SEI.2 A1 1 Courtney Cochran-Solving Inequalities. La Lección de Hoy es Sobre Solucionar Desigualdades. El cual la expectativa para el aprendizaje del estudiante SEI.2.A1.1 Vamos a aprender a resolver desigualdades. Una desigualdad es una oración algebraica que incluye uno o más de los siguientes signos. Es menor que < Es menor que o igual a Es mayor que > Es mayor que o igual a Vamos a ver una desigualdad X 5 (equis es menor o igual a cinco). Este es un ejemplo de una solución de desigualdad, puesto que la variable está aislada. Esto significa que X (equis) representa cualquier valor que sea inferior o igual a 5. Algunas veces un grafico puede demostrar una mejor imagen. Vamos a graficar la desigualdad en una línea numérica de la siguiente manera. Notaras en esta línea numérica que hemos dado valores de menos cinco hasta cinco. Primeramente vamos a hablar, que significa igual a. Quiere decir vamos a empezar desde el valor de cinco y Igual a quiere decir que pondremos un círculo rojo en el valor cinco, este es nuestro punto de división. En otras palabras un lado de este punto rojo es la solución de nuestra desigualdad y el otro lado no. Como tenemos: equis es menor o igual a cinco, quiere decir menor que, son menores los valores o más pequeño. Entonces los valores menores que cinco en une línea de números, quiere decir que son todos los valores hacia la izquierda. Entonces vamos a trazar una línea a la izquierda del cinco, para demostrar todos los valores de nuestra desigualdad, Por ejemplo, un valor a la izquierda de cinco es -4 (negativo cuatro), al darle un nombre lo llamaríamos, -4 5, (negativo cuatro es menor que o igual a
cinco). La línea nos ayudara a ver el valor claramente para resolver nuestra desigualdad. Ejemplo 1: Vamos a ver otro ejemplo, X>-2 (equis es mayor que, negativo dos). Ahora, vemos que X es mayor que el negativo dos. Quiere decir, este no incluye el valor de -2. Usaremos un círculo abierto para nuestro negativo dos, para indicar que no está incluido. Al leer nuestra desigualdad equis es mayor que, negativo dos quiere decir, que equis es más grande que negativo dos. Y en nuestra línea de números el valor más grande, quiere decir, los valores hacia la derecha, entonces vamos a trazar una línea hacia la derecha del negativo dos, que representan todos los valores que satisfacen esta desigualdad. Un ejemplo seria un valor mayor que -2 seria 3 (tres) y si lo sustituyes por equis (X) tendríamos que tres es mayor que -2. Está en una rápida explicación de cómo trabajar con una línea de números para representar tu respuesta. Ejemplo 2: Primero veremos una desigualdad sin variables. Aquí está la situación. Lauren tiene $2. Raúl tiene $3. Así que Lauren tiene menos que Raúl. Porque 2 en menor que 3. Si vemos la desigualdad dos es menor que tres (2<3) realizaremos la parte izquierda, que sería el dinero de Lauren y la parte derecha que sería el dinero de Raúl. Vemos que Lauren tiene menos que Raúl. Entonces vamos a desarrollar una seria de operaciones, para ver si la desigualdad cambia, si, Lauren tendría más. Si cada uno tiene la misma cantidad de dinero el cual representaría sumar las dos partes, Qué pasaría? Si le dimos a los dos un total de siete dólares ($7.), sumariamos siete en las dos partes. Ahora, Lauren tiene $9. Y Raúl tiene $10. Quiere decir que 9 es menor que 10. Este es un ejemplo de una propiedad que se puede añadir un ejemplo a
cada parte de la desigualdad y la desigualdad sigue siendo la misma. En otras palabras no cambia. Porque 9 es menor que 10. Si restamos la misma cantidad a los dos estudiantes, Sigue siendo lo mismo? Vamos a la cantidad original de 2 y 3 dólares para cada estudiante. Si retamos $2 a cada estudiante. Lauren tendría $0 y Raúl tendría $1. Esto demuestra la propiedad que nosotros restamos el mismo valor en dos lados de la desigualdad sin cambiar los lados de la desigualdad. Ahora, si doblamos la cantidad de dinero. Quiere decir que representamos con multiplicación. En los dos lados de la desigualdad si multiplicamos por dos. Seria, 2(2) < 3(2) (dos multiplicado por dos, nos daría 4 y tres multiplicado por dos, nos daría 6. Lauren sigue con la menor cantidad de dinero. Ahora vamos a dividir: Si dividimos el dinero de cada uno, entre dos, Lauren sigue con menos dinero que Raúl. Esto demuestra