LITERATURA Y MATEMÁTICAS. La medición del mundo

Trigonometría LITERATURA Y MATEMÁTICAS La medición del mundo El cielo estaba encapotado, la tierra, embarrada. Trepó por encima de un seto y se encontró, jadeante, sudado y cubierto de agujas de pino, delante de dos muchachas. Al preguntarle qué hacía allí, explicó, nervioso, la técnica de la triangulación: conociendo un lado y dos ángulos de un triángulo, se podían determinar los otros lados y el ángulo desconocido. Así que se escogía un triángulo en cualquier lugar de aquella tierra de Dios, se medía el lado de más fácil acceso, y se determinaban los ángulos para el tercer punto con ese aparato. Levantó el teodolito y lo giró, así asá, y fíjense ustedes, así, con dedos torpes, de un lado a otro, como si fuera la primera vez. Luego añádase una serie de tales triángulos uno junto a otro. [ ] Pero un paisaje, repuso la mayor de las dos, no era un plano. Él la miró fijamente. Había faltado la pausa. Como si ella no precisase reflexionar. Desde luego que no, contestó él sonriendo. Los ángulos de un triángulo, dijo ella, sumaban en un plano ciento ochenta grados, pero no sobre una esfera. Con eso quedaba dicho todo. Él la observó como si la viera entonces por primera vez. Ella le devolvió la mirada enarcando las cejas. Sí, dijo él. Bien. Para compensarlo, había que encoger en cierto modo los triángulos después de la medición hasta un tamaño infinitamente pequeño. En principio una sencilla operación diferencial. Aunque de esa forma Se sentó en el suelo y sacó su bloc. De esa forma, murmuró mientras pergeñaba sus anotaciones, todavía no lo había realizado nadie. Cuando levantó la vista, se había quedado solo. [ ] Pidió por carta la mano de Johanna y fue rechazado. No tenía nada contra él, escribió ella, sólo que dudaba que la existencia a su lado fuese saludable. Sospechaba que él extraía la vida y la energía de las personas de su entorno, igual que la tierra del sol y el mar de los ríos, de que cerca de él una estaría condenada a la palidez y a la semirrealidad de una existencia de espectro. [Pasado un tiempo, lo volvió a intentar y, esta vez, fue aceptado. «Él», uno de los dos protagonistas de esta novela, se llamaba Gauss y fue uno de los astrónomos, físicos y matemáticos más importantes del siglo XIX.] DANIEL KEHLMANN En una superficie de tierra plana, hay tres árboles, A, B y C, y no podemos acceder al árbol C. La distancia entre A y B es de 6 m, y con un teodolito, como el de Gauss, medimos los ángulos CAB y CBA y obtenemos 8 y 60, respectivamente. Con estos datos, qué otras distancias o áreas podemos calcular? Basándote en esto, explica la técnica de la triangulación. Podemos hallar el ángulo desconocido, teniendo en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es 80 : 80 60 8 7 Aplicamos el teorema del seno: a b c a b 6 a 0, m sen $ A sen $ B sen C $ sen 8 sen 60 sen 7 b,68 m Para calcular el área podemos aplicar la fórmula de Herón. Si llamamos p al semiperímetro, entonces: A p( p a)( p b)( p c) A 5( 5 0,)( 5,68)( 5 6) 8, 79 m La técnica de la triangulación consiste en la aplicación de la trigonometría para hallar distancias desconocidas. 06

SOLUCIONARIO ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Halla el término que falta para que estos pares de razones formen una proporción. a) x x b) y x c) y 7 y 0 x 0 a) x 7,5 b) x 0,6 c) x 6 00 Calcula el ángulo complementario y suplementario de: a) 5 b) 7 c) 78 d) 89 a) El ángulo complementario de 5 es 75 y el suplementario es 65. b) El ángulo complementario de 7 es y el suplementario es. c) El ángulo complementario de 78 es y el suplementario es 0. d) El ángulo complementario de 89 es y el suplementario es 9. 00 Estos triángulos son semejantes. Cuánto tiene que medir c? cm cm c 8 cm 5 cm 0 cm Como los triángulos son semejantes, las medidas de los lados son proporcionales. Por tanto, c tiene que medir 6 cm. 00 Razona por qué son semejantes los tres triángulos rectángulos que aparecen al trazar la altura sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Para explicar que los triángulos son semejantes, vamos a demostrar que los tres ángulos son iguales:. Los tres triángulos tienen un ángulo recto.. El triángulo mediano y el triángulo menor comparten un ángulo agudo con el triángulo mayor.. Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es un valor constante, si coincide la medida de dos ángulos, el tercer ángulo será igual. 005 Indica cuáles de estas ternas de longitudes corresponden a los lados de un triángulo. a) cm, cm y 5 cm c) 5 cm, 5 cm y 0 cm b) cm, cm y cm d) 5 cm, 8 cm y 0 cm a) Pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo, ya que el lado mayor es menor que la suma de los otros lados. b) No pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo, puesto que el lado mayor es igual que la suma de los otros lados. c) No pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo, porque el lado mayor es menor que la suma de los otros lados. d) Pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo, ya que el lado mayor es menor que la suma de los otros lados. 07

Trigonometría 006 En un triángulo ABC, el ángulo $ A 05. Cuánto suman $ B y $ C? Como la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 80 : 80 05 75 Por tanto, los ángulos $ B y $ C deben sumar 75. 007 $ C Construye triángulos con los siguientes datos. a) a 5 cm, b cm y c cm c) a 5 cm, b cm y C $ 0 b) a 5 cm, B $ 60 y C $ 5 d) a 5 cm, B $ 50 y $ A 85 a) c) b b c a a b) d) $ A $ C a $ B a $ B ACTIVIDADES 00 Expresa en grados los ángulos cuya amplitud es,,,, 5 y 6 radianes. Como rad son 60 : son Si rad 60 serán x rad x grados 60 57 7' 5" rad 57 7' 5" rad 5' 0" rad 7 5' " rad 9 0' 59" 5 rad 86 8' " 6 rad 6' 9" 00 Expresa en radianes la medida de los ángulos de los cuatro primeros polígonos regulares. Si llamamos n al número de lados del polígono regular, entonces la medida 80 ( n ) de sus ángulos viene dada por la expresión: n Los ángulos de un triángulo equilátero miden: 60 rad 08

SOLUCIONARIO Los ángulos de un cuadrado miden: 90 rad Los ángulos de un pentágono regular miden: 08 rad 5 Los ángulos de un hexágono regular miden: 0 rad 00 Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos. a) b) 5 cm 8 cm 5 cm 5 cm a) Llamamos C $ al ángulo opuesto al lado de 8 cm. sen C $ 8 sec C $ 5 0,5,89 C 5 8 cos C $ 5 cosec C $ 5 0,85 5 5,8 tg C $ 8 cotg C $ 5 5 0,6 8,6 A Llamamos $ B al ángulo opuesto al lado de 5 cm. sen $ 5 B sec $ 5 B 5 0,85 5,8 cos $ 8 B cosec $ 5 B 5 0,5 8,89 tg $ 5 B cotg $ 8 B 8,6 5 0,6 b) Calculamos la diagonal del rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras: D 5 + 6 6 cm Llamamos C $ al ángulo opuesto al lado de 6 cm. sen C $ 6 sec C $ 6, 6 0,77 6 cos C $ 5 cosec C $ 6,56 6 0,6 5 tg C $ 6 cotg C $ 5 5, 6 0,8 Llamamos $ B al ángulo opuesto al lado de 5 cm. sen $ 5 B sec $ 6 B,56 6 0,6 5 cos $ 6 B cosec $ 6 0,77 B, 6 6 tg $ 5 B cotg $ B 6 6 0,8 5, 6 cm A B B C 09

Trigonometría 00 Demuestra que se cumplen las siguientes igualdades. a) sec α b) cosec α cos α sen α c) cotg α tg α cos α sen α a a) sec α c c cos α a a b) cosec α b b sen α a c c) cotg α b b tg α sen α c cos α cos α sen α 005 Calcula las razones trigonométricas del ángulo si: a) sen α b) tg α 0,9 c) cos α d) sen α 0, sen α a) sen α + cos α co + s α 5 5 5 cos α sec α 6 5 5 sen α, cos α 5 sen α tgα tgα cos α sen α cosec α b) cos α cos α 0,9 sec α, + tg α cos α 09 sen α + cos α, sen α + 0,9 sen α tg 0,9 cotg α,0 cos α c) sen α + cos α sen α + sen α 5, cos α sen α tg α tg α cos α 5 sen α cosec α 5 5 5 5 sen α cosec α 9 5 5 5 5 5 cotgα 5 5 5 5 0, cosec α,9 5 cotg α 5 5 0

