TEORÍA DE LA DEANDA Notas docentes elaboradas por: Ianina Rossi y áxio Rossi CONTENIDO: (1 Las preferencias del consuidor. Función de utilidad y curvas de indiferencia. Tasa arginal de sustitución entre bienes. (2 La restricción presupuestaria. (3 Derivación de la curva de deanda. (4 La deanda arshalliana. (5 La deanda ingreso copensada de icks. El teorea de Euler. (6 Elasticidad. Elasticidad precio (deanda perfectaente inelástica, inelástica, unitaria, elástica, infinitaente elástica. Elasticidad cruzada (bienes sustitutos, independientes, copleentarios. Elasticidad ingreso (bienes norales, superiores o de lujo, necesarios, independientes, inferiores. (7 La deanda del consuidor individual y la deanda de ercado. (8 Estática coparativa: cabios sobre la curva de deanda y cabios de la curva de deanda. (9 Gasto de los consuidores e ingreso de los productores. (10 Ipuestos y subsidios. (11 El teorea de la envolvente. (12 Problea de axiización de la utilidad del consuidor. Las funciones arshallianas de deanda y la función de utilidad indirecta. La identidad de Roy. (13 Problea de iniización del gasto. Las funciones hicksianas de deanda y la función de gasto. El lea de Shephard. (14 Probleas de estática coparativa. Considerando funciones hicksianas de deanda. Considerando funciones arshallianas de deanda. La ecuación de Slutsky: relación entre la deanda de arshall y la de icks. (15 Relación entre elasticidades. La ecuación de slutsky en fora de elasticidades. Propiedades de las funciones arshallianas y hicksianas de deanda utilizando elasticidades. (16 Anexo 1: La tasa arginal de sustitución entre bienes y la función Cobb-Douglas (17 Anexo 2: La deanda ingreso copensada de Slutsky. LAS PREFERENCIAS DEL CONSUIDOR Supuesto fundaental: el consuidor es racional. Ante dos conjuntos de bienes y servicios y 2: (1 >2 El consuidor prefiere a 2 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 1
2 > q 2 El consuidor prefiere 2 a Al consuidor le son indiferentes y 2 (2 El consuidor tiene que elegir una de esas tres posibilidades y sólo una. (3 Las preferencias son transitivas: Si > 2 y 2 > 3 > 3 Así, el individuo puede ordenar sus preferencias ordinalente. Dicho ordenaiento se puede representar a través de una función de utilidad: U UŸ, 2,...,n FUNCIÓN DE UTILIDAD Y CURVAS DE INDIFERENCIA Si se restringe la función de utilidad a una función de dos variables, U UŸ, 2, y dicha función toa un valor deterinado, queda deterinada una curva que representa distintas cobinaciones de y 2 que reportan el iso nivel de utilidad. GRÁFICA 1 El lugar geoétrico de las cobinaciones de y 2 que representan para el individuo el iso nivel de utilidad, confora una curva de indiferencia. GRÁFICA 2 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 2
En el punto A se tiene una deterinada cobinación de y 2 que representa un deterinado nivel de utilidad. En los puntos del prier cuadrante, se tiene una utilidad ayor porque se consue ás de yás de2. Por en contrario, en el tercer cuadrante, se consue enos de y enos de 2; por lo que se obtiene una utilidad enor. En el segundo y cuarto cuadrante hay puntos que iplican una utilidad ayor a la de A y otros puntos una utilidad enor, pero tabién hay puntos con los isos niveles de utilidad que en A y son, por lo tanto, los que conforan la curva de indiferencia. Propiedad: Las curvas de indiferencia no se cortan. GRÁFICA 3 A > C Porque en A se consue la isa cantidad de pero ás cantidad de 2. B q C Por estar sobre la isa curva de indiferencia. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 3
B q A Por estar sobre la isa curva de indiferencia. SiŸA>C yÿb q C ŸA>B Contradicción:ŸB q A por estar sobre la isa curva de indiferencia. APA DE INDIFERENCIA Un sistea de preferencias se representa a través de la función de utilidad, que es una failia de curvas de indiferencia. GRÁFICA 4 Una curva de indiferencia es siepre parte de un apa de indiferencia, donde cada curva otorga un nivel de utilidad diferente. GRÁFICA 5 El nivel de satisfacción es ayor cuanto ás alejada del origen esté la curva de indiferencia. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 4
