Fundamentos de Investigación de Operaciones

Fundamentos de Investigación de Operaciones Formulación de Modelos de Programacón Lineal 17 de julio de 2004 La (LP) es una herramienta para resolver problemas de optimización que se caracterizan por tener como función objetivo y restricciones combinaciones lineales de las variables de decisión. La principal ventaja radica en que existe un algoritmo eficiente (SIMPLEX) para resolver este tipo de modelos. 1. Conceptos Básicos Consideremos el siguiente ejemplo para describir los términos presentes en todo problema de LP. Ejemplo 1. Una mueblería produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27000 y requiere $10000 en materiales, además, el costo de unitario por mano de obra se estima en $14000. En el caso de las sillas, su precio de venta es de $21000 y los costos son de $9000 y $10000, en materiales y mano de obra respectivamente. La fabricación de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpintería y terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpintería y 2 horas de terminaciones. Una silla requiere de 1 hora de carpintería y 1 hora de terminaciones. Cada semana, la mueblería puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden dedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpintería. La demanda por mesas no está limitada, mientras que la demanda semanal máxima por sillas es de 40. La mueblería desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matemático que permita maximizar las utilidades. 1.1. Variables de Decisión Se debe comenzar definiendo las variables de decisión relevantes. En un modelo de programación lineal las variables de decisión deben ser capaces de describir completamente las decisiones que puedan ser tomadas y todas las variantes que existan. Antes de definir las variables de decisión es importante definir las unidades involucradas en el problema. En este caso, se habla de unidades de sillas y mesas, de horas de trabajo por unidad y de demanda semanal. De acuerdo a ello, una buena opción para definir las variables de decisión consiste en asociar las variables al número de unidades de sillas y mesas a producir por semana. Por lo tanto, podemos definir: x 1 = número de mesas producidas por semana. (1.1) x 2 = número de sillas producidas por semana. 1

1.2. Función Objetivo En un problema de LP, se debe tomar la decisión de maximizar (usualmente las utilidades) o de minimizar (usualmente los costos) cierta función de las variables de decisión. La función a maximizar o minimizar se denomina función objetivo. Antes de formular el modelo matemático conviene resumir los datos del problema (Tabla 1.1). [ Venta ] Materiales [ ] Mano [ de ] Obra Carpintería [ ] Terminaciones [ ] Dda. Máxima $ $ $ hr. hr. [ un. ] un. un. un. un. un. sem. Mesa 27000 10000 14000 1 2 Silla 21000 9000 10000 1 1 40 Disponibilidad 80 100 Tabla 1.1: Resumen Ejemplo 1 En el ejemplo, los costos e ingresos no dependen del valor de x 1 o de x 2, por lo tanto basta concentrarse en maximizar la diferencia entre: ( ingresos semanales ) ( costos de materiales ) ( costos por mano de obra Luego, se debe expresar los términos anteriores en función de las variables de decisión x 1 y x 2. Supondremos que todas las sillas y mesas fabricadas son vendidas (respentando las condiciones de mercado del enunciado). Así: Similarmente: ( ingresos semanales ) = = ( ( ingresos por mesas $ mesa ) ) ( mesas semana + ) + ( $ silla ) ( ingresos por sillas ) ) ( sillas semana = 27000x 1 + 21000x 2 ( ) costos por ( materiales costos por ) mano de obra Por lo tanto la función a maximizar queda (en miles): = 10000x 1 + 9000x 2 ) (1.2) (1.3) = 14000x 1 + 10000x 2 (1.4) (27x 1 + 21x 2 ) (10x 1 + 9x 2 ) (14x 1 + 10x 2 ) = 3x 1 + 2x 2 (1.5) Otra opción para construir la función objetivo consiste en calcular previamente los ingresos netos o utilidades de cada uno de los productos de la mueblería. Así: utilidad por mesa = 27 10 14 = 3 utilidad por silla = 21 9 10 = 2 Así, el objetivo de la mueblería es escoger los valores de x 1 y x 2 tal que se maximize 3x 1 + 2x 2. Denotando por z el valor de la función objetivo para cualquier LP, la función objetivo de la mueblería es: (1.6) 2

