º Ejemplos: ) Calculemos el ángulo sabiendo que sen -,5 está en el cuato cuadante. Con la calculadoa obtenemos: β ac sen (-,5) - º β Aquí el signo menos delante del valo del ángulo significa, que el mismo se ha medido en sentido de las agujas del eloj. De la figua obtenemos que: 6º - º º
Tigonometía ) Calculemos el ángulo sabiendo que sen -,5 está en el tece cuadante. Como en el ejemplo anteio, la calculadoa nos devuelve: - P - β P P β P β ac sen (-,5) - º Obsevamos en la figua que los tiángulos XP X' P', donde X (, ) X (-, ), son conguentes po se siméticos especto del eje, en consecuencia, sen β sen De la figua obsevamos que como los tiángulos mencionados son conguentes: Xˆ ' P Xˆ P º luego, 8º + Xˆ P 8º + º º ) Calculemos sabiendo que cos,6566 está en el cuato cuadante. En la calculadoa obtenemos: β ac cos,6566 5º De la figua vemos que, si X (, ), XP es conguente con XP' po se siméticos especto al eje de aquí cos β cos concluimos que 6º - β P P - β 4) Calculemos sabiendo que cos -,4 está en el tece cuadante De la calculadoa obtenemos: β ac cos (-,4) º Vemos que, si X (, ), XP' es conguente con XP po se siméticos especto al eje, luego cos β cos también Xˆ P Xˆ P' 8º - β. Entonces 8º + Xˆ P 8º + (8º - β) 6º - β, es deci, 6º - º 5º Página 49
Cuso de Apoo en Matemática Página 5 Retomemos el ejemplo que pesentamos al comienzo de la Unidad Cómo podemos medi el ancho de un ío sin cuzalo? Tenemos apaatos paa medi distancias paa medi ángulos peo no podemos cuza el ío. Además la oilla es escapada sólo es posible movese pependiculamente al ío, donde ha un camino. Cómo medi el ancho del ío? En pime luga, debemos situanos fente a algún objeto ubicado en la oilla opuesta que nos siva de efeencia. Desde allí nos movemos a lo lago de la oilla en diección pependicula al ábol una distancia d, como muesta la figua. Desde este punto P medimos el ángulo que foma la diección al ábol con el camino que acabamos de ecoe. Paa fija ideas, supongamos que d m. 4º. a a Como tg entonces a tg 4º 44,5 m. d Ejemplo: Un ábol un obsevado se encuentan en oillas opuestas de un ío. El obsevado mide el ángulo que foma su visual con el punto más alto del ábol obtiene 5 º; etocede m. mide el nuevo ángulo, obteniendo un valo de 5 º. Qué altua tiene el ábol?, cuál es el ancho del ío?.
Tigonometía Llamando h a la altua del ábol a el ancho del ío, el gáfico muesta los datos del poblema. tg 5º a h tg 5º h a + Despejando la vaiable h h a tg5º h (a + ) tg5º Igualando ambas ecuaciones a tg5º a tg5º + tg5º a (tg5º - tg5º) tg5º Reemplazando en alguna de las ecuaciones anteioes ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ) Detemina en cada uno de los siguientes casos: a) sen,6465 en el segundo cuadante, b) tg -,484 en el segundo cuadante. a c) cos -,656 está en el tece cuadante, d) tg - está en el cuato cuadante, e) sen á está en el tece cuadante, f) cos -,659 está en el segundo cuadante tg5º tg5º tg5º Entonces h a tg5º 9,59 m. 99,6 m. ) Completa Seagesimal Radial sen cos tg 6º (/4) π 4 º ' 5 (7/8) π 6 8º 7 - (7/6) π - 6º 8' '' 8 Página 5
Cuso de Apoo en Matemática ) Escibi todos los ángulos (compendidos ente 6) cuo coseno valga -.5. 4) Paa qué valoes de [, π] el seno el coseno coinciden? 5) Resolve los siguientes tiángulos: a) a 5 cm, β º, 9º b) b cm, c 5 cm, 9º c) b 8 cm, 9º, γ 57º 6) Cuando el ángulo de elevación del sol sobe el hoizonte es de º, una toe poecta una somba de 75 m. Calcula su altua. 7) Cuán laga es la somba que aoja un mástil de m de altua cuando el sol tiene una elevación de º?. 8) El hilo que sujeta un bailete mide 5 m foma un ángulo de º con la vetical. Halla la altua a que se halla si se supone que el hilo está en línea ecta. 9) Un automóvil asciende una cuesta que tiene una inclinación de º. Si viaja a una velocidad de 6 km/h, cuántos metos vaía su altua sobe el nivel del ma en 5 minutos?. ) Se piensa constui una pista de aviación debido a la oientación elegida se ve que al final de la misma quedaá una aboleda de 5 m de altua. A qué distancia mínima de la aboleda debe temina la pista si el ángulo de despegue de los aviones es de 6º?. ) Cuando se apoa una escalea de m de lago en una de las paedes de un pasillo, llega a una altua de,5 m. Si se la inclina sobe la ota paed llega a m de altua. Aveigua el ancho del pasillo. ) Un capinteo desea constui una escuada de madea necesita que uno de los ángulos sea de º. Desea sabe las elaciones que deben guada los lados ente sí. ) Los lados paalelos de un tapecio miden 6 cm 8 cm, los otos dos miden cm. Halla las longitudes de sus diagonales su áea. 4) El fente de un teeno da sobe una diagonal tiene las dimensiones que se indican en el esquema. Calcula los metos que tiene el fente el áea que ocupa. 5) Se quiee sabe cuántos metos de alambado son necesaios paa cea el teeno sombeado de la figua: Página 5
