Geometría con GeoGebra
Geometría con GeoGebra 2 Actividad 1: Para empezar Puesta en marcha del programa Para arrancar el programa, haz doble clic sobre el icono que está en el Escritorio. (si no encuentras el icono en el Escritorio, accede desde Inicio/Todos los programas/geogebra/geogebra) Es aconsejable Maximizar la ventana para trabajar más cómodamente con el programa. La parte superior de la pantalla contiene la Barra de Título, la Barra de Menús y la Barra de Herramientas: Cada uno de los botones de la Barra de Herramientas permite desplegar un menú diferente. Pulsa en el cuarto de ellos sobre el triángulo de la parte inferior derecha. Verás cómo se abre el correspondiente menú y cómo cambia el aspecto del botón cuando seleccionas, por ejemplo la herramienta Polígono. Observa que a la derecha de la Barra de herramientas se actualiza un pequeño texto de ayuda para el uso de la correspondiente herramienta. Cómo guardar y recuperar tu trabajo En la barra de Menús aparece la línea de comandos (Archivo, Edición,...) de la misma forma que en otros programas:
Geometría con GeoGebra 3 Prueba ahora a construir alguna figura como los da la figura siguiente, para acostúmbrate al programa. Actividad 1
Geometría con GeoGebra 4 Actividad 2: Construir figuras geométricas Si no has cerrado GeoGebra, haz clic en Archivo-Nuevo, para empezar una nueva construcción. El ejercicio consiste en construir un triángulo cualquiera ("modificable con el ratón") y a partir de él la circunferencia que lo circunscribe. También deseamos conocer el centro de esa circunferencia. En primer lugar prepara la zona de trabajo quitando los ejes y la cuadrícula. A continuación dibuja el triángulo con la herramienta Polígono Haz clic en tres puntos (A, B, y C) de la vista gráfica. Para acabar la construcción del triángulo hace falta "cerrarlo" haciendo clic sobre el primero de los vértices (A). Despliega la Barra de Estilo y elige el color, opacidad y grosor que quieras para el triángulo.
Geometría con GeoGebra 5 Ahora ya está dibujado el triángulo "cualquiera", comprueba que puedes mover sus vértices con la herramienta Elige y Mueve Dibuja la circunferencia que circunscribe al triángulo, es decir que pasa por los tres vértices. Para ello selecciona Circunferencia dados Tres de sus Puntos, que se hace visible al desplegar la lista de botones pulsando sobre la flechita de la esquina inferior derecha del botón visible Circunferencia Comprueba ahora moviendo los vértices del triángulo como cambia la circunferencia. También puedes mover la circunferencia, haciendo clic y arrastrando. Por último localiza el centro de la circunferencia, circuncentro del triángulo. Cómo lo harías con papel y lápiz? Con GeoGebra se puede hacer de una forma muy rápida, seleccionar Punto medio o Centro Guarda tu construcción con el nombre actividad2.ggb
Geometría con GeoGebra 6 Actividad 3: Dos triángulos Haz clic sobre Archivo, Abrir y busca el archivo actividad3.ggb que encontrarás en la carpeta (Mis documentos/geometriacongeogebra) Prueba a mover alguno de sus elementos. Selecciona primero la herramienta Desplaza, y pasa el ratón por encima de los diferentes elementos geométricos del dibujo hasta que alguno aparezca levemente resaltaso, apretando con el botón izquierdo del ratón podrás mover el elemento seleccionado. Prueba a mover alguno de sus elementos, con el botón izquierdo del ratón podrás mover el elemento seleccionado. Qué relación hay entre los dos triángulos y el punto O? Y entre las medidas de sus lados? Y entre las áreas?
Geometría con GeoGebra 7 Actividad 4: Ángulos en la circunferencia. La actividad consiste en dibujar un ángulo inscrito en una semicircunferencia. Desliza el punto P sobre la semicircunferencia y fíjate qué valores toma el ángulo. Cómo es el triángulo que se obtiene? Guarda tu construcción con el nombre ang_inscrito.ggb. Actividad 5: Dos triángulos Dibuja una figura como la adjunta: Te recomiendo el siguiente orden: Dibuja una circunferencia y llama al centro O Sitúa en la circunferencia y nombra los tres puntos restantes. Representa los segmentos y los ángulos. Y finalmente traza el arco C. Guarda tu construcción con el nombre angulo_central.ggb. A qué ángulo se le llamará central y a cuál inscrito? Por qué? Modifica la posición de los puntos, observas alguna relación entre las medidas de los ángulos?
Geometría con GeoGebra 8 Actividad 6: Dibuja un triángulo con los vértices sobre una circunferencia y que uno de sus lados sea el diámetro de la circunferencia. Guarda tu construcción con el nombre triangulo1.ggb Es recomendable seguir los siguientes pasos: Dibujar la circunferencia dados su centro y uno de sus puntos Trazar el diámetro con la herramienta recta que pasa por dos puntos, con la herramienta intersección de dos objetos para obtener el punto del segmento del diámetro. Dibuja un punto sobre la circunferencia. Dibujar el triángulo con los tres puntos, los extremos del diámetro y el anterior. Cómo es el triángulo obtenido? Actividad 7: Ahora abre tu construcción anterior (triangulo1.ggb) si las has cerrado. Une el centro de la circunferencia con el vértice opuesto del triángulo como en la figura. Guarda tu construcción con el nombre triangulo2.ggb. Investiga Cómo es el área de los dos triángulos pequeños?
