RESPUESTAS AL EXAMEN DE FUNCIONES 22/05/2001

Transcripción

1 RESPUESTAS AL EXAMEN DE FUNCIONES /05/001 En lugar de simplemente dar las respuestas me ha parecido conveniente introducir las explicaciones pertinentes sobre el porqué de dichas respuestas Espero que os sirva para comprender mejor el tema Para responder a las dos primeras preguntas es necesario tener claro tanto el concepto de función como los elementos involucrados en su definición En primer lugar : se dice que existe una correspondencia siempre que se establece una relación entre dos conjuntos cualesquiera ; por ejemplo el conjunto de los alumnos de 4º se relaciona con el conjunto de las notas de matemáticas La forma más sencilla de representar una correspondencia es el llamado diagrama de Venn Conjunto origen oinicial Cuñao Juan Pedro Amparo MªManuela Po Zi Conjunto imagen ofinal 8,8 5, 9 3,5 10 A cada elemento del conjunto inicial ( alumnos) le corresponde al menos otro del conjunto final En principio una correspondencia no exige nada más, es decir, da igual que un elemento inicial tenga dos o más imágenes o viceversa En el ejemplo que tenemos aquí sucede que cada alumno tiene una única nota, y además no hay ningún alumno que no tenga nota,en este caso se puede decir que la asociación entre conjuntos es una aplicación Se denomina aplicación a toda correspondencia en la que todos los elementos del conjunto inicial tienen imagen en el conjunto final, y además sólo tienen una Para terminar una sola cosa más: Si tenemos una aplicación en la que tanto el conjunto inicial como el final sean conjuntos numéricos entonces a dicha aplicación de le llama función

2 PREGUNTA: 1Consideremos el conjunto A = {1,,3,4,5 } asociando a cada elemento el doble de su valor Cuál es el conjunto final? Es una función? (explica con tus palabras las respuestas) Qué ecuación crees que podría representar la correspondencia entre el conjunto inicial A y el conjunto final obtenido? RESPUESTA: Conocer un conjunto es conocer cada uno de sus elementos En el caso que nos ocupa es sencillo ; no hay más que aplicar lo dicho en el enunciado (doble de su valor )sobre cada uno de los elementos del conjunto inicial Según esto serán: Conjunto origen o inicial A Doble de su valor Conjunto imagen o final B Para poder decir si es o no una función respondamos a estas preguntas: Todos los elementos de A tienen imagen en B? Todos los elementos de A tienen una única imagen? Los conjuntos relacionados, son ambos numéricos? Si las tres respuestas son afirmativas podemos asegurar que la correspondencia establecida entre A y B es una función Si cualquiera de las respuestas es negativa entonces lo que tenemos no es una función En el caso que nos ocupa las tres preguntas pueden contestarse afirmativamente, luego la estamos ante una función Sólo queda por resolver la cuestión de dar una ecuación matemática (sería más correcto decir expresión algebraica) que equivalga a la frase cada elemento de B es el doble de cada elemento de A Si llamamos x,a un elemento cualquiera de A, e y,a la imagen de x que está en B, entonces la relación entre x e y será : y = x PREGUNTA: Consideremos el conjunto A = { 1,,0,1, } asociando a cada elemento su raíz cuadrada Realiza una tabla y un diagrama de Venn con los valores para representar el conjunto inicial y el final Es una función? ( explica con tus palabras las respuestas)

3 RESPUESTA: Tanto la tabla como el diagrama de Venn se realizan conociendo el conjunto final Sus elementos quedan establecidos por ser las raíces cuadradas de los elementos del conjunto inicial A x B y No es un número real No es un número real 0 1 El diagrama de Venn sería lo mismo pero con circulitos y flechitas Los dos números cuyas raíces no son números reales no tiene imagen en el conjunto final ; luego, la primera pregunta a la que debemos responder para saber si la correspondencia entre A y B es una función (ver respuesta del problema anterior) es falsa La correspondencia dada no es una función puesto que hay elementos del conjunto inicial que no tienen imágen Algunos habéis considerado que 1 y tiene como imagen el número cero Eso es falso, pero además hay gente que ha contestado que la relación dada no es una función alegando que hay varios elementos del conjunto inicial que tienen la misma imagen ( para ellos la imagen del 1 es 0, la del es 0 y la del 0 es también cero) Bien, que quede claro que eso no es motivo para que la correspondencia no sea una función No pasa nada si varios elementos del conjunto inicial tiene la misma imagen El problema es justamente el contrario que algún elemento del conjunto inicial tenga varias imágenes No pasa nada por que varios elementos tengan la misma imagen, puede ser una función Lo que no puede ser es que una elemento tenga varias imágenes distintas PREGUNTA 3 Calcula el dominio de las siguientes funciones : a) y = 3x 8 ( representala gráficamente) b) y = 3x 1 c) y = 8456 x