SOLUCIONARIO sen α 0 d) sen α + cos α, 0, + cos α cos α 0,98 sec α,0 sen α sen α 0, ; cos α 098, 0, tg α tg α cos α 0,98 sen α 0, cosec α 5 0, cotg α,9 006 Razona si existe algún ángulo para el que se verifique: a) sen α 0, y cos α 0,8 c) cos α 0, y sen α 0,99 b) sen α 0,7 y tg α,0 a) No existe, ya que no cumple las relaciones trigonométricas. sen cos α + α ; 0, + 0,8 0,7 b) Sí existe, pues cumple las relaciones trigonométricas. 0,7 Calculamos el coseno:,0 cos α 0,69 0,7 + 0,69 cos α c) Sí existe, porque cumple las relaciones trigonométricas. 0, + 0,99 007 Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 5 cm, sin utilizar el teorema de Pitágoras. h cos 0 h 5 cos 0, cm 5 La altura del triángulo es, cm. 008 Si la altura de un triángulo equilátero mide 5,96 cm; calcula cuánto mide el lado del triángulo, sin utilizar el teorema de Pitágoras. 5,96 cos 0 l 6 cm l El lado del triángulo mide 6 cm. 009 Halla el valor de las siguientes expresiones. a) cos 0 sen 60 + tg 5 c) tg 60 + sen 5 cos 0 b) cos 60 sen 5 d) tg 0 + tg 60 sen 0 cos 0 a) cos 0 sen 60 + tg 5 b) cos 60 sen 5 + c) tg 60 + sen 5 cos 0 + + + d) tg 0 + tg 60 sen 0 cos 0 +

Trigonometría 00 Indica el signo que tienen las razones trigonométricas de los ángulos, identificando el cuadrante en el que se encuentran. a) 66 d) 5 b) 8 e) c) 75 f) 0 a) Es del. er cuadrante; todas las razones trigonométricas son positivas. b) Es del. er cuadrante; todas las razones trigonométricas son positivas. c) Es del. o cuadrante; el seno y la cosecante son positivas, y el resto de las razones trigonométricas son negativas. d) Es del. o cuadrante; el seno y la cosecante son positivos, y el resto de las razones trigonométricas son negativas. e) Es del. o cuadrante; el coseno y la secante son positivos, y el resto de las razones trigonométricas son negativas. f) Es del. o cuadrante; el seno y la cosecante son positivos, y el resto de las razones trigonométricas son negativas. 0 Razona la respuesta. a) Por qué no existe tg 90? b) Ocurre lo mismo con todos los ángulos que son múltiplos de 90? a) No existe, porque cos 90 0. b) Si multiplicamos 90 por un número par, la tangente es cero, ya que el seno vale 0 y el coseno vale. Si multiplicamos 90 por un número impar, la tangente no está definida, puesto que el coseno vale 0. 0 Indica el signo de las razones trigonométricas de los ángulos cuya amplitud es múltiplo de 90. Estudiamos los ángulos que son múltiplos de 90 : Para 60 k, siendo k un número natural. El coseno y la secante son positivos, el seno y la tangente valen 0 y la cosecante y la cotangente no están definidas. Para 90 + 60 k, siendo k un número natural. El seno y la cosecante son positivos, el coseno y la cotangente valen 0 y la secante y la tangente no están definidas. Para 80 + 60 k, siendo k un número natural. El coseno y la secante son negativos, el seno y la tangente valen 0 y la cosecante y la cotangente no están definidas. Para 70 + 60 k, siendo k un número natural. El seno y la cosecante son negativos, el coseno y la cotangente valen 0 y la secante y la tangente no están definidas.

SOLUCIONARIO 0 Sabiendo que cos 50 0,68; halla las razones trigonométricas de: a) 0 b) 0 c) 50 d) 0 Calculamos el seno de 50 : sen 50 + 0,68 sen 50 0,766 a) cos 50 cos 0 0,68; sen 50 sen 0 0,766; tg 0,98 sec 0,5557; cosec 0,05; cotg 0 0,89 b) cos 50 cos 0 0,68; sen 50 sen 0 0,766 tg 0,98; sec 0,5557; cosec 0,05; cotg 0 0,89 c) cos 50 cos ( 50 ) 0,68; sen 50 sen ( 50 ) 0,766 tg ( 50 ),98; sec ( 50 ),5557; cosec ( 50 ),05 cotg ( 50 ) 0,89 d) cos 50 cos 0 0,68; sen 50 sen 0 0,766 tg 0,98; sec 0,5557; cosec 0,05 cotg 0 0,89 0 Calcula las razones trigonométricas en función de las razones de otros ángulos del. er cuadrante. a) 75 b) 885 c).0 d) 695 e).5 f) 985 a) sen 75 sen 5 sen 65 0,906 cos 75 cos 5 sen 65 0,6 tg 75 tg 5 tg 65,5 b) sen 885 sen 65 sen 5 0,588 cos 885 cos 65 cos 5 0,9659 tg 885 tg 65 tg 5 0,679 c) sen.0 sen 50 0,766 cos.0 cos 50 0,68 tg.0 tg 50,97 d) sen 695 sen 5 sen 5 0,6 cos 695 cos 5 cos 5 0,906 tg 695 tg 5 tg 5 0,66 e) sen.5 sen 5 sen 5 cos.5 cos 5 cos 5 tg.5 tg 5 tg 5 f) sen 985 sen 65 sen 85 0,996 cos 985 cos 65 cos 85 0,087 tg 985 tg 65 tg 85,0

Trigonometría 05 Sabiendo que sen α, calcula: 5 a) sen (90 α) b) sen (80 α) c) sen ( α) a) sen α cos ( 90 α) 5 Sustituimos en la expresión para calcular sen (80 α): cos (90 α) + sen (90 α) ; sen (90 α) b) sen (80 α) sen α 5 c) sen ( α) sen α 5 5 6 5 06 Si sen 8 0,09 y cos 8 0,95; halla: a) sen 7 b) cos 6 c) tg ( 7 ) a) sen 7 sen (90 8 ) cos 8 0,95 b) cos 6 cos (80 8 ) cos 8 0,95 c) tg ( 7 ) tg 7 tg (90 8 ) cos 8 0,95,0777 tg 8 sen 8 0,09 07 Indica cómo son los ángulos αy β si cumplen las siguientes igualdades. a) sen α cos β b) cos α cos β c) sen α sen β a) Los ángulos son complementarios. b) Los ángulos son opuestos. c) Los ángulos son suplementarios. 08 A partir de las razones de 0 y 5, calcula las razones trigonométricas de 75 y,5. sen 75 sen (0 + 5 ) sen 0 cos 5 + cos 0 sen 5 + cos 75 cos (0 + 5 ) cos 0 cos 5 sen 0 sen 5 + tg 0 tg 5 tg 75 tg (0 + 5 ),7 + tg 0 tg 5 5 cos sen,5 sen ± 5 ± + 6 0,97 6 0,6 ± 0,8

SOLUCIONARIO 5 cos cos,5 cos ± + 5 ± 5 cos 5 tg,5 tg ± ± + cos 5 + + ± 0,9 ±0, 09 Expresa, en función de tg α, las razones trigonométricas sen αy cos α. cos α sen α tg α sen α sen cos α α ( cos α) sen α sen α cos α tg α tg α cos α cos α tg + α + tg α tg α tg α tg α + tg α sen α cos α cos α cos α sen α cos α ( cos α) cos α + tg α + cos α + + tg α 00 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 60 ]. a) 5 sen x b) 7 cos x c) 5 tg x d) tg x a) b) c) d) x '," 5 sen x sen x 5 x 56 5' 8,56" x 98 ' 7,56" 7 cos x cos x 7 x 6 7'," x 67 ' 8,9" 5 tg x tg x 5 x 7 ' 8,9" x 5 tg x tg x x 5 0 Resuelve estas ecuaciones trigonométricas y simplifica el resultado. a) sen x b) cos x + cos x 0 a) sen x x 90 + 60 k x 5 + 80 k b) cos x + cos x 0 cos x + sen x cos x 0 cos x( + sen x) 0 x + k cos x 90 60 0 x 70 + 60 k x 0 + 60 k + sen x 0 sen x x 0 + 60 k 5