TASA ARGINAL DE SUSTITUCIÓN ENTRE BIENES (TSB Se diferencia totalente la función de utilidad: U UŸ, 2 U UŸ 1, 2 UŸ 1, 2 2 2 Sobre la isa curva de indiferencia la variación total de la utilidad es cero, ya que a lo largo de la curva de indiferencia el individuo tiene la isa utilidad: U UŸ 1, 2 UŸ 1, 2 2 2 0 UŸ 1, 2 " UŸ 1, 2 2 2 UŸ, 2 UŸ, 2 " 2 Ua 1 Ua 2 TSB 2 UŸ, 2 i : Ua i Utilidad arginal de i i 1,2 LA TSB Y LAS CURVAS DE INDIFERENCIA La TSB ide el intercabio entre y 2 para antenerse en el iso nivel de satisfacción, o sea, sobre la isa curva de indiferencia. GRÁFICA 6 Si para antenerse en el iso nivel de utilidad y poder consuir ás de un bien, se tiene que consuir necesariaente enos del otro bien, entonces, las curvas de indiferencia son convexas hacia el origen; pero hay infinitas foras de curvas de indiferencia. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 5
OTRAS FORAS DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA GRÁFICA 7 En este caso existe un bien y un al. Para que se consua ás del al se debe poder consuir ás del bien, hay una recopensa. GRÁFICA 8 Para cualquier nivel de se consue el iso nivel de 2. En este caso, es un bien irrelevante para el consuidor. GRÁFICA 9 En este caso, el bien que es irrelevante es 2, para una isa cantidad de se consue Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 6
cualquier cantidad de 2. GRÁFICA 10 En el trao (I es un bien; en el trao (II es indiferente; y en el trao (III es un al. La TSB es la que da la inclinación de la curva de indiferencia representativa del sistea de preferencias del individuo. Por ejeplo: si la pendiente es positiva habrá un bien y un al; si es negativa habrá dos bienes parcialente sustitutos; si es nula habrá un bien que es irrelevante. Supuestos: LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA RESTRICCIONES LINEALES (1 Dos bienes o servicios: y 2 (2 Los precios de estos bienes están dados: y, respectivaente (3 El consuidor tiene un ingreso noinal de u 2 GRÁFICA 11 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 7
es la cantidad de 2 que el consuidor puede obtener con su ingreso. es la cantidad de que el consuidor puede obtener con su ingreso. La unión de estos dos puntos representa la recta de restricción, donde se consue todo el ingreso en la adquisición de y 2. Todos los puntos liitados por la restricción y los dos ejes son consuibles dado el ingreso. En un punto coo A, el ingreso noinal será ayor al consuo de y 2. En cabio, en un punto coo B, el consuidor gasta el total de su ingreso en el consuo de y 2. Pendiente de la restricción presupuestaria: " " es la relación de precios. Estática coparativa: (1 Cabios en el ingreso noinal anteniendo todo lo deás constante: GRÁFICA 12 El cabio en el ingreso no afecta la relación de precios, por lo que no cabia la pendiente Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 8
de la restricción. Pero al auentar el ingreso la restricción se desplaza hacia arriba, produciéndose un auento en el ingreso real por el onto representado por el área rayada. (2 Cabios en anteniendo todo lo deás constante: GRÁFICA 13 Dada la pendiente de la restricción: " : a Si disinuye, la restricción se hace ás plana, auentando el ingreso real. b Si auenta, la restricción se hace ás epinada, disinuyendo el ingreso real. Nótese que el punto A no cabia, dado que no cabia ni. (3 Cabios en anteniendo todo lo deás constante: GRÁFICA 14 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 9
Dada la pendiente de la restricción: " : a Si disinuye, la restricción se hace ás epinada, auentando el ingreso real. b Si auenta, la restricción se hace ás plana, disinuyendo el ingreso real. Nótese que el punto B no cabia, dado que no cabia ni. RESTRICCIONES NO LINEALES Este tipo de restricciones están asociadas a ercados donde no existe buena inforación, ya sea por regulaciones que hacen que la copetencia no exista, o por falta de transparencia del ercado. Esto hace que no haya precios únicos para y 2, coexistiendo distintos precios en el ercado. EJEPLO GRÁFICA 15 Si se trabaja ás de 8 horas, auenta el ingreso, ya que las horas extra se pagan ás. DERIVACIÓN DE LA CURVA DE DEANDA La curva de deanda es la relación entre la cantidad y el precio transados (ceteris paribus GRÁFICA 16 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 10
E es el punto de equilibrio del consuidor dados 0,, y su función de utilidad, hallándose en el punto de tangencia de su restricción presupuestal y la curva de indiferencia ás alejada del origen posible que se pueda alcanzar (es decir, donde la pendiente de estas dos curvas sea igual. Se verá cóo se llega al iso cuando se vea el problea de axiización de la utilidad del consuidor. Observación: Si las curvas de indiferencia son cóncavas hacia el origen, el equilibrio del consuidor se da en un punto donde se consue un único bien, siepre y cuando la restricción sea lineal. Si la restricción es no lineal, no tiene por qué cuplirse esto. GRÁFICA 17 Si cabia, tal que 0 1, la restricción cabia, y dependiendo del sistea de preferencias, el consuidor encontrará su nuevo punto de equilibrio. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 11