4 El tercer problema es fácil de resolver, pero observando los exámenes queda claro que hay mucha gente que no sabe lo que es calcular el dominio Veamos si con otro enfoque acabamos de entenderlo En los dos problemas anteriores se daban como datos el conjunto inicial y la correspondencia, con esto es sencillo calcular el conjunto final Pero eso no es lo que se hace normalmente Lo habitual es dar simplemente la expresión algebraica que relaciona los elementos, por ejemplo y = x 3 o y = 3x 5, etc No se nos dan ni el conjunto inicial ni el final Sólo se da por sentado que la relación dada debe ser una función, repitiendo lo ya dicho : Todo elemento debe tener imagen Sólo se puede tener una única imagen Conjuntos inicial y final números reales El dominio no es más que el conjunto inicial ( por cierto el rango sería el conjunto final) Luego el dominio estará formado por todos aquellos números reales que respeten la definición de función Normalmente el dominio serán todos los números reales sin excepción En particular será así en el caso de que la expresión sea un polinomio de cualquier grado Ejemplo : El dominio ( valores del conjunto inicial) de una función de la forma y = x-1 es todo el conjunto de los números reales, pues si sustituimos la variable x por un número real cualquiera, siempre se obtiene para la variable y otro número real ( todo elemento tiene imagen), además no hay ningún valor de x que nos de dos valores diferentes para la y ( imagen única) Pero existen ciertos tipos de expresiones matemáticas con las que tenemos que tener cuidado pues en ellas puede ocurrir que ciertos valores de la x den como resultado un valor para la y que no sea un número real ( como ocurría en el problema con los números 1 y ) Los casos de los que hablamos se producen cuando la variable x este: 1 En el denominador de una fracción algebraica ; ejemplo: 6x x + 7 y = x 1 En el interior de una raíz de índice par ( o 4 etc ) ejemplo: x + 5

5 1 En el primer caso sabemos que la división por cero no se puede hacer, el resultado de dividir cualquier cosa (da igual lo que haya en el numerador ) por cero es infinito, que no es un número Según esto el o los valores de x para los que el denominador vale cero son valores que hacen que la y no sea ningún número, es decir son elementos del conjunto inicial que no tienen imagen, incumpliéndose la definición de función Si queremos que la expresión dada siga siendo una función debemos quitar esos valores malos del conjunto inicial Al conjunto inicial que nos queda después de quitar esos valores es a lo que se le llama dominio Para saber que valores hay que quitar basta con igualar el denominador a cero y resolver la ecuación que nos quede Este caso se parece al anterior pero aquí la cosa se complica pues ahora el problema es que las raíces (de índice par ) de un número negativo no son números reales En el caso anterior había que quitar ciertos valores (dependiendo de lo que haya en el denominador) ahora los valores son muchos, de hecho son infinitos Para saber que intervalo de valores hay que quitar debemos resolver la inecuación [ lo que haya en el interior de la raíz ]<0 El resultado de la inecuación son los valores malos que incumplen la definición de función porque no tienen imagen a) y = 3x 8 ( represéntala gráficamente) El dominio será el conjunto de los números reales,3, puesto que esta expresión es un polinomio( no hay fracciones ni raíces, luego no hay problemas) Para hacer la gráfica, que es un recta (por ser un polinomio de primer grado) basta con dar dos valores cualesquiera a la variable x ( o a la y) Si x = 1 ; y = ; y = 5 Si x = ; y = 3 8 ; y = x 1 y 5