que si multiplicas o divides con un valor positivo la desigualdad sigue lo mismo. Vamos a ver nuestro próximo problema: Si multiplicamos por un número negativo. Qué pasaría? Vamos a tratar de multiplicar los dos lados por menos tres. (-3)2,3(-3) menos tres multiplicado por dos, y tres multiplicado por menos tres. Perderíamos nuestro dinero, pero necesitamos realizar esta operación. Tendremos: (-6) en la parte izquierda y (-9) en la parte derecha. Ahora Es -6 menor que -9? NO, -6 es mayor que -9. Que quiere decir esto? Quiere decir que demostramos que, al multiplicar por valores negativos, nuestros signos de desigualdades cambiaran. Demostramos con este ejemplo que dividiendo entre -3, cambiamos la desigualdad. Y que multiplicando por valores negativos, también resultaría en el cambio de nuestros signos de desigualdades. Para resumir, hasta el momento las reglas de la solución de las desigualdades son similares a la solución de ecuaciones con las siguientes estipulaciones:
Si, sumas en los dos lados } La Restas en los dos lados } desigualdad Multiplicas por un valor positivo en los dos lados } se mantiene Divides por un valor positivo en los dos lados } la misma. Pero, si Multiplicas por un valor negativo en los dos lados Divides por un valor negativo en los dos lados } Cambiamos los signos } de desigualdad. Ejemplo 4: vamos a resolver la desigualdad. 4x -2-10 (cuatro equis, menos dos, es mayor o igual a negativo diez. Nuestro primer paso sería: lo opuesto de restar dos, seria sumar dos, en desigualdad sería lo mismo que una ecuación., lo que hagas a un lado de la ecuación, lo haces en el otro lado de la ecuación. Entonces en los dos lados sumaremos por dos. Sumar dos positivo no afecta nuestro signo de desigualdad, entonces eliminamos nuestros dos y tendremos 4X es mayor o igual, negativo 10 mas dos es igual a negativo 8. Nuestro próximo paso sería eliminar el cuatro. Lo opuesto de multiplicar por 4 es dividir por cuatro. Entonces en los dos lados sumariamos dos. Sumar dos positivos, no afecta el valor de los signos, entonces, escribimos nuestro signo de desigualdad de nuevo. También eliminamos nuestros dos y tenemos 4xes mayor o igual a, y negativo 10 mas dos es igual a negativo ocho. El siguiente paso para resolver por equis es eliminar los cuatros, lo opuesto de multiplicar por cuatro es dividir por cuatro, como lo explicamos anteriormente.
De nuevo en la desigualdad como la ecuación, lo que hagas a un lado, lo tendrás que hacer en el otro lado. En los dos lados vamos a dividir entre 4 y nos resulta X es mayor o igual a -2. Ahora vamos a usar nuestra grafica para esta ecuación. En la línea de números vamos a escribir todos los valores desde -5 hasta 5. En cuál punto comenzaremos? Comenzaremos en el -2 y veremos que tenemos un igual a, entonces el -2 va a representarse con un punto rojo. Ahora, X es mayor o más grande que el -2. Quiere decir todos los valores hacia a la derecha. Vamos a trazar nuestra línea a la derecha de nuestra línea de números, después del -2. Ahora que resolvimos una desigualdad vamos a otro ejemplo. Ejemplo 5: Este ejemplo es más difícil, porque tendremos variables en los dos lados. Entonces, Qué hacemos primero? Tenemos -3y < 42 +11y (negativo tres él, es menor que cuarenta y dos, mas once elle. Necesitaríamos eliminar nuestras Y (elles) con sus constantes a la derecha, las variables a la izquierda. En este ejemplo vamos a restar -11y en los dos lados de la ecuación, y tendremos -3y -11y que es igual a -14y es menor que 42. Luego, nuestro próximo paso seria, resolver por Y (elle) y cancelar el -14. -14< 42 Aquí hacemos lo opuesto de multiplicar que sería dividir. En los dos lados de la ecuación, vamos a dividir por -14 y recuerda que al multiplicar o dividir entre negativos, los signos de desigualdades cambian. Vamos a dividir los dos lados entre -14. Nos daría Y (elle) en la parte izquierda y 42 dividido entre -14 seria -3. De nuevo Por qué la desigualdad cambia? Recuerda cuando multiplicamos o dividimos por negativos, nuestros signos de desigualdades cambian. Ahora, veremos nuestra grafica para estos valores. Nuestros valores son mayores que -3. En nuestra línea de números tenemos que está marcado desde el 5 hanta el -5. El valor que tenemos es -3 y no es igual a. En el -3 agregamos un círculo abierto en rojo.