GRÁFICA 18 El nuevo punto de equilibrio se dará sobre la nueva restricción, pero su eplazaiento depende del sistea de preferencias. (1 Supongaos que el nuevo punto de equilibrio es E GRÁFICA 19 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 12
A y B son puntos de deanda y al unirlos se obtiene la curva de deanda de, dados 0 y.así, la curva de deanda tendría pendiente negativa: a enor precio ayor cantidad deandada. (2 Qué hubiese pasado si en vez de en E, el consuidor se hubiese ubicado en Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 13
E? GRÁFICA 20 En este caso, la curva de deanda tendría pendiente positiva: a ayor precio ayor cantidad deandada. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 14
(3 Y si se hubiese ubicado en E? GRÁFICA 21 En este caso, la curva de deanda tendría pendiente nula: no iporta cuál sea el precio, siepre se deanda la isa cantidad. LA DEANDA ARSALLIANA UŸ, 2 5 UŸ, 2 5 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 15
0 2 1 fÿ,, 0 2 fÿ,, 0 De esta fora, se obtienen los deterinantes de la deanda de un bien. Las funciones de deanda del consuidor uestran las cantidades óptias de cada uno de los bienes en función de los precios y del ingreso del consuidor. GRÁFICA 22 La deanda es una lista de cantidades que se coprarían a distintos precios del bien, para el precio de los otros bienes y el ingreso noinal dados. Otra cosa distinta es la cantidad deandada: Al precio 1 la cantidad deandada es 1 1, pero la deanda la constituyen todos los puntos de la curva. La deanda que considera el ingreso noinal del individuo se le llaa DEANDA ARSALLIANA U ORDINARIA. La deanda arshalliana toa el ingreso noinal, pero al variar el precio de un bien, cabia el ingreso real. Por lo tanto, hay un efecto precio y un efecto ingreso. Existen varios eplazaientos posibles para la curva de deanda arshalliana: GRÁFICA 23 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 16
Cuando la curva de deanda arshalliana tiene pendiente positiva, ante un auento en el precio del bien, auenta la cantidad deandada. O sea que habría una relación directa entre el precio y la cantidad transados. Propiedad de la deanda arshalliana La deanda arshalliana es hoogénea de grado cero en precios y en ingreso. 1 fÿ,, 0 Gráficaente: 2 1 fÿk,k,k 0 fÿ,, 0 GRÁFICA 24 A k 0 0 k B k 0 0 k Al no variar ninguno de estos puntos, el eplazaiento de la curva no cabia. La restricción no cabia porque no cabian A ni B. De esta fora, el punto de equilibrio no cabia. Por lo tanto, la curva de deanda tapoco debería cabiar. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 17
Analíticaente: axuÿ, 2 s.a. k 0 k k 2 axc UŸ, 2 5Ÿk 0 " k " k 2 c UŸ 1, 2 " 5k 0 UŸ, 2 5k (1 c 2 c 5 UŸ 1, 2 " 5k 0 UŸ, 2 5k (2 k 0 " k " k 2 0 kÿ 0 " " 2 0 kp0 0 " " 2 0 (3 UŸ, 2 UŸ, 2 UŸ, 2 UŸ, 2 Se llega a la isa condición de equilibrio. La deanda arshalliana es hoogénea de grado cero. LA DEANDA INGRESO COPENSADA DE ICKS icks utiliza un étodo para antener el ingreso real constante en vez del noinal. GRÁFICA 25 Se debe descoponer el efecto sustitución o precio del efecto ingreso. En un prier oento, se consuen 2 E y 1 E para la relación de precios iplícita en esa restricción presupuestal. Luego, disinuye, anteniéndose constantes y. Enla nueva restricción presupuestal, varió la pendiente, es decir que cabió la relación de precios: es relativaente ás barato. En esta situación, según arshall, el consuidor puede ubicarse sobre la nueva restricción presupuestal consuiendo: Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 18
(1 enos de yás de2 (2 lo iso de yás de2 (3 ás de yás de2 (4 ás de y lo iso de 2 (5 ás de y enos de 2 GRÁFICA 26 GRÁFICA 27 El cabio total en el consuo de es: 1 E U " 1 E, dado el cabio en ceteris paribus. icks coincide con arshall, pero expresa que al utilizarse el ingreso noinal, se contradice la definición de deanda: cóo varía la cantidad deandada cuando varía el precio anteniéndose constantes las deás variables. En el análisis de arshall peranecen constantes y el ingreso noinal, pero varía el ingreso real al disinuir. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 19
