CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 5 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
LA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Relaciones entre dos variables. Identificación de magnitudes que varían en forma proporcional. Interpretación de una proporción como la igualdad entre dos razones cuando las magnitudes involucradas varían en forma proporcional. Resolución de problemas relativos a magnitudes que varían en forma proporcional. 2. DURACIÓN APROXIMADA 5 semanas. 3. CONTENIDOS Magnitudes proporcionales Proporciones 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Magnitudes proporcionales Uno de los campos de aplicación de las matemáticas de mayor importancia en las ciencias y en la tecnología es la descripción y estudio de relaciones entre dos o más variables. El primer aprendizaje esperado se refiere a la posibilidad de utilizar tablas y gráficos para describir relaciones entre 2 variables. Un tipo especial de relación entre 2 variables es la relación de proporcionalidad, en que ambas variables varían siempre en la misma dirección y en la misma proporción, de modo que su cuociente permanece constante. A este tipo de relación se refieren el segundo y el tercer aprendizaje esperado. APRENDIZAJES ESPERADOS Magnitudes proporcionales Interpretan tablas y gráficos como formas de representar la relación entre dos variables. Identifican magnitudes en que una variación en el valor de una de ellas está asociada con una variación en la otra en la misma dirección y en la misma proporción. Interpretan y emplean la expresión magnitudes proporcionales en situaciones cotidianas y del ámbito científico y tecnológico. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1
4.2 Proporciones En años anteriores los estudiantes han tenido oportunidad de conocer las razones como una forma de expresar una comparación por cuociente. En muchos casos, especialmente en relación con variables que son proporcionales, es posible establecer igualdad entre razones. A estas situaciones se refiere el primer aprendizaje esperado. Empleando propiedades de la relación de igualdad es posible transformar una proporción en una igualdad de dos productos, lo que facilita el trabajo con proporciones. A ello se refiere el segundo aprendizaje esperado. En el estudio de relaciones entre 2 variables no siempre es posible establecer proporciones entre valores de las variables. Una de las propiedades de la relación de proporcionalidad es precisamente que ella permite establecer proporciones entre valores correspondientes de las variables. A este punto se refieren el tercer y cuarto aprendizaje esperado. APRENDIZAJES ESPERADOS Proporciones Interpretan una proporción como una igualdad entre dos razones. Transforman una proporción en una igualdad entre 2 productos. Distinguen situaciones en las que es válido establecer una proporción y situaciones en las que no es válido hacerlo. Establecen proporciones entre valores correspondientes en el caso de magnitudes que son proporcionales entre sí. Resuelven problemas con contextos reales que involucran magnitudes proporcionales. El quinto aprendizaje esperado se refiere al desarrollo de la capacidad para utilizar los conocimientos adquiridos acerca de la relación de proporcionalidad para resolver problemas. 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 5.1 Relaciones entre 2 variables. Con gran frecuencia encontramos en la vida diaria y en los campos científicos y tecnológicos situaciones en las que dos o más magnitudes varían en estrecha relación unas con otras. Así, por ejemplo, el precio a pagar por una cierta cantidad de un producto varía conjuntamente con la cantidad de producto que se quiere comprar. El área de un rectángulo depende de la longitud de sus dos lados: si se varía uno o ambos lados, variará su área. La población de un país varía en el tiempo. Y así podemos seguir encontrando ejemplos y más ejemplos. Las matemáticas han ido desarrollando una serie de herramientas que permiten describir y estudiar la forma en que depende una variable de otras. Entre ellas podemos mencionar tablas, gráficos, ecuaciones de más de una variable, derivadas e integrales, ecuaciones diferenciales, etc. Es conveniente ir introduciendo poco a poco estas herramientas en la enseñanza escolar. Gráficos y tablas se presentan ya en los primeros grados de la escuela. En 7º y 8º se empiezan a ver algunas ecuaciones de dos variables. Y en enseñanza media, el concepto de función empieza a transformarse en un concepto central en el aprendizaje de las matemáticas. Una posibilidad de mostrar el concepto de relación se basa en la teoría de conjuntos. Allí, la relación se presenta como un conjunto de pares ordenados. Desde el punto de vista de la educación matemática, este enfoque tiene algunos inconvenientes. Por una parte, al estudiante le parece demasiado abstracto. Por otra parte, da una visión estática del concepto. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2
Es preferible, por lo tanto, adoptar un enfoque más dinámico en que se ponga énfasis en lo que sucede con una de las variables en juego cuando la otra experimenta alguna variación. Esto puede ilustrase con gráficos y tablas y es más fácil de captar por parte del estudiante de estos niveles. En concordancia con este enfoque, la Unidad empieza presentando ejemplos de variables relacionadas entre sí. En estos ejemplos, tablas y gráficos permiten formarse una idea de cómo varía una variable cuando varía la otra. Con ello se establece una base de experiencias a partir de la cual se puede ir construyendo el concepto. 