Entonces esto quiere decir empezamos con el -3, ahora, Cuáles son los valores mayores que -3? En la línea de números los mayores serán a la derecha. Entonces vamos a trazar una línea en rojo, que muestre todos los valores que son mayores que el -3. Ahora que resolvemos estos dos simples ejemplos de desigualdad. Vamos a ver unas desigualdades compuestas. Ejemplo 6: Las Desigualdades Compuestas son dos desigualdades bien combinadas o unidas por las letras y (i) o la letra o. Primero, veremos una situación que involucra la letra y (i). Si el reportero del tiempo dice que la temperatura más baja de hoy fue de 63 grados F, y la temperatura más alta fue 72 grados F, entonces podríamos utilizar las desigualdades compuestas ya que la temperatura (t) debe ser, de al menos 63 y la temperatura debe ser como máximo 72. Algebraicamente, escribimos, t 63 y t 72 (te es mayor o igual a 63) y (te es menor o igual a 72) Es una mejor manera de escribir este. En una situación de y, la variable puede ser mayor que un valor más pequeño y menor de un valor mayor. Esto quiere significa que t es en realidad como un sándwich, intercalado entre los dos valores. Dependiendo de la situación, la variable puede o no incluir los dos valores. En este caso, t no podría ser 63, o 72, por lo que ya están incluidos. En cualquier caso podemos escribir este como una desigualdad a continuación. Por el menor valor, al mayor valor que leemos de izquierda a derecha, 63 es menor o igual a t, es menor o igual a 72. Notaras que vamos de menor valor al mayor valor, y que t esta en el medio, y usaremos solamente menor que en nuestra desigualdad compuesta. Ahora, hablaremos de la grafica que representa cada uno de estos valores. Tenemos dos puntos que son, 63, y el 72 y notaras que son iguales a, entonces les podremos a cada uno, un punto rojo al 63 y el 72. Ahora, t esta en el medio, como el sándwich que hablamos anteriormente, entre los dos valores. Quiere decir que puede ser entre el 63 y el 72, nuestra respuesta. Hablando del tiempo, este siempre cambia y podría ser 65, 67, 70,
hasta los 72 grados F. Agregamos una línea roja para indicar estos valores, entre nuestros dos puntos. Esta es una desigualdad compuesta en las desigualdades con y (i). Ejemplo 7: veremos desigualdades compuestas con una o Un parque de diversiones ofrece un descuento a mitad de precio, si es menor que 5 anos, o mayor de 60 anos. Esto daría lugar a las desigualdades. a < 5 o a > 60 esto resultaría en la desigualdades a es menor que 5 o a es mayor que 60. La o quiere decir que los valores están en el medio de estos dos puntos, no tendrán el descuento. Vemos que y está en el medio de los valores, como un sándwich, y nuestra o se encuentra fuera de los valores. Veremos esto en nuestra línea de números. El 5 no está incluido, entonces trazamos un círculo abierto con una línea roja hacia la izquierda, para indicar que no están incluidos. Nuestra próxima sección es mayor que 60 entonces colocamos un círculo abierto en 60 porque no están incluidos, trazaremos la línea roja hacia la derecha. Ahora que entendemos las diferencias entre y (i) y o en las desigualdades vamos a resolver uno de cada uno. Ejemplo 8: Resuelva la desigualdad y use una grafica. -1 < 4m +7 11 (negativo uno, es menor que, cuatro eme, mas siete es menor o igual, a once). Necesitamos resolver por (m); la m esta en el medio de las variable, (como un sándwich). Entonces eliminamos las variables como en cualquiera otra ecuación. Primero necesitamos eliminar el +7, entonces lo opuesto de sumar 7 seria restar 7. Recuerda que hay 3 partes en esta desigualdad. Necesitamos restar por 7, por cada una de las partes. Si hacemos esto y simplificamos, tendremos:
