VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. 3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración del movimiento descrito por las curvas siguientes: (a) r (t) = i 4t 2 j + 3t 2 k. (b) r (t) = 3 cos t i + 4 sen t j. (a) Las componentes del vector de posición son x(t) = 1, y(t) = 4t 2, z(t) = 3t 2. Como 4z + 3y = 0, la trayectoria describe la recta 4z + 3y = 0 en el plano x = 1. Los vectores velocidad y aceleración son: v (t) = (0, 8t, 6t); a (t) = (0, 8, 6). Resulta que a (t) = 10, de modo que el movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado. (b) En este caso, x(t) = 3 cos t, y(t) = 4 sen t, de modo que se verifica la ecuación (x/3) 2 + (y/4) 2 = 1, la cual representa una elipse en el plano XY. Los vectores velocidad y aceleración son: v (t) = ( 3 sen t, 4 cos t); a (t) = ( 3 cos t, 4 sen t). Como a (t) = r (t), se trata de una trayectoria elíptica con aceleración centrípeta. 4. Se considera la curva dada por su vector de posición r (t) = (t sen t) i +(1 cos t) j + 4 sen(t/2) k, y el punto P = ovr(π). (a) Determinar los vectores velocidad y aceleración en el punto P. (b) Expresar T y N en función de i, j, k y a (π) como combinación lineal de T y N. (c) Determinar la curvatura en P. (a) Los vectores velocidad y aceleración vienen dados por v (t) = r (t) = (1 cos t, sen t, 2 cos(t/2)) a (t) = r (t) = (sen t, cos t, sen(t/2)). Al sustituir en el punto P, obtenemos v (π) = (2, 0, 0) y a (π) = (0, 1, 1). 1
(b) Como v (t) = (1 cos t) 2 + sen 2 t + 4 cos 2 (t/2) = 2, entonces ( 1 cos t T =, sen t ) 2 2, cos(t/2). Para calcular el vector unitario normal utilizamos la fórmula N = T / T. Como entonces ( sen t T = 2, cos t 2, sen(t/2) ), T = 1 1 + sen2 (t/2), 2 2 ( sen t N = 1 + sen2 (t/2), cos t 1 + sen2 (t/2), sen(t/2) ). 1 + sen2 (t/2) Al sustituir en el punto P, obtenemos los vectores T (π) = (1, 0, 0) y N (π) = (0, 1/ 2, 1/ 2). Para expresar el vector aceleración en función de T y N, derivamos en la expresión v = v T. Resulta que a = v T + v T = v T + v T N. Sustituyendo los valores obtenidos, tenemos que a (π) = 2( T + N ). (c) Si utilizamos la fórmula de la curvatura κ(t) = T / r, se obtiene fácilmente que κ(π) = 2/4. 5. Determinar los vectores velocidad y aceleración del movimiento descrito por la curva dada por el vector de posición r (t) = (e t, e t, ln t) en el punto correspondiente a t = 1. Calcular la curvatura de dicha curva en el punto dado. Las derivadas sucesivas del vector de posición nos dan los vectores velocidad y aceleración: v (t) = r (t) = (e t, e t, 1/t) = v (1) = (e, e 1, 1), a (t) = r (t) = (e t, e t, 1/t 2 ) = a (1) = (e, e 1, 1). Para calcular la curvatura utilizaremos la fórmula κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3. Así pues, como r (1) r (1) = i j k e e 1 1 e 1 e 1 1 = (0, 2e, 2). resulta: κ(1) = 4e2 + 4 (e 2 + e 2 + 1) 3/2. 2
6. Encontrar la recta tangente a la hélice cilíndrica descrita por las ecuaciones paramétricas x = cos t, y = sen t, z = t/2, con t R, en el punto (0, 1, π/4). Observamos en primer lugar que el punto dado corresponde al valor t = π/2. Como la curva está descrita por la parametrización f(t) = (cos t, sen t, t/2), su derivada es f (t) = ( sen t, cos t, 1/2), de modo que el vector director de la recta tangente es f (π/2) = ( 1, 0, 1/2). Por tanto, la recta tangente a la curva en (0, 1, π/4) tiene por ecuación r (λ) = (0, 1, π/4) + λ( 1, 0, 1/2), λ R. 7. Dada la hélice r (t) = (a cos wt, a sen wt, bwt), con w > 0, probar que la recta tangente forma un ángulo constante con el eje Z cuyo coseno es b a. Además los vectores 2 +b2 velocidad y aceleración tienen longitud constante y v a a v 3 = a 2 + b 2. El vector director de la recta tangente a la curva r (t) en un punto P (x 0, y 0, z 0 ) = r (t 0 ) es r (t 0 ) = ( aw sen wt 0, aw cos wt 0, bw) y r (t 0 ) = w a 2 + b 2. Como el vector unitario en la dirección del eje Z es k = (0, 0, 1), el ángulo entre estos vectores se calcula mediante el producto escalar r (t 0 ) k cos α = r (t 0 ) b = k a2 + b. 2 Por otra parte, como v (t) = r (t) = ( aw sen wt, aw cos wt, bw), entonces a (t) = r (t) = ( aw 2 cos wt, aw 2 sen wt, 0). Además, v (t) a (t) = i j k aw sen wt aw cos wt bw aw 2 cos wt aw 2 sen wt 0 = (abw 3 sen wt, abw 3 cos wt, a 2 w 3 ). Así pues, la curvatura de la hélice viene dada por v a v 3 = a2 b 2 w 6 + a 4 w 6 w 3 (a 2 + b 2 ) 3 = a a 2 + b 2. 3
8. Sea c un vector unitario fijo. El vector posición r (t) de una partícula verifica c r (t) = e 2t, para todo t, y su vector velocidad v (t) forma un ángulo constante ϑ con c (0 < ϑ < π/2). (a) Demostrar que la velocidad en t es v = 2e2t cos ϑ. (b) Calcular a (t) v (t) en función de t y ϑ. (a) Por una parte, c v (t) = c v cos ϑ = v cos ϑ. Por otra parte, si derivamos los dos miembros de la igualdad c r (t) = e 2t, obtenemos que c r (t) = 2e 2t. En definitiva, 2e 2t = v cos ϑ, de donde v = 2e2t cos ϑ. (b) Derivamos ahora los dos miembros de la igualdad v (t) v (t) = v 2 = a (t) v (t) + v (t) a (t) = 16e 4t cos 2 ϑ = a (t) v (t) = 8e4t cos 2 ϑ. 4e4t cos 2 ϑ : 9. Una partícula de masa unidad se mueve en un plano mediante la ecuación r (t) = (x(t), y(t)); es atraída hacia el origen por una fuerza de magnitud igual a 4 veces su distancia al origen. En el instante t = 0, la posición inicial es r (0) = (4, 0) y el vector velocidad inicial es v (0) = (0, 6). Determinar las componentes x(t), y(t) en función de t, hallar la ecuación cartesiana de la trayectoria e indicar la dirección del movimiento sobre la curva. De los datos del problema, sabemos que F (t) = k ( x(t), y(t)), (k > 0) y F (t) = 4 r (t), de modo que F (t) = ( 4x(t), 4y(t)). Por otra parte, como la partícula se supone de masa unidad, F (t) = a (t) = r (t) = (x (t), y (t)), lo que nos lleva al sistema de ecuaciones x (t) = 4x(t), y (t) = 4y(t), cuya solución general es x(t) = a 1 cos 2t + a 2 sen 2t, y(t) = b 1 cos 2t + b 2 sen 2t. A partir de las condiciones iniciales x(0) = 4, x (0) = 0, y(0) = 0, y (0) = 6, obtenemos en definitiva que la posición del móvil viene dada por el vector r (t) = (4 cos 2t, 3 sen 2t), lo que corresponde a la elipse x2 16 + y2 = 1 recorrida en sentido antihorario. 9 4
10. Una partícula se mueve a lo largo de la elipse 3x 2 + y 2 = 1 con vector de posición r (t) = (f(t), g(t)). El movimiento es tal que la componente horizontal del vector velocidad en t es g(t). Cuál es el sentido del movimiento de la partícula, a favor o en contra de las agujas del reloj? Probar que la componente vertical del vector velocidad en t es proporcional a f(t). Si r (t) = (f(t), g(t)), entonces r (t) = (f (t), g (t)). Por hipótesis, f (t) = g(t). Por otra parte, como la partícula recorre la elipse 3x 2 + y 2 = 1, entonces 3f 2 (t) + g 2 (t) = 1. Al derivar respecto a t, obtenemos que 6f(t) f (t) + 2g(t) g (t) = 0 = ( 3f(t) + g (t)) g(t) = 0 = g (t) = 3f(t). De este modo, el vector velocidad es v (t) = ( g(t), 3f(t)) y el movimiento es contrario al de las agujas del reloj. 11. Una partícula sigue la trayectoria r (t) = (e t, e t, cos t) hasta que se sale por su tangente en t = 1. Dónde está en t = 2, si ninguna fuerza actúa sobre ella después de dejar la curva? Para determinar la recta tangente en t = 1 calculamos los vectores de posición y de velocidad para dicho valor de t. Así, r (1) = (e, e 1, cos 1), r (1) = (e, e 1, sen 1). La ecuación de la recta tangente es (x(t), y(t), z(t)) = (e, e 1, cos 1)+(t 1) (e, e 1, sen 1). En t = 2, la posición de la partícula es (x(2), y(2), z(2)) = (2e, 0, cos 1 sen 1). 5