Trigonometría 0 En un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto es $ A, se sabe que b 0 m y c 5 m. Resuélvelo. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa: h 0 + 5. 55 9,05 m Utilizamos una de las razones trigonométricas para calcular uno de sus ángulos agudos: sen $ b 0 B 0, 768 $ B 50 ' 0" a 9,05 Usamos la relación de ángulos complementarios para hallar el tercer ángulo: $C 90 50 ' 0" 9 8' 0" 0 0 De un triángulo rectángulo ABC, conocemos que $ C 6 y que la hipotenusa a mide m. Halla sus elementos. Aplicamos la relación de ángulos complementarios para calcular el tercer ángulo: $ B 90 6 8 Utilizamos una de sus razones trigonométricas para hallar otro de sus lados: sen $ b b B b sen 8 0,695 m a Usamos el teorema de Pitágoras para determinar el tercer lado: Calcula b y c en estos triángulos. a) C b) A c 0,695 0,889 m b 55 88 c cm a) $ B 80 88 55 7 a b c b b 0,9 cm sen $ A sen $ B sen C $ sen 7 sen 55 a b c sen $ A sen $ B sen C $ B A c 86 c c 7,08 cm sen 88 sen 55 b B 8 cm C b) $ C 80 86 50 Aplicamos el teorema del seno como en el apartado anterior y resulta: b 5,85 cm c 9,85 cm 05 Razona si es posible que en un triángulo se cumplan estas igualdades. b c a a sen $ B sen C $ Es posible si el triángulo es rectángulo, porque entonces A $ 90 y sen A $. 6

SOLUCIONARIO 06 Un triángulo ABC es rectángulo y la longitud de su hipotenusa es a. a) Aplica el teorema del coseno al ángulo recto A. $ b) En qué teorema se transforma el teorema del coseno en este caso? a) a b + c bc cos 90 b + c b) Se transforma en el teorema de Pitágoras. 07 Decide si las siguientes medidas corresponden a las longitudes de lados de un triángulo, e indica si es acutángulo, rectángulo u obtusángulo. a), y 9 cm b), y 8 cm c) 6, y 0 cm d) 0, 0 y 0 m a) a b + c bc cos $ A + 9 9 cos $ A cos $ A 0,99 $ A 7 57' 59,7" El triángulo es acutángulo. b) Las medidas no forman un triángulo, ya que la suma de los lados menores es menor que el lado mayor. c) a b + c bc cos $ A 6 + 0 0 cos $ A cos $ A 0 $ A 90 El triángulo es rectángulo. d) a b + c bc cos $ A 0 0 + 0 0 0 cos $ A cos $ A 0,5 $ A 0 8' 9" El triángulo es obtusángulo. 08 En una construcción, dos vigas de 0 m están soldadas por sus extremos y forman un triángulo con otra viga de 5 m. Halla los ángulos que forman entre sí. Llamamos a 5 m, b 0 m y c 0 m. Utilizamos el teorema del coseno para obtener dos de sus ángulos: a b + c bc cos $ A 5 0 + 0 0 0 cos $ A $ A 97 0' 50,7" b a + c ac cos $ B 0 5 + 0 5 0 cos $ B $ B ',6" Usamos la propiedad de que la suma de los ángulos de un triángulo mide 80, para calcular el tercer ángulo: $ A + $ B + $ C 97 0' 50,7" + ',6" + $ C 80 $ C ',6" 09 En un romboide, los lados miden 5 cm y 8 cm y una de sus diagonales mide 0 cm. Calcula la medida de sus cuatro ángulos. Llamamos a 5 cm, b 8 cm y c 0 cm. Utilizamos el teorema del coseno para obtener dos de sus ángulos: a b + c bc cos $ A 5 8 + 0 8 0 cos $ A $ A 9 ' 0,7" b a + c ac cos $ B 8 5 + 0 5 0 cos $ B $ B 5 ' 7,8" Usamos la propiedad de que la suma de los ángulos de un triángulo mide 80, para calcular el tercer ángulo: $ A + $ B + $ C 9 ' 0,7" + 5 ' 7,8" + $ C 80 $ C 97 5',5" 7

Trigonometría 00 Resuelve el triángulo, sabiendo que dos de sus lados miden cm y 8 cm, respectivamente, y el ángulo opuesto a uno de ellos mide 70. Dibuja el triángulo. Aplicamos el teorema del seno para calcular el ángulo opuesto al lado conocido: a b c 8 $ B 6 57'," sen $ A sen $ B sen C $ sen $ B sen 70 Utilizamos la propiedad de que la suma de los ángulos de un triángulo mide 80, para calcular el tercer ángulo: $ A + $ B + $ C 80 $ A + 6 57'," + 70 80 $ A 6 ' 5,6" Usamos el teorema del seno para calcular el tercer lado: a b c a 8 a 7,07 cm sen $ A sen $ B sen C $ sen 6 ' 5, 6" sen 70 b $C a $ A c $ B 0 Al resolver el triángulo con a m, c 6 m y $ A 5, obtenemos como soluciones dos triángulos obtusángulos. Comprueba que esto es posible y dibuja las soluciones. Aplicamos el teorema del seno para calcular el ángulo opuesto al lado conocido: a b c 6 $C 9 0' 5,7" sen $ A sen $ B sen C $ sen 5 sen C $ $C 0 9' " Utilizamos la propiedad de que la suma de los ángulos de un triángulo mide 80, para calcular el tercer ángulo:. a solución: $ A + $ B + $ C 80 5 + $ B + 9 0' 5,7" 80 $ B 5 9' ". a solución: $ A + $ B + $ C 80 5 + $ B + 0 9' " 80 $ B 0' 6" Usamos el teorema del seno para calcular el tercer lado: a b. a c b solución: b 8 5 m sen $ A sen 5 9' " sen 5, sen $ B sen C $ a b b. a c solución: b m sen $ A sen 0' 6" sen 5, sen $ B sen C $ b c a c a b 8

SOLUCIONARIO 0 0 Transforma los siguientes ángulos en grados o radianes, según corresponda. a) 5 d),5 rad g) 70 j) 0, rad m) 6 5' b) 75 e) rad h) 0 0' k) 0 n) 7 rad c) 60 f) 50 i) 6 l) 5 ñ) rad rad 5 a) 5 rad d) 85 56' 7," g) rad j) 7 ' 9," m),6 rad b) 5 rad e) 5' 0" h),6 rad k) rad n) 60 c) 8 7 rad f) rad i) 60 l) rad 9 ñ) Dibuja tres ángulos agudos $ A, $ B y C, $ tales que: sen $ A cos $ B 5 tg C $, cm $ A cm 5 cm $ B cm $ C 5 cm 7 cm 0 Dibuja dos rectas perpendiculares a uno de los lados de este ángulo, de modo que se formen dos triángulos rectángulos. Mide los lados de los dos triángulos y verifica que las razones del ángulo $ A son idénticas en ambos. Respuesta abierta: $A 7,5 cm 5 cm cm,5 cm $ A cm 6 cm sen $,5 A cos $ 6 A tg $,5 0,6 0,8 A 0,75 5 7,5 5 7,5 6 9

Trigonometría 05 Comprueba si son ciertas o no las siguientes igualdades, sin usar la calculadora. a) sen 0 + sen 5 sen 75 b) cos 90 cos 0 cos 60 c) tg 60 tg 0 d) sen 60 sen 0 cos 0 cos 90 e) cos 5 f) cos 60 cos 0 sen 0 a) Falsa sen 75 sen (0 + 5 ) sen 0 cos 5 + cos 0 sen 5 sen 0 + sen 5 b) Falsa cos 60 cos (90 0 ) cos 90 cos 0 sen 90 sen 0 cos 90 cos 0 c) Falsa tg 0 tg 60 tg ( 0 ) tg 0 tg 0 d) Verdadera sen 60 sen ( 0 ) sen 0 cos 0 e) Falsa 90 cos 90 cos 90 cos 5 cos ± + cos 90 f) Verdadera cos 60 cos ( 0 ) cos 0 sen 0 06 Los ángulos $ A, $ B y $ C son agudos. Completa la siguiente tabla sin determinarlos. Seno Coseno Tangente sen $ A 0,560 cos $ A 0,88 tg A $ 0,676 sen B $ 0,988 cos $ B 0,89 tg B $ 5,5 sen C $ 0,666 cos C $ 0,8 tg C $,780 0,560 + cos $ A cos $ A tg $ 0,560 A 0,676 0,88 sen $ B + 0,89 sen $ B 0,560 0,88 0,89 0,988 tg $ 0,560 B 0,676 0,88 cos $ C +,780 0,8 sen $ C + 0,8 sen C $ 0,8 0,666 0