icks define el ingreso real constante: Cuando un precio disinuye, el individuo siente que es ás rico. Entonces, se debe anejar el ingreso noinal del individuo de odo tal de antenerlo en el iso nivel de utilidad que antes, o sea, de fora que se antenga en la isa curva de indiferencia; pero con una relación de precios distinta. Para esto se debe encontrar una recta paralela a la nueva restricción presupuestal según arshall y tangente a la curva de indiferencia U 0. GRÁFICA 28 icks descopone el cabio total de arshall en dos coponentes: puro efecto sustitución y efecto ingreso. Cabio total Efecto precio Ÿ 1 " 1 E Ÿ 1 " 1 E Efecto ingreso Ÿ 1 " 1 El efecto precio o sustitución constituye la verdadera curva de deanda porque el otro efecto se da por un auento del ingreso real.para arshall, en cabio, la deanda era afectada por todo el cabio. Propiedad de la deanda ingreso copensada: Ÿ,, U es hoogénea de grado cero en precios. n El teorea de Euler: si y fÿ, es hoogénea de grado cero! y x i 0 x i i1 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 20
x Aplico Euler: x 1 2 0 Divido por : 0 / x1, / x1, 0 ELASTICIDAD La elasticidad ide la relación que existe entre dos variables, una dependiente y otra independiente. En el caso concreto de la deanda arshalliana, se tiene la relación entre ó 2 (variables dependientes y ó (variables independientes, ceteris paribus. En general: fÿy 1,y 2,y 3 / dlog dlogy i 1 d 1 y i dy i d dy i y i Variación porcentual de ante cabios porcentuales de y i. Elasticidad: La elasticidad ide el cabio porcentual en la cantidad dado por la variación porcentual en el precio. ELASTICIDAD PRECIO (PROPIO: /, Se busca encontrar una relación entre el cabio en el precio de un bien y su cantidad deandada. fÿ,, 0 /, dlog 1 dlog d d 1 ' ' p d 1 1 d El valor de la elasticidad depende de la pendiente. (1 /, 0 Perfectaente inelástica: al variar la cantidad deandada no cabia. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 21
GRÁFICA 29 (2 "1 /, 0 Inelástica GRÁFICA 30 (3 /, "1 Unitaria: los cabios porcentuales en las variables deben ser iguales en valor absoluto y de signo opuesto. GRÁFICA 31 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 22
(4 ". /, "1 Elástica GRÁFICA 32 (5 /, ". Infinitaente elástica: al precio 1 la deanda de se hace infinita, pero si el precio sube la cantidad deandada se hará nula. GRÁFICA 33 1 1 : cabio porcentual en (es un operador sei-logarítico Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 23
La elasticidad precio y la deanda lineal GRÁFICA 34 La elasticidad precio de la deanda depende de la existencia de sustitutos y de la participación en el presupuesto de gasto del consuidor. La deanda de elasticidad constante Son aquellas que cuplen: Ap / ELASTICIDAD CRUZADA: /, Se busca encontrar una relación entre el cabio en el precio de un bien y la cantidad deandada de otro bien. /, dlog 1 dlog d d 1 ' ' p d 1 2 d (1 /, 0 Bienes sustitutos: si auenta el precio de 2, auenta la cantidad deandada de. (2 /, 0 Bienes independientes: los cabios en el precio de uno, no afectan la cantidad deandada del otro. (3 /, 0 Bienes copleentarios: si auenta el precio de uno, disinuye la cantidad deandada del otro (se consuen conjuntaente Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 24
ELASTICIDAD INGRESO: /, / dlog d, 1 dlog d 1 ' ' d d ut. arginal. 1/ ut.edia (1 /, 0 Bienes norales: la deanda auenta cuando auenta el ingreso ( 1.1- /, 1 Bienes superiores: crece ás que proporcionalente al auento de. 1.2- /, 1 Bienes necesarios: crece enos que proporcionalente al auento de. (2 /, 0 Bienes independientes: cabios en el ingreso no afectan la cantidad deandada. (3 /, 0 Bienes inferiores: ante auentos en el ingreso, cae la cantidad deandada. (* El hecho de que un bien sea inferior o no, depende del nivel de ingreso que se esté considerando. Bienes de lujo y necesarios: una relación interesante Se foran las restricciones presupuestarias para dos niveles de ingreso: 1 1 p2 1 0 0 p2 0 Se restan abas y se obtiene: Se ultiplica y se divide los precios por: x i x i y se divide abos iebros por. Se divide abos iebros por: Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 25
