Ecuaciones de la recta Cajón de Ciencias Cuando empezamos a trabajar con rectas en primaria, lo hacemos solo utilizando expresiones del tipo y = mx + n o y = mx. Pero esto es solo una de las muchas formas en que puede expresarse matemáticamente una recta. Aunque puedan parecer raras al principio, conviene que las conozcas todas y sepas cómo cambiar entre ellas, porque dependiendo de los datos que tengas, te convendrá más utilizar una u otra. Por costumbre, se empieza suponiendo que de la recta conocemos un punto P y un vector director v. Nosotros vamos a comenzar así también, aunque al final veremos cómo resolver el problema partiendo de otros datos. Y como se trabaja mejor con ejemplos, supondremos un punto P (2,-1) y un vector director v (-3,2). 1. Ecuación vectorial de la recta Es la más inmediata cuando tenemos como datos un punto y un vector, aunque en honor a la verdad es una ecuación que utilizaremos poco a efectos prácticos. Es más útil como intermedio para pasar de una ecuación de recta a otra. Su forma es: (x,y) = (x 0,y 0 ) + t(v x,v y ) v x y v y son las coordenadas del vector director, mientras que x 0 y y 0 son las coordenadas del punto que conocemos. t es un parámetro 1. No hay que calcularlo ni poner ningún número. (x,y) es un punto cualquiera de la recta que tampoco tenemos que calcular ni sustituir. La cosa quedaría así: (x,y) = (2,-1) + t(-3,2) Esta es ya la ecuación vectorial. Para calcular puntos de la recta con ella, lo que tendríamos que hacer es dar valores a la t y ver qué punto (x,y) nos sale. Por ejemplo, si t = 2, (x,y) = (2,-1) + 2 (-3,2) (x,y) = (2,-1) + (-6,4) (x,y) = (-4,3) 1 En algunos libros se utiliza la letra griega lambda (λ) para representar el parámetro. Es cuestión de gustos. En realidad podría simbolizarse con cualquier letra (que no sea la x y la y, claro)
2. Ecuación paramétrica. La ecuación paramétrica se obtiene a partir de la vectorial separando la coordenada x por un lado y la y por otro. (x,y) = (x 0,y 0 ) + t(v x,v y ) x = x 0 + t v x y = y 0 + t v y En nuestro ejemplo quedaría así: (x,y) = (2,-1) + t(-3,2) x = 2 + t (-3) y = -1 + t 2 Si nos pidieran calcular puntos de la recta, se haría lo mismo que en la vectorial: damos un valor cualquiera a t y calculamos cuántos sale la x y la y del punto. 3. Ecuación continua La ecuación continua quita de en medio el parámetro y junta (otra vez) las dos ecuaciones de la paramétrica en una sola. Para ello, despeja la t en los dos lados y luego las iguala (como si estuviéramos resolviendo un sistema por igualación). x = x 0 + t v x y = y 0 + t v y t = (x - x 0 )/v x t = (y - y 0 )/v y (x x 0 )/v x = (y y 0 )/v y En nuestro ejemplo quedaría: (x 2)/-3 = (y +1)/2
Para calcular puntos con esta ecuación de recta (y para todas las ecuaciones de rectas que nos quedan), lo hacemos de la forma tradicional: damos un valor a la x y operamos para ver cuánto nos sale la y. Esta ecuación de recta tiene una ventaja: con los datos iniciales (punto y vector) podemos pasar directamente a ella sin tener que hacer primero la vectorial y la paramétrica. Al fin y al cabo, la ecuación continua se leería como x menos la x del punto dividido entre la v x del vector director es igual a y menos la y del punto dividido entre la v y del vector director. 4. Ecuación general Mientras que las tres ecuaciones anteriores no se utilizan mucho en la práctica, la ecuación general sí te la vas a encontrar muy a menudo. Así que atentos, que no es difícil. Para pasar a la ecuación general a partir de la continua, tenemos que quitar primero los denominadores (pasándolos multiplicando al lado contrario), y luego operar y pasar todos los términos a un lado, de tal forma que nos quede una expresión con x e y igual a cero. (x x 0 )/v x = (y y 0 )/v y v y (x x 0 ) = v x (y y 0 ) v y x v y x 0 = v x y v x y 0 v y x v y x 0 v x y + v x y 0 = 0 Como siempre, lo vemos mejor con números: (x 2)/-3 = (y +1)/2 2(x 2) = -3(y + 1) 2x 4 = -3y - 3 2x 4 + 3y + 3 = 0 2x + 3y -1 = 0 5. Ecuación explícita Ésta seguro que te suena, aunque no supieras de antes que se llamaba así. Su forma básica es y = mx + n
