II.- CONDUCCIÓN DE CALOR UNIDIRECCIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO

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1 II.- CONDUCCIÓN DE CALOR UNIDIRECCIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO II..- INTRODUCCIÓN La conducción es una foma de tansfeencia témica según la cual, el calo viaja desde una egión de tempeatua elevada a ota de meno tempeatua, pudiendo apaece en los sólidos, en los líquidos y en los gases. Paa el caso de los líquidos y gases, la conducción se encuenta nomalmente en combinación con la convección; la conducción pua tiene luga, fundamentalmente, en los sólidos opacos. En lo que sigue consideaemos que el medio conducto es un sólido, peo los pincipios que se desaollan pueden aplicase asimismo a aquellos líquidos y gases en los que el movimiento convectivo se encuente limitado po el mecanismo que sea. El estudio de la conducción témica se puede ealiza siguiendo tes diectices pincipales: a) En la pimea inteviene la conducción en égimen estacionaio, en el que la tempeatua esulta se función de una deteminada diección b) En la segunda la tempeatua es función de dos o tes diecciones c) La tecea se coesponde con la conducción en égimen tansitoio La ecuación de la conducción es una expesión matemática, consecuencia del Pincipio de Consevación de la Enegía en una sustancia sólida; se obtiene mediante un balance enegético en un elemento de volumen del mateial en el que se ealiza la tansfeencia de calo po conducción. Las tansfeencias de calo debidas a la conducción están elacionadas con la distibución de tempeatuas mediante la ley de Fouie. El balance de enegía tiene en cuenta el hecho de que pueda genease enegía en el inteio del mateial; ejemplos típicos de geneación intena de enegía en un sólido lo constituyen las eacciones químicas que genean calo o el calo geneado como consecuencia del paso de una coiente eléctica a tavés de una esistencia (efecto Joule), etc. La foma geneal de la ecuación de conducción debe tene en cuenta el almacenamiento de enegía en el mateial. Como la enegía intena de un sistema, U U(T,t), aumenta con la tempeatua del mismo, una sustancia sólida expeimentaá un incemento neto de la enegía en ella almacenada cuando aumente su tempeatua T a lo lago del tiempo t, y vicevesa. Si la tempeatua es independiente del tiempo, el sistema está en égimen estacionaio; si la tempeatua es función del tiempo, se dice que el II.-9

2 sistema está en égimen tansitoio y, el incemento de su enegía intena, viene asociado diectamente al almacenamiento de enegía. Se puede clasifica la conducción también po el númeo de dimensiones de las coodenadas de que dependa la tempeatua; si ésta es función de una sola coodenada, el poblema es monodimensional, y si es función de dos o tes, entonces se dice que es un poblema bi o tidimensional, espectivamente; si la tempeatua es función del tiempo y de la diección x en coodenadas ectangulaes, o sea, T T(x,t), se dice que el poblema es monodimensional y tansitoio. II..- ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN La conducción es la foma de tansfeencia de calo en la que se ealiza un intecambio de enegía desde la egión de mayo tempeatua a la de meno tempeatua, po el movimiento cinético de sus patículas, o po el impacto diecto de sus moléculas, como es el caso de los fluidos en eposo, o po el aaste de electones como es el caso de los metales. La ley básica de la conducción del calo, a pati de obsevaciones expeimentales, poviene de Biot, peo en geneal se conoce con el nombe de ecuación de Fouie, ya que fue él quien la aplicó a su teoía analítica del calo. Esta ley establece que la tasa de tansfeencia de calo po conducción en una diección dada, es popocional al áea nomal a la diección del flujo de calo, y al gadiente de tempeatua en esa diección. Paa el flujo témico en la diección x la ley de Fouie viene dada po: Q x - k A ó q x Q x A - k Fig II..- Paalelepípedo elemental de fluido en la que Q x es el calo que ataviesa la supeficie A en la diección positiva de las x, y q x es el flujo de calo po unidad de supeficie tansvesal, también en la diección positiva de las x. La constante k es la conductividad témica del mateial. Consideaemos en lo que sigue que el flujo es unidieccional según x; la ecuación de Fouie dice que se puede calcula el flujo de calo en la diección x si se conoce el gadiente de tempeatuas en esa diección; la distibución de la tempeatua en un medio se puede calcula a pati de la solución de la ecuación difeencial de la conducción del calo, cuando se somete a unas condiciones apopiadas de fontea. Paa su deteminación consideaemos un elemento de volumen infinitesimal, de dimensiones x, y, z, pudiéndose establece el siguiente balance enegético: (Enegía que ataviesa po conducción el elemento) (Enegía geneada en el elemento) (Vaiación de la enegía intena del elemento) La enegía Q x que enta po conducción al elemento de volumen infinitesimal, Fig II., en la diección x, es: Q x q x y z II.-0