SOLUCIONARIO 07 Emplea la calculadora para determinar los ángulos agudos que cumplen: a) cos $ A 0,5 e) tg $ E 0,55 b) tg $ B,688 f ) sen $ F 0,0968 c) cosec C $,90 g) sen G $ 0,9 d) cos D $ 0,976 h) cotg H $,5 a) cos $ A 0,5 $ A 69 7' 59,6" b) tg $ B,688 $ B 67 6' 5,8" c) cosec C $,90 sen C $ 0,55 C $ 0' 9,9" d) cos D $ 0,976 D $ 6' 6," e) tg $ E 0,55 $ E 9 ' 5,8" f) sen $ F 0,0968 $ F 5 ' 7,75" g) sen G $ 0,9 G $ 6'," h) cotg H $,5 tg H $ 0, H $ 8' 5,07" 08 Determina las siguientes razones. a) sen 9 ' 7" e) sec 5 8' i) tg 8 b) cos 5' f) cosec j) cos 0,85 c) cos,0 g) tg 8 ' 57" k) cotg 5 0' d) sen h) sen 7 5" l) sec 5 6 a) sen 9 ' 7" 0,8 b) cos 5' 0,7088 c) cos,0 0,58 d) sen 0,95 5 e) sec 5 8',706 f) No está definida. g) tg 8 ' 57" 9,0567 h) sen 7 5" 0,609 i) tg 0, 8 j) cos 0,85 0,667 k) cotg 5 0',9 l) sec,57 6

Trigonometría 09 Resuelve los triángulos rectángulos correspondientes, considerando que $ A es el ángulo recto. a) b 7 m, $ B 8 d) a 6 cm, C $ ' b) c m, $ B 8 e) b m, c 6 m c) a m, c 5 m f) b 8 m, a 0 m a) Aplicamos la relación de ángulos complementarios para calcular el tercer ángulo: $C 90 8 Usamos una de sus razones trigonométricas para hallar otro de sus lados: b a 7 a a 9, m sen $ B sen A $ sen 8 Utilizamos el teorema de Pitágoras para obtener el tercer lado: c 9, 7 6, m b) Aplicamos la relación de ángulos complementarios para hallar el tercer ángulo: $C 90 8 6 Usamos una de sus razones trigonométricas para obtener otro de sus lados: b c b b 6,8 m sen $ B sen C $ sen 8 sen 6 Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar el tercer lado: a + 6,8,59 m c) Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular el tercer lado: b 5 m sen $ B $ B 67 ' 8,5" sen C $ 5 C $ 7',5" d) Aplicamos la relación de ángulos complementarios para obtener el tercer ángulo: $B 90 ' 7 8' Usamos una de sus razones trigonométricas para hallar otro de sus lados: b a sen $ B sen A $ Utilizamos el teorema de Pitágoras para obtener el tercer lado: c 6,,0 m e) Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el tercer lado: a + 6 6,7m sen $ B $ B 6 ' 6,6" 6,7 sen C $ 6 C $ 6 6'," 6,7 b 6 b, m sen 7 8'

SOLUCIONARIO f) Utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular el tercer lado: c 0 8 6 m sen $ 8 B $ B 5 7' 8,7" 0 sen C $ 6 C $ 6 5',6" 0 00 Si nos situamos a 0 metros de la chimenea de una fábrica la vemos bajo un ángulo de 6. Qué altura tiene? Considera que los ojos del observador están situados a 75 cm del suelo. a tg 6 a 9,5m 0 9,5 +,75,6 m La altura de la chimenea es,6 m. 0 Una barca está atada a la orilla de un canal con una cuerda que mide 8 metros. En cierto momento, esta cuerda forma un ángulo de 8 con el borde. A qué distancia de la orilla se encuentra la barca? b sen 8 b,9 m 8 La barca se encuentra a,9 m de la orilla. 0 0 Las bases de un trapecio isósceles miden 8 cm y cm, y los lados iguales, 5 cm. Calcula la medida de sus ángulos. sen $ B $ B 5 7' 8,7" 5 $C 90 5 7' 8,7" 6 5',6" $D 90 + 6 5',6" 6 5',6" Qué ángulo forman entre sí las diagonales de un rectángulo de 0 cm de base y 6 cm de altura? Hallamos la longitud de la diagonal utilizando el teorema de Pitágoras: d 0 + 6 6,66 cm $ B $ B Calculamos el ángulo opuesto al lado de 6 cm, en el triángulo isósceles que tiene por lados iguales la mitad de la diagonal: 5,8 5,8 + 6 5,8 6 cos $ A $ A 59 ' 50,7" El ángulo que forman entre sí las diagonales del rectángulo es 59 ' 50,7". cm

Trigonometría 0 Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia de 0 cm de radio. Determina la medida de su lado. El pentágono regular se puede dividir en cinco triángulos isósceles. 60 Calculamos el ángulo central: 7 5 El ángulo central mide 7. Hallamos los restantes ángulos del triángulo: 80 7 + $ A $ A 5 Aplicamos el teorema del seno: b a b 0 b,5cm sen $ B sen A $ sen 7 sen 5 El lado mide,5 cm. 05 Calcula la longitud del lado de un dodecágono regular circunscrito a una circunferencia de radio 6 cm El dodecágono regular se divide en triángulos rectángulos. 60 Calculamos el ángulo central: 5 El ángulo central mide 5. Aplicamos el teorema del seno: b a b 6 b,55 cm sen $ B sen A $ sen 5 El lado mide, cm. 06 La tabla muestra razones trigonométricas de ángulos de distintos cuadrantes. Sin determinarlos, complétala con las razones que faltan. Cuadrante sen cos tg Segundo 0,670 0,7 0,90 Tercero 0,89 0,59,96 Cuarto 0,806 0,5979 0,759 Tercero 0,78 0,6,555 Segundo 0,889 0,657,900 Cuarto 0,758 0,698,05 0,670 + cos $ A cos $ A tg $ 0,670 A 0,90 0,7 sen $ B + ( 0,59) sen $ B tg $ B 0,89,96 0,59 0,670 0,7 0,59 0,89

SOLUCIONARIO cos $ C sen $ C + 0,806 sen $ C ( 0,78) + cos $ D cos $ D tg D $ 0,78,555 cos E $ 0,6 sen $ E + ( 0,657) sen $ E sen $ F + 0,698 sen $ F tg F $ 0,758,05 0,698 + ( 0,759 ) 0,806 0,806 0,5979 0,78 0,6 + (,900 ) 0,657 0,889 0,698 0,758 0,657 07 Sin usar la calculadora, determina. a) sen tg + cos c) tg sen cos b) cos sen d) cos sen 0 a) sen tg + cos 0 + b) cos sen 0 0 c) tg sen cos 0 d) cos sen 0 08 Completa, sin usar la calculadora, los valores del seno de los siguientes ángulos. 6 0 5 0 0 7 0 0 0 0 0 9 5 09 Completa, sin usar la calculadora, los valores del coseno de los siguientes ángulos. 0 6 5 0 7 0 0 0 0 0 9 5 5

Trigonometría 050 Completa, sin usar la calculadora, los valores de la tangente de los siguientes ángulos. 60 5 0 0 0 5 60 90 0 No definido 0 5 50 80 0 5 0 70 0 No definido 05 Utiliza la calculadora para hallar las razones. a) sen 9 ' 5" e) cosec 00 6' i) tg 8 5 b) cos 6' f ) sec j) cos,85 c) tg 7,0 g) tg 8 ' 5" k) cotg 6 8 d) sen h) sen 55" l) cosec 5, 5 a) sen 9 ' 5" 0,65 g) tg 8 ' 5" 0,0565 b) cos 6' 0,68 h) sen 55" 0,58 c) tg 7,0 0,957 i) tg, 8 8 d) sen 0,95 j) cos,85 0,766 5 e) cosec 00 6',8869 k) cotg,7 6 5 f) sec, l) cosec 5,,57 05 Reduce los ángulos al. er cuadrante y calcula estas razones. a) sen e) sec 56 ' 6" i ) cotg 95 ' 5" b) cos 6' f ) tg 8 ' j ) sec 0 6' 5" c) tg 6 " g) sen 0 5" d) cosec 5' h) cos 9 ' " a) sen sen 9 0,757 b) cos 6' cos 5 ' 0,906 c) tg 6 " tg 59' 8" 0,67 d) cosec 5' cosec 57 7',908 e) sec 56 ' 6" sec 6' 5",09 f) tg 8 ' tg 58 ',655 g) sen 0 5" sen 57 5' 0,880 h) cos 9 ' " cos ' " 0,9767 i) cotg 95 ' 5" cotg 6 7' 5" 0,708 j) sec 0 6' 5" sec 6' 5",09 6

