Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral.1 ÁREAS DE REGIONES PLANAS. APLICACIONES ECONÓMICAS..1. CAMBIO NETO... EXCESO DE UTILIDAD NETA... GANANCIAS NETAS... EXCEDENTES DE CONSUMIDORES Y EXCEDENTE DEL PRODUCTOR. OBJETIVOS Se pretende que el estudiante: Calcule áreas de regiones planas generales Resuelva problemas de aplicaciones económicas Calcule valor promedio de funciones de una variable. 5
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral.1 AREAS DE REGIONES PLANAS.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida. Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana El área del elemento diferencial será: da hd f ( ) d Por tanto, el área de la región plana es: Ejemplo 1 Hallar el área bajo la curva Primero, hacemos un dibujo de la región: y en [ 1,] b A f ( ) d a y y 1
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral 7 El área bajo la curva estará dada por:, 1 1 1 7 1 A d Ejemplo Calcular el área de la región limitada por y y y PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y y y PASO : Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. El área está dado por: ( ) ( ) ( ) () ( ) 8 18 1 A d d A ( ) ( ) ( )( ) 9 9 1 1
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral.1. ÁREA ENTRE CURVAS Si la región plana tuviera la siguiente forma: El área del elemento diferencial será: da hd [ f ( ) g( ) ]d Entonces el área de la región plana esta dada por: A [ f ( ) g( ) ] CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas.. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración.. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo.. Defina la integral o las integrales para él área. 5. Evalúe la integral definida. b a d Ejemplo 1 y Calcular el valor del área de la región limitada por y PASO 1: Graficamos en un mismo plano y y y 8 PASO : Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral 9 PASO : Definimos el elemento diferencial. PASO : La integral definida para el área sería: ( ) ( ) [ ] d A PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 5 1 8 18 9 9 () A d d A Ejemplo Calcular el valor del área de la región limitada por y y PASO 1: Dibujamos y PASO : Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje. PASO : Definimos el elemento diferencial. ( ) ) (
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral PASO : La integral definida para el área sería: ( ) [ ] [ ]d d A ( () () PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 1 5 7 9 81 1 8 () ( () () A d d d d A ( ) ( ) ) (
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral.1. ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y Si la región plana tuviese la siguiente forma: Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal El área del elemento diferencial será: da hdy dy f ( y) dy Entonces el área de la región plana es: d A f ( y) dy c Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos: El área del elemento diferencial será: da hdy [ f ( y) g( y) ]dy Entonces el área de la región plana esta dada por: d [ f ( y) g( y ] A ) dy c 1
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral Ejemplo y Calcular el área de la región limitada por y y PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y y y PASO : Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO, y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. Anteriormente este problema fue resuelto con el elemento diferencial vertical. Ahora lo resolveremos de la otra forma. SEGUNDO MÉTODO. Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El área está dada por: [ A ( y) y ] dy y y y 8 1 A ( ) () Ejemplo y 1 Calcular el área de la región limitada por y PASO 1, PASO y PASO : El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral y 1 y y y ( y )( y 1) y y 1 Paso y 5: El área de la región sería: A 1 1 [ ( y ) ( y 1) ] [ y y ] dy dy 1 y y y 1 1 () 1 1 1 8 9 A ( ) ( ) ( ) Ejercicios propuestos.1 Hallar el área de la región limitada por las curvas: 1. y, y,. y, y, entre 1 y.. y, y, 8.. y, y 1. 5. y, y,.. y, y 7. y, y, y. 8. y, y y, y 9. 1. y 8, y 11. y, y 1 1. y, y