y se llega a ella despejando la y en la ecuación general o la continua. Mira en el ejemplo cómo se hace: 2x + 3y -1 = 0 3y = -2x + 1 y = -2/3x + 1/3 Dato importante: la m (el número que multiplica a la equis) es la pendiente de la recta. Fíjate que se puede sacar automáticamente la pendiente de una recta si la coordenada y del vector director la dividimos entre la coordenada x. Recuerda también que la n es la ordenada en el origen, el punto por el cual la recta corta al eje de ordeanadas. 6. Ecuación punto pendiente Esta es bastante facilita, aunque la fórmula parezca extraña: (y y 0 ) = m (x x 0 ) Como hasta ahora, x 0 e y 0 representan las coordenadas del punto que nos han dado al principio, y la m es la pendiente, la cual hemos visto hace poco cómo podía calcularse a partir del vector director. En nuestra recta de ejemplo, la ecuación punto pendiente quedaría así: (y +1) = -2/3 (x 2) 7. Ecuación segmentaria Esta es una ecuación que no se usa mucho en el instituto y, de hecho, no aparece en todos los libros de texto, así que si no la habéis visto en clase, no tienes que preocuparte de ella (a menos que quieras saber cómo es, por simple curiosidad). También se la llama ecuación canónica. Su fórmula básica es: x/a + y/b = 1 Donde a es la abcisa en el origen (es decir, qué vale la x cuando la y vale cero), y b, la ordenada en el origen (qué vale la y cuando la x vale cero, la n que habíamos visto en la ecuación explícita). Los valores de a y b no son inmediatos y no nos los suelen dar, pero podemos sacarlos a partir de
cualquier otra ecuación de la recta 2. Siguiendo nuestro ejemplo, ya sabemos que la b vale 1/3 (es lo que nos salía la n en la ecuación explícita). Para calcular la a, sustituimos la y por cero en la explícita: y = -2/3x + 1/3 0 = -2/3x + 1/3-1/3 = -2/3x x = (-1/3):(-2/3) = 1/2 Por lo tanto, la ecuación segmentaria de nuestro ejemplo sería: x/(1/2) + y/(1/3) = 1 O, puesto de forma más bonita: 2x + 3y = 1 Y si nos dan otros datos? Ya hemos visto todas las ecuaciones de la recta que necesitas conocer. Pero las hemos calculado suponiendo que, como datos, nos dan un punto y el vector director. Qué pasa si los datos de partida son otros? Que no cunda el pánico, que no es complicado. Solo hay otras dos posibilidades de partida: a) Si nos dan dos puntos: si tenemos dos puntos de una recta, podemos calcular su vector director restando uno menos el otro. De esta manera, tendremos el vector director y al menos un punto, y podemos resolver como hemos visto hasta ahora. b) Si nos dan un punto y la pendiente: pues sacamos la ecuación punto pendiente. Una vez que la tengamos, calculamos otro punto (el que nosotros queramos y al estilo tradicional: doy un valor a la equis y veo qué me sale para la y). Con este nuevo punto y el primero que nos daban, sigo las instrucciones del caso a) anterior. 2 No uses para esto la ecuación vetorial o la paramétrica; resulta un poco complicado. Pero cualquiera de las otras sirve. Cambia la x por cero y calcula la y (lo que te dé es la b); luego cambia la y por cero y calcula la equis (lo que te dé es la a)
Sé sacar todas a partir de la vectorial Y si me piden que empiece por cualquier otra? De nuevo, es más sencillo de lo que parece. Puede ser que, por los datos que nos den, nos convenga empezar por alguna de las ecuaciones intermedias. Y también puede ocurrir que no sepa deducir las ecuaciones hacia atrás (puedo saber pasar de la paramétrica a la continua, pero no al revés). En estos casos, haremos lo que acabamos de comentar en el apartado b) un poco más arriba. En cualquiera de las ecuaciones, saco uno o dos puntos. Una vez que tenga dos puntos, saco el vector director restando uno al otro. Cojo ese vector y cualquiera de los puntos que me sé y ya estoy en la ecuación vectorial! A partir de ella, si has entendido este capítulo, puedes deducir todas las demás 3. 3 Con un poco de práctica, no hará falta que te vayas siempre a la vectorial para sacar el resto. Recuerda, por ejemplo, que la continua y la explícita también se pueden sacar sabiendo un punto y el vector director. Pero si te queda claro que, teniendo cualquiera de las ecuaciones puedes sacar todos los puntos que quieras y así tener vector y punto, nunca te quedarás en blanco.