Maximizar z = 3x 1 + 2x 2 (1.7) El coeficiente que acompaña a cada variable en la función objetivo se denomina coeficiente en la función objetivo de la variable y refleja el aporte unitario de dicha variable a la función objetivo. 1.3. Restricciones En la medida que las variables x 1 y x 2 crecen, la función objetivo aumenta su valor. Por lo tanto si se pudiera escoger arbitrariamente el valor de x 1 y x 2, la mueblería podría hacer crecer arbitrariamente el valor de sus utilidades. Evidentemente, en la práctica esto no es posible. En este ejemplo, el valor de las variables está limitado por las siguientes tres restricciones: Restricción 1 : Restricción 2 : Restricción 3 : máximo 100 horas semanales para terminaciones máximo 80 horas semanales para carpintería producción máxima de 40 sillas semanales Se asume que la cantidad disponible de material es ilimitada. Luego, el próximo paso consiste en formular matemáticamente las restricciones anteriores en función de las variables de decisión. Para formular la primera restricción en función de las variables x 1 y x 2 observamos que: ( ) ( ) ( terminaciones semana = terminaciones mesas ) ( mesa ) ( semana ) + terminaciones sillas (1.8) silla semana = 2x 1 + 1x 2 Por lo tanto la primera restricción queda: 2x 1 + x 2 100 Es importante notar que todos los valores en la expresión anterior son por semana, ya que las variables de decisión se han escogido con esa referencia. Análogamente la segunda restricción queda: x 1 + x 2 80 Finalmente, la tercera restricción sólo limita el valor de x 2 : x 2 40 El valor que aparece a la derecha del signo de la desigualdad en cada restricción se denomina the constraint s right-hand side (rhs) o coeficiente del lado derecho de la restricción. Usualmente, representa la cantidad disponible de cierto recurso. 1.4. Restricción de Signo Para completar la formulación del modelo es importante definir si existe alguna restricción de signo para cada variable de decisión. Si una variable de decisión x i debe cumplir condiciones de no-negatividad, debemos agregar la restricción x i 0. Si la variable de decisión x i puede asumir valores positivos y negativos se dice que la variable x i no tiene restricción de signo (srs). En este ejemplo, ambas variables de decisión se refieren a cantidades a producir, por lo tanto son no-negativas, luego: x 1 0 y x 2 0. Sin embargo, en otros ejemplos las varibles pueden ser srs, por ejemplo en el caso de que x i se refiere al saldo de alguna cuenta. 3

Combinando todas las expresiones anteriores, es posible completar el modelo matemático para este problema de optimización: sujeto a (st) Max z = 3x 1 + 2x 2 (Función Objetivo) 2x 1 + x 2 100 (Restricción de terminaciones) x 1 + x 2 80 (Restricción de carpintería) x 2 40 (Restricción de demanda máxima) x 1 0 (Restricción de signo) x 2 0 (Restricción de signo) Se deja como ejercicio al lector determinar las modificaciones sobre el modelo anterior si: (1.9) El excedente de horas de terminaciones puede ser empleado para carpintería y viceversa. La misma hipótesis del punto anterior pero suponiendo que cada hora de terminaciones equivale a dos horas de carpintería. La producción de mesas no puede exceder al 40 % del total de unidades producidas de mesas y sillas. 2. Generalización Repasemos en primer lugar algunos conceptos de linealidad de funciones y desigualdades. Definición 1 Una función f(x 1, x 2,, x n ) de x 1, x 2,, x n es una función lineal sí y sólo sí para un conjunto de constantes c 1, c 2,, c n, se tiene: f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n Definición 2 Para cualquier función f(x 1, x 2,, x n ) y cualquier número b las desigualdades: f(x 1, x 2,, x n ) b f(x 1, x 2,, x n ) b son desigualdades lineales. Definición 3 Un problema de programación lineal (LP) es un problema de optimización para el cual debemos tener presente lo siguiente: 1. Se maximiza (o minimiza) una función lineal de las variables de decisión. La función que es maximizada o minimizada se denomina función objetivo. 2. Los valores de las variables de decisión deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción debe ser una ecuación o desigualdad lineal. 3. Existe una restricción de signo asociada a cada variable. Para toda variable x i, la res- tricción de signo especifica si x i debe ser no-negativa (x i 0)o bien sin restricción de signo (srs). De acuerdo a las definiciones anteriores, el ejemplo estudiado corresponde efectivamente a un LP, pues tanto la función objetivo como las restricciones son funciones lineales de x 1 y x 2. El problema estudiado corresponde a un problema típico de decisión donde se debe obtener el programa de producción que maximiza las utilidades sujeto a recursos limitados. 4