3 y la enegía saliente en la misma diección es: Q x Q x x siendo el balance de enegía que ataviesa el elemento de volumen en la diección x: Q x - (Q x Q x x) - Q x x - q x x y z Haciendo lo mismo en las diecciones y y z: Q y - (Q y Q y y y) - Q y y y - q y y x y z Q z - (Q z Q z z z) - Q z z z - q z z x y z La enegía que po conducción queda almacenada en el elemento de volumen es: - ( q x q y y q z z ) x y z La enegía geneada o disipada en el elemento de volumen viene dada po: E x y z y la vaiación U de la enegía intena en dt, paa el caso de sólidos y líquidos, en los que los caloes específicos a pesión y volumen constante son iguales (c p c v ) es de la foma: δu m c p ρ c p x y z en la que ρ y c p no vaían con el tiempo. El balance enegético total popociona la ecuación difeencial de la conducción de calo: - ( q x q y y q z z ) E ρ c p en la que sustituyendo: q x - k ; q y - k y ; q z - k z con: (k ) y (k y ) z T T(x, y, z, t) y E E(x, y, z, t) po lo que: (k z ) E ρ c p, se obtiene: T T y T z E k ρ c p k α k ρ c p α ; T E k α II.-

4 que es la ecuación difeencial de la tansmisión de calo po conducción en égimen tansitoio con geneación de enegía, y en la que α es la difusividad témica. Paa analiza la conducción de calo en un cilindo, se utilizan coodenadas cilíndicas, quedando la ecuación anteio en la foma: ( ) E k α y paa el caso de tansmisión de calo a tavés de una esfea: ( ) sen θ (sen θ θ θ ) sen θ T Φ E k α en las que hay que tene en cuenta las condiciones de fontea, popias de cada caso a estudia. II.3.- CONDUCCIÓN EN UN CILINDRO Paa estudia la conducción de calo en un cilindo, conviene utiliza la ecuación de coodenadas cilíndicas, que en ausencia de fuentes y sumideos (E 0), y égimen estacionaio, es de la foma: ( ) α C ; 0 ; C ( ) 0 T() C ln C Fig II..- Cilindo Suponiendo que paa un punto a la distancia la tempeatua es T i y que paa el adio exteio e la tempeatua es T pe, las condiciones en los límites son, Fig II.: Paa: ; T i C ln C e ; T pe C ln e C deduciéndose de las mismas las constantes C y C : C T pe - T i ln e ; C T i - T pe - T i ln e ln La distibución de tempeatuas T() es de la foma: T() - T i T pe - T i ln (/ ) ln ( e / ) T() T i (T pe - T i ) ln (/ ) ln ( e / ) Q() - π L k () d Cuando: e e, con: e e π k L e k A - π L k C - π k L T pe - T i ln ( e / ) T i - T pe ln ( e / ) π k L >>, la esistencia témica se educe a la esistencia de una placa: II.-

5 El valo de Q es independiente de la posición adial en la que T p0 y T i son tempeatuas del cilindo, y L es la longitud del mismo. Este estudio se puede amplia a un tubo, en el que su tempeatua inteio sea T pf T i esultando la siguiente distibución de tempeatuas: T - T pf T pe - T pf ln (/ ) ln ( e / ) El calo tansmitido es de la foma: Q π k L T pf - T p0 ln ( e / ) Si k es vaiable, función de la tempeatua, k k(t), el flujo de calo es Q π L ln e T p0 k(t) T pf Paa el caso de cilindos de capas múltiples con convección y adiación al medio exteio, Fig II.3, se puede pone: Q U A (T pf - T p0 ) T pf - T p0 U A U A π L h Ci ln A ln π k L A π k L π L (F h F ) Fig II.3.- Tubeía aislada, distibución de tempeatuas y cicuito témico coespondiente en la que la esistencia en paalelo se puede sustitui po una única, consideando un coeficiente de convección: h cf h F II.4.- ESPESOR DE AISLAMIENTO CRITICO PARA UN CILINDRO Fig II.4.- Aislamiento de un cilindo, adio cítico Cuando se ecube un cilindo con una capa de mateial aislante, cuya esistencia témica es baja, de modo que este aislamiento exteio esté odeado po un fluido, se petende conoce el efecto que poduciá el aislamiento adicional sobe la tansfeencia de calo, desde el inteio del cilindo, (con o sin geneación de enegía, ya que se mantiene constante la tempeatua exteio T pi del cilindo), o lo que es lo mismo, que este aislamiento adicional aumente o disminuya la cantidad de calo que se tansfiee a pati del cilindo compuesto, (núcleo más aislamiento). II.-3