-8 < 4m 4 (-1, menos, -7 es igual a -8, y es menor que, 4m es menor o igual a, 11-7 es igual a 4. Ahora nuestro próximo paso seria, cancelar nuestras (m), tendríamos que dividir, pero necesitas hacer estos en todas las 3 partes de la desigualdad., dividimos entre 4, tendremos, (-8 dividido entre 4 seria -2, es menor que m, es menor o igual a 4 dividido entre 4 seria 1 (uno). -2 < m 1 Entonces la solución con nuestra línea de números, seria, colocamos un circulo abierto en el -2 porque este es menor que m. Colocamos un círculo cerrado en el 1, porque entre la m y el 1 es un igual a. Ahora m esta en el centro, como nuestro sándwich entre el -2 y el 1. Entonces trazaremos una línea entre estos dos valores. Esta es la solución entre este problema de desigualdades compuestas. Ejemplo 9: Resolver la desigualdad compuesta en o y usa la grafica y la línea de números. Tenemos: 7-3c > 1 o 5c +2 > 17 (siete menos tres c, es menor que uno) o (Cinco c, más dos, es mayor que diecisiete). Resolveremos la desigualdad en la parte izquierda primero. Y después la de la derecha. Primer paso seria, lo opuesto de sumar, porque es un positivo en frente del siete. Necesitamos en los dos lados de la primera desigualdad a la izquierda y restar siete. 7-3c > 1 que sería negativo tres c, es mayor que uno menos siete es -6. -4-7 -3c > -6 Nuestro próximo paso sería eliminar el -3 y el opuesto de multiplicar es dividir las dos partes entre -3. Ahora tienes que recordar que cuando multiplicas o divides por un negativo tienes que eliminar la desigualdad. Nos daría c es menor que 2, (c<2) negativo seis dividido entre -3 seria 2. Resolvemos nuestra primera desigualdad ahora resolvemos la de la derecho.
5c +2 > 17 (cinco c, mas dos, es mayor que diecisiete). Lo primero que haríamos seria resolver por c y lo desarrollamos con lo opuesto de sumar que seria, restar dos, por los dos lados. 5c +2> 17 si hacemos esto tenemos, cinco c es mayor que quince. 5c > 15 Nuestro próximo paso sería cancelar el 5 y lo opuesto de multiplicar por 5 seria, dividir entre 5. 5c > 15 5c 5 C > 3 Y si dividimos los dos lados entre 5 tendremos c es mayor que, y quince dividido entre cinco es tres. Ahora colocamos las dos desigualdades juntas y tendríamos: C < 2 o c > 3 c es menor que 2 o c es mayor que 3. Vamos a ver como esto se observaría en nuestra línea de números. Comenzamos con c es menor que 2, de nuevo, no es igual a dos, pondremos un circulo abierto en nuestro 2. Y porque es menor trazaremos una línea a la izquierda del dos. Ahora veremos c es mayor que 3. Comenzamos por el valor de 3 pero es no igual a, entonces colocamos un circulo abierto en el 3 y mayor que, quiere decir, trazaríamos nuestra línea a la derecha del 3. Esta es una desigualdad por o. Esta es la diferencia si es y (i) como un sándwich o sea en el medio de los valores. Si es o seria fuera de los valores.? Que es lo próximo que haces? Lo que harías seria resolver ecuaciones y desigualdades con variables y valores absolutos. Puedes ver ejemplos de la vida real con desigualdades como las que hemos resuelto anteriormente.