Tranformada de Laplace Prof. André Roldán Aranda amroldan ugr.e http : electronica.ugr.e amroldan 5 03 2009 Etudio de la tranformada de Laplace para u uo en el cálculo de la eñale de alida de circuito electrónico. El uuario debe er capaz de calcula la Función de Tranferencia en el Dominio de Laplace del circuito en cuetión. Tranformada de Laplace Tranformada Invera de Laplace Ejemplo de funcione La función de Heaviide
2 Tranformada_Laplace.nb Tranformada de Laplace Si etá utilizando Mathematica 3.0 debe cargar el módulo LaplaceTranform. No e neceario en Mathematica 4.0 y uperiore Solo i e neceario Calculu`LaplaceTranform` La función LaplaceTranform devuelve la tranformada de Laplace de la eñal f t, paando del dominio del tiempo al dominio tranformado de LAPLACE. [t ] [Para abrir el editor CTRL+9: Cerrar CTRL+0] f t F f t t t 0 con Σ Ω Verifica la iguiente propiedade: a f t b g t a F b G. t f t F' f t t F Σ Σ. f' t F f 0 f'' t 2 F f 0 f' 0. a t f t F a? LaplaceTranform LaplaceTranform expr, t, give the Laplace tranform of expr. LaplaceTranform expr, t, t 2,,, 2, give the multidimenional Laplace tranform of expr. La tranformada de Laplace no olo e aplica a IMPEDANCIAS ino también a eñale, en ete cao vamo a calcular la tranformada de: t t LaplaceTranform t Exp t, t, 2 La tranformada de Laplace de la DERIVADA f ' t de una eñal también e puede calcular: LaplaceTranform f' t, t, f 0 LaplaceTranform f t, t, donde f 0 repreenta el valor de la función juto ante de llegar al valor t 0. Eto e muy intereante porque abemo que para un condenador i C C v c ' t ; I C LaplaceTranform i C, t, C LaplaceTranform v c t, t, v c 0 en el cao del condenador V c 0 Si V c t A 0 Sin 2 Π f t repreenta la tenión de carga inicial del condenador.
Tranformada_Laplace.nb 3 v c t A 0 Sin 2 Π f t Sin 2 f Π t A 0 i C C v c ' t 2 C f Π Co 2 f Π t A 0 I C LaplaceTranform i C, t, 2 C f Π A 0 4 f 2 Π 2 2 Calcular: t Co b t F' d d 2 b 2 2 b 2 2 0 b 2 2 2 2 b 2 b 2 2 2 Calcular: in t t Σ Σ 2 Arctan Σ Σ Σ Arctan 0 Arctan Arctan
4 Tranformada_Laplace.nb Tranformada Invera de Laplace La función InvereLaplaceTranform calcula la Tranformada Invera de Laplace, trayendo la eñal del dominio tranformado de LAPLACE al dominio del tiempo otra vez. [ t F f t Σ Ω 2 Π Σ Ω F t. Mathematica puede calcular directamente la tranformada invera de la funcióna function for doing invere Laplace tranform.? InvereLaplaceTranform InvereLaplaceTranform expr,, t give the invere Laplace tranform of expr. InvereLaplaceTranform expr,, 2,, t, t 2, give the multidimenional invere Laplace tranform of expr. IMPORTANTE: Lo valore devuelto por InvereLaplaceTranform[] únicamente on válido para t 0. eñaldominiotiempo InvereLaplaceTranform,, t 2 t Ete valor e válido únicamente para t 0. y t 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 co t 3 in t y2 t 5 2 2 2 2 2 2 2 2 t 2 t
Tranformada_Laplace.nb 5 Ejemplo de Tranformada Demotrar que inh a t a 2 a 2. Dado que inh a t 2 a t 2 a t, we obtain inh a t 2 a t 2 a t 2 a t 2 a t 2 a 2 a a 2 a 2 Calcular la Tranformada de Laplace de f t e at uando la definición. Integrate Exp t Exp a t, t, 0, If Re a Re, a, Integrate a t, t, 0,, Aumption Re a 0 Calcular la Tranformada de Laplace de f t e at uando la definición. Integrate Exp t Exp a t, t, 0,, Aumption a Real, Real If a, a, Integrate a t, t, 0,, Aumption Real && a Calcular la Tranformada de Laplace de f t in t uando la definición. Integrate Exp t Sin t, t, 0, If Re 0, 2, Integrate t Sin t, t, 0,, Aumption Re 0 Calcular la Tranformada de Laplace de f t inh t uando la definición. Integrate Exp t Sinh a t, t, 0, a If Re a Re 0 && Re a Re,, a 2 2 Integrate t Sinh a t, t, 0,, Aumption Re a Re Re a Re 0 Calcular la Tranformada Invera de Laplace de f uando la librería de converión. a InvereLaplaceTranform,, t a a t Ejemplo : f t in t
6 Tranformada_Laplace.nb Calcular la Tranformada de Laplace de f(t)=in t LaplaceTranform Sin t, t, 2 Calcular la Tranformada Invera de Laplace de F 2 InvereLaplaceTranform Sin t,, t 2 Calcular la Tranformada de Laplace de co(bt) y Exp[at]co(bt) LaplaceTranform Co b t, t, b 2 2 LaplaceTranform Exp a t Co b t, t, a b 2 a 2 Calcular la Tranformada Invera de Laplace de InvereLaplaceTranform 4 ^2 4 20,, t 4 ^2 4 20 2 2 4 t 8 t Intereante aplicar la Fórmula de EULER e ix co x i in x FullSimplify Sin 4 t Coh 2 t Sinh 2 t
Tranformada_Laplace.nb 7 LaplaceTranform, t, LaplaceTranform Exp a t, t, LaplaceTranform Coh a t, t, LaplaceTranform Sin w t, t, LaplaceTranform Exp a t Sin w t, t, LaplaceTranform t^6, t, LaplaceTranform t Sin w t, t, a a 2 2 w 2 w 2 w a 2 w 2 720 7 2 w 2 w 2 2 LaplaceTranform DiracDelta t 2, t, LaplaceTranform DiracDelta t a, t, LaplaceTranform Exp t t, t, 2 a HeaviideTheta a Log Log La Función de Heaviide La función ecalón o función de Heaviide e repreenta mediante UnitStep u x UnitStep x ;
8 Tranformada_Laplace.nb Plot u x, x, 5, 5, PlotRange, 2, AxeOrigin 0.5`, 0.5`.5.0 0.5 0.0 4 2 0 2 4 Repreentar la iguente función en el dominio del tiempo : H t Pi co t : Plot u x Π Co x, x, 3, 5, PlotRange,.5`, AxeOrigin 0, 0.5`.0 0.5 0.0 5 0 5 Calcular la Tranformada Invera de Laplace de eta función y repreentarla gráficamente con alidasitema t InvereLaplaceTranform 3 3,, t 2 4 2 HeaviideTheta 3 t 2 t 6 Co 6 2 t Sin 6 2 t 8 Repreentar alidasitema t con t 4
Tranformada_Laplace.nb 9 Plot alidasitema t, t, 0, 0, PlotRange, 4, AxeOrigin 0, 0.5` 3 2 0 2 4 6 8 0