SOLUCIONARIO 05 En la circunferencia goniométrica, dibuja y obtén con ayuda de la calculadora. a) Dos ángulos cuyo seno valga 0,6. b) Dos ángulos cuya tangente valga,5. a) sen α 0,6 α 6' 0,706" α 58 5' 59," α α b) tg β,5 β 85 6' 7" β 05 6' 7" β β 05 Halla los siguientes ángulos. a) arc cos 0,59 d) arc cos ( 0,996) g) arc sen 0,686 b) arc sen 0,98 e) arc tg,68 h) arc sen ( 0,08) c) arc tg ( 0,559) f ) arc cos ( 0,96) a) arc cos 0,59 6 0,95" e) arc tg,68 65 0',9" b) arc sen 0,98 68 '," f ) arc cos ( 0,96) 07 9," c) arc tg ( 0,559) ' " g) arc sen 0,686 9' 8," d) arc cos ( 0,996) ' " h) arc sen ( 0,08) 0 0' 58" 055 Conocidas las razones de 0, 5 y 60, obtén, sin usar la calculadora, las razones de 0, 5, 0 y 00. sen 0 sen 60 sen 0 sen 60 cos 0 cos 60 cos 0 cos 60 tg 0 tg 60 tg 0 tg 60 sen 5 sen 5 sen 00 sen 60 cos 5 cos 5 cos 00 cos 60 tg 5 tg 5 tg 00 tg 60 7

Trigonometría 056 Determina el ángulo αdel. er cuadrante cuyas razones trigonométricas verifican: sen α sen 9 ' cos α cos 9 ' tg α tg 9 ' Halla cuáles son sus razones trigonométricas. sen α sen 9 ' 0,968 α 69 ' cos α cos 9 ' 0,99 α 69 ' tg α tg 9 ',6770 α 69 ' 057 Qué ángulo del. er cuadrante tiene el mismo coseno que ' 8"? Usa la calculadora para obtener las razones de esos dos ángulos y compáralas. El ángulo del. er cuadrante que tiene el mismo coseno que ' 8" es 7 5' ". cos ' 8" cos 7 5' " 0,67 sen ' 8" sen 7 5' " 0,78 tg ' 8" tg 7 5' ",099 058 Qué ángulo del. cuadrante tiene la misma tangente que 7 5' 9"? Con ayuda de la calculadora, obtén las razones de los ángulos y compáralas. El ángulo del. o cuadrante que tiene la misma tangente que 7 5' 9" es 57 5' 9". cos 7 5' 9" cos 57 5' 9" 0,966 sen 7 5' 9" sen 57 5' 9" 0,76 tg 7 5' 9" tg 57 5' 9" 0,059 059 Sabiendo que sen α 0, y que αes un ángulo agudo, determina las razones trigonométricas. a) cos α b) tg α c) tg ( α) d) cos (80 α) e) sen (80 + α) f) sen (70 + α) a) 0, + cos α cos α 0, 0,97 0, b) tg α 0,6 0, 97 c) tg ( α) tg α 0,6 d) cos (80 α) cos α 0,97 e) sen (80 + α) sen α 0, f) sen (70 + α) sen α 0, 8

SOLUCIONARIO 060 A En la siguiente circunferencia, calcula la medida del segmento AB y del arco de circunferencia AB. Como el ángulo A $ 90, el ángulo B $ 0 90 0 60. 8 cm AB sen 0 AB cm 8 El segmento AB mide cm. Como el ángulo de 0 es inscrito, el ángulo central que abarca el arco AB mide 60. Calculamos la longitud de un arco de 60 en una circunferencia de cm de radio: AB 60,9 cm 60 El arco AB mide,9 cm. B 06 Halla las razones trigonométricas de estos ángulos. a) <γ<, cos γ 0,5 b) < δ <, sen δ 0 a) sen γ + ( 0, 5) sen γ ( 0, 5) 0, 87 tg γ 0, 87, 5587 0, 5 b) No existe ningún ángulo con estas condiciones, pues si sen δ 0, entonces δ k. 06 Calcula el área de este triángulo. 6 5 m 7 La altura sobre el lado conocido divide al triángulo inicial en dos triángulos rectángulos. Aplicamos la definición de tangente en los ángulos conocidos y formamos un sistema de ecuaciones. h tg 7 x h x tg 7 h x tg 6 h ( 5 x) tg 6 5 x h,7 tg 7 0,9 m La altura del triángulo mide 0,9 m. 5 0, 9 Calculamos el área: A 6, m El área del triángulo mide 6, m. h 6 5 tg 6 tg 7 + tg 6 x 7,7 m 9

Trigonometría 06 Resuelve los siguientes triángulos. a) a 0 cm, b cm, c 8 cm e) a, cm; b, cm; c,8 cm b) b 6 cm, c 9 cm, A $ 9 ' f) a 9 cm, c 5 cm, B $ 0 7' c) a 7 cm, B $ 8 9', C $ 66 0' g) b 8, cm; c 9, cm; C $ 50' d) a 8 cm, b 0 cm, B $ 6 8' h) c 6 cm, A $ 7 ', B $ 98 0' a) Aplicamos el teorema del coseno: a b + c bc cos A $ cos A $ a + b + c 00 + 96 + 6 bc 8 0,7 $A ' 55," b a + c ac cos B $ cos B $ + + b a c 96 + 00 + 6 ac 0 8 0, $B 0 ' " $C 80 ' 55," 0 ' " ' 5,85" b) Aplicamos el teorema del coseno: a b + c bc cos A $ a 6 + 9 6 9 cos 9 ' a 5,77 cm b a + c ac cos B $ cos B $ b + a + c 6 +, + 8 ac 5, 77 9 0,75 $B ',5" C $ 80 9 ' ',5" 99 ' 5,9" c) $ A 80 8 9' 66 0' 7 Aplicamos el teorema del seno: b a b 7 b,55 cm sen $ B sen $ A sen 8 9' sen 7 ' c a c 7 c 6,67 cm sen C $ sen $ A sen 66 0' sen 7 ' d) Aplicamos el teorema del seno: b a 0 8 sen A $ 0,77 sen $ B sen $ A sen 6 8' sen $ A $A 8 0' 5,7" $C 80 6 8' 8 0'5,7" 5'," c a c 8 c 5, cm sen C $ sen $ A sen 5'," sen 8 0' 5,7" e) Aplicamos el teorema del coseno: a b + c bc cos A $ cos A $ a + b + c, +, 96 +, bc,, 8 0,567 $A 80 58' 5,9" b a + c ac cos B $ cos B $ + + b a c, 96 +, +, ac,, 8 0,7606 $B 0 9',08" $C 80 0 9',08" 58 ',0" 0

SOLUCIONARIO f) Aplicamos el teorema del coseno: b a + c ac cos B $ b 8 + 5 90 cos 0 7',7 cm Aplicamos el teorema del seno: b a,7 9 sen A $ 0,7767 sen $ B sen $ A sen 0 7' sen $ A $A 50 57' 6,6" C $ 80 50 57' 6,6" 0 7' 5 5'," g) Aplicamos el teorema del seno: c b 9, 8, sen B $ 0,806 sen C $ sen $ B sen 50' sen $ B $B 57 ' 8," A $ 80 50' 57 ' 8," 9 57',8" 9, sen 9 57',8" a, 7 cm sen 50' h) C $ 80 7 ' 98 0' 5 58' Aplicamos el teorema del seno: c a 6 a a,5 cm sen C $ sen $ A sen 5 58' sen 7 ' c b 6 b b 7, cm sen C $ sen $ B sen 5 58' sen 98 0' 06 Encuentra las soluciones para estos triángulos. a) a cm, b 7 cm, c 6 cm d) b 6 cm; c,5 cm; C $ 8 6' b) a 8 cm, c 9 cm, A $ 55' e) c cm, A $ 9, B $ 6 8' c) a 0 cm, c 9 cm, A $ 7 55' f ) a cm, b cm, A $ 7 6' a) Aplicamos el teorema del coseno: cos A $ a + b + c + 9 + 6 0,70 bc 7 6 $A 7' 6" cos B $ b + a + c 9 + + 6 0,9097 ac 6 $B ' 58,8" $C 80 ' 58,8" 7' 6" 0 50' 55," b) Aplicamos el teorema del seno: c a 9 8 sen C $ 0,766 sen C $ sen $ A sen C $ sen 55' $C 50 " B $ 80 55' 50 " 87 ' 58" b a b 8 b,7 cm sen $ B sen $ A sen 87 ' 58" sen 55' c) Aplicamos el teorema del seno: c a 9 0 sen C $ 0,860 sen C $ sen $ A sen C $ sen 7 55' $C 59 0' 57," B $ 80 59 0' 57," 7 55' 7 ',76" b a b 0 b 7,7 cm sen $ B sen $ A sen 7 ',76" sen 7 55'