6 La nomenclatua a utiliza viene indicada en la Fig II.4, en la que se supondá constante el valo de T pi que es una tempeatua del inteio del cilindo. El calo Q que se tansfiee a pati del mismo, en égimen pemanente, es igual a la pédida po convección desde la supeficie. Q A 0 (T pf - T F ) T pf - T F π 0 L Cuando se añade aislamiento y dado que en él no hay geneación de enegía, la cantidad de calo a disipa se mantiene constante, A 0 aumenta y T pf disminuye. Paa detemina cual de estos efectos pedomina, el calo Q tansmitido se puede calcula ente la tempeatua exteio de la paed T pi, y la del medio exteio T F, en la foma: Q T pi - T F R k R C T pi - T F ln ( 0 / ) π k L π 0 L π L (T pi - T F ) k ln 0 0 T pi - T F R siendo R la esistencia témica global. Deivando la expesión de Q especto de 0 se obtiene la condición de disipación de calo máxima o mínima: dq - π L (T d pi - T F ) 0 k 0 - ( k ln ) 0 0 k 0 La magnitud adimensional 0 k se conoce como númeo de Biot: Bi 0 k Al valo 0 k unidad. se le denomina adio cítico, y se cumple paa un valo del númeo de Biot igual a la Si se calcula la deivada segunda de Q y se aplica la condición: 0 k, se obtiene: - 0 d Q d - π L (T k ln 0-0 pi - T F ) i k ln 0 k 0 ( 0 ln 0 ) k 3 i d Q d 0 0 k - π L (T pi - T F ) k ( ln 0 ) 3 k que siempe es negativa, po lo que el adio cítico C, o adio óptimo, dado po el númeo de Biot igual a la unidad, se coesponde con una pédida o disipación de calo máxima, paa ( C 0 ). También se podía habe esuelto consideando que el valo de Q es máximo cuando la esistencia R sea mínima, es deci: II.-4

7 R k ln 0 ; dr - 0 d 0 k k d R d 0 - k (- k ) 0 (- ) 0 k k k 0 que siempe es () luego R siempe seá mínima y Q máximo: Q π L (T pi - T F ) k ln 0 0 π L (T pi - T F ) π L (T pi - T F ) ln 0 (ln 0 ) k k k Po lo tanto es posible aumenta la disipación de calo de una tubeía o de un cilindo, mediante la adición de un aislante, siempe que el adio cítico ( C /k ) sea mayo que el adio exteio de la tubeía, o cilindo, sin ecubi. El adio cítico es constante paa cada tipo de aislamiento y fluido exteio convecto, po selo k y. Fig II.5.a.b- Posiciones del adio cítico en tubeías de distinto diámeto Es posible que paa tubeías pequeñas, o paa alambes, el adio sea meno que C, en cuyo caso la adición de aislante a la tubeía o cilindo, descubietos, (punto a), detemina un aumento del calo cedido, hasta que se alcance el adio cítico C, tal como se muesta en la Fig II.5.a. Un aumento posteio del espeso del aislante haá que el calo disipado descienda desde el máximo a oto valonfeio (punto b), de adio *, en que el calo disipado es igual al del tubo o cilindo desnudos; es posible que, en estas cicunstancias, la solución encontada sea absuda e imposible de lleva a la páctica. Po lo tanto, paa consegui una pédida de calo meno que la que cede el tubo o cilindo al descubieto, seá peciso añadi un espeso de aislante e supeio a (* - ) e > * -. En la Fig II.5.b, se tiene una situación típica de tubeía de gan diámeto ( ) en la que el adio exteio de la misma es mayo que el adio cítico C y, en consecuencia, cualquie aislante que se añada, disminuiá la pédida de calo. Paa, Bi <, que implica que ( < C ) la adición de aislamiento en cilindos o tubeías de pequeño diámeto, incementa la cantidad de calo tansfeida al exteio. Paa, Bi >, que implica que ( > C ) el aislamiento adicional a tubeías y conducciones de gan II.-5