Geometría con GeoGebra 9 Actividad 8: Haz clic sobre Archivo, Abrir y busca el archivo actividad8.ggb que encontrarás en la carpeta (Mis documentos/geometriacongeogebra) Cómo se calcula área de un paralelogramo? Y la de un triángulo?
Geometría con GeoGebra 10 Actividad 9: Dibuja un cuadrilátero cualquiera, une los puntos medios de los lados para obtener un nuevo cuadrilátero. Guarda tu construcción con el nombre actividad9.ggb Cómo es ese nuevo cuadrilátero? Cómo es el área de este cuadrilátero? La figura corresponde a un caso particular de los cuadriláteros, se ha dibujado un cuadrado. Prueba con otros cuadriláteros.
Geometría con GeoGebra 11 MEDIANAS Actividad 10: Baricentro Las medianas de un triángulo son las rectas que se unen cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto. BARICENTRO (G) Es el punto de corte de las tres medianas de un triángulo. Pasos a seguir: Dibuja un triángulo ABC Dibuja dos medianas del triángulo: AM y BN, con las herramientas Punto medio y Segmento entre dos puntos. Las dos medianas se cortan en el punto G (baricentro) Guarda tu construcción con el nombre baricentro.ggb. Comprueba que la tercera mediana CP pasa por ese punto. INVESTIGA Utiliza la herramienta Distancia para medir los dos segmentos en el que el baricentro G divide a una cualquiera de las tres medianas, por ejemplo la mediana AM. Modifica la posición de los vértices del triángulo y observa cómo cambian las longitudes anteriores. Observas alguna relación entre ellas?
Geometría con GeoGebra 12 ALTURAS Actividad 11: Ortocentro Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice del triángulo al lado opuesto. ORTOCENTRO (O) Es el punto de corte de las tres alturas de un triángulo. Pasos a seguir: Dibuja un triángulo ABC. Dibuja en él una altura. Mueve los vértices para comprobar la validez de la construcción, es decir que la altura sigue siendo perpendicular al lado por el vértice opuesto. Dibuja una segunda altura. Estas alturas se cortan en un punto O (ortocentro) Dibuja la tercera altura y comprueba que pasa por el punto O. Guarda tu construcción con el nombre ortocentro.ggb. INVESTIGA Al mover los vértices del triángulo comprobará que el ortocentro no siempre se sitúa en el interior del triángulo. En qué tipo de triángulos el ortocentro está dentro o fuera de él? Cómo se llaman los triángulos en los que el ortocentro coincide con un vértice?
Geometría con GeoGebra 13 MEDIATRICES Actividad 12: Circuncentro Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de sus lados que pasan por el punto medio. CIRCUNCENTRO M Es el punto de corte de las tres mediatrices de un triángulo. Es el punto equidistante de los tres vértices. Pasos a seguir: Dibuja un triángulo ABC. Traza sus mediatrices con la herramienta Mediatriz en cada uno de sus lados. Comprueba que se cortan en un punto M. Dibuja la circunferencia con centro M que pasa por uno de los vértices. Comprueba que los otros dos vértices también pertenecen a la circunferencia. Esta circunferencia esta circunscrita al triángulo y su centro M es el circuncentro del triángulo. Guarda tu construcción con el nombre circuncentro.ggb. INVESTIGA Mueve los vértices del triángulo y observa los cambios en la construcción, sobre todo la posición del circuncentro M. Puede este punto estar fuera del triángulo? Y sobre un lado del triángulo? En caso afirmativo en qué tipo de triángulos?
Geometría con GeoGebra 14 BISECTRICES Actividad 13: Incentro Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en dos partes iguales. INCENTRO I Es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Pasos a seguir: Dibuja un triángulo ABC y sus tres bisectrices. Al seleccionar la herramienta bisectriz deberás hacer clic sobre los tres vértices del triángulo en el orden adecuado para cada una de las bisectrices. Comprueba que se cortan en un punto I, el incentro. Dibuja una circunferencia con centro en el incentro I y que toque un lado del triángulo en un único punto P.Este punto es la intersección de la recta perpendicular al lado AB que pasa por el incentro I. Fíjate en la figura. Guarda tu construcción con el nombre incentro.ggb. INVESTIGA Utiliza la herramienta Distancia para medir la distancia del incentro a cada uno de los lados del triángulo. Mueve los vértices del triángulo y observa que pasa con esas distancias.
Geometría con GeoGebra 15 INVESTIGA Actividad 14: Recta de Euler Dibuja en un triángulo los cuatro puntos notables: baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro. Pasos a seguir: Dibuja un triángulo ABC. Para dibujar el baricentro bastará con dos medianas. A continuación oculta las medianas. Para ello haz clic con el botón derecho del ratón. Dibuja el ortocentro, recuerda que con dos alturas tienes suficiente. Oculta las alturas. Ahora dibuja el circuncentro con dos mediatrices. Oculta las mediatrices y los puntos medios. Guarda tu construcción con el nombre euler.ggb A simple vista parecen alineados, mueve los vértices del triángulo y observa qué pasa. Para ayudarte puedes trazar una recta que pase por dos de los tres puntos. Mide la distancia desde el ortocentro (O) al baricentro (G) y desde el baricentro (G) al circuncentro (M). Encuentra alguna relación? Qué pasa con el incentro, también está alineado?