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral. APLICACIONES ECONÓMICAS..1 CAMBIO NETO Suponga que para un determinado proceso se dispone de la derivada de la ecuación de los ingresos, del costo, de la utilidad, etc.; entonces el valor neto de los ingresos, del costo, de la utilidad, como fuera el caso, en un período determinado, es el área bajo la curva respectiva en ese período. Esto también es llamado Cambio Neto. Ejemplo En cierta fábrica el Costo Marginal esta dado por C ( ( q ) dólares por unidad, cuando el nivel de producción es q unidades En cuánto aumentará el costo de fabricación si el nivel de producción aumenta de a 1 unidades? dc Se conoce el costo marginal que es la derivada del costo, es decir C ( ( q ). Por dq tanto el costo se lo calcula de la siguiente manera: C( 1 1 ( q ) ( q ) $8 Una interpretación gráfica, del cambio neto en el costo sería: C ( dq C(1) C() 1 dq
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral.. EXCESO DE UTILIDAD NETA Teniendo la derivada de los ingresos y la derivada de los costos, ya mencionamos que el área bajo la curva respectiva daría los ingresos y los costos, entonces como por definición la Utilidad es la diferencia de los ingresos con los costos, esta pueda ser interpretada como el área entre las curvas. Ejemplo Suponga que dentro de " t " años una inversión generará utilidad a razón de P 1 ( t) 5 t cientos de dólares al año, mientras que una segunda inversión generará utilidad a razón de P ( t) 5t cientos de dólares al año. a) Durante cuántos años la tasa de rentabilidad de la segunda inversión ecederá la de la primera? b) Calcule el eceso de utilidad neta durante el período determinado en el literal anterior. Interprete Empecemos interpretando gráficamente el Eceso de Utilidad neta, graficando en un mismo plano las ecuaciones de ambas inversiones. a) Interceptando las dos curvas tenemos: 5 t 5t t 5t 15 ( t 15)( t 1) t 15 t 1 Por tanto la segunda inversión es más rentable que la primera durante los primeros 15 años. b) El eceso de utilidad neta está dado por: 5
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral Eceso de Utilidad Neta t 15 15 [ P t) P t) ] ( ( 5t ) 1 ( dt 5 t dt t 5t 15 dt 15 t t 5 15 t 15 15 5 15 15 $187.5 ( ) ( ).. GANANCIAS NETAS Ejemplo Suponga que una máquina genera ingresos a razón de R ( t) 5 t dólares al año y que los costos se acumulan a razón de C ( t) 1t dólares al año. a) Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Graficando ambas curvas para interpretar las ganancias netas, tenemos: a) Igualando las ecuaciones, tenemos: 5 t 1t t t 1 Por tanto los ingresos son superiores a los costos, período de rentabilidad, durante los primeros 1 años. b) Las ganancias Netas están dada por :
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral Ganancias Netas 1 1 1 [ R ( t) C ( t) ] [( 5 t ) ( 1t )] [ t ] ( 1t t) $ dt 1 dt dt.. EXCEDENTES DE CONSUMIDORES Y EXCEDENTES DE PRODUCTORES. Suponga que se dispone de la derivada de la demanda, el área bajo la curva daría la DISPOSICIÓN A GASTAR DE LOS CONSUMIDORES por adquirir una determinada cantidad q de artículos; es decir: Disposición a gastar D( dq q Pero lo cierto es que, el precio p del artículo en el mercado da un GASTOS REAL al adquirir las q unidades de ese artículo. El EXCEDENTE DE LOS CONSUMIDORES estará dado por la diferencia entre la disposición a gastar con el gasto real; es decir: Ecedente de los consumidores Disposición a Gastar Gasto Real q Dqdq ( ) pq O más simplemente: Ecedente de los consumidores [ D( p ] dq q 7
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral Ejemplo 1 Suponga que la función demanda de los consumidores de cierto artículo es D( 1 q dólares por unidad. a) Hallar la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuestos a pagar por unidades del artículo. Interpretando gráficamente: Disposición a gastar q 1 $ D( dq ( 1 q ) q 1q () dq b) Hallar el gasto real que realizan los consumidores por adquirir las unidades. La interpretación gráfica del gasto real sería: D() $ ( ) D() 1 8
