9 Cuerpos geométricos

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 45 Cuepos geométicos INTRODUCCIÓN Los cuepos geométicos están pesentes en múltiples contextos de la vida eal, de aí la impotancia de estudialos. Es inteesante constui distintos cuepos geométicos a pati de su desaollo en papel o catón y, de esta foma, facilita el posteio apendizaje y azonamiento del poceso de obtención de áeas y volúmenes, sin necesidad de apende las fómulas de memoia. En los poliedos egulaes se pestaá especial atención al estudio de los pismas y las piámides, caacteizando sus elementos y señalando las similitudes y difeencias. Se estudiaán también los cuepos que se obtienen al gia una figua alededo de un eje, los cuepos de evolución: cilindo, cono y esfea. La aplicación del teoema de Pitágoas en el espacio es uno de los contenidos de la unidad que puede pesenta mayoes dificultades; po ello se explica, paso a paso, en divesos ejecicios en los que se guía al alumno paa que los complete. RESUMEN DE LA UNIDAD Un poliedo es un cuepo geomético limitado po cuato o más polígonos, denominados caas del poliedo. Los lados y vétices de las caas son las aistas y vétices del poliedo. En todo polígono convexo se cumple la fómula de Eule: C + V = A +. Un poliedo es egula si sus caas son polígonos egulaes iguales: tetaedo, octaedo, icosaedo, cubo y dodecaedo. Paa calcula longitudes en el espacio, y siempe que se fomen tiángulos ectángulos, se puede aplica el teoema de Pitágoas. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Clasifica poliedos. Caas, aistas y vétices. Poliedos cóncavos, convexos y egulaes. ómula de Eule. Distinción de los poliedos y sus tipos. Compobación de si los poliedos cumplen la fómula de Eule.. Difeencia los elementos y tipos de pismas y piámides. Pismas: elementos y tipos. Piámides: elementos y tipos. Reconocimiento de los distintos tipos de pismas y piámides y sus elementos pincipales.. Conoce y aplica el teoema de Pitágoas en el espacio. Cálculo de la diagonal de un otoedo. Cálculo de la altua de una piámide. Aplicación del teoema de Pitágoas en el espacio paa alla longitudes. 4. Calcula el áea de pismas y piámides. 5. Calcula el áea de cuepos edondos. Áea lateal y áea total de un pisma ecto. Áea lateal y áea total de una piámide ecta. Áea lateal y áea total: cilindo y cono. Áea de una esfea. Utilización de las fómulas de las áeas de pismas y piámides paa esolve poblemas geométicos. Utilización de las fómulas de las áeas de cilindos, conos y esfeas paa esolve poblemas geométicos. ADAPTACIÓN CURRICULAR 6. Calcula el volumen de cuepos geométicos. Volumen del otoedo, del pisma y del cilindo. Volumen del cono y de la piámide. Volumen de la esfea. Utilización de las fómulas de los volúmenes de cuepos geométicos paa esolve poblemas. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 45

