Derivaa e una función en un punto: El concepto e erivaa e una función matemática se halla íntimamente relacionao con la noción e límite. Así, la erivaa se entiene como la variación que experimenta la función e forma instantánea, es ecir, entre caa os puntos e su ominio suficientemente próximos entre sí. Para calcular la erivaa e una función en un punto no es, en general, necesario recurrir a la efinición. Normalmente se utilizan primero las propieaes generales e la erivación, para reucirla a una serie e funciones simples conocias, cuyas erivaas se obtienen irectamente a partir e una tabla e erivaas e las funciones elementales. Recoramos a continuación las reglas para erivar la suma, proucto, cociente y composición e funciones: (f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g [g(x)] (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Recoremos que antes e erivar un cociente e funciones suele ser conveniente simplificar la expresión si es posible. Tabla e erivaas: Para erivar cualquier función basta con conocer las propieaes e la erivación (ya mencionaas) y, con objeto e simplificar los cálculos, memorizar las fórmulas genéricas e las erivaas e las funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, que recoramos en la tabla ajunta: x k = 0 x xn = n x n 1 x ex = e x x ln x = 1 x sin x = cos x x x arcsin x = 1 1 x cos x = sin x x x arc cos x = 1 1 x x tan x = 1 cos x 1. Derivar las siguientes funciones: x arctan x = 1 1 + x a. f(x) = ( ) 3 1 x sin x b. f(x) = ( ln[(x cos x) 4 ] ) 7 c. f(x) = 1 + tan x cos(x + 7) e. f(x) = 5 cos 4 (tan x). f(x) = 3 7x + x [ (x 3 ) 3 ] + 3x 1 f. f(x) = ln x e x g. f(x) = 3 x arc cos ( 1 x ) h. f(x) = ln (arctan x) 1
Recta tangente y erivaa: Consieremos una función f y elijamos un punto (x, f(x)) en su gráfica. Qué recta, si existe, ebería llamarse tangente a la gráfica en ese punto? Para contestar a esta pregunta, elijamos un número pequeño h 0 y marquemos los puntos (x, f(x)) y (x + h, f(x + h)). Poemos ahora ibujar la secante que pasa por estos os puntos. Somos capaces e calcular la peniente e caa una e estas rectas secantes. f(x + h) f(x) h La recta tangente, si es que existe, se efinirá como la recta que pasa por el punto (x, f(x)) y cuya peniente es el límite e las penientes e las rectas secantes.. Hallar las rectas tangentes a las gráficas e las funciones siguientes en el punto cuya abscisa se inica: a. f(x) = 1 + x en x = 3 Solución b. f(x) = sin x en x = 0 c. f(x) = e 1 x en x = Para calcular la tangente a la gráfica e la función f(x) = 1 + x en el punto e abscisa x = 3 calculamos en primer lugar la erivaa e la función f en el punto x = 3: f(x) = (1 + x) 1/ = f (x) = 1 (1 + x) 1/ = 1 1 + x = f (3) = 1 4 Tenieno en cuenta que la ecuación e la recta tangente a la gráfica e una función f en un punto (x 0, f(x 0 )) es: y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ), poemos concluir: y = 1 4 (x 3) = y = 1 4 x + 5 4 3. Sea la función real: f(x) = { sin x x 0 x ax x > 0 Existen valores e a R para los cuáles la función f es erivable en too R? Justificar la respuesta y en caso afirmativo calcular esos valores.