Trigonometría d) Aplicamos el teorema del seno: c b,5 6 sen B $ 0,888 sen C $ sen $ B sen 8 6' sen B $ $B 55 58'," $A 80 55 58'," 8 6' 85 5' 5,8" c a,5 a a 7, cm sen C $ sen $ A sen 8 6' sen 85 5' 5,8" e) $ C 80 9 6 8' 6 ' Aplicamos el teorema del seno: c b b b 6,08 cm sen C $ sen $ B sen 6 ' sen 6 8' c a a a,6 cm sen C $ sen $ A sen 6 ' sen 9 f) Aplicamos el teorema del seno: b a sen B $ 0,505 sen $ B sen $ A sen B $ sen 7 6' $B 0 ',8" $C 80 0 ',8" 7 6' ' 8," c a c c 0, cm sen C $ sen $ A sen ' 8," sen 7 6' 065 Obtén el valor de a en la siguiente figura. cm 8 7, cm a Calculamos el ángulo desconocido del triángulo menor: 80 7 Aplicamos el teorema del seno para conocer la longitud de la diagonal: b c b, b 5, cm sen $ B sen C $ sen sen 7 Utilizamos el teorema del coseno para calcular el valor de a: a b + c bc cos A $ a 5, + 5, cos 8 a 6, cm El valor de a es 6, cm. 066 En una pared hay dos argollas distantes 8 m entre sí. Un niño ata cada extremo de una cuerda a las argollas y se aleja de la pared hasta que la cuerda queda tensa. En ese momento, la cuerda forma ángulos de 50 y 7 con la pared. a) Cuánto mide la cuerda? b) A qué distancia está el niño de la pared?

SOLUCIONARIO La altura del lado conocido divide al triángulo inicial en dos triángulos rectángulos. Aplicamos la definición de tangente en los ángulos conocidos y formamos un sistema de ecuaciones. h tg 50 x h x tg 50 h 8 tg 7 x,m tg 7 h ( 8 x) tg 7 tg 7 + tg 50 8 x h, tg 50,69 m El niño está a una distancia de,69 m de la pared., 69, 69 sen 50 BA,8 m BA sen 50, 69, 69 sen 7 CA 6, m CA sen 7 Calculamos la longitud de la cuerda: 8 +,8 + 6, 8,95 m La cuerda mide 8,95 m. 067 Dos exploradores se han perdido y deciden seguir caminos distintos para conseguir ayuda. Para saber dónde está el otro en cada momento mantienen un rumbo fijo y sus trayectorias forman un ángulo de 5. Si uno camina a 5 km/h y el otro lo hace a km/h, a qué distancia se encuentran al cabo de horas? Y después de 6 horas? Después de horas, los exploradores y el punto de origen forman un triángulo del que conocemos dos lados, de 0 y 8 km, respectivamente, y el ángulo comprendido es de 5. Aplicamos el teorema del coseno para calcular el lado que falta: a b + c bc cos $ A a 0 + 8 0 8 cos 5 a 8,6 km Al cabo de horas están a 8,6 km de distancia. Después de 6 horas, los exploradores han recorrido 0 y km, respectivamente. El triángulo formado es semejante al anterior, ya que están en posición de Tales. Calculamos la distancia a la que se encuentran los exploradores: 8,6 5,08 km Después de 6 horas están a 5,08 km de distancia.

Trigonometría 068 Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo, mediante dos cables de acero, en dos puntos que distan 60 m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el suelo es de 7. Calcula. a) La medida del otro cable. b) La distancia del globo al suelo. 7 60 m 80 m c a 60 80 a) sen C $ 0,5 sen C $ sen $ A sen C $ sen 7 $C 6 9' 5,8" B $ 80 6 9' 5,8" 7 6 0' 8," Aplicamos el teorema del seno para calcular la medida del otro cable: b a b 80 b 9, m sen $ B sen $ A sen 6 0' 8," sen 7 La medida del otro cable es 9, m. b) Calculamos la distancia del globo al suelo: h sen 7 h 7,8 m 9, El globo está a 7,8 m de altura. 069 Los segmentos que unen los vértices de un triángulo con su circuncentro dividen la circunferencia circunscrita en partes. a) Si el radio de dicha circunferencia mide cm y dos de los arcos tienen una amplitud de 8 y 8, cuánto mide el otro arco? b) Calcula la medida de los lados y los ángulos del triángulo. a) Calculamos el tercer arco: 60 8 8 9 b) Tenemos tres triángulos isósceles cuyos lados iguales miden cm y los ángulos comprendidos miden 8, 8 y 9, respectivamente. Aplicamos el teorema del coseno para calcular los lados del triángulo original: a b + c bc cos A $ a + cos 8 a 7,9 cm b a + c ac cos B $ b + cos 8 b 5, cm c a + c ac cos C $ c + cos 9 c 7,7 cm Los lados del triángulo miden 7,9; 5, y 7,7 cm, respectivamente. a b + c bc cos A $ cos A $ a + b + c 5, 7 + 8, 09 + 59, 0,8 bc 5, 7, 7 $A 6 59' 9,7" b a + c ac cos B $ cos B $ b + a + c 8, 09 + 5, 7 + 59, 0,79 ac 7, 9 7, 7 $B 9' 6," $C 80 6 59' 9,7" 9' 6," 7 0',"

SOLUCIONARIO 070 Uno de los ángulos de un trapecio isósceles mide 65, los lados iguales miden 8 cm y su diagonal es de 5 cm. Determina su área. Con el teorema del seno calculamos la base mayor: 8 5 sen C $ 0,8 sen $ $E C sen 65 8 cm h $C 8 5' 9," $B 80 8 5' 9," 65 86 5' 0,7" $D $C 65 b a b 5 b 6,5 cm sen $ B sen $ A sen 86 5' 0,7" sen 65 65 C $ + D $ D $ 65 8 5' 9," 6 5' 0,7" La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 60 ; por tanto, como el trapecio es isósceles, los otros dos ángulos iguales miden: 60 0 $E 5 Aplicamos el teorema del seno para calcular la base menor: e d 5 d d 9,75 cm sen $ E sen $ D sen 5 sen 6 5' 0,7" Hallamos la altura: h sen 65 h 7,5 cm 8 Calculamos el área del trapecio: ( d + b) h A 95,9 cm El área del trapecio es 95,9 cm. 5 cm 07 El ancho de un escenario de teatro mide 8 m. Las localidades que hemos comprado están situadas a una distancia de 6 m y m de cada uno de los extremos laterales del escenario. Cuál es el ángulo de visión que tendremos para ver la representación? Aplicamos el teorema del coseno: a b + c bc cos A $ cos A $ a + b + c 6 + 6 + 0,8056 bc 6 $A 6 9' 5," Tendremos un ángulo de visión de 6 9' 5,". 5

Trigonometría 07 A partir de las razones de 0, 5 y 60 obtén, sin usar la calculadora, las razones de 75, 05 y 5. Comprueba luego los resultados con la calculadora. sen 75 sen (0 + 5 ) sen 0 cos 5 + cos 0 sen 5 + 6 + cos 75 cos (0 + 5 ) cos 0 cos 5 sen 0 sen 5 + tg 0 + tg 5 tg 75 tg (0 + 5 ) + tg 0 tg 5 sen 05 sen (5 + 60 ) sen 5 cos 60 + cos 5 sen 60 cos 05 cos (5 + 60 ) cos 5 cos 60 sen 5 sen 60 tg 5 + tg 60 tg 05 tg (5 + 60 ) tg 5 tg 60 sen 5 sen (5 0 ) sen 5 cos 0 cos 5 sen 0 cos 5 cos (5 0 ) cos 5 cos 0 + sen 5 sen 0 tg 5 tg (5 0 ) + + 6 + 6 6 6 6 + tg 5 tg 0 + tg 5 tg 0 + + 07 Teniendo en cuenta las fórmulas trigonométricas las razones de ángulos conocidos, calcula las razones de los ángulos cuya amplitud es 7 0' y 0. Comprueba luego los resultados que has obtenido con la calculadora. sen 7 0' sen 5 cos 5 0, 9659 0,05 cos 7 0' cos 5 + cos 5 + 0, 9659 0, 99 6

