MECÁNICA DE FLUIDOS Definiciones La mecánica de fluidos es una ama de la mecánica acional que estudia el compotamiento de los mismos tanto en eposo (estática de fluidos), como en moimiento (dinámica de fluidos). Definición de fluido. Un fluido es una sustancia mateial continua y defomable cuando es sometida a una tensión de cotadua (elación ente la componente tangencial a la supeficie de la fueza y el áea de la supeficie). Fluido ideal. Se llama fluido ideal, a un fluido de iscosidad nula, incompesible y defomable cuando es sometido a tensiones cotantes po muy pequeñas que éstas sean. Fluido eal. Se llama fluido eal, a un fluido que es iscoso y/o compesible. Gas pefecto. Es una sustancia, que satisface la ecuación de los gases pefectos ( PV y que tiene caloes específicos constantes. nrt ) Difeencia ente un fluido ideal y un gas pefecto. Un fluido ideal no tiene ozamiento y es incompesible. El gas pefecto en cambio, tiene iscosidad y, po lo tanto puede desaolla tensiones cotantes, y, además, es compesible de acuedo con la ecuación de la ley de los gases pefectos. Estática de fluidos Pesión en un fluido. Es la magnitud de la fueza en cada punto po unidad de supeficie, es un campo escala que depende de la posición P P( x, y, z). Su unidad en el sistema intenacional de unidades es el Pascal, Pa N m. Se cumplen las siguientes elaciones ente unidades: 5 6 3 1atm 1, 013 10 Pa 1, 013 10 baia 1, 013ba 1, 013 10 mba 1atm 10, 33m. c. a 1, 033kp / cm ( atm. tecnica) 760mmHg Las supeficies isóbaas son el luga geomético de los puntos del espacio con la misma pesión, se obtienen igualando el campo de pesiones a una constante: P( x, y, z) Cte. Ecuaciones fundamentales de la estática de fluidos. Si un fluido en su conjunto está en equilibio, es deci en eposo, cada uno de sus puntos está también en equilibio. Siendo
P P( x, y, z) el campo de pesiones, ( x, y, z ) el campo de densidades y suponiendo que el fluido está sometido a la acción de fuezas exteioes, definidas po unidad de masa de la foma, F F i + F j + F k ( N / kg), x y z F 1 P F F F x y z 1 P x 1 P y 1 P z Si las fuezas exteioes son conseatias, existe un potencial (V ) tal que, en cada punto, la fueza pueda expesase como el gadiente de la función potencial F V, la ecuación 1 ectoial queda, V + P 0, que pemite obtene la ecuación difeencial que esuele el dp equilibio de un fluido: dv + 0. En consecuencia, las supeficies equipotenciales son también isóbaas. Si la única fueza exteio es el peso, dv gdz, la ecuación difeencial que expesa el equilibio es dp gdz. Si el fluido es incompesible, po ejemplo un líquido, la densidad es constante y la integal de esta ecuación es P P0 + gz que indica que la pesión a una pofundidad z po debajo de la supeficie libe de un líquido es igual a la pesión P 0 sobe dicha supeficie mas el poducto del peso específico g po la pofundidad z. En este caso las isóbaas son planos hoizontales (zcte). Paa medi pesiones desconocidas podemos utiliza un manómeto de tubo abieto, constituido po un tubo en foma de U que contiene un líquido; uno de los extemos está conectado al ecipiente cuya pesión se desea detemina, y el oto está abieto a la atmósfea y sometido a la pesión atmosféica. La difeencia de pesión ente el ecipiente y la atmósfea es P P0 gh, siendo g el peso específico del líquido del tubo, y h la difeencia de altua ente las amas. Pincipio de Pascal. Si po cualquie causa, ajena a la natualeza del fluido, se modifica la pesión en un punto de un fluido incompesible, esta modificación se tansmite íntegamente y po igual a todos los puntos del mismo, sin deja de esta en equilibio y sin modifica la geometía del fluido.
