INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Relación 2: CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 1.- Obtener las medias aritmética, geométrica, armónica para la siguiente distribución: SOL: 2,74; 2,544; 2,318 Xi ni 1 5 2 15 3 20 4 8 5 2 2.- De un curso de estudiantes de primer curso de una facultad, se seleccionó una muestra de 20 alumnos y se obtuvieron las siguientes tallas en cms.: 162, 168, 174, 168, 166, 170, 168, 166, 170, 172, 188, 182, 178, 180, 176, 168, 164, 166, 167, 172. Calcular la media aritmética: a) mediante un cambio de origen b) directamente. SOL: 171,25. 3.- A partir de los datos del ejercicio 2, hallar la mediana y la moda. SOL: Mo= 168; Me= 169. 4.- A partir de los siguientes datos: Xi 0 10 20 30 40 ni 2 4 7 5 2 a) La media aritmética. b) Mediana y moda. c) Primer cuartil, cuarenta centil y el decil 5. SOL: a) 20,5 b) Me=Mo=20 c) Q1=10; C10=20; d5=20 5.- Calcular la media aritmética, mediana y moda para los siguientes datos utilizando un cambio de origen y/o de escala según proceda. Xi 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5 2,55 2,6 2,65 2,7 ni 8 9 11 14 16 12 14 10 6 SOL: Media aritmética= 2,4995; Mo=Me= 2,5 6.- En unas determinadas pruebas, los alumnos del centro obtuvieron la siguiente puntuación: 1
Ptos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ni 3 7 10 15 23 18 15 9 5 a) Mediana. b) Moda. c) Media aritmética. SOL: a) 4 b) 4 c) 4,257 7.- Dada la siguiente distribución: Xi 10 11 12 13 14 15 ni 5 18 17 12 15 13 Calcular la mediana y la moda. SOL: Me=12,5 Mo=11. 8.- Calcular la media aritmética, armónica y geométrica, moda, mediana y primer cuartil Xi 0-100 100-200 200-300 300-400 ni 90 140 150 120 SOL: M.arit=210; M.armónica=136,01; M.geom.=175,824 9.- Hallar la mediana y la moda a) xi ni b) xi ni 0-1 10 0-1 12 1-2 12 1-2 13 2-3 12 2-3 11 3-4 10 3-4 8 4-5 7 4-5 6 SOL: a) Me=2,292 1,545; 2,455 b) Me=2 10.- Hallar la moda de la siguiente distribución de la vida de 280 bombillas SOL: 1393,939 Li-1-Li ni 0-500 4 500-1000 21 1000-1500 109 1500-2000 78 2000-2500 44 2500-3000 24 2
11.- Dada la siguiente distribución: INTERVALOS 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 ni 2 5 7 16 10 a) Mediana. b) Moda. c) Media aritmética. SOL: a) 13,5 b) 14,353 c) 12,7 12.- Una determinada empresa tiene 60 empleados. La distribución de las edades de sus empleados viene dada en la tabla siguiente: Li-1 - Li ni Ni Fi hi 18 - L1 9 9 1,5 L1-26 0,35 26-32 0,65 32-50 50-56 1 a) Completar la tabla anterior y calcular L1. b) Hallar la edad más frecuente. c) Representar el histograma. 13.- Dada la siguiente distribución de datos agrupados, calcular: media aritmética, geométrica, armónica. SOL: 9,625; 6,461; 7,891 INTERVALOS 0-5 5-10 10-20 20-50 ni 3 12 4 1 14.- En una empresa el salario medio asciende a 1.800 euros. En la discusión para fijar el salario del año próximo se han propuesto: A) Elevación de cada salario en un 12% B) Elevación lineal de 100 euros. Obtener el salario medio de ambas propuestas. Si se repitiese este proceso durante 5 años, cuál sería el salario medio? 15.- En una empresa los salarios aparecen clasificados en tres categorías: Categorías Nº trabajadores Salario Medio (euros) Técnicos 20 1800 Administración 40 1000 Obreros 100 700 3
