Función eponencial La función eponencial surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento decrecimiento de poblaciones humanas, con colonia de bacterias, con sustancias radiactivas con muchos otros procesos vinculados con la economía, la medicina, la química otras disciplinas. Definición: Se llama función eponencial a la epresión de la forma: = a con a IR, a > 0 a 1 se lee función eponencial de base a. Para estudiar la función eponencial consideremos que a > 1 0 < a < 1. Por ejemplo: si a = 2 = 2 si a = 1/2 = (1/2) Confeccionemos las tablas de valores representemos gráficamente dichas funciones: = 2 = (1/2) 2 1/4 4 1 1/2 2 0 1 1 1 2 1/2 2 4 1/4 = 2 = (1/2) La gráfica de = 2 se llama curva testigo. Observemos que para valores inversos de a las gráficas son simétricas respecto al eje. La línea punteada (en rojo) se denomina asíntota. Definición: Asíntota es la recta a la cual se aproima indefinidamente la gráfica de una función. Dominio codominio Como = f (): El Dominio de la función se epresa: Dom f = IR El Codominio de la función se epresa: Cod f = (0, ) Página 1
Características de las gráficas Si a > 1 la gráfica es la de una función creciente. Si 0 < a < 1 la gráfica es la de una función decreciente. Si a > 1 la curva se aproima asintóticamente al semieje negativo. Si 0 < a < 1 la curva se aproima asintóticamente al semieje positivo. La asíntota es el eje, de ecuación = 0. El punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función a. La imagen de 1 es siempre la base de la función eponencial f ( 1) = a a (1, a) G f Influencia del parámetro b Consideremos = b. a con a, b, IR, a > 0, a 1, b 0 Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo. Mantengamos a = 2 hagamos variar b. Si b = 1 = 2, tenemos la gráfica de la curva testigo. = 2 = 2.2 = 3.2 = 2 2 1/4 1/2 3/4 1/4 1 1/2 1 3/2 1/2 0 1 2 3 1 1 2 4 6 2 2 4 8 12 4 = 2 = 2.2 = 3.2 = 2 Página 2
Observemos que: Para valores opuestos de b se obtienen gráficas simétricas respecto al eje. Las gráficas se desplazan e intersectan al eje en el punto (0, b) en lugar del punto (0, 1) que es la intersección de la gráfica de la curva testigo. Si b > 0 la gráfica se encuentra en el semiplano superior respecto del eje. Si b < 0 la gráfica se encuentra en el semiplano inferior respecto del eje. La asíntota es el eje, de ecuación = 0. Dom f = IR Cod f = (0, ) si b > 0 Cod f = (, 0) si b < 0 Influencia del parámetro h Consideremos = a + h con a, h, IR, a > 0 a 1 Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo. Mantengamos a = 2 hagamos variar h. Si h = 0 = 2, tenemos la gráfica de la curva testigo. = 2 = 2 + 2 = 2 3 2 1/4 9/4 11/4 1 1/2 5/2 5/2 0 1 3 2 1 2 4 1 2 4 6 1 = 2 = 2 + 2 = 2 3 Página 3
Observemos que: El parámetro h influe desplazando la gráfica verticalmente respecto a la de la curva testigo, h unidades hacia arriba si h > 0 h unidades hacia abajo si h < 0. El punto (0, 1 + h) G f, es la intersección con el eje. La asíntota es la recta de ecuación = h. Dom f = IR Cod f = (h, ) Influencia del parámetro c Consideremos = a c. con a, c, IR, a > 0, a 1, c 0 Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo. Mantengamos a = 2 hagamos variar c. Si c = 1 = 2, tenemos la gráfica de la curva testigo. = 2 = 2 2. = 2 (1/2). 2 1/4 1/16 1/2 1 1/2 1/4 0,7 0 1 1 1 1 2 4 1,4 2 4 16 2 = 2 = 2 2. = 2 (1/2). Observemos que: El punto (0, 1) G f Si c > 1 la gráfica se acerca a ambos ejes, es decir, la gráfica se acerca al semieje negativo al semieje positivo. Página 4
Si 0 < c < 1 la gráfica se aleja de los ejes, es decir, la gráfica se aleja del semieje negativo del semieje positivo. La asíntota es el eje, de ecuación = 0. Dom f = IR Cod f = (0, ) Si c < 0 no analizamos porque al tener un eponente negativo se invierte la base de la potencia quedando elevada a un eponente positivo a hemos tratado. Ejemplo: si c = 1 = 2 = (1/2) Para valores opuestos de c las gráficas son simétricas respecto del eje. Epresión general de la función eponencial Con todos los parámetros estudiados, la epresión general es de la forma: = b. a c. + h con a, b, c, h, IR, a > 0, a 1, b 0, c 0 Ejemplo: Dada = 3. 2 1/2 a) Represente gráficamente. b) Eplique la influencia de los parámetros en la función. c) Dé dominio codominio. d) Escriba la ecuación de la asíntota. a) = 2 = 3. 2 = 3. 2 1/2 2 1/4 3/4 1/4 1 1/2 3/2 1 0 1 3 5/2 1 2 6 11/2 Página 5
b) a = 2, gráfica de función creciente. h = 1/2, desplazamiento vertical de la gráfica de 1/2 unidades hacia abajo respecto a la de la curva testigo. b = 3, intersecta al eje en el punto (0, b + h) = (0, 5/2). La gráfica se encuentra en el semiplano superior respecto de la asíntota. c) Dom f = IR Cod f = ( 1/2, ) d) Ecuación de la asíntota = 1/2. La función eponencial se presenta en un gran número de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, de bacterias, económicos, etc. En todos ellos la variable es el tiempo que denotamos con t. La epresión será: = f (t) = a t Problema de aplicación: En un medio de cultivo de un laboratorio, se tiene que el número de bacterias presentes en el tiempo está dado por Q (t) = 2.3 t, en donde t se mide en horas Q (t) en miles de bacterias. a) Cuál es el número inicial de bacterias? b) Cuál es el número de bacterias a los 10 minutos? c) Cuál es el número de bacterias a la hora? d) Grafique la función Q (t) entre 0 1 hora. Página 6
a) El número inicial de bacterias corresponde a t = 0 Q (0) = 2.3 0 Q (0) = 2 El número inicial es de 2000 bacterias. b) Mediante regla de tres simple sacamos la fracción de hora a la que equivalen 10 min. 60 1 h 10 = 10/60 = 0,17 h Entonces Q (0,17) = 2.3 0,17 Q (0,17) = 2,4 A los 10 minutos ha 2400 bacterias. c) Q (1) = 2.3 1 Q (1) = 6 A la hora ha 6000 bacterias. d) Q (t) (miles de bacterias) t (horas) Página 7