Pincipio de Aquímedes. Un cuepo sumegido total o pacialmente en un fluido expeimenta un empuje ascensional igual al peso del fluido desalojado. DINÁMICA DE FLUIDOS. Establece las leyes o ecuaciones que deteminan el moimiento de un fluido, éste queda deteminado cuando se conoce en cada punto del mismo, y en cada instante del moimiento, la elocidad de cada una de las patículas que lo constituyen. El campo de elocidades, en geneal, depende de la posición y del tiempo. Es un campo ectoial de expesión: xyzt (,,, ) ( xyzti,,, ) + ( xyzt,,, ) j+ ( xyztk,,, ) x y z Al moimiento de un fluido se le denomina flujo, pudiéndose ealiza la siguiente clasificación: Flujo pemanente o estacionaio: cuando las popiedades del fluido y las condiciones del moimiento en cualquie punto no cambia con el tiempo Q 0; 0; 0; 0K en las que las coodenadas espaciales (x, y, z) se mantienen constantes. Flujo no pemanente (impemanente): cuando las popiedades del fluido y las condiciones del moimiento en cualquie punto cambian con el tiempo Q 0; 0; 0; 0K en los que las coodenadas espaciales (x, y, z) se mantienen constantes Flujo unifome: Cuando la popiedades del fluido y las condiciones del moimiento, en un instante dado, no cambian con la posición Q 0; 0; 0; 0K en las que la coodenada tempoal (t) se mantiene constante. Flujo no unifome: Cuando las popiedades del fluido y las condiciones del moimiento, en un instante dado, cambian con la posición. Q 0; 0; 0; 0K
Líneas de coiente. Cuas tales que en cada punto y cada instante del tiempo son tangentes al ecto elocidad coespondiente a dicho punto. Se calculan esoliendo el sistema de ecuaciones difeenciales, expesado en foma continua: dx dy dz x y z Su integación, paa un instante deteminado, popociona dos familias de supeficies de cuya intesección esultan las líneas de coiente coespondientes al instante consideado. Po tanto, son cuas que cambian de foma con el tiempo. Tayectoias de las patículas de un fluido. Paa su deteminación las componentes del campo de elocidades deben cumpli: dx x ( x, y, z, t) dt dy y ( x, y, z, t) dt dz z x y z t (,,, ) dt Sistema de tes ecuaciones difeenciales de pime oden, cuya integación popociona la solución geneal de las tayectoias de las patículas del fluido, en su foma paamética. En el caso de moimiento o flujo aiable las tayectoias no coinciden con las líneas de coiente, es deci, las patículas que pasan po el mismo punto en instantes distintos desciben distintas tayectoias. Excepcionalmente, cuando el campo de elocidades se puede expesa como el poducto dos funciones, una dependiente de la posición y ota dependiente sólo del tiempo, es deci, coiente. f ( x, y, z) g( t), las tayectoias coinciden con las líneas de En el caso de moimiento o flujo pemanente, po se independiente del tiempo, las líneas de coiente si que coinciden con las tayectoias, es deci, las patículas del fluido que pasan po un mismo punto siguen siempe la misma tayectoia, la de la línea de coiente que pasa po ese punto. Ecuación de continuidad. Es un pincipio de conseación de masa. La ecuación de continuidad paa un fluido incompesible, no iscoso, en égimen estacionaio y con moimiento unifome establece que el caudal es igual al poducto de la sección po la elocidad se mantiene constante. Q S Cte
Po tanto, la elocidad es máxima en los estechamientos y mínima en los ensanchamientos. Teoema de Benoulli. Es un teoema de conseación de la enegía. Consideando un fluido incompesible, no iscoso, en égimen estacionaio, la foma que toma la expesión del Teoema de Benoulli en téminos de enegía po unidad de masa, pesión y altua son espectiamente: P + gz + Cte + gz + P Cte P + z + Cte. ( g γ) g g Efecto Ventui. En el caso paticula de que la tubeía de sección aiable sea hoizontal, se obtiene que la pesión disminuye cuando aumenta la elocidad del fluido. Este efecto puede usase paa explica cualitatiamente el empuje ascensional ejecido sobe el ala de un aión y la desiación de la tayectoia que sigue una pelota lanzada con efecto (efecto Magnus). VISCOSIDAD Los fluidos natuales o eales, a difeencia de los ideales, poseen un ozamiento inteno que se denomina iscosidad. Cuando un fluido cicula po una conducción, debido al ozamiento inteno (ficción ente sus moléculas y con las paedes de la tubeía), la elocidad de las distintas capas de fluido no es la misma, como ocue en fluidos ideales, además se manifiesta una caída de pesión según nos desplazamos en la diección del flujo; como consecuencia de la iscosidad es necesaio ejece una fueza paa obliga a una capa de fluido a desliza sobe ota. Existen dos tipos de flujos pemanentes en el caso de fluidos eales: Flujo lamina. Las patículas fluidas se mueen según tayectoias paalelas, fomando el conjunto de ellas capas o láminas. Flujo tubulento. Las patículas fluidas se mueen de foma desodenada en todas las diecciones.