SOLUCIONARIO tg 7 0' tg 5 cos5 + cos5 0, 9659 + 0, 9659 0, 6 sen 0 sen ( 05 ) sen 05 cos 05 + 6 6 0, 5 cos 0 cos ( 05 ) cos 05 sen 05 6 + 6 tg 0 tg ( 05 ) tg 05 ( ) tg 05 ( ) 07 Halla las razones de 67 0', 95 y 5 0'. Comprueba los resultados con la calculadora. sen (67 0') sen (60 + 7 0') sen 60 cos 7 0' + cos 60 sen 7 0' 0 99 +, 0 05 0 99,, cos (67 0') cos (60 + 7 0') cos 60 cos 7 0' sen 60 sen 7 0' 0 99, 0, 05 0, 87 tg 60 + tg 7 0' + 0, 6 tg (67 0') tg (60 + 7 0') tg 60 tg 7 0' 0,6 sen 95 sen (0 5 ) sen 0 cos 5 cos 0 sen 5 0,5 0,9659 ( 0,8660) 0,588 0,588 cos 95 cos (0 5 ) cos 0 cos 5 + sen 0 sen 5 0,8660 0,9659 + ( 0,5) 0,588 0,9659, tg 0 tg 5 tg 95 tg (0 5 ) + tg 0 tg 5 0, 577 0, 679 + 0, 577 0, 679 0, 679 05 cos 05 ( 0, 588) sen 5 0' sen 0, 79 cos 5 0' cos 05 + cos 05 + ( 0, 588) 0, 6088 tg 5 0' tg 05 cos 05 + cos 05 ( 0, 588) + ( 0, 588), 0 7

Trigonometría 075 Sabemos que sen 56 0,8 y cos 0,9. a) Calcula el resto de razones de esos ángulos. b) Halla las razones trigonométricas de 79. c) Determina las razones de. d) Podrías hallar las razones de 8? e) Y las de 6? a) 0,8 + cos 56 cos 56 0, 8 0,56 0, 8 tg 56,8 0, 56 sen + 0,9 sen 0, 9 0,9 0, 9 tg 0, 0, 9 b) sen 79 sen (56 + ) sen 56 cos + cos 56 sen 0,8 0,9 + 0,56 0,9 0,98 cos 79 cos (56 + ) cos 56 cos sen 56 sen 0,56 0,9 0,8 0,9 0,9 tg 56 + tg, 8 + 0, tg 79 tg (56 + ) tg 56 tg, 8 0, c) sen sen (56 ) sen 56 cos cos 56 sen 0,8 0,9 0,56 0,9 0,55 cos cos (56 ) cos 56 cos + sen 56 sen 0,56 0,9 + 0,8 0,9 0,8 tg 56 tg, 8 0, tg tg (56 ) + tg 56 tg +, 8 0, d) sen 8 sen cos 8 cos 56 cos 56 0, 56 56 + cos 56 + 0, 56 56 cos 56 tg 8 tg + cos 56 0, 56 + 0, 56 0, 5 e) sen 6 sen ( ) sen cos 0,9 0,9 0,7 cos 6 cos ( ) cos sen 0,9 0,9 0,69 tg 0, tg 6 tg ( ), 0 tg 0, 0, 7 0, 88 5, 0 0, 65 076 Obtén una fórmula simplificada de: a) sen (0 + A) $ c) tg (5 C) $ b) cos ( B $ 60 ) d) cos ( D $ + 0 ) 8

SOLUCIONARIO a) sen (0 + A) $ sen 0 cos A $ + cos 0 sen A $ cos A $ + sen A $ (cos A $ + sen A) $ b) cos ( B $ 60 ) cos B $ cos 60 + sen B $ sen 60 cos B $ + sen B $ (cos B $ + sen B) $ c) tg (5 C) $ tg C $ + tg C $ d) cos ( D $ + 0 ) cos D $ cos 0 sen D $ sen 0 cos D $ sen D $ ( cos D $ sen D) $ 077 Si sen x 0,6 y cos x 0,8; calcula las siguientes razones trigonométricas. a) cos (x ) c) tg e) cos x + x b) sen d) sen (x ) f ) tg x + x Razona en qué cuadrante se encuentra cada uno de esos ángulos. El ángulo x está en el. o cuadrante, ya que su seno es positivo y su coseno es negativo. a) cos (x ) cos x 0,8 El ángulo está en el. o cuadrante. b) sen x + cos x 0,8 El ángulo está en el. er cuadrante. tg x tg c) tg x + + 0, 75 + 0, tg x tg + 0, 75 El ángulo está en el. er cuadrante. d) sen (x ) sen x 0,6 El ángulo está en el. o cuadrante. e) cos x cos x cos + sen x sen 0, 8 0, 6 0, 99 El ángulo está en el. er cuadrante. tg tg x 0 f) tg x +,75 7 + tg tg x 0, 75 El ángulo está en el. er cuadrante. 9

Trigonometría 078 El ángulo que se forma entre cada dos nervios de un abanico es de 5. Si el abanico tiene cuatro nervios centrales, calcula las razones trigonométricas de los ángulos que se forman al desplegarlo nervio a nervio. Tenemos que calcular las razones trigonométricas de 5, 0, 5, 60 y 75. Las razones de 0, 5 y 60 son conocidas. 0 sen 5 sen cos 0 0,5 0 + cos 0 cos 5 cos 0,96 sen 75 sen (5 + 0 ) sen 5 cos 0 + cos 5 sen 5 0,96 cos 75 cos (5 + 0 ) cos 5 cos 0 sen 5 sen 0 0,6 079 Sabiendo que sen x y que, calcula, sin hallar previamente el valor de x. 5 < x < sen tg x + x a) Expresa los resultados utilizando radicales. b) Explica cómo determinarías las razones de rad y rad. Hallamos las razones trigonométricas de x: cos x tg x 5 5 a) y b) Las razones trigonométricas de rad, 5 y rad, 60 son conocidas. sen cos sen cos tg sen x + sen x cos cos x sen + 5 5 0 tg x tg tg x 8 + 5 + tg x tg 9 080 Se sabe que <x < y tg x. a) Halla sen x y cos x. b) Determina, utilizando radicales, las razones de los ángulos y. 6 0

SOLUCIONARIO c) Sin determinar el ángulo x, calcula. tg cos x x + 6 d) Sin determinar el ángulo x, decide razonadamente en qué cuadrante están los ángulos. x x + 6 a) cos x 0, 8 sen x + 0,8 sen x 0, 8 0,6 + 0, 75 b) sen cos tg 6 6 6 sen cos tg c) cos x cos x cos sen x sen + 0, 8 0, 6 0, 7 tg x + tg + tg x + 6 8 + 5 6 tg x tg 9 6 d) Como el seno del ángulo x es positivo, el ángulo está en el. o cuadrante. Y como la tangente del ángulo x + es positiva, el ángulo está en el. er cuadrante. 6 08 Sabiendo que las razones de son: sen 0,5 cos 0,88 a) Calcula las razones trigonométricas de 6. b) Halla las razones de. c) Puedes medir cualquier ángulo cuya medida en grados no tenga minutos ni segundos? a) sen 6 sen ( + 0 ) sen cos 0 + cos sen 0 0,5 + 0,88 0,88 cos 6 cos ( + 0 ) cos cos 0 sen sen 0 0, 88 0, 5 0, 6 0,88 tg 6,9 0,6 b) sen sen 6 cos 6 0,6 0, 5 cos cos 6 + cos 6 + 0,6 0, 85 tg 0,5 0,6 0,85 c) Sí podemos calcular las razones de cualquier ángulo, ya que a partir de las medidas de y de hallamos las medidas de, y a partir de ellas, las demás.

Trigonometría 08 Expresa en función de la razón de un solo ángulo. α + cos + cos α α α α α α α + cos + cos α sen + cos + cos + cos sen cos α α + cos 08 Demuestra que se verifican estas igualdades. a) + sen α sen (α+ 5 ) cos (α 5 ) b) cos α sen (α+ 5 ) cos (α+ 5 ) a) sen (α + 5 ) cos (α 5 ) (sen α cos 5 + cos α sen 5 )(cos α cos 5 + sen α sen 5 ) senα cos α cos α sen α + + + + cos α sen α cos α sen α cos α + sen α + sen α cos α + sen α b) sen (α + 5 ) cos (α + 5 ) (sen α cos 5 + cos α sen 5 )(cos α cos 5 sen α sen 5 ) senα cos α cos α sen α + cos α sen α cos α sen α cos α 08 Comprueba la siguiente relación entre las razones trigonométricas de un ángulo. cos x sen x tg x cos x sen x sen x tg x sen x sen x cos x cos x 085 Demuestra que es cierta la igualdad. tg α sen α + tg α sen α sen α cos α sen α cos α tg α tg α cos α + tg α cos α