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 46 OBJETIVO 1 CLASIICAR POLIEDROS NOMBRE: CURSO: ECHA: Un poliedo es un cuepo geomético que está limitado po cuato o más polígonos. Aista Los polígonos que limitan al poliedo se llaman caas. Caa Los lados de las caas se denominan aistas. Caa Los vétices de las caas se denominan vétices. Vétice Poliedo convexo: al polongase sus caas Poliedo cóncavo: al polongase sus caas, no cotan al poliedo. alguna de ellas cota al poliedo. Poliedos egulaes: todas las caas son polígonos egulaes iguales y en cada vétice se une el mismo númeo de caas. Solo existen cinco poliedos egulaes: Tetaedo Cubo Octaedo Dodecaedo Icosaedo ÓRMULA DE EULER En todo poliedo convexo se cumple siempe una elación, conocida con el nombe de fómula de Eule, que elaciona el númeo de caas (C), el númeo de aistas (A) y el númeo de vétices (V ): C + V = A + N. o de caas N. o de vétices N. o de aistas EJEMPLO Compueba que se cumple la fómula de Eule paa el tetaedo. N. o de caas = 4 N. o de vétices = 4 N. o de aistas = 6 C + V = A + 4 + 4 = 6 + 8 = 8 1 Compueba que el esto de poliedos egulaes veifican la fómula de Eule. POLIEDRO Cubo Octaedo Dodecaedo Icosaedo CARAS VÉRTICES ARISTAS ÓRMULA DE EULER: C + V = A + 46 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 47 OBJETIVO DIERENCIAR LOS ELEMENTOS Y TIPOS DE PRISMAS Y PIRÁMIDES NOMBRE: CURSO: ECHA: PRISMAS Un pisma es un poliedo que tiene dos caas, que son polígonos iguales y paalelos ente sí, llamadas bases; sus otas caas lateales son paalelogamos. La altua de un pisma es la distancia ente las bases. Pisma ecto: las caas lateales son todas ectángulos y, po tanto, pependiculaes a las bases. Pisma oblicuo: las caas lateales no son todas ectángulos. Según la foma de la base, los pismas se clasifican Pisma ecto en tiangulaes, cuadangulaes, pentagonales Pisma egula: es un pisma ecto cuyas bases son polígonos egulaes. Base Altua Base Aista Caa lateal Pisma oblicuo Pisma pentagonal egula Paalelepípedos: son los pismas cuyas bases son paalelogamos. Otoedo: es un paalelepípedo ecto. PIRÁMIDES Vétice Una piámide es un poliedo cuya base es un polígono y sus Aista caas lateales son tiángulos que concuen en un vétice común, Altua llamado vétice de la piámide. La altua de una piámide es la distancia de su vétice a la base. Base Piámide ecta: las caas lateales son Piámide oblicua: las caas lateales no son todas todas tiángulos isósceles. tiángulos isósceles. Según la foma de la base, las piámides se clasifican en tiangulaes, cuadangulaes, pentagonales... Piámide egula: es una piámide cuya base es un polígono egula. Apotema: es la altua de cualquiea de las caas lateales de una piámide egula. Apotema ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 47

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 48 OBJETIVO CONOCER Y APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN EL ESPACIO NOMBRE: CURSO: ECHA: El teoema de Pitágoas se puede aplica en todos los contextos en los que se foman tiángulos ectángulos. Tiene mucas aplicaciones paa calcula longitudes de cuepos en el espacio. Cálculo de la diagonal de un otoedo, conocidas las longitudes de sus lados m, n y p. B C n m D A p CA = CD = m + n m + n + p Cálculo de la altua de una piámide cuadangula egula, conocidas las longitudes del lado de la base y la aista a. V a l O = a OV = a l l = a EJEMPLO Calcula la diagonal del otoedo de la figua. Consideamos la caa infeio del otoedo: Vista desde aiba Aplicamos el teoema de Pitágoas: = + 5 = + 5 = 4 = 4 = 5,8 Vemos que la diagonal es la ipotenusa de: 5,8 x 5,8 Aplicamos el teoema de Pitágoas: x = + 5,8 x = + 4 x = 4 x = 4 x = 6,56 cm La diagonal mide x = + + 5 = 4 = 6,56 cm. 48 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 4 1 Calcula la diagonal de este otoedo. cm G 4 cm Halla la aista de un cubo sabiendo que su diagonal mide 1 cm. (Recueda que en un cubo todos sus lados miden lo mismo.) 1 cm Dada una piámide de base cuadada, de lado y aista lateal 10 cm, alla la diagonal. 10 cm Tomamos la base y aplicamos el teoema de Pitágoas: d d = + Aoa tenemos: 10 cm 10 cm 10 = + ADAPTACIÓN CURRICULAR d/ d/ = Aplicamos el teoema de Pitágoas: MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 4