Se define: k i p ix i coo la proporción del bien i en el gasto del individuo. k x 1 1 k x 2 2 1 La edia ponderada de las elasticidades ingreso es uno, donde los ponderadores son la proporción sobre el gasto. Los bienes de lujo, que tienen una elasticidad ingreso ayor que uno, deben contrarrestarse con bienes que tengan una elasticidad ingreso enor que uno, por lo que las elasticidades ingreso serán en proedio alrededor de uno. LA DEANDA DEL CONSUIDOR INDIVIDUAL Y LA DEANDA DE ERCADO 1 fÿ,,...,p n, 1 fÿ,,...,p n, ' Deanda arshalliana Deanda de icks ( ' ingreso real constante AGREGACIÓN: DEANDA DE ERCADO Sea i Ÿ,, la deanda del bien 1 realizada por el individuo i. La deanda de ercado será: i Ÿ, 1,..., n! Ÿ,, i n i1 Se puede suponer la deanda agregada coo la deanda de un consuidor representativo que tiene un ingreso que es la sua del ingreso de todos los individuos. La función de deanda agregada tiene la fora: Ÿ,,, donde es la sua del ingreso de todos los consuidores. Según este supuesto, la deanda agregada de la econoía es igual a la deanda de un individuo que se enfrenta a los precios (, y que tiene un ingreso. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 26
GRÁFICA 35 Interpretación geoétrica y la sua de curvas de deanda lineales: La deanda agregada es la sua horizontal de las curvas de deanda. Dado un precio, se suan las cantidades deandadas por cada individuo. Supongaos dos curvas de deanda lineales: D 1 1 Ÿ 20 " D 1 2 Ÿ 10 " 2p GRÁFICA 36 ESTÁTICA COPARATIVA (1 oviientos sobre la isa curva: cabio en el gasto real en el bien 1 GRÁFICA 37 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 27
PUNTO A: Al precio A se deanda una cantidad de 1 A. El rectángulo rayado representa el gasto real de los consuidores en el bien 1. PUNTO B: Coo la curva de deanda es negativaente inclinada, si auenta el precio de A a B, entonces disinuirá la cantidad deandad de 1 A a 1 B ; y el gasto real de los consuidores en el bien 1 pasará a estar representado por el rectángulo punteado. Lo que ocurre con el gasto real de los consuidores en el bien 1 al variar su precio, depende de la elasticidad de la curva de deanda: /, 0 Si d 0 dÿ 0 Si d 0 dÿ 0 "1 /, 0 Si d 0 dÿ 0 Si d 0 dÿ 0 /, "1 dÿ 0 ". /, "1 Si d 0 dÿ 0 Si d 0 dÿ 0 dÿ : Variación del gasto En síntesis: Gasto: R Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 28
dr d d d. p dr d " 1 /, (2 Cabios de la curva de deanda: GRÁFICA 38 Se producen oviientos sobre la isa curva de deanda de cuando varía el precio de ese bien:. De esta fora cabiará la cantidad deandada, pero la deanda continúa siendo la isa. 2.1- Cabio en el precio de otro bien ( : Para deterinar qué ocurre con la deanda de un bien cuando varía el precio de otro bien, hay que ver si esos bienes son: sustitutos, independientes o copleentarios. Por lo tanto, habrá que observar la elasticidad cruzada. * Si son independientes (/, 0, los cabios en no afectan la deanda por. GRÁFICA 39 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 29
*Si son sustitutos (/, 0, los cabios en sí afectarán la deanda por. GRÁFICA 40 *Si son copleentarios (/, 0 los cabios en afectarán la deanda por. GRÁFICA 41 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 30
2.2- Cabios en el ingreso (: En este caso, hay que observar la elasticidad ingreso y deterinar si los bienes son: inferiores, independientes, necesarios, o de lujo. (a /, 0 «El bien 1 es un bien inferior GRÁFICA 42 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 31
(b /, 0 «El bien 1 es un bien independiente del ingreso los cabios en el ingreso no afectarán la deanda por dicho bien no cabiará el eplazaiento de la curva de deanda. (c /, 0 «El bien 1 es un bien noral (c.1 0 /, t 1 «Es un bien necesario. GRÁFICA 43 (c.2 /, 1 «Es un bien de lujo. GRÁFICA 44 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 32
GASTO DE LOS CONSUIDORES E INGRESO DE LOS PRODUCTORES IT Ÿ Ingreso total Esto era el gasto de los consuidores. Ahora lo vereos coo el ingreso total de los productores. IT Ÿ Ie Ingreso edio IT Ÿ Ia Ingreso arginal GRÁFICA 45 El rectángulo de vértices: ( E,E, 1 E,0 define tanto el gasto de los consuidores coo el ingreso de los productores. Y se puede observar que su onto depende de:/, Ia IT Ÿ 1 p 1 1 1 /, /, t 0 1 /, t 0 Ia t Ia t Ie (1 Si /, 0 Ia ". (2 Si "1 /, 0 Ia 0 (3 Si /, "1 Ia 0 (4 Si ". /, "1 Ia 0 (5 Si /, ". Ia Ie IPUESTOS Y SUBSIDIOS Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 33
La deanda es, desde otro punto de vista, la solicitud de bienes que enfrentan los productores. La deanda es el precio áxio que los consuidores están dispuestos a pagar por una deterinada cantidad de producto. En un ercado sin distorsiones, la deanda de los consuidores coincide con la deanda que enfrentan los oferentes. IPUESTOS ay dos tipos de ipuestos: (1 IPUESTO ESPECÍFICO: se paga una cantidad fija de pesos por unidad de producto. GRÁFICA 46 La curva de deanda de los consuidores no se traslada. Pero sí cabia la deanda que enfrentan los oferentes: antes coincidía con la deanda de los consuidores y ahora está representada por la recta punteada. (2 IPUESTO AD.VALORE: se paga por un porcentaje del valor (por ejeplo: IVA. GRÁFICA 47 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 34