3. Consecuencias y Supuestos El hecho que la función objetivo de un PL sea una función lineal de las variables de decisión tiene dos implicancias: 1. La contribución a la función objetivo de cada variable es proporcional al valor de la variable de decisión. 2. La contribución a la función objetivo para toda variable es independiente de los valores de las otras variables de decisión. Análogamente, el hecho de que cada restricción sea una ecuación o desigualdad lineal también tiene dos implicancias: 1. La contribución de cada variable al coeficiente del lado izquierdo de cada restricción es proporcional al valor de la variable. 2. La contribución de cada variable al coeficiente del lado izquierdo de cada restricción es independiente de los valores de las otras variables. Las primeras implicancias de la listas anteriores constituyen el Supuesto de Proporción en LP. Las segundas implicancias de las listas anteriores constituyen el Supuesto de Adición en LP. Para que un modelo de LP corresponda a una representación adecuada de la realidad, las variables de decisión deben satisfacer los dos supuestos anteriores. Adicionalmente, se agregan dos supuestos: el supuesto de Divisibilidad y el de Certeza. El Supuesto de Divisibilidad requiere que cada variable de decisión pueda tomar valores fraccionarios. En el ejemplo anterior, el supuesto se traduce en que es aceptable producir 2.4 sillas ó 1.6 mesas. Evidentemente, el supuesto de divisibilidad no se satisface en el ejemplo. En este caso se puede proceder a formular el modelo como un problema de programación lineal entera (ILP), problema en el cual una o más variables deben ser enteras. Este tipo de problema se estudiará más adelante. Cuando no se satisface el supuesto de divisibilidad, una posibilidad es redondear la solución obtenida a un valor entero, sin embargo no existen garantías que dicha solución sea la mejor. El Supuesto de Certeza exige que cada parámetro: coeficientes de la función objetivo, coeficientes del lado derecho, etc. sean conocido con certeza, es decir, no se acepta incertidumbre en sus valores. Es claro que es muy difícil que un problema cumpla exactamente con todos los supuestos. Sin embargo, un modelo puede ser útil aunque difiera de la realidad si se es consistente con los requerimientos más estrictos del problema y se tienen presente las limitaciones al interpretar los resultados. 4. Regiones Factibles y Soluciones Óptimas Dos de los conceptos más fundamentales en LP son el de región factible y de solución óptima de un problema. Llamaremos punto a la especificación de un valor para cada variable de decisión. Definición 4 La región factible para un LP es el conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones (incluidas las de signo) de un problema de LP. 5

Definición 5 En el caso de un problema de maximización, una solución óptima del LP es un punto de la región factible que está asociado al mayor valor posible de la función objetivo. Similarmente, para un problema de minimización, una solución óptima es un punto que está asociado al menor valor posible de la función objetivo. La mayoría de los problemas de LP tienen sólo una solución óptima. Sin embargo, existen muchos problemas de LP que no poseen solución óptima o bien poseen varios o infinitos valores óptimos. 5. Algunos Ejemplos 5.1. Problema de la Dieta Una dieta diaria satisfactoria debe contener al menos 2000 [kcal], 55 [g] de proteínas y 800 [mg] de Calcio. Se pide formular un modelo que permita determinar una dieta satisfactoria de mínimo costo a partir de los alimentos indicados en el Tabla 5.1. [ Alimento Porción Energía [kcal] Proteínas [g] Calcio [mg] Precio $ u] Límite [ ] u día Avena 28 110 4 2 3 4 Pollo 100 205 32 12 24 3 Huevos 2 160 13 54 13 2 Leche 237 160 8 285 9 8 Pastel 170 420 4 22 20 2 Cerdo 260 260 14 80 29 2 Tabla 5.1: Alimentos disponibles En este caso resulta natural definir como variable de decisión x i la cantidad de alimento tipo i (i = 1... 6) a consumir. Como cada alimento tiene un costo, basta ponderar cada variable de decisión por su respectivo coeficiente y construir la función objetivo a minimizar. Las restricciones obedecen a los límites diarios de consumo por alimento y a las condiciones de energía, proteínas y calcio que debe cumplir la dieta. Por lo tanto, el modelo queda: Min z = 3x 1 + 24x 2 + 13x 3 + 9x 4 + 20x 5 + 29x 6 (Función Objetivo) st 110x 1 + 205x 2 + 160x 3 + 160x 4 + 420x 5 + 260x 6 2000 (Energía mínima) 4x 1 + 32x 2 + 13x 3 + 8x 4 + 4x 5 + 14x 6 55 (Proteinas mínimas) 2x 1 + 12x 2 + 54x 3 + 285x 4 + 22x 5 + 80x 6 800 (Calcio mínimo) x 1 4 (Porción límite) x 2 3 (Porción límite) x 3 2 (Porción límite) x 4 8 (Porción límite) x 5 2 (Porción límite) x 6 2 (Porción límite) x i 0 i (Restricción de signo) 6