8 diámeto, haá disminui la tansfeencia de calo, lo que implica un mejo aislamiento. Si se considea la adiación: C k h En ealidad el valo de 0 es sólo una apoximación ya que se ha supuesto que el coeficiente de tansmisión de calo ea independiente de 0 ; sin embago, desde un punto de vista páctico, no se necesita un valo exacto de 0, po cuanto al se el valo de Q máximo, la pédida de calo no es sensible a los cambios de, cuando esté ceca de 0. II.5.- PARED ESFÉRICA SIN GENERACIÓN DE ENERGÍA En égimen pemanente se tiene que 0 y si no existen fuentes ni sumideos (E 0); paa un mateial isótopo, la tempeatua es función del adio ρ, T T(ρ), y po lo tanto, el flujo de calo se puede considea monodimensional. La ecuación difeencial de la distibución de tempeatuas es: T T T y T z 0 Teniendo en cuenta que: T T(ρ) ρ x y z x ρ x ρ Fig II.6.- Esfea T T x ρ se obtiene: ρ - x ρ T ( x ρ ) ρ - x ρ 3 Resultados similaes se obtendían paa, T y y T, po lo que: z T T x y z ρ ( 3 ρ - x y z ρ 3 ) T ρ 0 Si al gadiente de tempeatuas en la diección adial le llamamos u, la distibución de tempeatuas es de la foma: u u u ρ 0 ; du u dρ 0 ρ ln u ln ρ ln C ; u ρ C C ρ ; T - C ρ B Las condiciones en los límites, son: T - C ρ T - C ρ B B T - T - C (ρ - ρ ) ρ ρ - C e ρ ρ C - T - T e B T - T - T e ρ ρ ρ II.-6

9 La distibución de tempeatuas en paedes esféicas es de la foma: T ρ ρ e ρ (T - T ) - ρ e (T - T ) T T T - T e ρ ( ρ ρ - ) T - T T - T ρ e ( ρ ρ - ) viniendo dado el calo tansmitido po conducción po la expesión: Q - k A - k 4 π ρ - 4 π k C ρ ρ 4 π k ρ ρ T T e obsevándose que Q depende de ρ y se va diluyendo a medida que aumenta ρ, (ρ es constante), po cuanto aumenta la sección. Esta expesión paa el calo se puede pone también en la foma: Q T - T e 4 π ρ ρ k T - T R esf T - T ρ - ρ 4 π ρ ρ k 4 π k T - T - ρ ρ en la que R esf se denomina esistencia témica de la esfea, en analogía con la ley de Ohm. Paa detemina el calo evacuado a tavés de una esfea hueca, de adio inteio y adio exteio, calentada po un fluido a T F, a un medio exteio a T 0, se tendá: Q 4 π h pf T F - T 0 e 4 π k 4 π h p0 siendo h pf el coeficiente de convección en el inteio de la esfea y h p0 en el exteio. Paa una esfea ecubieta con un aislante de conductividad témica k*, y adio 3, el adio cítico se obtiene en la foma: Q 4 π R T - T pf 4 π 3-4 π 3 k * 4 π 3 h cf 3-4 π 3 k * 4 π 3 h cf dr d 3 T - T pf R k* ( 3 k * ) - 3 h cf ( 3 h cf ) 0 3 cít k* h cf Si se considea la adiación: cít k* h II.6.- CONDUCCIÓN MONODIMENSIONAL CON GENERACIÓN DE ENERGÍA Hasta ahoa sólo hemos consideado poblemas de conducción témica sin geneación de calo dento del popio mateial. Cuando haya que tene en cuenta la geneación intena de calo se esuelve en pime luga la ecuación de la enegía paa la distibución de tempeatuas que exista en el mateial de que se tate. La solución contendá dos constantes de integación que debeán deteminase II.-7