a) Calcular el salario medio para el conjunto de la empresa. b) Si para el próximo año, se propone aumentar un 15% el salario de los obreros, un 13% el de administración y un 8% el de los técnicos, determinar el nuevo salario medio. 16.- Cierto alimento se adquiere durante 4 años a razón de 12, 14, 16 y 17 u.m. por kg. Hallar el precio medio sabiendo: a) que la cantidad consumida cada año fue la misma. b) que el total de dinero gastado cada año fue constante. SOL: a) 14,75 b) 14,48 17.- La media aritmética de los salarios pagados a los empleados de una empresa ascendió a 2.000 euros. La media aritmética de los salarios pagados a los hombres y a las mujeres fue respectivamente 1.600 y 1.200 euros. Determinar el porcentaje de hombres y mujeres que trabajan en la empresa. 18.- Realizada una encuesta entre fumadores se ha obtenido: CIGARRILLOS ni 4,5-9,5 10 9,5-14,5 15 14,5-19,5 28 19,5-24,5 18 24,5-29,5 22 Se pide: a) Número medio de cigarrillos fumados por individuo y día. b) Desviación típica. Interpretación. c) Coeficiente de variación. Interpretación. d) El primer cuartil. e) La moda. f) Número medio de cigarrillos fumados por una población de 1000 habitantes supuesto que el 30% son fumadores. SOL: a) 18,5 d) 13,67 e) 17,227 f) 5,5 19.- La tabla siguiente indica la distribución de coeficientes intelectuales de 120 alumnos. 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 ni 2 3 25 46 35 5 3 1 a) Si se consideran bien dotados los alumnos cuya puntuación está sobre el percentil 95, que puntuación mínima habrá de tener? b) Si se considera atrasados los alumnos cuya puntuación sea inferior al percentil 5, que puntuación máxima han de tener? 20.- Cierto profesor, a la hora de la calificación final califica a sus alumnos según el criterio siguiente: Suspensos: 40% Aprobados: 30% Notables: 15% Sobresal.: 10% 4
Matrícula: 5% Si las notas obtenidas por el alumnado son: Notas 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 ni 34 74 56 81 94 70 41 28 16 4 a) la nota máxima para suspender. b) la nota máxima aprobar. c) la nota máxima notable. d) la nota máxima sobresaliente. e) la nota máxima matrícula. 21.- De una distribución se sabe que X= 5, Mo= 2, y Me= 4. Se construye otra nueva variable Y=2X-1. Calcular la media aritmética, moda y mediana de Y. SOL: Y=9 ; Mo=3 ; Me=7 22.- Calcular la varianza, desviación típica y coeficiente de variación de las distribuciones dadas en los ejercicios 1 y 4 e interpretar los resultados. SOL: 1.- S 2 =0,952; S= 0,976; CV= 0,356 2.- S 2 =124,75; S= 11,17; CV= 0,545 23.- Calcular la varianza de la distribución del ejercicio 5 mediante el método abreviado. SOL: 0,0132 24.- Una compañía inmobiliaria tiene 200 apartamentos para alquilar. La distribución de las superficies (X) de los apartamentos es: Superficie (m 2 ) Nº apartamentos 40 50 30 50 60 40 60 80 60 80 100 40 100 120 30 Se pide: a) Calcular la media aritmética de la variable X. b) Cuál es el tipo de apartamentos más frecuente? c) Si se hiciese una ampliación en los apartamentos, de forma que la superficie de dichos apartamentos aumenta en 5 m 2, calcular a) y b). d) Calcular la varianza de esta distribución, antes y después de la ampliación. (Utilizar un cambio de origen y escala). SOL: a) 73,25 m 2 b) 55 m 2 c) 78,25, 60 d) 448,1875 25.- La distribución del salario mensual, en euros, para un conjunto de 50 trabajadores de una 5
determinada empresa es: Salarios Nº trabajadores 750-1000 7 1000-1200 19 1200-1500 16 1500-2000 8 a) La moda. b) El salario que cobran al menos la mitad de los empleados. c) La varianza de los salarios (mediante un cambio de escala). d) Si los salarios suben primero un 15% y después aumentan en 20 euros. Cuál es la varianza de los nuevos salarios? 26.- Dada la distribución: Xi 0 1 2 3 ni 2 4 5 1 a) El momento ordinario de orden 2 y 3. b) El momento central de orden 3, de dos formas diferentes. c) La varianza, desviación típica y coeficiente de variación. SOL: a2= 2,75; a3= 5,917; m3= - 0,085 27.- En una clase se dan las siguientes notas: Notas Nº de alumnos 0 5 1 7 2 8 3 10 4 15 5 20 6 18 7 7 8 5 9 3 10 2 a) La nota media del curso. b) La desviación típica. c) El coeficiente de variación. Interpretación. d) El coeficiente de asimetría. Interpretación. e) El coeficiente de curtosis. Interpretación. SOL: a) 4'57 b) 2'3119 c) 0'5059 d) -0'03 e) -0'33 6