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 50 OBJETIVO 4 CALCULAR EL ÁREA DE PRISMAS Y PIRÁMIDES NOMBRE: CURSO: ECHA: ÁREA DE PRISMAS RECTOS Paa alla el áea de un pisma ecto nos fijamos en su desaollo: el pisma ecto está fomado po un ectángulo y dos polígonos que son sus bases. B Áea lateal: es el áea del ectángulo, uno de cuyos lados coincide con el peímeto de la base y el oto con la altua del pisma. A L = peímeto de la base altua = P B Áea total: es la suma del áea lateal y el áea de las bases. Peímeto de la base: P B A T = áea lateal + áea de la base = P B + A B 1 Dado este pisma ecto con base un tiángulo ectángulo, alla el áea total. cm x,1 cm cm cm,1 cm x Paa alla el valo de x, que es uno de los catetos del tiángulo ectángulo, aplicamos el teoema de Pitágoas: (,1) = x + x =... Paa calcula el áea total deteminamos el áea de cada una de las seis caas del pisma, y luego las sumamos paa obtene el áea total: A 5 A 1 cm A A,1 cm A 1, A, A son ectángulos. Su áea es el poducto de base po altua. A 4, A 5 son tiángulos ectángulos. Su áea es la base po la altua dividido ente, es deci, el poducto de los catetos dividido ente. cm A 4 A 1 = A = A = A 4 = A 5 = Áea total = A 1 + A + A + A 4 + A 5 = 50 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 51 Calcula el áea del pisma oblicuo de base cuadangula de la figua. A 5 cm A 4 A 1 A A A 6 cm Paa alla el valo de aplicamos el teoema de Pitágoas: Paa calcula el áea total deteminamos el áea de cada una de las seis caas del pisma, y luego las sumamos: A 1 =...... = A 4 =...... = A =...... = A 5 =...... = A =...... = A 6 =...... = Áea total = A 1 + A + A + A 4 + A 5 + A 6 = Halla el áea lateal y el áea total de un otoedo de 6,4, de base y 16, de altua. Áea lateal = peímeto de la base altua = 16, ADAPTACIÓN CURRICULAR Áea total = áea lateal + áea de la base = 6,4 cm, Base = ectángulo MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 51

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 5 ÁREA DE PIRÁMIDES RECTAS Paa alla el áea de una piámide ecta nos fijamos en su desaollo: está fomada po la base y tantos tiángulos como lados tiene la base. Áea lateal: es el áea fomada po la suma de las áeas de los tiángulos. Áea total: es la suma del áea lateal y el áea de la base: A T = A L + A B. Si el polígono de la base es egula, el cálculo es más sencillo, ya que todas las caas lateales son iguales y basta con alla el áea de un tiángulo y multiplica po el númeo de tiángulos paa obtene el áea lateal. 4 Calcula el áea de la piámide de base cuadada de la figua. Ten en cuenta que la base es un polígono egula. A 4 A 1 A A A 5 Aplicamos el teoema de Pitágoas paa calcula la longitud de : 5 = + base altua A 1 = = A = A = A 4 = A 5 = Áea total = A 1 + A + A + A 4 + A 5 = 5 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 5 OBJETIVO 5 CALCULAR EL ÁREA DE CUERPOS REDONDOS NOMBRE: CURSO: ECHA: ÁREA DEL CILINDRO Paa alla el áea del cilindo nos fijamos en su desaollo: está fomado po un ectángulo y dos cículos. Áea lateal: es un ectángulo, en el que uno de sus lados es igual a la longitud de la cicunfeencia de la base ( ), y el oto es la altua (). A L = peímeto de la base altua = Áea total: se obtiene sumando el áea lateal y las áeas de las dos bases. A T = + = ( + ) 1 Completa el ejecicio y alla el áea total del cilindo. A 1 10 cm A 10 cm A A 1 = = Áea = = Es igual que el peímeto de A 1. Peímeto = = =,14 ADAPTACIÓN CURRICULAR A = = A = = Áea total = A 1 + A + A = MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 5