5.2. Problema de Planificación de Personal Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La administración ha decidido definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno. El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis bloques horarios del día. Las características de cada bloque se muestran en el Tabla 5.2. Hora del Día Período Número mínimo de enfermeras 2 AM - 6 AM 1 25 6 AM - 10 AM 2 60 10 AM - 2 PM 3 50 2 PM - 6 PM 4 35 6 PM - 10 PM 5 55 10 PM - 2 AM 6 40 Tabla 5.2: Características de cada Bloque Horario. Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan US$40 al día, y aquellas que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan US$50 al día. Cuál es la planificación de los turnos de las enfermeras que minimizan los costos por salarios? En este caso podemos identificar como variable de decisión el número de enfermeras N i que comienza a trabajar en el turno i (i = 1... 6). De esta forma, la función objetivo queda: z = 50N 1 + 40N 2 + 40N 3 + 40N 4 + 50N 5 + 50N 6 Evidentemente, la función anterior debe ser minimizada. Para construir las restricciones es conveniente recurrir a una representación gráfica de los turnos (Figura 5.1). Turno 1 2 3 4 5 6 N 1 N 2 N 3 N4 N 5 N 6 Figura 5.1: Esquema de los turnos De la gráfica anterior se observa que en cada bloque trabajan las enfermeras que comenzaron su turno en dicho bloque, pero también las que empezaron su turno en el bloque anterior. Por lo tanto, las restricciones de personal mínimo por turno quedan: N 1 + N 2 60 N 2 + N 3 50 N 3 + N 4 35 N 4 + N 5 55 N 5 + N 6 40 N 6 + N 1 25 7

Finalmente, el modelo se completa con las restricciones de signo: N i i 5.3. Problema de Planificación de Producción La empresa Sil Computer necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes (grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 trimestres. Actualmente, Sil Computer tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los próximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. Sil Computer tiene el material y la capacidad de producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador. Empleando personal de sobretiempo se puede producir hasta 2500 computadores más a un costo individual de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados para satisfacer la demanda de ese período, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente. Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$100 por período para reflejar los costos de almacenaje. Como puede satisfacer Sil Computer su demanda a costo mínimo? En este caso la decisión a tomar corresponde a la producción de computadores por trimestre. Como se puede fabricar computadores en horario normal y en sobretiempo es conveniente separar ambos tipos de producción en variables distintas. Además, se debe decidir en cada período cuantas unidades guardar en inventario. Definamos las siguientes variables ( t = 1... 4): x t = producción en el período t en horario normal y t = producción en el período t en sobretiempo i t = inventario al final del período t De acuerdo a las variables definidas podemos formular el modelo completo considerando el balance trimestral entre lo producido, lo proveniente del período anterior en inventario y la demanda del trimestre respectivo. Min z = 2000(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 2200(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) + 100(i 1 + i 2 + i 3 ) st 5000 + x 1 + y 1 = 7000 + i 1 i 1 + x 2 + y 2 = 15000 + i 2 i 2 + x 3 + y 3 = 10000 + i 3 i 3 + x 4 + y 4 = 8000 x t 10000 t y t 2500 t x t, y t, i t 0 t Para la formulación anterior se ha supuesto que cada computador es completamente fabricado en horario normal o en sobretiempo y que las variables pueden ser no enteras. Evidentemente este supuesto puede no ser correcto en la situación real, pero constituye una buena aproximación del problema. Revisando la formulación propuesta, se observa que no existe la variable i 4 Porqué no se incluye en el modelo? Qué pasaría si se incorporara? 8

5.4. Problema de Transporte Supongamos un problema de transporte de algún producto desde n orígenes hacia m destinos. En cada origen hay una existencia de productos e i (i = 1... n). En cada destino hay una demanda por d j unidades (j = 1... m). El costo unitario de envío desde cada origen i hacia cada destino j es de c ij. Formule un modelo de programación lineal que permita definir la distribución del producto de modo de minimizar los costos de transporte. La decisión consiste simplemente en determinar el número de productos que son transportados desde cada origen hacia cada destino. Luego, se emplearán las siguientes variables: x ij = cantidad enviada desde origen i a destino j De acuerdo a las variables definidas, la función objetivo queda: Min n m c ij x ij i=1 j=1 Las restricciones corresponden a la capacidad máxima en cada origen y a la demanda en cada destino. Además, como las variables representan cantidades, deben ser positivas. m j=1 x ij e i i = 1... n (disponibilidad) n i=1 x ij d j j = 1... m (demanda) x ij 0 i j (restricción de signo) El problema anterior se dice balanceado si se satisface que: n e i = i=1 El problema anterior admite múltiples variaciones como la incorporación de límites a la capacidad de cada ruta, incorporación de costos fijos, puntos de transbordo, rutas alternativas entre otras posibilidades. Este tipo de problema es muy versátil y puede ser aplicado a muchas situaciones que no necesariamente se refieren a transporte, además posee su propio algoritmo de resolución. Cómo cambiaría la formulación si se incorporaran k puntos de transbordo, es decir, puntos intermedios sin demanda ni oferta, pero que pueden servir como rutas alternativas para disminuir costos de envío desde un origen i a algún destino j? 5.5. Problema de Mezcla Una refinería de petróleos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado que tiene la refinería y deben cumplir las especificaciones que se presentan en el Tabla 5.3. Las características del inventario de petróleos refinados se muestran en el Tabla 5.4. Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar la ganancia semanal de la refinería. m j=1 d j 9