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral GastoReal pq $ unid $19 ( unid ) c) Hallar el ecedente de los consumidores por las unidades. Interpretando gráficamente el ecedente de los consumidores: Ecedente de los consumidores Disposición a Gastar Gasto Re al q $ $19 $7 D( dq pq En cambio, para la ecuación de la derivada de la oferta, él área bajo la curva significaría la epectativa de ingresos que tendría el productor cuando se venden q unidades de un artículo. El EXCEDENTE DEL PRODUCTOR estaría dado por la diferencia entre el gasto real y sus epectativas de ingreso; es decir: Ecedente del Gasto Re al Pr oductor de los consumidores Cant. total de dinero que el productor podría recibir por q unid. q [ pq ] Sqdq ( ) O simplemente q Ecedente del Pr oductor [ p S( ] dq 9
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral Ejemplo Un fabricante de cierto artículo estima que los consumidores comprarán (demandarán) q miles unidades del artículo cuando el precio sea p D(.1q 9 dólares por unidad. Y el mismo número de unidades del producto se suministrarán cuando el precio es p S(.q q 5 dólares por unidad. a) Hallar el precio y la cantidad de equilibrio b) Hallar el Ecedente de los consumidores en el equilibrio. c) Hallar el ecedente de los productores en el equilibrio. Interpretando gráficamente, tenemos: Igualando las ecuaciones para determinar el punto de equilibrio: D( S( Por tanto q 1 y p 8 b) El ecedente del consumidor sería: Ecedente de los consumidores c) El ecedente del productor sería:.1q 9.q 5 q.q q q 1q ( q )( q 1) q D( dq 1 [ p q ] (.1q 9) dq ( 8)( 1) 1 q.1 9q 8.7 8 $.7 [ ] 8 5
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral Ecedente del Pr oductor 8 $18. Gasto Re al de los consumidores [ p q ] 8 1.7 q S( dq 1 [( 8)( 1) ] (.q q 5) que el productor podría recibir 1 q q. 5q Cant. total de dinero dq por q unid. Ejercicios propuestos. 1. Suponga que una máquina genera ingresos a razón de R ( t) 75 t dólares al año y que t los costos se acumulan a razón de C ( t ) 1 dólares al año. a) Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente.. Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de R ( t ) 15 dólares al año y que los costos se acumulan a razón de C ( t) 5 t dólares al año. a. Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b. Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente. Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de R ( t ) 15 dólares al año y que los costos se acumulan a razón de C ( t ) 5 1 t dólares al año. a) Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente.. Cuando cierta maquinaria industrial tiene " " años genera ingresos a la razón de R( ) 575 5 dólares por año y produce costos que se acumulan a la razón de C ( ) 1 1 dólares por año. a) Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? b) Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el período del literal a)? c) Interprete gráficamente las ganancias netas halladas en el literal b) como el área entre dos curvas. 5. Suponga que cuando tiene años una máquina industrial genera ingresos a razón de. R( ) 57e dólares por semana y origina costos que se acumulan a razón constante de $59 dólares por semana. a) Durante cuantas semanas es rentable el uso de la maquinaria. b) Cuánta ganancia neta generará durante ese período?. Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es D( q q dólares por unidad. a) Halle la cantidad de unidades que se comprarán si el precio de mercado es US$15 por unidad. b) Calcule la disposición a gastar de los consumidores para obtener la cantidad de unidades del literal a). c) Calcule el ecedente de los consumidores cuando el precio de mercado es US$15 por unidad. d) Trace la curva de demanda e interprete como áreas la disposición a gastar y el ecedente de los consumidores. 7. Para un producto la ecuación de demanda es ( ) q 5 donde p es el precio q de unidades. p y la ecuación de la oferta es p q q 51