SOLUCIONARIO 086 cos (5 α) cos (5 + α) Simplifica la expresión: cos α cos ( 5 α) cos ( 5 + α) cos α cos α sen α + cos α cos α sen α sen α ( cos α sen α) cos α sen α 087 088 Busca una fórmula simplificada para calcular las razones del ángulo triple: sen αy cos α. Comprueba el resultado obtenido para el ángulo α 0. sen α sen (α + α) sen α cos α cos α + (cos α sen α) sen α sen α cos α + sen α cos α sen α sen α cos α sen α cos α cos (α + α) (cos α sen α) cos α sen α cos α sen α cos α cos α sen α cos α sen α cos α sen α + cos α sen 0 sen 0 cos 0 sen 0 0,866 cos 0 cos 0 sen 0 + cos 0 0,5 Demuestra la siguiente igualdad: sen α sen (α β) + cos α cos (α β) cos β sen α sen (α β) + cos α cos (α β) sen α (sen α cos β cos α sen β) + cos α (cos α cos β + sen α sen β) sen α cos β sen α cos α sen β + cos α cos β + sen α cos α sen β cos β (sen α + cos α) cos β 089 Demuestra que se verifica la igualdad. tg a + tg b tg a tg b sen ( a + b) sen ( a b) tg a + tg b tg a tg b sen a cos b cos a senb + cos a cos b cos a cos b sen a cos b + cos a senb sen( a + b) sen a cos b cos a senb sen a cos b cos a sen b sen( a b) cos a cos b cos a cos b 090 Comprueba, sustituyendo αpor un ángulo conocido, que la siguiente igualdad es cierta. sen α cos α sen α tg α tg α Demuestra que esta propiedad se cumple para cualquier ángulo α. Elegimos el ángulo de 0. sen 0 tg 0 cos 0 sen 0 tg 0 6 sen α sen α sen α ( tg α) sen α sen α tg α tg α tg α tg α tg α tg α tg α cos α sen α tg α

Trigonometría 09 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) cos x tg x f ) tg x + sen x 0 b) cos x + sen x g) tg x sen x 0 c) cos x sen x 0 h) sen ( 60 x) cos x d) sen x + cos x i) tg x tg x 0 e) sen x + sen x 0 j) sen (x + 0 ) + cos (x + 60 ) + cos x a) cos x tg x sen x x x b) cos x + sen x cos x sen x + sen x cos x cos x + sen x sen x + sen x cos x 0 sen x ( sen x + cos x) 0 x sen x 0 x x sen x cos x x x c) cos x sen x 0 cos x sen x x x 90 + 60 k d) sen x + cos x ( sen x + ) cos x 0 x 70 + 60 k x 0 + 80 k e) sen x + sen x 0 sen x 0 x 90 + 80 f) tg x + sen x 0 sen x + 0 cos x x 0 + 60 k sen x 0 x 80 + 60 + 0 x 80 + 60 k cos x sen x g) tg x sen x 0 sen x cos x 0 sen x( cos x) 0 cos x x sen x 0 x 0 + 60 80 + 60 5 + 60 5 + 60 0 + 60 80 + 60 0 + 60 50 + 60 cos x 0 cos x x 5 + 60 k, 5 + 80, 5 + 80 sen ( 60 x) cos x sen x h) tg x cos x cos x tg x 0,679 x 5 + 60 k x 0 + k 60 x 0 + k 60

SOLUCIONARIO tg x i) tg + tg x 0 + tg x 0 x + tg x tg x tg x 0 tg x(tg x ) 0 x tg x 0 x x tg x 0 tg x x j) sen (x + 0 ) + cos (x + 60 ) + cos x sen x cos x cos x sen x + + cos x + sen x + cos x sen x cos x cos x cos x( cos x ) 0 x cos x 0 x 0 + 60 80 + 60 90 + 60 70 + 60 x cos x 0 cos x x 5 + 60 5 + 60 60 + 60 00 + 60 09 Resuelve estos sistemas de ecuaciones trigonométricas. a) sen x + sen y b) x + y 0 cos x + sen x tg y cos x cos y cos y a) sen x + sen y sen x sen y cos y cos x cos y cos x sen x cos x x 0 + 80 cos y sen 0 cos y y 60 + 80 k b) x + y 0 x 0 y cos x + sen x tg y cos ( 0 y) cos y + sen ( 0 y) tg y cos y cos y + sen y cos y + sen y cos y sen y cos y sen y cos y y 90 + 80 k x 0 y 0 90 80 k 0 80 k 5

Trigonometría 09 Resuelve las ecuaciones trigonométricas. a) sen x sec x 0 cos x b) sen x cos x + sen x c) + sen x cos x cos x + sen x d) sen x (sen x ) 5 cos x e) cos x sec x f ) cos x + sen x g) sen x + cos x 0 a) sen x sec x 0 sen x cos x 0 sen x sen x x 5 + 80 k x 75 + 80 cos x b) sen x cos x cos x sen x + sen x cos x sen x cos x + sen x x 5 + 80 k, x, 5 + 80 sen x cos x + sen x c) + sen x cos x cos x + sen x cos x + sen x cos x sen x( cos x + sen x) x tg x cos x( cos x + sen x) x 5 + 60 5 + 60 d) sen x (sen x ) 5 cos x sen x sen x 5( sen x) 6 sen x sen x 0 0 + 60 sen x x ' " k x 99 8' 6" + 60 0 60 sen x x + x 50 + 60 e) cos x sec x cos x cos x 0 x 0 + 60 k cos x x 80 + 60 + cos x 0 60 x x 0 + 60 f) cos x + sen x cos x cos x 5 cos x cos x 0 cos x(5 cos x ) 0 cos x 5 g) sen x + cos x 0 sen x cos x x 5 + 60 x 5 + 60 6 5 6 60 x ', " + k x 7' 8, " + 60 6

SOLUCIONARIO 09 Observa la situación y, con ayuda de la trigonometría, calcula la altura h a la que está el punto B. B h 5 m 5 x Llamamos h a la altura a la que está B. h tg 5 5 + x h tg x El punto B está a una altura de 7,8 m. x h, h 7, 5 + 0, 6h h 7, 8 m 095 Dos amigos están separados por una distancia de 0 metros y ven un árbol en la orilla opuesta de un río, como indica la figura. Calcula la anchura del río. A 8 x 0 m B Llamamos h a la anchura del río. h tg 8 x h tg 0 x La anchura del río es 7,5 m. x 8h, 8, 6, h h h 7,5 m 096 Un mástil se sujeta al suelo por dos cables de acero que forman ángulos de y 57 50', respectivamente. Si las distancias de los cables al pie del mástil suman 5 m, cuál es la altura del mástil? Llamamos h a la altura del mástil. h tg x h tg 57 50' 5 x La altura del mástil es 8,8 m. x, 07h, 85, 7h h h 8, 8 m 7

Trigonometría 097 Sabiendo que el área de un triángulo rectángulo es 8 cm y que uno de sus ángulos mide 60 : a) Cuánto mide cada uno de sus ángulos? b) Calcula la longitud de sus lados y su perímetro. a) El ángulo desconocido mide: 90 60 0 b) Tomamos como base y altura los catetos del triángulo rectángulo: b a 56 8 b a 56 tg 0 a 56 a 9, 85 cm a tg 0 b 5,68 cm Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa: c 9, 85 + 5, 68,7 cm Los lados miden,7; 5,68 y 9,85 cm. El perímetro es 6,9 cm. 098 Dos personas han ido a pescar y están colocadas en la orilla a una distancia de m entre sí, por lo que ven saltar un pez con los ángulos que indica la figura. y A m B x Qué cantidad de sedal necesita cada uno para lanzar el anzuelo hasta el lugar donde saltó el pez? y tg 5 x + y tg 6 x Aplicamos el teorema de Pitágoras para saber la cantidad de sedal que va a necesitar el pescador A: 9,8 +,8 a,5 m El pescador A necesita,5 m de sedal. Aplicamos el teorema de Pitágoras para saber la cantidad de sedal que va a necesitar el pescador B: a, 8 + 7, 75 9, 8 + 7, 75 y 8x,,8 x + 5,, 8 x x 9, 8 y 7, 75 0, m 5 6 El pescador B necesita 0, m de sedal. 8

SOLUCIONARIO 099 Dos focos situados en el suelo y en lados distintos, iluminan el campanario de una iglesia. La suma de las distancias de los focos hasta el pie de la torre es de 00 m. Si los ángulos que forman los haces de luz con el suelo son y 6, respectivamente, qué altura tiene el campanario? y 6 x 00 x Llamamos y a la altura del campanario. y tg x y tg 6 00 x La altura del campanario es 8,9 m. x 6, 0, 55, 66 y y y 8, 9 m 00 En una colina se ven, en línea recta hacia el Este, dos barrios que están separados por 800 metros. Desde la cima, se observan con ángulos de 8 y 6 0', respectivamente. a) Cuál es la altura de la colina? b) A qué distancia se encuentra cada barrio del observador? 6 0' y 7 a) Llamamos y a la altura de la colina. 90 8 7 90 6 0' 6 0' x 800 tg 7 + y x tg 6 0' y x x, 99y b) x 99y.50, m 800 + x.0, m, 08y, 99y + 800 y 75,9 m La distancia del observador a cada barrio es.67,78 m y.9,8 m, respectivamente. 800 9