Presión máxima de vapor Octanaje mínimo Demanda máxima [barril/semana] Entregas mínimas [barril/semana] Regular 23 88 100.000 50.000 Extra 23 93 20.000 5.000 Tabla 5.3: Especificaciones de las gasolinas Presión Inventario Costo Octanaje de vapor [barril] [US$/barril] Nacional 25 87 40.000 8 Importado 15 98 60.000 15 Tabla 5.4: Características de los petróleos Para poder formular un modelo para el problema supondremos que no existen pérdidas en el proceso de refinamiento y que tanto el octanaje como la presión de vapor se pueden mezclar linealmente. De acuerdo al supuesto anterior debemos definir variables que nos permitan controlar que proporción de cada tipo de petróleo se empleará para fabricar cada tipo de gasolina, así: x ij = cantidad de petróleo refinado tipo i (i = 1, 2) para fabricar gasolina j (j = 1, 2) Donde petróleo refinado tipo 1 corresponde a Nacional y tipo 2 a Importado, gasolina 1 equivale a Regular y gasolina 2 a Extra. Consideremos las variables anteriores en barriles, de modo de emplear las proporciones entregadas en el enunciado. Como se conoce el precio de venta de cada gasolina y el costo de cada petróleo, la función objetivo se reduce a maximizar la diferencia entre ingresos y costos, es decir, las utilidades. Max 12(x 11 + x 21 ) + 14(x 12 + x 22 ) 8(x 11 + x 12 ) 15(x 21 + x 22 ) A continuación construimos las restricciones. Las restricciones respecto de inventario disponible y demanda de cada tipo de gasolina se explican por sí solas: x 11 + x 12 40000 (Inventario petróleo tipo 1) x 21 + x 22 60000 (Inventario petróleo tipo 2) x 11 + x 21 50000 (Demanda mínima de gasolina tipo 1) x 11 + x 21 100000 (Demanda máxima de gasolina tipo 1) x 12 + x 22 5000 (Demanda mínima de gasolina tipo 2) x 12 + x 22 20000 (Demanda máxima de gasolina tipo 2) Las restricciones de presión de vapor y de octanaje mínimo deben ser normalizadas respecto de la 10

cantidad total fabricada, que no es necesariamente la cantidad máxima o mínima posible de fabricar. 25x 11 +15x 21 x 11 +x 21 23 (Presión de vapor máxima gasolina tipo 1) 25x 12 +15x 22 x 12 +x 22 23 (Presión de vapor máxima gasolina tipo 2) 87x 11 +98x 21 x 11 +x 21 88 (Octanaje mínimo gasolina tipo 1) 87x 12 +98x 22 x 12 +x 22 88 (Octanaje mínimo gasolina tipo 2) Finalmente, el modelo queda completo con las condiciones de signo: x ij 0 i j 5.6. Problema de Producción y Asignación de Personal Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0,4 por hora, y el tercero, un obrero calificado recibe $0,6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50 % superior durante este período. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variable son de $1,0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2,4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6,5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0,5 horas de obrero no calificado y 0,25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la otra empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0,5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo listo para entregar al mercado se puede producir con 0,6 horas de obrero no calificado y 0,5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de que permita responder la consulta: Cómo y cuánto producir para cumpir el contrato de modo de maximizar las utilidades? En este caso, es posible establecer tres tipo de productos: intermedio (i = 1), intermedio que se acaba (i = 2) y acabado (i = 3). Por lo tanto, se puede definir las siguientes variables: x i = cantidad de productos tipo i fabricados i = 1,... 3 De acuerdo al enunciado, los dos obreros no calificados y el obrero calificado trabajan 40 horas semanales fijas, por lo tanto, sólo es necesario cuantificar como variables las horas extraordinarias de trabajo. z j = horas extraordinarias de los trabajadores tipo j j = 1, 2 Donde tipo 1 corresponde a obreros no calificados y tipo 2 a obreros calificados. 11