Númeo de Reynolds. Es un númeo adimensional, que expesa la elación ente las fuezas de inecia debidas a la iscosidad. Paa tubeías ciculaes, en flujo a tubeía llena N R η donde R es el adio de la tubeía, la densidad del fluido, la elocidad media y η el coeficiente de iscosidad dinámica. Si el alo del númeo de Reynolds es meno de 000 el égimen es lamina, y si es mayo de 000, el égimen es tubulento. En las poximidades de 000 el égimen es de tansición. Paa conductos de sección ecta no cicula, canal o tubeía pacialmente llena N 4R H η donde R H es el adio hidáulico (cociente del áea de la sección ecta po el peímeto mojado). Si el alo del númeo de Reynolds es infeio a 500 el égimen es lamina, si está compendido ente 500 y 000 el égimen es de tansición y puede se lamina o tubulento, y si es supeio a 000 el égimen es genealmente tubulento. El flujo lamina, está gobenado po la ley de Newton que expesa que la fueza de iscosidad ( F ) es popocional al coeficiente de iscosidad dinámica ( η ), al áea de las dos placas paalelas ( S ) y al gadiente de elocidad según la nomal a ambas placas F η S d dz La unidad de iscosidad dinámica en el S.I. es el N s Pa s, en el c.g.s es el m dina s poise. cm El coeficiente de iscosidad cinemática ( ν ), se elaciona con el de iscosidad dinámica a taés de la densidad: ν η La ley de la aiación de la elocidad con el adio pemite obtene la elocidad de un fluido iscoso que cicula po una tubeía cilíndica hoizontal, de pequeño diámeto y adio R con moimiento unifome, a () ( R ) 4η donde es la distancia al eje de la tubeía y a es una constante negatia que epesenta la pédida de pesión (pédida de caga) po unidad de longitud. Dicha constante se puede
ar expesa en función de la elocidad media, o de la elocidad máxima 8η max ar. Po lo que 4η P0 Pl 8η 4η a l R R max La ley del caudal o ley de Poiseuille expesa que el caudal olumético es diectamente popocional a la caída de pesión, a la cuata potencia del adio e inesamente popocional a la longitud de la tubeía y al coeficiente de iscosidad dinámico. Q ( P0 Pl ) πr 8ηl 4 Ley de Stokes. Cuando una esfea se desplaza en el inteio de un fluido iscoso en eposo encuenta una esistencia a su moimiento que es una fueza diigida en sentido contaio a su elocidad y cuya magnitud iene dada po la ley de Stokes, F 6πRη Si la esfea cae eticalmente bajo la acción de la gaedad con elocidad inicial nula en el inteio de un fluido iscoso debido al pincipio de Aquímedes y a la ley de Stokes, la ecuación difeencial de su moimiento es: m d dt ( m m')( g a) siendo m y m las masas de la esfea y del fluido y a constante. 4 3 4 3 6πRη m πr ; m' πr '; a 3 3 m m' en este moimiento se alcanza elocidad constante o elocidad límite igual a Rg 9 η ( ').