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 54 ÁREA DEL CONO Paa alla el áea de un cono nos fijamos en su desaollo: está fomado po un secto cicula y un cículo, que es la base. g g Áea lateal: la calculamos como si fuese el áea de un tiángulo, en el que la longitud de la base es la de la cicunfeencia ( ) y la altua es el adio del secto. A T = longitud de la base altua = π g = πg Áea total: A T = g + = (g + ) El áea lateal del cono de la figua es: g = 4 cm = cm a) b) 5,1 cm c) 1,56 cm d) 4 cm El áea total del cono anteio es: a) 0 cm b) 50,4 cm c) 6,5 d) 7,6 4 Halla el áea total de un cono con = y = 1 cm. ÁREA DE LA ESERA El áea de una esfea de adio es igual a cuato veces el áea del cículo del mismo adio que la esfea: A = 4 EJEMPLO Calcula el áea de una esfea de adio 10 cm. A = 4 = 4 10 = 1.56 cm 5 El áea de una esfea de adio 1 es: a).86 cm b) 8,6 cm c).86 cm d) 14,1 54 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 55 OBJETIVO 6 CALCULAR EL VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS NOMBRE: CURSO: ECHA: VOLUMEN DEL ORTOEDRO Si un otoedo tiene de dimensiones m, n y p, su volumen V es igual al áea de la base (m n) po la altua p. V = áea de la base altua = m n p m n p VOLUMEN DEL PRISMA V = áea de la base altua = A Base VOLUMEN DEL CILINDRO V = áea de la base altua = EJEMPLO Calcula el volumen de un otoedo de dimensiones, 4 cm y. V = 4 8 = 6 cm Halla el volumen de un pisma ecto de altua 1 y base tiangula egula de lado. Paa calcula la altua debemos aplica el teoema de Pitágoas: = 1,5 + =,6 cm 1, base altua, 6 V = áea de la base altua = = 15 = 58, Detemina el áea de un cilindo de altua y adio de la base 4 cm. V = = 4 7 = 51,6 1 El volumen de un otoedo de dimensiones 4, 8 y 1 cm, espectivamente, es: a) 84 cm b) 4 cm c) 1 cm d) 76 ADAPTACIÓN CURRICULAR El volumen de un pisma exagonal egula de aista básica 10 cm y altua es: a).078,4 cm b) 4.156, c) 480 cm d) 6, El volumen de un cilindo de altua 6 cm y adio de la base es: a) 56, b) 16,56 cm c) 11,04 cm d),1 cm MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 55

865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 56 VOLUMEN DEL CONO El volumen de un cono es igual a la tecea pate del áea de la base, que es un cículo ( ), po la altua (). V = π VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE El volumen de la piámide se calcula igual que el de un cono, peo teniendo en cuenta que la base puede se un polígono cualquiea. V = A Base EJEMPLO Calcula el volumen de un cono de altua 10 cm y adio de la base cm. V = π = π 10 = 41,8 Halla el volumen de una piámide de altua y base egula tiangula de lado cm. A Base = 17, = 17, cm Paa calcula el áea del tiángulo de la base aplicamos el teoema de Pitágoas: A = 1 + Base 17, 8 = 1,7 V = = = 4,61 cm 4 El volumen de un cono de altua 1 y adio de la base 1 cm es: a) 4.06,44 cm b).60, c) 6.78,4 cm d) 1.56,4 5 El volumen de una piámide de base cuadangula de lado y altua es igual a: a) 170,6 b) 85, c) 41,4 cm d) 4,6 VOLUMEN DE LA ESERA 4π El volumen de una esfea es: V =. EJEMPLO Calcula el volumen de una esfea de adio. V = 4 = π 4 π = 11,04 cm 6 El volumen de una esfea de adio es: a) 718,01 cm b) 14,60 c) 1.46,0 d),1 cm 7 El volumen de una esfea de áea.86 cm es: a) 14.10 cm b) 4.0 cm c) 8.60 cm d) 86.40 cm 56 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.