6 b) y = 3x 1 Ahora se trata de buscar los valores de x que hacen que 3x 1 sea negativo,pues no existirán las raíces para dichos valores Resolvemos la inecuación: 3x 1<0 ; despejando se obtiene que x<, luego los valores que hay que quitar son todos los menores que El intervalo (, ) no puede formar parte del dominio que será por lo tanto el intervalo : [, ) c) y = 8456 x Ahora hay que ver los valores que hacen que el denominador sea cero, pues para dichos valores y = que no es un número Igualando este denominador a cero resulta que x = 0 es el valor buscado, luego el dominio son todos los números reales excepto el cero : 3 {0} PREGUNTA: 4Dada la función y = x 3x 4 Cuál es su dominio? Representa gráficamente la parábola asociada a esta función ( cuidado con las divisiones de los ejes, los números que salen son un poco grandes) Todo polinomio de segundo grado tiene como gráfica una parábola Para realizar una gráfica sabemos que basta con conocer unos cuantos puntos y luego unirlos a mano alzada o con ayuda de regla y compás Pero las parábolas tiene un punto característico, llamado vértice, que es el que delimita sus dos ramas, donde la curva cambia de sentido Este punto debe y puede ser situado con exactitud Para ello contamos con una expresión matemática que relaciona la coordenada x del vértice (que llamaremos x v ) con los coeficientes del polinomio de segundo grado Dicha relación es : b x v = Sustituyendo a y b por sus valores se obtiene x v a Luego sustituyendo este valor x v en la expresión de segundo grado tendremos la otra coordenada del vértice, y v

7 Una vez situado el vértice dibujar el resto de la parábola es sencillo Basta con dar como mínimo dos puntos más y luego dibujar a mano alzada Tenemos varios caminos posibles: Dar valores a x como nos parezca En este caso hay que tener cuidado y no dar los valores al tun tun porque entonces es probable que nos quede un churro de parábola Lo conveniente es dar valores de x que estén a ambos lados del valor de la coordenada x del vértice, a ser posible simétricos, es decir, si la x v =5 entonces habrá que tomar x = 6 x =4 o bien x = 10 x = 0 Otra opción es dar un único valor de la y, al hacer esto lo que nos queda es una ecuación de segundo grado cuyo resultado son dos valores de x Lo que hemos hecho es obtener dos puntos con distintas coordenadas x pero que tienen la misma coordenada y Además estos dos puntos se sitúan de forma simétrica a ambos lados del vértice con lo que el dibujo a mano alzada es más sencillo de hacer RESPUESTA: En primer lugar, y = x 3x 4, es un polinomio luego su dominio es R Para hacer la gráfica calculemos el vértice Los coeficientes del polinomio de º grado son : a= 1, b = 3, c = 4, luego toma el valor x v = 1 el valor de y v será : b x v = a ( 3) 3 ; x v = ; x v = 1, y v = 3 4 y v = y v = y v = 6,5 4 Para terminar el dibujo damos a la y el valor 4,de modo que habrá que resolver la ecuación de segundo grado 4 = x 3x 4 Ordenándola un poco resulta 0 = x 3x ; 0 =x ( x 3) es decir una ecuación incompleta de segundo grado Sus dos soluciones son : Si 0 =x ( x 3) es porque Bien x= 0 O bien x 3 = 0 ; x =3 x 0 3 y -4-4

8 PREGUNTA : 5Dada una parábola y = x + bx + c, ( desconocemos los valores de b y de c) Sabiendo que su vértice está en el punto ( 1, ), calcular los valores de b y c RESPUESTA: En el problema anterior nos daban el polinomio y calculábamos el vértice Ahora es al revés, tenemos los datos del vértice pero desconocemos algunos coeficientes del polinomio Si sabemos por un lado que parábola x v = 1, luego - 1 que se puede despejar b Se obtiene que b = b x v = y por otro lado tenemos que en nuestra a b a =, pero también sabemos que a = 1 con lo Nuestra parábola es pues y = x + x + c ; falta por calcular c Pero nos falta por usar un dato que se nos ha dado, la coordenada y v del vértice Como punto de la parábola que es las coordenadas del vértice verifican la ecuación y v = (x v ) + x v + c, luego = ( 1) +( 1)+c despejando se obtiene el valor de c = 1 El polinomio es por tanto y = x + x 1