Al introducir un ipuesto de *%, la deanda de los consuidores se antiene incabiada, pero la deanda que enfrentan los oferentes se traslada, quedando representada por la recta punteada. La recaudación está altaente relacionada, positiva o negativaente, con la elasticidad de la deanda. Si la deanda es relativaente inelástica se generará una recaudación ayor a que si la deanda es relativaente elástica. Esto es así porque cuando la deanda es elástica hay uchos bienes sustitutos, y si se grava con ipuestos un bien y sus sustitutos no, entonces se recaudará poco porque los consuidores coprarán enos del bien gravado y ás de sus sustitutos. SUBSIDIOS Los subsidios pueden verse coo ipuestos a tasas negativas. GRÁFICA 48 En abos casos, la deanda que enfrentan los oferentes se traslada (ya que antes coincidía con la deanda de los consuidores que se antiene incabiada, quedando representada por la curva punteada. El área rayada representa la trasferencia de la tesorería hacia los oferentes, la cual será ayor a edida que la curva de deanda sea ás inelástica. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 35
TEOREA DE LA ENVOLVENTE axy fÿ, 2,...,n, s.a. gÿ, 2,...,n, 0 axc fÿ, 2,...,n, 5gŸ, 2,...,n, c i fÿ 1, 2,...,n, i 5 gÿ 1, 2,...,n, i 0 c 5 gÿ, 2,...,n, 0 i i ' Ÿ 5 5 ' Ÿ Si se sustituye i ' y 5 ' en la función objetivo, se obtiene la solución óptia. CŸ f 1 ' Ÿ, 2 ' Ÿ,...,n ' Ÿ, C! fÿ 1, 2,...,n, i i ' fÿ 1, 2,...,n, C Cabio en la función óptia cuando cabia el paráetro Si se sustituye i ' y 5 ' en la restricción, da cero. g 1 ' Ÿ, 2 ' Ÿ,...,n ' Ÿ, 0! gÿ 1, 2,...,n, i i ' gÿ 1, 2,...,n, 0! 5 gÿ 1, 2,...,n, i i ' 5 gÿ 1, 2,...,n, 0 Suo: C 0 g No cabia el resultado C C! f i! f i i ' c 0 i f 5 g i! 5 g i i ' f i ' 5 g 5 g Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 36
C f 5 g Derivada del lagrangiano con respecto a C c Por lo tanto, se puede hallar la variación del valor óptio cuando cabia el paráetro directaente derivando el lagrangiano respecto a dicho paráetro. AXIIZACIÓN DE LA UTILIDAD DEL CONSUIDOR El consuidor axiizará su utilidad sujeto a su restricción presupuestaria. axuÿ, 2 s. a. 2 axc p1,, UŸ, 2 5Ÿ " " 2 tal que 5 u 0 c UŸ 1, 2 " 5 0 5 UŸ, 2 (1 c 2 c 5 UŸ 1, 2 2 " " 2 0 " 5 0 5 UŸ, 2 2 (2 UŸ, 2 UŸ, 2 (1(2 Condición de equilibrio UŸ, 2 o 2 UŸ, 2 2 UŸ, 2 2 UŸ, 2 TSB "2 De esta fora, el punto de áxia satisfacción se da donde las pendientes de la restricción y de la curva de indiferencia ás alejada posible del origen, sean iguales. O sea que el punto de equilibrio del consuidor se da en el punto de tangencia de estas dos curvas. GRÁFICA 49 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 37
Otra fora de ver la condición de equilibrio: (1 (2 5 UŸ, 2 UŸ, 2 2 Condición de equilibrio La utilidad arginal por peso gastado en el bien 1 tiene que ser igual a la utilidad arginal por peso gastado en el bien 2. Si esto no fuera así, el individuo gastaría ás en la copra del bien que le proporcionara una ayor satisfacción, o sea el que tuviera ayor utilidad arginal por peso gastado, y adquiriría enos del bien que le produciera enor satisfacción. Con esto, iría disinuyendo la utilidad arginal del priero y auentaría la de este últio, hasta que se igualasen. Interpretación econóica de 5: De esta fora, 5 es la utilidad arginal por peso gastado en cada uno de los dos bienes. Por lo tanto, podría verse a 5 coo la utilidad arginal del dinero. De las condiciones de prier orden se originan las siguientes funciones: 1 Las funciones solución: i Ÿ,, ; i 1,2, conocidas coo funciones arshallianas de deanda. 2 La función valor óptio: 'Ÿ,, U Ÿ,,, 2Ÿ,,, vista coo la función de utilidad indirecta. Las funciones arshallianas de deanda señalan lo que el consuidor coprará dados los precios, y el ingreso. La función de utilidad indirecta indica cuál es el nivel de utilidad alcanzado. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 38