28.- Aplicada una escala de actitud sobre el cambio social a un grupo de 6 alumnos, da las siguientes puntuaciones: 16, 12, 10, 6, 3, 1. Hallar: a) El recorrido. b) La media aritmética. c) La desviación media respecto a la media aritmética. d) La desviación típica. e) Asimetría. f) Curtosis. g) Recorrido intercuartílico. SOL: a) 15 b) 8 c) 4,667 d) 5,196 e) 0,128 f) -1,3059 g) Q3 - Q1 29.- En una empresa la distribución de los salarios, en euros, es la siguiente: Salarios ni 600-900 10 900-1300 20 1300-2000 30 2000-3000 20 3000-4000 10 4000-5000 10 a) Salarios que definen el intervalo que agrupe el 50% central de la distribución. b) El índice de concentración de los salarios. Interpretación. 30.- Dada la distribución de sueldos, en euros, entre los empleados de una empresa : Salarios a) Los cuartiles Q1, Q2, y Q3. b) El intervalo modal. c) La media. d) La varianza. e) Coeficiente de variación. Interpretación. f) Coeficiente de asimetría. Interpretación. g) Coeficiente de curtosis. Interpretación. ni 400-600 10 600-1000 30 1000-2000 40 2000-4000 15 4000-8000 5 SOL: a) Q1=800, Q2=1250, Q3=1875 b) 600-1000 c)1640 d)157740 e)0,7658 f)2,117 g)4,5958 7
31.- De un sector económico se tienen los siguientes datos sobre las empresas que lo componen: Calcular el índice de Gini. SOL: 0,6348 Volumen de ventas. (10 4 euros.) Nº de empresas. 5-10 30 10-20 25 20-50 40 50-100 50 100-200 25 200-500 30 32.- Dada la siguiente tabla (Hi es la densidad de frecuencia acumulada o altura acumulada): Li-1 - Li Hi 20-30 0,7 30-40 1,8 40-60 2,6 60-70 3,6 70-90 3,9 a) Obtener la mediana y la moda. b) Calcular la varianza, mediante cambio de origen y escala. SOL: a) 35,33; 48,75 33.- Una empresa consta de dos secciones A y B. Los salarios mensuales de los empleados de la sección A (operarios), expresados en euros, son los siguientes: 840, 640, 780, 880, 840, 550, 780, 840, 700, 550, 640, 700, 550, 880, 840, 780, 840, 880, 780, 700, 550, 880, 780, 840, 880. La distribución de salarios mensuales, expresados en euros, para los trabajadores de la sección B (ejecutivos), es la siguiente: Li-1 - Li ni 1000-1200 3 1200-1300 6 1300-1500 7 1500-1700 10 1700-1800 4 8
a) Representar gráficamente las frecuencias absolutas de ambas secciones. b) Cuál es el salario medio de la empresa? c) En cuál de las dos secciones hay una menor dispersión relativa de los salarios? d) Se produce una modificación en los salarios de forma que los salarios de los empleados de la sección A sufren primero una disminución de un 10% y después un aumento lineal de 120 euros y los de la sección B sólo un aumento del 12%. Responder a la cuestión anterior para los nuevos salarios. e) Estudiar la simetría de los salarios de la sección A. Si tuviésemos en cuenta los nuevos salarios para la sección A, dados en el apartado d), modificaría esto la simetría obtenida inicialmente? Razonar la respuesta. f) Cuál es el salario más frecuente para los empleados de la sección B? g) En la sección B, cuál es el salario mínimo del 30% de los trabajadores de mayores ingresos? SOL: b) 1136,2 c) CV(A)=0,15 CV(B)=0,138 CV (A)=0,128 CV (B)=0,138 e) 0,69 NO M0=1270 g) P70=1600 euros 9