10 mediante condiciones de contono adecuadas. A continuación se utilizaá la ley de Fouie paa detemina el flujo de calo a tavés del sólido. Sabemos que el calo puede genease intenamente de divesas maneas; dento de un mateial sólido pueden poducise eacciones químicas tanto endotémicas como exotémicas. Una eacción exotémica geneaá calo, mientas que una eacción endotémica absobeá calo del mateial, oiginando un sumideo de calo. Si una coiente eléctica pasa a tavés de una esistencia, se genea calo en el conducto. También se poduce calo en los mateiales fisionables como consecuencia de las eacciones nucleaes que tienen luga dento de los mismos. PARED PLANA.- Como ejemplo en el que inteviene la geneación de calo, consideaemos una paed plana de espeso (e L) Fig II.7, en la que se poduce la geneación constante de calo, unifomemente distibuida a tavés de la totalidad del volumen de mateial. Paa su estudio consideaemos la mitad de su espeso, que nos va a pemitintoduci el concepto de fontea aislada o adiabática; patiendo de la ecuación: T E k α 0 Integándola en la diección x se obtiene: d T dx E k 0 dx - E x k C T - E x k C x C Fig II.7.- Paed plana Las constantes se deteminan con las condiciones de contono: Una fontea aislada o adiabática es aquella en la que el gadiente de tempeatuas es ceo; la condición de fontea adiabática se tiene en el plano de simetía (x 0) y es la pimea condición de contono, de la foma: x 0 x0 0 C 0 La segunda condición de contono se tiene paa (x L ; T T ): x L T T - E L k C C T E L k Sustituyendo C l y C se obtiene la distibución de tempeatuas: T - E x k T E L k que es una distibución paabólica con especto a x; el valo máximo de la tempeatua, supuesto E manantial, se pesenta en la supeficie aislada (x 0), po cuanto: dx x0 - E x k 0 y d T dx x0 - E k T máx T E L k T máx T E L k T (máximo) II.-8

11 Toda la enegía geneada dento de la paed se conduce hacia la supeficie libe (x L) en la foma: Q - k A k A E x k A E x No puede tansfeise ninguna enegía caloífica a tavés de la supeficie extema coespondiente a (x 0) poque está aislada y no puede almacenase ninguna enegía en el mateial, po cuanto se han impuesto condiciones estacionaias. La enegía que llega a la supeficie (x L) es: Q xl A E L V E siendo V el volumen de media paed plana de espeso L. PLACA PLANA RODEADA POR UN FLUIDO CONVECTOR..- A continuación se supone que odeando a la placa se encuenta un fluido convecto, Fig II.8, con tempeatua T F y coeficiente de convección con el medio exteio. El calo geneado en la placa ataviesa ésta po conducción, y luego va escapando al fluido exteio po convección; patiendo de: T - E x k C x C ; dx - E x k C Fig II.8.- Placa plana odeada po un fluido (Distibución de tempeatuas) las constantes de integación y los valoes de T T pf y T máx se calculan teniendo en cuenta que el calo que ataviesa po conducción la caa exteio de la placa, escapa al fluido po convección: Paa: x 0 ; T T F E L x0 0 C 0 ; C T máx T E L k x L ; - k xl (T - T F ) ; - E L k T máx T máx T F E L xl - (T - T F ) k E L k - E L k T T F E L Distibución de tempeatuas: T T máx - E x k T E L k - E x k T Paa: Sólido isotemo: Bi 0 ; k ; T T T F E L Fluido isotemo: Bi ; ; T T F E L k El calo que pasa de la placa al fluido es: E k (L - x ) T F E L k - E x k E L II.-9 (L - x L ) T F E L k (L - x L k )

12 Q A (T - T F ) A (T F E L - T F ) A E L E V PARED ClLÍNDRICA.- Supongamos un conducto cilíndico macizo, Fig II.9, po el que cicula una coiente eléctica de intensidad I y esistencia R*. La supeficie lateal del cilindo está a la tempeatua T 0. La enegía geneada en el cilindo, po unidad de volumen, es: E R* I V cilíndicas: Fig II.9.- Paed cilíndica siendo V el volumen del cilindo. El valo de E es constante paa: I Cte y R* Cte La distibución de tempeatuas se obtiene a pati de la conducción monodimensional y estacionaia en coodenadas ( ) E k 0 ; d - E k C ; T - E 4 k C ln C Paa calcula las constantes C l y C se tendán en cuenta las siguientes consideaciones: a) Paa la tempeatua en el eje del cilindo 0, se tiene: ln ln 0 - C 0 po cuanto la tempeatua coespondiente tendía que se, que no es posible. b) Paa: R y T T 0, esulta: T 0 - E R 4 k C C T 0 E R 4 k po lo que la distibución de tempeatuas queda en la foma: T T 0 - E 4 k E R 4 k T 0 - E R 4 k { - ( R ) } T - T 0 T 0 E R 4 k T 0 { - ( R ) } La tempeatua máxima del cilindo se encuenta a lo lago del eje del mismo dx 0 0 y d T d 0 - E k (máximo) y vale: Paa: 0 ; T T máx T 0 E R 4 k Si se supone que el conducto cilíndico disipa calo al exteio, se tiene: R - k (T 0 - T F ) - E R k T 0 T F E R Teniendo en cuenta: T - T 0 E R 4 k { - ( R ) } II.-30