IDENTIDAD DE ROY Relación entre las funciones arshallianas de deanda y la función de utilidad indirecta x i Ÿ,, " ' p i ' i 1,2 Aplicando el teorea de la envolvente con respecto a, se tiene: "5x i "5x p i Ÿ,, ' i 1,2 i p i 5 ' A partir de estas dos relaciones se llega a: x i Ÿ,, " ' p i ' i 1,2 Las derivadas del segundo térino están evaluadas en (,, La identidad de Roy uestra que se pueden deducir las funciones arshallianas de deanda una vez conocida la función de utilidad indirecta, derivando y aplicando la identidad de Roy. PROPIEDAD DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD INDIRECTA 'Ÿt, t, t 'Ÿ,, ' es hoogénea de grado cero. Deostración: Coo x i es hoogénea de grado cero, se cuple: / t t t UŸ, 2 UŸ, 2 / UŸ, 2 UŸ, 2 t t x i Ÿ,, x i Ÿt,t,t 2 2 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 39
U Ÿt,t,t, 2Ÿt,t,t U Ÿ,,, 2Ÿ,, PROBLEA DE INIIZACIÓN DEL GASTO En el problea de iniización del gasto los paráetros son los precios y el nivel de utilidad prefijado. in s.a. UŸ, U c x1,,5 5 U " UŸ, c " 5 UŸ, c " 5 UŸ, 0 5 0 5 UŸ, (1 UŸ, (2 c 5 U " UŸ, 2 0 (1(2 UŸ, UŸ, Las condiciones de prier orden periten encontrar las siguientes funciones: 1 x i Ÿ,, U funciones icksianas de deanda 2 La función de valor óptio: eÿ,, U Ÿ,, U Ÿ,, U es la función de gasto. La función de gasto da el gasto ínio que tiene que realizar el consuidor para alcanzar el nivel de utilidad U dados los precios y. eÿ,, U p i x i Ÿ,, U i 1,2 LEA DE SEPARD PROPIEDADES (i x i Ÿ,, U (ii eÿ,, U es hoogénea de grado cero en precios es hoogénea de grado uno en precios Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 40
PROBLEAS DE ESTÁTICA COPARATIVA Utilizando las deandas hicksianas: Priero veáos que la función de gasto del consuidor es cóncava en precios: GRÁFICA 50 Se considera la siguiente atriz: S x 1 x 1 x 2 x 2 Aplicando el lea de Shephard, se tiene: S 2 e 2 e e 2 e 2 Coo la función de gasto del consuidor es cóncava, la atriz S es seidefinida negativa. Por consiguiente, los eleentos de la diagonal principal son negativos. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 41
t 0 y t 0 p i produce una reducción de la deanda hicksiana del bien i. Coo las funciones de deanda hicksianas son hoogéneas de grado cero en precios, se puede aplicar el teorea de Euler: t 0 x 2 0 p i0 u 0 t 0 0 pi0 u 0 Si hay tres bienes para cada bien i alguno de los eleentos que no están en la diagonal principal serán ayores o iguales a cero. Utilizando las deandas arshallianas: Para ver los efectos de estática coparativa utilizando funciones de deanda arshallianas, vereos la ecuación de Slutsky, que relaciona las funciones de deanda arshalliana con las hicksianas. LA ECUACIÓN DE SLUTSKY En el óptio se tiene:,,eÿ,, U Ÿ,, U Derivaos respecto a :,,eÿ,, U,,eŸ,, U eÿ,, U Ÿ,, U Por el lea de Shephard se tiene: Ÿ,, U eÿ,, U,,eŸ,, U x Ÿ,, U,,eŸ,, U 2 Ÿ,, U Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 42
Sea eÿ,, U ; donde U 'Ÿ,, En el óptio: x2 Ÿ,, x Ÿ,, Ÿ,, 2,, 'Ÿ,, Esta es la conocida ecuación de Slutsky. Reordenando: Ÿ,,,, 'Ÿ,, " x Ÿ,, Ÿ,, 2 En general: x i Ÿ. x i Ÿ. p j p j " x j Ÿ. x i Ÿ. El efecto total que un cabio de p j ejerce sobre la deanda arshalliana del bien i puede descoponerse en dos partes: (1 x i Ÿ. p j : Efecto sustitución sobre la deanda arshalliana del bien i producido por un cabio en p j (2 "x j Ÿ. x i Ÿ. : Efecto ingreso sobre la deanda arshalliana del bien i debido a un cabio en p j Del análisis anterior se tenía que: 1 Para: i 1,2,...,n x i Ÿ. p i t 0 2 Para: i 1,2,...,n, donde i p j x i Ÿ. p j puede ser tanto positivo coo negativo si n 2. Si i p j el efecto total es la sua de un efecto sustitución de signo indeterinado y de un efecto ingreso tabién de signo indeterinado. Si i j el efecto total precio propio es la sua de un efecto sustitución negativo y de un efecto ingreso de signo indeterinado. El signo del efecto ingreso depende de que el bien i sea inferior o no. ay tres posibles resultados: (a Si el bien i no es inferior, el efecto ingreso es negativo, lo cual refuerza el efecto sustitución negativo, lo que produce un efecto total negativo. Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 43
(b Se llega al iso resultado si el bien i es inferior, lo que da un efecto ingreso positivo; pero este efecto es pequeño y queda superado por el efecto sustitución negativo, volviendo a producirse un efecto total negativo. (c El bien i es fuerteente inferior, causando un efecto ingreso positivo grande que pesa ás que el efecto sustitución, produciéndose un efecto total positivo. RELACIÓN DE ELASTICIDADES LA ECUACIÓN DE SLUTSKY EN FORA DE ELASTICIDADES: SLUTSKY: x i x i "x x i p j p j j ultiplico todo por: p j x i p j x i / ij x i p j p j x i / ij x i p j " p j x i x j x i Las dos prieras expresiones son elasticidades, y puedo convertir la últia ultiplicando por p j x i / ij x i p j p j x i / ij x i p j " k j p j x j / i x i x i / ij / ij " k j / i Donde k j es la participación del gasto en el bien j sobre el ingreso. OTRA FORA DE VER EL PROBLEA DE ESTÁTICA COPARATIVA: /, /, " k 1 /, Ÿ Ÿ" Ÿ0 Ÿ" 1 1 /, /, Ÿ Ÿ" Ÿ0 p1 / / 1, ultiplico por k 1 1 / 1, p 1, / 1, UU 0 n 0 p 1 1 1 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 44
