Introducción El uso de los símbolos en matemáticas. En el estudio de las matemáticas lo primero que necesitamos es conocer su lenguaje y, en particular, sus símbolos. Algunos símbolos, que reciben el nombre de constantes lógicas, representan un objeto matemático definido, como los números (0, 1, 2,π). Otros símbolos son las variables y se utilizan para representar un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto recibe el nombre de conjunto universal de la variable o dominio de variación,enelcualcadaelementodel conjunto es un posible valor de la variable. Además también se emplean otros símbolos para representar operaciones y relaciones entre constantes lógicas y variables. Estos símbolos reciben el nombre genérico de signos y son de tres clases: signos de operación, signos de relación y signos de agrupación. Los signos básicos de operación son: suma, resta, multiplicación y división, que se indican con los correspondientes signos de la aritmética. Los signos de relación se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades y los principales son el signo igual y los signos de mayor y menor. Como signos de agrupación se utilizan paréntesis, corchetes y llaves e indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Por ejemplo, cuando escribimos x 2 16 = (x+4)(x 4), los símbolos 16 y 4 son números concretos y la letra x es un símbolo que representa a un número cualquiera. El signo igual nos indica que la expresión a su izquierda es igual a la expresión a su derecha. El número 2 sobre la x nos indica que debemos elevar la variable al cuadrado y los signos + y que debemos sumar o restar los números correspondientes a la variable. Los paréntesis nos indican que debemos sumar y restar 4 a la variable antes de multiplicar. Este tipo de expresiones reciben el nombre de igualdades y son de dos tipos. Tenemos una ecuación cuando la variable x es el símbolo de un número desconocido que queremos averiguar y en este caso los números que verifican la ecuación reciben el nombre de soluciones de la ecuación. En determinados casos, como en el ejemplo que hemos visto, la igualdad es válida para cualquier número representado 1
2 INTRODUCCIÓN por la variable x. En este caso decimos que la igualdad es una identidad y a veces sustituimos el signo de igualdad (=) por el el símbolo de identidad ( ). El signo de igualdad también se usa de otras formas, por ejemplo, para definir funciones como f(x) =3x +1oenfórmulas como A = πr 2, la cual nos permite obtener el área de un círculo, A, en función de su radio, r. Cuando se trabaja con varias variables utilizamos letras distintas para representarlas. Normalmente, las cantidades desconocidas y las variables de las funciones se representan por las últimas letras del alfabeto (x, y, z) y las cantidades conocidas o fijas por las primeras letras del alfabeto (a, b, c). También utilizamos estas letras cuando en una expresión queremos representar constantes numéricas que pueden tomar distintos valores, en cuyo caso reciben el nombre de parámetros. Si el número de variables es grande utilizamos subíndices para distinguir unas de otras (x 1,x 2,...). El sistema de los números reales. Los númerosqueusamosparacontarsonlosllamadosnaturales(1,2,3,...)yformanunconjunto queserepresentaporn. Las reglas de la aritmética; adición, sustracción, multiplicación y división; hacen que aparezca otro tipo de números. Así, la adición y la sustracción introducen el cero (0) y los números negativos (-1, -2, -3,...), que al unirlos a los naturales forman los números enteros, cuyo conjunto se representa por Z. La multiplicación y la división hacen que aparezcan los números racionales, que son aquellos que se pueden escribir en la forma a/b, donde a y b son enteros. Los números racionales forman un conjunto que se representa por Q eincluyealosnúmeros enteros, ya que un entero n se puede representar por n/1. Operaciones más complejas hacen que aparezcan números, como 2, que no corresponden a ninguna fracción. Esto lleva a ampliar el conjunto de los números al conjunto de los números reales, que se representará porr. Para ampliarel concepto de número, vamos a construir una recta que nos va a permitir representar todo tipo de números como la longitud de un segmento: la recta real. Para construir esta recta se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen y se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica. Cada punto sobre esta recta es un número. Los números naturales son los correspondientes múltiplos de la longitud del segmento a la derecha del origen y los enteros negativos los situados a su izquierda.
