1-10-011 Sesión Contenidos: Concepto de par ordenado. El Plano cartesiano. El par ordenado en el plano cartesiano. Conceptos de Relación y Función. Dierencia entre relación y Función. Dominio y recorrido e inversa. Gráico de unciones. Proesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática Básica (MAT-00) Segundo Semestre 011 Objetivo: Graica puntos en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano. Determina dominio, recorrido e inversa de relaciones por extensión. Transorma relaciones por comprensión en relaciones por extensión. Dierencia relaciones de unciones. Determina dominio, recorrido e inversa en unciones expresadas en notación uncional (implícita o Explícita). Graica unciones lineales y racionales simples en el plano cartesiano. Introducción Mortalidad por enermedades respiratorias Concepto de Función La palabra unción es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de unción no es un concepto nuevo, sino una ormalización de nuestra idea intuitiva. Por ejemplo, la reacción de un organismo rente a un ármaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una población depende del número de individuos y de depredadores. 1
1-10-011 Dónde se usan las Funciones? Una unción se puede presentar mediante una tabla. Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un eto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses). Edad (meses) Longitud (cm) A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. (, ) signiica que cuando el eto tiene meses, mide cm. (, ) indica que a los meses el eto mide cm La longitud del eto está en unción de su tiempo de gestación. La longitud del eto está en unción de su tiempo de gestación. La longitud del eto está en unción de su tiempo de gestación.
1-10-011 Son unciones? Plano Cartesiano Edad (meses) Variable Independiente: x y = ( x) ( ; ( x) ) P x Longitud (Cms) Variable Dependiente: y = (x) x (x) es la imagen de x x es la preimagen de (x) Longitud Dominio de una unción El dominio de una o unción es el conjunto de las primeras componentes (abscisas) de los pares ordenados de la relación. Es el conjunto de las preimágenes, es la parte que tomo del conjunto de partida. Y lo denotaremos por Dom () Ejemplos: = {,5,1, } 1) R = (,),(5,),(1, 1),(,) DomR Edad = { José, Sebastián, Romeo} ) S = ( José, María),( Sebastián, Elena),( Romeo, Julieta) DomS
1-10-011 Recorrido de una unción El recorrido de una unción es el conjunto de las segundas componentes (ordenadas) de los pares ordenados de la relación. Es el conjunto de las imágenes, es la parte que tomo del conjunto de llegada. Y lo denotaremos por Rec () Ejemplos: = { } 1) R = (,),(5,),(1, 1),(,) RecR,, 1, = { María Elena Julieta} ) S = ( José, María),( Sebastián, Elena),( Romeo, Julieta) Re cs,, Dominio y recorrido de una unción Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente unción? ( x) = + x + Tabla de Evaluación Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente unción? ( x) = + x + Dominio x + 0 x Dom = ; + ( ) [ [ Buscar condiciones para la variable x Recorrido y = + x + y = x + ( y ) = x + ( y ) = x Rec = ; + ( ) [ [ Buscar condiciones para la variable y
1-10-011 Propiedades de las unciones Propiedades de las unciones Función Inyectiva (1-1) Es si los elementos del conjunto B (imagen) le corresponde un solo elemento del conjunto A (pre-imagen). Esta unción es llamada inyectiva o 1 a 1. ( a) = ( b) a = b a, b Dom( ) Función Epiyectiva (sobre) Una unción es Epiyectiva (exhaustiva, o suprayectiva, o suryectiva, o sobreyectiva) cuando todo elemento del conjunto de llegada (B) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio o A). Rec ( ) = B Función Biyectiva Sea una unción biyectiva de A en B, si y sólo si es epiyectiva e inyectiva a la vez, es decir que todos los elementos del conjunto inicial (A) tengan una imagen distinta en el conjunto de llegada (B) (inyectiva), y que ademas el recorrido sea igual al conjunto de llegada (epiyectiva) Función Inversa Sea : A B una unción biyectiva, entonces la unción inversa de es una unción biyectiva tal que 1 1 : B A y ( y) = x y = ( x) Gráicamente podemos representar estas unciones de la manera siguiente: 1 Ejemplo Función Inversa Hallar la inversa y graica de la siguiente unción ( ) 1 x x = Solución Para hallar la inversa de la unción debemos despejar la variable x 1 5
1-10-011 Ejemplo Función Inversa ( x) x + 1 = ( x) = x 1