13 esulta la siguiente distibución de tempeatuas, y tempeatua máxima: T - T F T máx T F E R E R 4 k - E 4 k E R ( R k - k R ) E R ( R k ) T F E R ( Bi ) Si, Bi 0 k, (sólido isotemo), la tempeatua vaiaá pefeentemente en el fluido (gas): T T F E R Si, Bi 0, po lo que el fluido seá isotemo (metales líquidos), y la difeencia de tempeatuas se oigina en el sólido (T T F ) Calo eliminado al exteio: Q - k A ( ) R - k A E R k - E π R L - E V PARED CILÍNDRICA RODEADA CON UNA VAINA EN CONTACTO CON UN FLUIDO CONVECTOR.- En este caso, supondemos que el núcleo de adio R genea calo, mientas que el ecubimiento de adio R e no, po lo que habá que estudia po sepaado el núcleo del ecubimiento o vaina, teniendo en cuenta que tienen una fontea común. Supondemos el conjunto (núcleo-vaina) de la Fig II.0, en égimen estacionaio y conducción monodimensional, es deci, T T(). Paa el núcleo (E 0) se tiene lo visto anteiomente: Fig II.0.- Núcleo geneado de calo odeado con un aislante d d ( d ) E k 0 ; d - E k C T - E 4 k C ln C Paa: 0, C 0 T - E 4 k C Paa el aislante, la distibución de tempeatuas con E 0 es: d d ( d ) 0 ; C 3 ; C 3 T C 3 ln C 4 Condiciones de contono: a) Paa: R y T T i común al núcleo y a la vaina, po se la unión pefecta: T i C - E R 4 k C 3 ln C 4 ; C T i E R 4 k E R 4 k C 3 ln C 4 que elaciona las constantes de integación C, C 3 y C 4. La constante C pemite halla la tempeatua máxima en el núcleo, conocida T i : C T máx T i E R 4 k II.-3

14 b) El calo que abandona el núcleo, es absobido po la vaina: q vaina núcleo R q R - k (- E R k ) - C k* 3 R ; - k d R núcleo - k* d vaina R ; C 3 - E R k * c) En la supeficie exteio de la vaina en contacto con el medio exteio: q vaina fluido R e q R e ; q vaina R e - k* d R e - k* C 3 R e fluido (T pf - T F ) q R e - k* C 3 R e (T pf - T F ) C 3 - (T pf - T F ) R e k* - E R k* T pf T F E R R e T C 3 ln C 4 paa: R e, T T pf T pf C 3 ln R e C 4 E R T F - E R R e k * ln R e C 4 C 4 T pf E R k* ln R e T F E R ( R e ln R e k* ) Con los valoes de C 3 y C 4 se calcula el valo de C en función de la tempeatua del fluido T F : C E R 4 k C 3 ln R C 4 T F E R ( R e siendo la tempeatua en la supeficie del cilindo: T i C - E R 4 k T F E R ( R e k* ln R e R ) Los flujos témicos po unidad de sección son las siguientes: 4 k k* ln R e R ) NUCLEO: VAINA: d núcleo - E k d vaina - E R k* ; q - k d E ; q - k* d E R (aumenta con ) (disminuye cuando aumenta ) El calo total que se disipa al exteio es: Q q Re π R e L π R L E V E siendo V el volumen del núcleo. Si hubiee N elementos geneadoes: Q π R L E N V E La distibución de tempeatuas en el núcleo es paabólica: T núcleo T i E R 4 k - E 4 k - E 4 k T F E R ( R e k k* ln R e R ) II.-3

15 Fig II..- Distibución de tempeatuas en el núcleo y en la vaina mientas que a la salida de la vaina es logaítmica: T vaina - E R k* ln T F E R ( R e ln R e k* ) T F E R ( R e k* ln R e ) En el entonque común paa, R, se tiene: q q * ; - k d ) núcleo - k* d ) * vaina ; d ) núcleo d ) * vaina k* k que dice que las tangentes a las cuvas, T T() y T* T*(), son tanto más divegentes, cuanto más distintas sean las conductividades k y k*. II.-33