Como existe información de costos de producción y de precio de venta para razonable plantear el problema como uno de maximización de utilidades. Luego, debemos expresar la diferencia entre ingresos (I) y costos (C) como función de las variables de decisión: Luego, la función objetivo queda: I = 6,5 x 1 + 15 (x 2 + x 3 ) C = 2 40 0,4 + 0,6 z }{{} 1 + 1 40 0,6 + 0,9 z 2 + }{{} sueldos o.n.c. sueldos o.c. 1 (2 40 + z 1 ) + 2,4 (1 40 + z 2 ) + }{{}}{{} 800 gastos de operación variables costos fijos Max Z = I C De acuerdo al enunciado, existen límite inferior y superior para la demanda de productos intermedios: x 1 100 x 1 150 Las otras restricciones tienen que ver con la disponibilidad de mano de obra para producción: 0,5 (x 1 + x 2 ) + 0,6 x 3 80 + z 1 z 1 20 0,25 x 1 + 0,75 x 2 + 0,5 x 3 40 + z 2 z 2 10 Finalmente, se deben incorporar la restricciones de signo: 5.7. Ejemplos adicionales x i, z j 0 i, j 1. Una determinada aerolínea, con centro en Santiago, está diseñando un nuevo sistema de atención a pasajeros que realicen viajes a cuatro destinos específicos: Antofagasta, Temuco, Puerto Montt y Punta Arenas. Para eso consta de tres tipos de aviones, los que difieren en capacidad, rendimiento y costos, según se muestra en el Tabla 5.5. Históricamente para esta época se tiene Tipo de Costo de Operación por viaje en la ruta: Avión Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas 1 1000 1100 1200 1500 2 800 900 1000 1000 3 600 800 800 900 Tabla 5.5: Costos de operación por viaje una demanda mínima diaria de 90 pasajeros a Antofagasta, 100 a Temuco, 200 a Puerto Montt y de 120 pasajeros a Punta Arenas. Además, lo que la aerolínea recibe por pasajero a cada lugar es de 40 si el destino es Antofagasta, 40 si el destino es Temuco, 45 si el destino es Puerto Montt y 70 si se viaja a Punta Arenas. Los datos tanto de operación y de disponibilidad que actualmente tiene la aerolínea se muestran en el Tabla 5.6. Finalmente, se ha dispuesto (de preferencia, pero no obligatoriamente) atender 12

Tipo de Avión Capacidad (pasajeros) Número de Aviones 1 50 5 2 30 8 3 20 10 Tabla 5.6: Capacidad y disponibilidad de aviones Tipo de Número máximo de viajes diarios a: Avión Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas 1 3 2 2 1 2 4 3 3 2 3 5 5 4 2 Tabla 5.7: Costos de operación por viaje más de una ruta por cada tipo de avión, ante lo cual se han planteado condiciones al diseño del sistema de pasajeros (Tabla 5.7). Determinar el modelo de programación lineal que permita optimizar la asignación de los aviones a las distintas rutas. Para plantear el problema, se debe definir variables de decisión que sean capaces de reflejar el tipo de avión (i = 1,... 3) y el destino (j = 1,... 4) al que es asignada. Luego, se define: x ij = número de aviones de tipo i asignados al destino j En este problema, no se conoce el valor exacto de la demanda por pasajes ya que sólo se conoce el valor mínimo de la demanda por pasajes. Por lo tanto, se puede formular la función objetivo de dos formas: como un un problema de maximización de las utilidades obtenidas de la diferencia entre el ingreso mínimo asociado a la demanda mínima conocida y el costo de asignación de los aviones (ingresos constantes), o bien simplemente como un problema de minimización de costos de asiganción. Intuitivamente es claro que maximizar una constante menos unas función frente a minimizar la misma función es equivalente, por lo que cualquiera de las dos formulaciones conduce a la misma solución. Luego, la función objetivo queda: Min 3 4 c ij x ij i=1 j=1 Donde los coeficientes c ij corresponden a los datos del Tabla 5.5. Luego, se procede a plantear las restricciones. En primer lugar se debe garantizar poder satisfacer la demanda mínima, por lo tanto basta ponderar la capacidad de cada tipo de avión por el número asignado a cada destino j: 50x 1j + 30x 2j + 20x 3j d j j = 1,... 4 Donde d j representa la demanda de cada destino j, es decir: 90, 100, 200 y 120 para Antofagasta, Temuco, Puerto Montt y Punta Arenas, respectivamente. 13