5.2 La relación de proporcionalidad. La relación de proporcionalidad es una de las relaciones funcionales más simples e importantes. Se dice que dos variables x e y son proporcionales entre sí si están relacionadas a través de una ecuación del tipo y = k x, en que k es una constante. O, lo que es lo mismo, si su cuociente es constante, es decir, si y/x = k. Si se cumple esta condición, entonces toda variación en una de las variables irá acompañada de una variación en la otra variable. La variación se produce en ambas variables en la misma dirección. Es decir, si una aumenta, la otra también aumenta, y si una disminuye, la otra también disminuye. Además ambas variables varían siempre en la misma proporción. Es decir, la razón x1/x2 entre dos valores de una de las variables será igual a la razón y1/y2 entre los respectivos valores de la otra variable. Por otra parte, si se llevan los valores de las variables a un gráfico, la curva que resulta será una recta que pasa por el origen. Es común que muchos estudiantes consideren que basta que las dos variables varíen en la misma dirección para que la relación entre ellas sea una relación de proporcionalidad. Por esto es importante poner énfasis en que el cuociente entre ellas debe ser constante, pues de lo contrario no estamos en presencia de una relación de proporcionalidad. Por ejemplo, la estatura de un niño desde que nace hasta que llega a la adolescencia aumenta con la edad: a mayor edad, mayor estatura. Pero el cuociente entre la estatura y la edad no es constante, de modo que no podemos decir que la estatura sea proporcional a la edad. Se suele distinguir la proporcionalidad directa de la proporcionalidad inversa. La definición dada más arriba corresponde a una proporcionalidad directa. En cambio, hablamos de proporcionalidad inversa cuando las variables están relacionadas a través de una ecuación del tipo y = k/x, en que k es una constante. O, lo que es lo mismo, si su producto es constante, es decir, si yx = k. Al igual que en la proporcionalidad directa, una variación de una de las variables va acompañada por una variación en la otra variable. Pero en este caso, si una variable aumenta, la otra disminuye. Y estas variaciones se producen de tal manera que la razón x1/x2 entre dos valores de una de las variables será igual a la razón inversa y2/y1 entre los respectivos valores de la otra variable. Una vez más hay que insistir en que no basta que las variables varíen en sentido inverso (si una aumenta, la otra disminuye) para poder hablar de proporcionalidad inversa. Es necesario, además, que su producto se mantenga constante. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3
5.3 Proporciones. Una proporción es una igualdad entre 2 razones. Es decir, hablamos de proporción cuando entre 4 números a, b, c y d puedo establecer una relación del tipo a/b = c/d. Además, multiplicando o dividiendo ambos lados de la igualdad en forma conveniente, podemos despejar cualquiera de los números que intervienen en la proporción. En sí, las proporciones no constituyen un tema especialmente relevante en matemáticas. Por esta razón, la importancia que se le confiere en la educación matemática ha disminuido en el último tiempo. Pero pueden ser una herramienta útil en la resolución de problemas. De hecho, muchos estudiantes prefieren plantear una proporción cuando necesitan efectuar algún tipo de cálculo relacionado con porcentajes. Sin embargo, no todo problema que involucre una relación entre dos magnitudes puede resolverse mediante proporciones. Es importante desarrollar la capacidad para distinguir cuándo podemos utilizar proporciones. Supongamos que Eliana tiene 4 años de edad y mide 1 metro de estatura. Sería un error plantear una proporción para calcular la estatura que tendrá cuando tenga 8 años. Sólo podemos plantear una proporción cuando tenemos razones fundadas para suponer que las magnitudes involucradas son proporcionales entre sí. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO GRUPAL) EMPLEO DE TABLAS Y GRÁFICOS PARA REPRESENTAR RELACIONES En esta guía se muestran ejemplos de relaciones entre 2 o 3 variables en diferentes contextos. La relación se presenta tanto mediante tablas como mediante gráficos. Esta guía prepara la introducción de la proporcionalidad. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL) MAGNITUDES PROPORCIONALES En esta guía se introduce la noción de proporcionalidad como un tipo especial de relación entre 2 variables. Se presenta una definición y se analizan algunas de sus propiedades más relevantes. La guía propone asimismo ejemplos de relaciones que no corresponden a proporcionalidad. Por ejemplo, se muestra que la relación entre el área de un cuadrado y la longitud de su lado no cumple con la definición ni presenta las propiedades propias de una relación de proporcionalidad. Lo mismo ocurre en el caso de la relación entre la estatura y la edad de un niño. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4
GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL) PROPORCIONES En esta guía se presenta la noción de proporción como igualdad entre dos razones. Se dan ejemplos y se deriva una de sus propiedades, a saber, que podemos convertir fácilmente una proporción en una igualdad de dos productos. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO INDIVIDUAL) CÁLCULO DE PORCENTAJES MEDIANTE PROPORCIONES En esta guía se muestra la posibilidad de utilizar proporciones para efectuar cálculos de porcentajes. Aunque no es el procedimiento más simple y directo, el empleo de proporciones en el cálculo de porcentajes resulta fácil de captar y recordar para muchos estudiantes. Por tal motivo, conviene alcanzar un cierto grado de fluidez en su empleo. GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO GRUPAL) PROPORCIONES EN CASOS DE PROPORCIONALIDAD En esta guía se muestran diversos ejemplos de uso de proporciones en la resolución de problemas que involucran magnitudes proporcionales. Es importante subrayar que solo puedo plantear proporciones si las magnitudes en juego son proporcionales entre sí. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5