APUNTES DE MATEMÁTICAS I 3 Los números racionales positivos representados por a/b corresponden a la división del segmento que representa a a en b partes y los racionales negativos son análogos pero a la izquierda del origen. De este modo, cada número racional se puede asociar a un punto de la recta real. Sin embargo, no todos los puntos de ella representan números racionales. Los números irracionales corresponden a los puntos que quedan en la recta real después de que se hayan marcado en ella los racionales. Entre ellos están: 2, que corresponde a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1; π, que corresponde a la longitud de una circunferencia de diámetro 1: o el número e, que no corresponde a ninguna longitud fácil de definir. La recta real. Como los números racionales son insuficientes para medir todas las longitudes posibles, se utiliza la notación decimal en la que cada combinación de dígitos (0, 1, 2,..., 9) define un número como una suma de dígitos por potencias de 10. Por ejemplo, 176 = 1 10 2 +7 10 1 +6 10 0.Deesta forma se puede obtener todo número natural y, con el uso de los signos + y -, todos los enteros, tanto positivos como negativos. La coma decimal permite obtener algunos números racionales no enteros, como, por ejemplo 5 4 : 5 1 =1, 25 = 1 + 2 +5 1. Sin embargo, con un número finito de cifras decimales no se obtienen 4 10 10 2 todos los racionales. Para obtener todos los números racionales se consideran fracciones decimales periódicas, en las que se repite indefinidamente una sucesión finita de dígitos a partir de un cierto lugar en la expresión decimal, como, por ejemplo, 11/7 = 1, 571428 571428... Al incluir las fracciones decimales arbitrarias se obtienen todos los números reales, de forma que un número real es un número de la forma ±m, α 1 α 2 α 3... donde m es un entero y α n (n = 1,2...) son dígitos del 0 al 9. La expresión decimal de un número, que no siempre es fácil de obtener, nos permite además distinguir los números racionales de los irracionales: las fracciones decimales periódicas son números racionales y las fracciones decimales no periódicas son números irracionales. Por ejemplo, son irracionales π =3, 14159265358979...y e =2, 71828182845904... Es importante señalar que las operaciones de la aritmética entre números reales tienen como resultado números reales, excepto la división por cero, que no está definida.
4 INTRODUCCIÓN Nociones sobre conjuntos. Aunque no hemos definido que es lo que es un conjunto, en la sección anterior hemos visto algunos conjuntos de números: los naturales, enteros, racionales y reales. Lo que los caracteriza como un conjunto es que agrupan objetos de la misma naturaleza. En todos los casos tenemos una colección de objetos que se ven como un todo. Estas colecciones se llaman conjuntos y los objetos son los elementos del conjunto. Se considera que dos conjuntos son iguales si cada elemento de uno es un elemento del otro. Sólo hay un conjunto que no tiene elementos: el conjunto vacío, que se denota por. La manera más sencilla de definir un conjunto es dar una lista de sus elementos entre dos llaves. Sin embargo, este tipo de definición sólo es posible para conjuntos finitos y algunos conjuntos son infinitos. En este caso, una forma de definir el conjunto es caracterizar a sus elementos, como hemos hecho con los conjuntos de números de la sección anterior. Para caracterizar los elementos de un conjunto tenemos que determinar qué tipodeelementossonycuáles son sus propiedades. Por ejemplo, para definir el intervalo de números reales comprendidos entre dos números a y b (con a<b) distinguimos dos casos: Intervalo abierto de extremos a y b: (a, b) ={x R/a < x < b} Intervalo cerrado de extremos a y b: [a, b] ={x R/a x b} En ambas definiciones se usan las llaves {}para designar al conjunto, que se define en dos partes. A la izquierda de la barra se designa un elemento típico del conjunto (la barra / se lee tal que ya veces se sustituye por dos puntos). En nuestro caso, el símbolo, queseleepertenece, nos indica que un elemento del conjunto, x, pertenece al conjunto de los números reales, R. Aladerechadela barra se especifica la propiedad (o propiedades) que cumplen los elementos del conjunto. En ambos casos, nos indican que los elementos del conjunto están entre a y b. Enelprimercasonoseincluyen los extremos y en el segundo sí. Otro concepto importante dentro de la teoría de conjuntos es el de subconjunto. De forma que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B. SeescribeA B yseleea está contenido en B. Si son conjuntos distintos decimos que A es un subconjunto propio de B.