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral a) Grafique las curvas de la oferta y de la demanda en un mismo plano. b) Determine el Ecedentes de los consumidores y el de los productores bajo el equilibrio del mercado. 8. Suponga que las funciones de demanda y oferta de cierto artículo son: 1 D( 8 q y Sq ( ) ( q q ) Si la cantidad vendida y el precio correspondiente se determinan de manera que la oferta es igual a la demanda, halle el correspondiente ecedente de los consumidores y el ecedente del productor e interprételo gráficamente. 9. Determine el Ecedente del consumidor y el Ecedente del productor dadas las siguientes funciones de Oferta y Demanda, suponga que se ha establecido el equilibrio del mercado. 1 D: p O: p 1 q q 1 1. Encuentre e interprete gráficamente el ecedente del consumidor y el ecedente del productor bajo el equilibrio para las siguientes demandas y ofertas 1 D( q s( 1 ( q 1) 11. Determine el Ecedente del consumidor y el Ecedente del productor dadas las siguientes funciones de Oferta y Demanda, suponga que se ha establecido el equilibrio del mercado. 5 D: p O: p 5q 9 q 8 1. Encuentre e interprete gráficamente el ecedente del consumidor y el ecedente del productor bajo el equilibrio para las siguientes demandas y ofertas: 8p q 8 q 5 p 9 1. La ecuación de la demanda para un producto es q, y la ecuación de la oferta es q p 1. p Determine el ecedente de los consumidores y el de los productores cuando se ha establecido el equilibrio del mercado. 1. La ecuación de la demanda de un producto es q p y la ecuación de la oferta es p q 5. Encuentre el ecedente de productores y consumidores bajo equilibrio del mercado. 15. La ecuación de la demanda de un producto es q 1 p, y la ecuación de la oferta q p 1. Grafíquelas y determine el ecedente de los consumidores y el ecedente del productor bajo el equilibrio del mercado. Interprete. 5
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral. VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE El valor medio o valor promedio de una función f, continua en el a, b, está dado por: intervalo [ ] 1 Valor Medio f f ( ) d b a b a. Ejemplo Las estadísticas indican que " t " meses después del principio de año, el precio de la carne de res era p ( t).9t.t 1. dólares por libra. Cuál fue el precio medio de la carne durante los primeros meses?. El promedio del precio durante los primeros meses es: b 1 p p( t) dt b a a 1 (.9t.t 1.) dt 1.9t.t 1.t 1 [.81.9.8] p $1.57 Ejercicios Propuestos. 1. Los registros indican que t meses después de principios de año el precio de un artículo era pt ().1t t 1 dólares por libra. Cuál fue el precio promedio del artículo durante los primeros meses del año? 5
Moisés Villena Muñoz Cap. Aplicaciones de la Integral Misceláneos 1. Encuentre el área entre las curvas: 1. 1 y 1, y,,. y 8, y. y, y, 1,. 9 y 9, y,, 5. y, y. y, y 1, y 7 7. y, y 8 8. y, y, y, 8 9. y, y 1,, 1. y, y 11. y, y 5. Suponga que cuando tiene años una máquina industrial genera ingresos a razón de R ( ) dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de C ( ) 9 8 dólares por año. a) Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria. b) Cuánta ganancia neta generará durante ese período? c) Interprete geométricamente las Ganancias Netas.. Suponga que cuando tiene años una máquina industrial genera ingresos a razón de 5 8 dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de R( ) C ( ) 81 1 dólares por año. a) Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria. b) Cuánta ganancia neta generará durante ese período?. Suponga que la ecuación de demanda para un producto es: ( p )( q 1) 8 y la ecuación de oferta es: q p Bajo equilibrio del mercado, halle: a) El Ecedente de los Consumidores e interprételo gráficamente. b) El Ecedente del Productor e interprételo gráficamente. q 5. La ecuación de demanda para un producto es p 15 y la ecuación de oferta es p q, donde p es el precio por unidad (en cientos de dólares), cuando q unidades se demandan o se ofrecen. Determine el ecedente del productor y el ecedente del consumidor.. Los repuestos para una pieza de maquinaria pesada lo vende el fabricante en unidades de 1. El precio en dólares por unidad q está dado por p 11 q, y el precio total de producción de tales q unidades es C ( q 5q q a) Para qué valor de q se MAXIMIZAN las utilidades del fabricante? b) Halle el EXCEDENTE de los consumidores en el precio que corresponde a la utilidad máima. 5