k 1 k 1 Se resta porque la copensación que se hace es de signo contrario a la variación del precio. /, /, "k 1 /, De esta fora, el signo de la elasticidad de la deanda arshalliana está deterinada por la elasticidad ingreso: /, 0 «/, u 0 Bien noral o independiente. /, u 0 «/, 0 Bien inferior. Pero adeás /, debe ser suficienteente negativo para copensar luego "k 1 /, a /,. Si no se copensa, aún tratándose de un bien inferior, se cuplirá /, 0 ELASTICIDADES: PROPIEDADES DE LA DEANDA ARSALLIANA (1 UTILIZANDO LA OOGENEIDAD DE LA DEANDA ARSALLIANA: Ÿ,, es hoogénea de grado cero en precios e ingreso. Aplicando Euler: 0 Dividiendo todo por : x 1 0 / 11 / 12 / 1 0 De igual anera, se cuple: / 21 / 22 / 2 0 (2 UTILIZANDO LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA: x 1 (a Diferenciando la restricción presupuestaria con respecto a : 1 ultiplico y divido abos térinos por, adeás, el priero por y el segundo por : Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 45
x 1 1 k 1 / 1 k 2 / 2 1 La sua ponderada de la elasticidad ingreso de todos los bienes es igual a uno. Se cuplirá que si / 1 es relativaente alta / 2 será relativaente baja. (b Diferenciando la restricción presupuestaria con respecto a precios: Diferenciando con respecto a : x x 1 x 1 2 0 Divido todo por : 1 p 1 1 p 2 0 1 1 p 2 " x 1 ultiplico todo por : p 1 p 1 " ultiplico y divido el prier térino por y el segundo por : " k 1/ 11 k 2 / 21 "k 1 ELASTICIDADES: PROPIEDADES DE LA DEANDA ICKSIANA (1 UTILIZANDO LA PROPIEDAD DE OOGENEIDAD DE LA DEANDA ICKSIANA: Ÿ,, U es hoogénea de grado cero en precios. Aplicando Euler: 0 Dividiendo todo por : 0 / 11 / 12 0 De igual anera, se cuple: / 21 / 22 0 (2 UTILIZANDO LA RESTRICCIÓN: Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 46
UŸ, U Diferenciando con respecto a : U U 0 Del lagrangiano se tiene: c 6 U " UŸ, c " 6 U 0 6 U Sustituyo: 6 6 0 ultiplico por 6: Divido todo por : 1 x 2 0 1 0 ultiplico todo por : p 1 p 1 0 ultiplico y divido el prier térino por y el segundo por : 0 k 1 / p 11 k 2 / 21 0 1 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 47
ANEXO 1 LA TSB Y LA FUNCIÓN COBB-DOUGLAS U UŸ, 2 A 1 2 1" A es un escalar, 2 son bienes 0 1 U UŸ 1, 2 UŸ 1, 2 UŸ 1, 2 2 " UŸ 1, 2 2 Ua 1 UŸ. A "1. 1" Ua 2 UŸ. AŸ1 ". " Ua 1 Ua 2 2 2 0 UŸ, 2 UŸ, 2 2 Por estar sobre la isa curva de indiferencia " 2 Ua 1 Ua 2 TSB A. x "1 1" 1. A. Ÿ1 " x.x A 1 2 " A.. 1". 1 " "1 1 " TSB. 1 " Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 48
ANEXO 2 LA DEANDA INGRESO COPENSADA DE SLUTSKY (* (* Nota: esta parte no fue dada en clase, por consiguiente es opcional. Slutsky define el ingreso real constante de odo que con la nueva relación de precios el individuo pueda consuir lo iso que antes en térinos de bienes. GRÁFICA 51 Al caer el precio de, se le quitará ingreso noinal al consuidor, de odo tal que con la nueva relación de precios continúe consuiendo lo iso que antes. Para encontrar el nuevo punto de equilibrio S, se debe trazar una recta paralela a la nueva restricción según arshall que pase por el punto inicial E, y de esta fora se encuentra la nueva curva de indiferencia. Efecto total Efecto precio Ÿ 1 " 1 E Ÿ 1 S " 1 E Efecto ingreso Ÿ 1 " 1 S Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 49
Tanto para icks coo para Slutsky, el efecto precio o sustitución es la curva de deanda. La diferencia entre estos autores es la definición de ingreso real constante. En icks el individuo se antiene en el iso nivel de utilidad, ientras que en Slutsky el individuo consue lo iso que antes en térinos de bienes. Elasticidad: relación entre la de arshall y la de Slutsky / 1, / S 1, 1 1 1 ultiplico por / 1 1 1 1 1 1 1 " 1 1 1 S /, /, " 1 1 1 S 1 1 /, /, " / 1, 1 1 k 1 1 Ÿ Ÿ" Ÿ0 /, Ÿ" S /, " Ÿ Ÿ" Ÿ0 k 1 /, Lo iso que ocurría con icks De esta fora, el signo de la elasticidad de la deanda arshalliana está deterinada por la elasticidad ingreso: /, 0 «/, u 0 Bien noral o independiente. /, u 0 «/, 0 Bien inferior. Pero adeás /, debe ser suficienteente negativo para copensar luego "k 1 /, a /, S. Si no se copensa, aún tratándose de un bien inferior, se cuplirá /, 0 Deanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y áxio Rossi 50