Tigonometía 6) En un tiángulo sabemos que la hipotenusa mide 4 cm la tangente del ángulo que esta detemina con la base es igual a,. Calcula el áea de dicho tiángulo. 7) Un sitio ectangula mide m 96 m. Detemina la longitud de la diagonal el ángulo que esta foma con el lado mao. 8) Calcula los lados de un ombo cuas diagonales miden cm 8 cm calcula las medidas de los ángulos inteioes. 9) Un poste de teléfono está sujeto po medio de vaios cables que paten del etemo supeio. Uno de estos cables está atado a una estaca situada a 5 m del pie del poste foma con la hoizontal un ángulo de 6º. Calcula la altua del poste la longitud del cable. 4) En una cicunfeencia de 7 cm de adio se taza una cueda de 9 cm. Qué ángulo cental abaca dicha cueda?. 4) El adio de una cicunfeencia mide 6 cm. Cuál es la longitud del aco coespondiente a un ángulo de º?: 4) Dos ángulos de un tiángulo miden 5º ángulo?. π adianes espectivamente. Cuánto mide el oto 6 4) Un baco navega a kilómetos po hoa en diección note-oeste. Qué distancia ha ecoido en una hoa hacia el note?. Y hacia el oeste?. 44) Calcula el peímeto el áea de un tiángulo isósceles, cuos ángulos iguales miden 7º sus dos lados iguales 4 m. 45) Calcula el peímeto el áea de un pentágono egula inscipto en una cicunfeencia de cm de adio. 46) Paa conoce la altua de una toe se ha medido el ángulo que foma la visual al punto más alto con la hoizontal obteniendo 4º al acecase 5 metos hacia la toe, se obtiene un nuevo ángulo de 57º. Cuánto mide la altua de la toe?. 47) Desde un acantilado de 5 metos se ve un baco bajo un ángulo de 7º con la vetical. A qué distancia de la costa se encuenta el baco?. 48) Un ábol un obsevado se encuentan en oillas opuestas de un ío. El obsevado mide el ángulo que foma su visual con el punto más alto del ábol obtiene 5º; etocede metos mide el nuevo ángulo, obteniendo un esultado de 5º. Qué altua tiene el ábol?. Página 5
Cuso de Apoo en Matemática 49) A los ángulos que están elacionados con los de º, 45º 6º se les puede calcula en foma eacta el valo de las funciones tigonométicas, ellos son: º, 5º, 5º, º, 5º, 4º, º, 5º º. Halla dichos valoes. 5) En un tiángulo isósceles la altua coespondiente a la base mide el doble que esta. Halla el valo de sus ángulos. 5) Qué ángulos del pime cuadante son adecuados paa calcula las azones tigonométicas de 78º, 56º, 4º?. 5) Dibuja los ángulos que cumplen las siguientes condiciones da el valo de sus azones tigonométicas: a) sen - tg > b) tg - cos < 5) Si tg > π, calcula sen cos. 8.7. Identidades tigonométicas En lo que esta de esta unidad veemos un listado de las identidades tigonométicas más impotantes. Las mismas son de suma utilidad en la esolución de poblemas de cálculo, álgeba geometía. 8.7.. Razones tigonométicas de a + b de a b sen( + β) sen cos β + cos sen β cos( + β) cos cos β sen sen β Puedes veifica la veacidad de estas identidades asignando valoes a los ángulos β, o mejo aún, busca las demostaciones de estas identidades en un libo de Cálculo. tg + tgβ tg( + β) tg tgβ sen( β) sen cos β cos sen β cos( β) cos cos β + sen sen β tg( β) tg tgβ + tg tgβ 8.7.. Razones tigonométicas del ángulo doble sen sen cos Página 54
Tigonometía cos cos sen tg tg tg 8.7.. Teoemas del seno del coseno b γ a Teoema del seno Los lados de un tiángulo son popocionales a los senos de los ángulos opuestos. c β a b c sen senβ senγ Página 55
Cuso de Apoo en Matemática Página 56 γ a b β c Teoema del coseno El cuadado de un lado es igual a la suma de los cuadados de los otos lados menos el doble del poducto de estos lados po el coseno del ángulo compendido. a b + c ab cos b a + c ac cos β c a + b ab cos γ ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 54) Compoba que las siguientes igualdades son cietas utilizando las identidades vistas. a) + tg cos b) sen ( + β) sen ( β) sen cos β c) cos sen cos + cos 4