APUNTES DE MATEMÁTICAS I 5 Las operaciones básicas entre conjuntos son unión, intersección y diferencia de conjuntos: A unión B son los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos: A B = {x/x A ó x B} A intersección B son los elementos que pertenecen a ambos conjuntos: A B = {x/x A y x B} A menos B son los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B: A \ B = {x/x A y x / B} Obsérvese que en la última definición hemos utilizado el símbolo /, que indica que un elemento no pertenece al conjunto y se lee x no pertenece a B. Nociones sobre lógica. Hay afirmaciones que son ciertas o falsas, a las que llamanos enunciados o proposiciones. Sin embargo, cuando una afirmación incluye variables no siempre se puede afirmar que sea cierta o falsa. Por ejemplo, la expresión x>1no es ni verdadera ni falsa, y no lo será hasta que no reemplacemos a la variable x por algún número. Este tipo de expresiones reciben el nombre de proposiciones abiertas y es posible darles un valor de verdad si se utilizan cuantificadores. Un cuantificador es una expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de individuos. Dos de estos cuantificadores son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El primero afirma que una condición se cumple para todos los individuos de los que se está hablando y se representa por el símbolo (que se lee para todo). El segundo afirma que la condición se cumple para al menos uno de los individuos y se representa por el símbolo (que se lee existe). Así, podemos asignar un valor de verdad a la expresión x : x>1. Sin embargo, esta expresión es falsa si consideramos que el dominio de variación de x son todos los números reales y verdadera si consideramos que el dominio de variación son todos los naturales pares. Por tanto, en una proposición es imprescindible especificar el dominio de variación de las variables. También hay proposiciones que se construyen a partir de otras proposiciones, como x 0, que es una abreviatura de la proposición x > 0ó x = 0. Esta proposición será verdadera bien si x es positiva
6 INTRODUCCIÓN obiensix es cero. Para representar situaciones parecidas, construimos a partir de otras proposiciones una nueva proposición cuyo valor de verdad depende del valor de verdad de las proposiciones que la forman. Para ello, utilizamos las conectivas lógicas: p q es la proposición que es verdadera sólo cuando son verdaderas p y q (se lee p y q). p q es la proposición que es verdadera si p es verdadera o q es verdadera (se lee p o q). p es la proposición que es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera (se lee no p). p q es la abreviatura de p q y es verdadera cuando p y q son dos proposiciones tales que cuando p es verdadera lo es también q (se lee p implica q). p q es la abreviatura de (p q) (q p) y es verdadera cuando p y q son dos proposiciones tales que p es verdadera si y sólo sí q es verdadera (se lee p si y sólo sí q). En un razonamiento lógico utilizamos la implicación ( ) y la equivalencia ( ) parallevarel control de cada paso, de forma que cuando tenemos proposiciones abiertas, el uso de una implicación p q significa que para cada valor de la variable para el que p sea verdadera también lo es q yel uso de la equivalencia p q añade que sólo es válida q para esos valores de la variable. También utilizamos las implicaciones y equivalencias para enunciar teoremas, ya que todo teorema se puede formular como una implicación P Q en la que P representa una o varias proposiciones, que son las premisas del teorema,y Q representa una o varias proposiciones, que son sus conclusiones. En este contexto, si es cierto que P Q decimos que P es una condición suficiente para Q, yaque para que Q sea verdadera es suficiente que P lo sea. También decimos que Q es una condición necesaria para P,yaquesiP es cierta necesariamente Q es cierta. Si es cierto que P Q decimos que P es una condición necesaria y suficiente para Q (o que Q es una condición necesaria y suficiente para P ). Para demostrar un resultado del tipo P Q empezamos en las premisas P y mediante implicaciones sucesivas llegamos hasta la conclusión Q. Estatécnica se llama una demostración directa. Sin embargo, a veces hay que dar una demostración indirecta de la implicación. En este caso partimos de que Q no es cierta y, sobre esta base, probamos que P tampoco puede ser cierta. Para ello nos basamos en que p q es equivalente a q p. Un tercer método de demostración basado en esta equivalencia es la reducción al absurdo, en la que suponemos simultáneamente que P es cierta y que Q no lo es. Al llegar a una contradicción tenemos demostrado el teorema. Estos apuntes han sido elaborados por el Profesor Jesús Muñoz San Miguel.