[ 4. Hallar los puntos críticos y clasificar los valores extremos e la función f efinia en 1, 3 ] por f(x) = x x + 5. Hallar los puntos críticos y clasificar toos los valores extremos e f(x) = sin x sen x, x [0, π] 6. Encontrar la función cuya seguna erivaa es la constante, y cuya gráfica presenta un mínimo en el punto (1, ). Representación gráfica e funciones: Las erivaas son una útil herramienta para examinar las gráficas e funciones. Crecimiento y ecrecimiento: Decimos que una función f es creciente en un intervalo (a, b) si: x < y = f(x) < f(y) x, y (a, b). Decimos que una función f es ecreciente en un intervalo (a, b) si: Si f es una función erivable en (a, b), entonces: x < y = f(x) > f(y) x, y (a, b). Si f (x) 0 x (a, b), entonces f es creciente en (a, b). Si f (x) 0 x (a, b), entonces f es ecreciente en (a, b). Máximos y mínimos e una función: Para calcular los máximos y mínimos e una función continua f en su ominio poemos proceer el moo siguiente: 1. Hallar toos los puntos críticos. Son los puntos extremos el ominio (si los hay) y los puntos interiores c en los cuales f (c) = 0 o f (c) no existe.. Examinar los puntos extremos el ominio comprobano el signo e la erivaa primera en su proximia. 3. Examinar caa punto crítico interior c comprobano el signo e la erivaa primera a ambos laos e c (criterio e la erivaa primera) o el signo e la erivaa seguna en c (criterio e la erivaa seguna). Concavia y convexia: Si una función f es erivable hasta e oren en un intervalo (a, b) y se cumple que si f (x) > 0 para too x (a, b), iremos que f es cóncava hacia arriba en (a, b). Si se cumple que f (x) < 0 para too x (a, b) iremos que f es cóncava hacia abajo en (a, b). Puntos e inflexión: El punto (x 0, f(x 0 )) e la gráfica e una función f en el cual la concavia cambia se conoce con el nombre e punto e inflexión e la curva. Hay ocasiones en las que existe cambio e concavia e la curva sin existir punto e inflexión, en este caso, simplemente se ice que hay inflexión sin existir punto e inflexión. 7. Sea la función f(x) = x x 1 Calcular el ominio e la función, sus asíntotas si es que existen, los intervalos e crecimiento y ecrecimiento e la función y sus extremos. Con esta información esbozar la gráfica e la función f. Solución 3
Dominio: x Dom (f) x 1 0) x ±1. Dom (f) = R {±1}. Intervalos e crecimiento y ecrecimiento. Extremos: 1. Calculamos la primera erivaa e la función f: f x (x) = (x 1). Calculamos los puntos en los que se anula la primera erivaa o no existe la primera erivaa: f x (x) = 0 = (x 1) = 0 = x = 0 Para x = ±1 no existe la erivaa e f(x). 3. Formamos un cuaro e variación e los signos e la primera erivaa sobre su ominio tenieno en cuenta que one puee haber cambio e signo e la primera erivaa es en los puntos calculaos en el paso anterior. x -1 0 1 f (x) + + 0 - - f(x) máximo local Asíntotas: x = ±1 son asíntotas verticales. y = 1 es asíntota horizontal. 0 Cálculo e máximos y mínimos: Para optimizar una función matemática que escribe un problema real se aplican normalmente las siguientes reglas prácticas operativas: Si el problema es e tipo geométrico, es conveniente hacer un ibujo inicano las variables que intervienen en el problema. Determinar la expresión algebraica e la función que se quiere maximizar o minimizar según los atos isponibles el problema. Simplificar esta expresión para reucirla a una función e una sola variable. Estuiar la posición e los máximos, los mínimos y otros puntos críticos. Interpretar los resultaos entro el contexto efinio por el problema. 4
Para funciones efinias en un intervalo abierto o en una unión e intervalos abiertos, los puntos críticos son aquellos en los cuales la erivaa se anula o no existe. Para las funciones efinias sobre un intervalo cerrao o semicerrao o en una unión e tales intervalos, los extremos el ominio se llaman también puntos críticos. Cómo hallar toos los valores extremos (locales, en un extremo y absolutos) e una función continua f? 1. Hallar toos los puntos críticos. Son los puntos extremos el ominio (si los hay) y los puntos interiores c en los cuales f (c) = 0 o f (c) no existe.. Examinar los puntos extremos el ominio comprobano el signo e la erivaa primera en su proximia. 3. Examinar caa punto crítico interior c comprobano el signo e la erivaa primera a ambos laos e c (criterio e la erivaa primera) o el signo e la erivaa seguna en c (criterio e la erivaa seguna). Las técnicas para calcular los extremos e una función pueen utilizarse para resolver una gran variea e problemas sobre máximos y mínimos. El paso clave en la resolución e estos problemas consiste en expresar la cantia que se quiere maximizar o minimizar como una función e una variable. Si icha función es iferenciable, poemos iferenciarla y analizar los resultaos. 