Por otro lado, no es posible asignar más aviones de los disponibles: 4 x ij n i i = 1,... 3 j=1 Donde n i representa la disponibilidad del tipo de avión i, es decir, 5, 7 y 10. También existe una restricción asociada al número de viajes diarios máximo por tipo de avión i a cada destino j: x ij m ij i j Los coeficientes m ij corresponden a los datos del Tabla 5.7. Finalmente, sólo se debe agregar la restricción de signo: x ij 0 i j 2. Un importador de whisky está planificando su negocio considerando que en las próximas temporadas tendrá las siguientes demandas (en miles de botellas): Tipo Temporadas 1 2 3 4 Seco 10 12 14 8 Frutoso 13 15 17 19 Añejo 21 25 9 11 El whisky seco lo vende a 34 unidades monetarias por botella, el frutoso a 28, 5 y el añejo a 22, 5, en las primeras dos temporadas. En las siguientes temporadas se espera poder venderlos en un 5 % más caro. Cada tipo de whisky es elaborado mezclando tres materias primas, A, B y C, de las cuales puede importar un máximo de 2000, 2500 y 1200 botellas por temporada a un costo de 35, 25 y 20 unidades monetarias, respectivamente. Estos costos, válidos para la primera temporada, deberían aumentar un 2 % en cada temporada. El whisky seco debe contener por lo menos un 60 % de la materia prima 1 y no más de un 20 % de la materia prima 3, el frutoso debe contener por lo menos un 15 % de la materia prima 1 y no más de un 60 % de la materia prima 3, y el añejo debe contener por lo menos un 50 % de la materia prima 2. Cada botella de whisky fabricada en una temporada puede ser vendida en dicha temporada o almacenada a un costo unitario por temporada de 0, 5 unidad monetaria para ser vendida posteriormente. Formule un modelo de programación lineal que permita optimizar las actividades del importador. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. Variables: x ijk = cantidad de materia prima k para fabricar whisky i en temporada j y ij = cantidad de whisky tipo i vendido en temporada j z ij = cantidad de whisky tipo i almacenado en temporada j 14

Función objetivo: máx 4 (1 + (j 1) 0,05) (34y 1j + 28,8y 2j + 22,5y 3j ) j=1 4 3 3 (1 + (j 1) 0,02) (35x ija + 25x ijb + 20x ijc ) 0,5 j=1 i=1 j=1 i=1 3 z ij Restricciones: Disponibilidad de materia prima: 3 x ija 2000 j = 1... 4 i=1 3 x ijb 2500 j = 1... 4 i=1 3 x ijc 1200 j = 1... 4 i=1 Venta máxima por temporada: Proporciones de materias primas: y 11 10 y 12 12 y 13 14 y 14 8 y 12 13 y 22 15 y 23 17 y 24 19 y 13 21 y 23 25 y 33 9 y 34 11 x 1jA 0,6 x 1jC 0,2 x 2jA 0,15 x 2jC 0,6 x 3jB 0,5 C x 1jk j = 1... 4 k=a C x 1jk j = 1... 4 k=a C x 2jk j = 1... 4 k=a C x 2jk j = 1... 4 k=a C x 3jk j = 1... 4 k=a 15

Producción, ventas y almacenaje por temporada: C x i1k = y i1 + z i1 i = 1... 3 k=a C x i2k + z i1 = y i2 + z i2 i = 1... 3 k=a C x i3k + z i2 = y i3 + z i3 i = 1... 3 k=a C x i4k + z i3 = y i4 i = 1... 3 k=a Naturaleza de las variables: x ijk 0 i, j, k y ij, z ij 0 i, j 3. Considere el problema de programación de la producción de un conjunto de m tipos diferentes de artículos para los próximos n meses en una fábrica: En cuanto al uso de materias primas, el costo de producir un artículo de tipo i se estima en c i. Producir un artículo de tipo i requiere mo i horas de mano de obra, disponiendo la fábrica de h j horas de mano de obra durante el mes j. En ciertos meses, la fábrica puede emplear horas extras para aumentar sus recursos de mano de obra. En general, se puede denotar por st j la cantidad máxima de horas extras disponibles en el mes j, cada una con un costo unitario de cst. La demanda por artículos de tipo i en el mes j se estima en d ij, las cuales necesariamente deben ser satisfechas. El exceso de producción puede ser almacenado a un costo mensual unitario de s. Existe capacidad para almacenar un volumen máximo de v, pudiéndose representar por v i el volumen de un artículo de tipo i. Políticas de producción exigen que al final del período bajo consideración exista un inventario mínimo de s i unidades de artículos de tipo i. Formule un modelo de programación lineal que permita planificar la operación de la fábrica durante los próximos n meses de forma tal de minimizar el costo total. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. Variables: x ij : Cantidad de artículos de tipo i producidos en el mes j; i = 1,..., m, j = 1,..., n. s ij : Cantidad de artículos de tipo i almacenados en el mes j; i = 1,..., m, j = 1,..., n. y j : Cantidad de horas extras de mano de obra en el mes j: j = 1,..., n. Función objetivo: 16

Minimizar costo total = costo de producción + costo de mano de obra + costo de almacenamiento Restricciones Mano de obra: Min z = n j=1 i=1 m x ij c i + n y j cst + j=1 n j=1 i=1 m s ij s m x ij mo i h j + y j j = 1,..., n i=1 y j st j j = 1,..., n Demanda: Almacenamiento: s ij = s ij 1 + x ij d ij i = 1,..., m, j = 1,..., n Inventario final: m s ij v i v j = 1,..., n i=1 No-negatividad: s in s i i = 1,..., m x ij, s ij, y j 0 i = 1,..., m, j = 1,..., n 4. El Alto Mando Norteamericano empleó un modelo de programación lineal para planificar la invasión de sus fuerzas armadas a Irak. El plan consistió en desembarcar tropas y vehículos militares en las proximidades de la ciudad de Basora, para luego avanzar por tierra a la ciudad de Nasiriya, luego a Karbala, a continuación a Bagdad y finalmente a Mosul. El número de tropas requeridas para tomar cada una de las cinco ciudades se calculó en T i (i = 1... 5). Se estimó que en cada asalto podrían perecer el 5 % de las tropas y podrían perderse el 2 % de los vehículos militares. El costo unitario de trasladar las tropas y vehículos por tierra entre las ciudades i y j se estimó en k ij y m ij, respectivamente. Una vez conquistada una ciudad, el número de soldados necesarios para asegurar su control se estimó en C i. Evidentemente, las tropas dejadas en una ciudad para asegurar su control no pueden seguir en la campaña de invasión. En cada tropa, en las que participan en la invasión y en las que aseguran cada ciudad, se debe asegurar que al menos exista un vehículo cada 10 soldados. Previo a la invasión de cada ciudad, es posible reforzar el contingente militar enviando paracaidistas. El costo de enviar cada soldado en avión se estimó en p, independiente del punto de destino. Los costos de desembarco se estimaron en b para los soldados y en d para los vehículos militares. 17

Formule un modelo de programación lineal que permita planificar la invasión de Irak a costo mínimo. Variables: x i = número de soldados que llegan por tierra a la ciudad i (i = 1... 5) y i = número de soldados que llegan por aire a la ciudad i (i = 1... 5) z i = número de soldados que se quedan en la ciudad i (i = 1... 5) v i = número de vehículos que llegan a la ciudad i (i = 1... 5) q i = número de vehículos que se quedan en la ciudad i (i = 1... 5) Función objetivo: Restricciones: Basora: Nasiriya: Karbala: Min z = b x 1 + d y 1 + 5 k i 1 i x i + i=2 x 1 + y 1 T 1 z 1 C 1 5 m i 1 i v i + p i=2 x 2 = 0,95(x 1 + y 1 ) z 1 v 1 1 10 (x 1 + y 1 ) q 1 1 10 z 1 v 2 = 0,98v 1 q 1 x 2 + y 2 T 2 z 2 C 2 x 3 = 0,95(x 2 + y 2 ) z 2 v 2 1 10 (x 2 + y 2 ) q 2 1 10 z 2 v 3 = 0,98v 2 q 2 x 3 + y 3 T 3 z 3 C 3 x 4 = 0,95(x 3 + y 3 ) z 3 v 3 1 10 (x 3 + y 3 ) q 3 1 10 z 3 v 4 = 0,98v 3 q 3 5 i=1 y i 18

Bagdad: x 4 + y 4 T 4 z 4 C 4 x 5 = 0,95(x 4 + y 4 ) z 4 v 4 1 10 (x 4 + y 4 ) q 4 1 10 z 4 v 5 = 0,98v 4 q 4 Mosul: x 5 + y 5 T 4 z 5 C 5 v 5 1 10 (x 5 + y 5 ) q 5 1 10 z 5 Naturaleza de las variables: x i, y i, z i, v i, q i 0 19