8. Una ventana e forma rectangular, remataa por un arco e meio punto, tiene un perímetro e 1 metros. Cuáles eben ser sus imensiones para que sea su superficie lo mayor posible? Solución Esbozamos un ibujo el problema. y x Determinar la expresión algebraica e la función que se quiere maximizar o minimizar según los atos isponibles el problema. A(x, y) = xy + π (x/) = xy + π x 8 Simplificar esta expresión para reucirla a una función e una sola variable. Tenieno en cuenta que: tenemos que: Por lo tanto: 1 = x + y + π x, y = 6 x π x 4 A(x) = 6x x π x 8 5
Estuiar la posición e los máximos, los mínimos y otros puntos críticos. A (x) = 6 x π x 4 ; A (x) = 0 = x = 4 4 + π Interpretar los resultaos entro el contexto efinio por el problema. x = 4 4 + π ; y = 1 4 + π 9. La base y la altura e un triángulo isósceles mien, respectivamente, 6 uniaes y 1 uniaes. Hallar el área máxima posible e un rectángulo que puea situarse entro el triángulo con uno e sus laos sobre la base el triángulo. Cuáles son las imensiones el rectángulo o e los rectángulos e máxima área? 10. Se planea construir una nueva carretera entre los pueblos A y B. El pueblo A está sobre una carretera abanonaa que va e este a oeste. El pueblo B está en un punto situao 3 km hacia el norte e otro punto que está sobre la carretera antigua y a 5 km hacia el este el pueblo A. Los ingenieros proponen conectar los pueblos reconstruyeno una parte e la antigua carretera ese A hasta un punto P y construyeno carretera nueva ese P hasta B. Si el coste e reconstruir carretera antigua es e 00000 euros por km y el e construir nueva es e 400000 euros por km, qué longitu e carretera antigua se eberá reconstruir a fin e minimizar los costes? 11. La mancha e impresión e una página ha e ser e 81 centímetros cuaraos. Los márgenes superior e inferior son e 3 centímetros caa uno, mientras que los laterales son e centímetros caa uno. Hallar las imensiones más económicas ao que el precio e una página es irectamente proporcional al perímetro e la misma. 1. El beneficio obtenio por la proucción y venta e x kilos e un artículo viene ao por la función: B(x) = 0.01x + 3.6x 180 a. Determinar los kilos que hay que proucir para que el beneficio sea máximo. b. Determinar los kilos que hay que proucir y vener como máximo para que la empresa no tenga périas. 13. Enunciar el teorema e Rolle. Dao el intervalo I = [0, 5] y aa la función f(x) = x AX, encontrar el valor e A para que se puea aplicar el teorema e Rolle al intervalo I, a aplicar el teorema en ese caso. 14. Estuiar los intervalos e crecimiento y ecrecimiento e la función f(x) = x 4 e x Como consecuencia calcular los máximos y mínimos locales e f y representar su gráfica. 15. Una hoja e papel ebe contener 648 cm e texto impreso, sieno los márgenes superior e inferior e cm (caa uno) y los laterales e 1cm. Hallar las imensiones que ebe tener la hoja para que su superficie sea la mínima posible. 16. Sea f(x) = x + xe x. Calcular la ecuación e la recta tangente a f en el punto x para el cual icha recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (3, 3). 6
17. Hallar el ominio e efinición, los máximos y mínimos y los puntos e inflexión e la función f(x) = x + 1 x 18. Hallar el ominio e efinición, los extremos relativos y los intervalos e crecimiento y ecrecimiento e la función f(x) = x + 1 x 19. Sea h una función erivable en toos los puntos, e la que se conocen los siguientes valores: h() = 3 y h () = 1. se consiera la función f(x) efinia por f(x) = [h(x) ] + x + 3 Hallar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función f en el punto x =. 0. Sea h la función efinia por h(x) = x x 4 Encontrar las asíntotas, los intervalos e crecimiento y ecrecimiento y los extremos e h. Dibujar un esquema e la gráfica e h. 1. Hallar los máximos y mínimos relativos, los puntos e inflexión y los intervalos e crecimiento y ecrecimiento e la función y = xe x. Un trozo e alambre e longitu 0 se ivie en os trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el oble e su altura y con el seguno trozo se forma un cuarao. Encontrar las longitues e ichos trozos para que sea mínima la suma el área el rectángulo y la el cuarao. 3. Encontrar el ominio e la función y = ln(1 + x + x ) y los puntos en los que la tangente a la curva es paralela a la bisectriz el primer cuarante. 4. Resolver la esiguala x + < 1, (x 1) 1 x 5. Formar la composición f g y ar el ominio, a. f(x) = x + 5, g(x) = x b. f(x) = x, g(x) = x + 5 c. f(x) = x, g(x) = x 7