Capítulo 8: Vectores

Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no importa solamente la magnitud, sino también la dirección, el sentido y el punto de aplicación. Trabajaremos casi exclusivamente con vectores en el plano real o en el espacio tridimensional, en los que supondremos fijados unos ejes cartesianos. Por tanto, los puntos del plano o el espacio quedan determinados por 2 o 3 coordenadas, respectivamente. Para nosotros, un vector del plano es un elemento de R 2 ; es decir, un par ordenado (a, b) de números reales. Un vector del espacio es un elemento de R 3, esto es, una terna ordenada (a, b, c) de números reales. La mayoría de los conceptos que usaremos tendrán sentido en R 2 y en R 3. Cuando el salto de una situación a otra sea evidente, no haremos más comentarios. En muchas ocasiones, daremos la definición para R 3 y haremos el gráfico en R 2. Para distinguir entre números reales y vectores, llamaremos a los primeros escalares. 1.2. La interpretación de los vectores Si fijamos unos ejes cartesianos, podemos representar los puntos del plano o del espacio como elementos de R 2 o R 3, respectivamente. Por otra parte, dichos elementos son también vectores. Esto permite dar una interpretación geométrica de los vectores. Según esta interpretación, el vector (a, b, c) de R 3 se considera como un segmento orientado (una flecha) que une el origen con el punto de coordenadas (a, b, c). Recíprocamente, el punto P de coordenadas (x, y, z) tiene su vector de posición: este es precisamente el vector (x, y, z). Cualquier par de puntos A, B determina un segmento orientado, la flecha que tiene origen A y extremo B; consideramos dicho segmento orientado AB como el vector v que tiene la misma longitud, dirección y sentido que AB. Para indicar que consideramos ese segmento orientado como un vector, lo escribimos como AB = v. 1

OY y v x v A B OX Si el vector v = (v 1, v 2, v 3 ) se aplica al punto A(a 1, a 2, a 3 ), da lugar al vector AB = v, como se ha indicado más arriba. En tal caso, si las coordenadas de B son (b 1, b 2, b 3 ), se tiene Es decir, (v 1, v 2, v 3 ) = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) v 1 = b 1 a 1, v 2 = b 2 a 2, v 3 = b 3 a 3 OY v A B OX Dados cuatro puntos P, Q, P, Q con la condición de que no hay tres de ellos alineados, se verifica que P Q = P Q si y solo si los segmentos P Q y P Q son los lados opuestos de un paralelogramo. P Q P Q P Q 1.3. Operaciones con vectores P Los vectores se pueden sumar entre sí o multiplicar por un escalar para obtener nuevos vectores; ambas operaciones se hacen coordenada a coordenada: Q (x, y, z) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ), r(x, y, z) = (rx, ry, rz) La suma de vectores es asociativa y conmutativa. En el producto de escalares por vectores, destacamos las propiedades: r( u ± v ) = r u ± r v, (r ± r ) u = r u ± r u En la interpretación geométrica, la suma es el vector que se obtiene al aplicar el segundo sumando al extremo del primero; el producto es el vector que se obtiene al escalar el vector dado por el factor r (y cambiar el sentido si r < 0). w v v + w u 3 u 2

Una combinación lineal de los vectores v 1, v 2,..., v n es cualquier vector de la forma n r 1v1 + r 2v2 + + r nvn = r i vi donde los r i pueden ser escalares cualesquiera; estos se llaman los coeficientes de la combinación lineal. Por ejemplo, si v 1, v 2 son dos vectores del espacio que no tienen la misma dirección, entonces todos los vectores cuyo extremo está en el plano determinado por v 1, v 2 son combinación lineal de v 1, v 2. Por otro lado, las combinaciones lineales de un solo vector v 0 son todos los vectores que tienen la misma dirección que v. Se llama base canónica de R 3 al conjunto formado por los tres vectores i=1 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Cada vector v = (a, b, c) de R 3 es combinación lineal de estos vectores: v = (a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = a i + b j + c k y esta combinación es única, en el sentido de que no se pueden elegir otros coeficientes para poner v como combinación lineal de i, j, k. 1.4. Módulo y vectores unitarios El módulo o norma de un vector v = (a, b, c) es v = a 2 + b 2 + c 2 Es decir, v es la longitud del segmento que es la representación geométrica de v. Los vectores de módulo 1 se llaman unitarios y son importantes porque constituyen un buen modo de describir un sentido en el plano o en el espacio (hay infinitos vectores con una dirección y un sentido dado, pero solo uno de ellos es unitario). Para asignar a cada vector no nulo v un vector unitario con su misma dirección y sentido, basta multiplicar el vector por el inverso de su módulo. y v es unitario. v = 1 v, v v = v v Dados dos puntos P, Q, su distancia es igual a P Q. Una propiedad notable sobre el módulo de un vector es: r v = r v. En el plano, sea v un vector no nulo, y sea α el ángulo que forma el eje OX con v (medido desde OX hacia v ). 3

OY y v α x OX Se tiene entonces x = v cos α, y = v sen α. De este modo, v = v (cos α, sen α), v = (cos α, sen α) 1.5. Producto escalar El producto escalar de dos vectores v = (a, b, c) y w = (a, b, c ) es el número real v w = (a, b, c) (a, b, c ) = aa + bb + cc Hay algunas propiedades aritméticas elementales, como v w = w v, v v = v 2, v ( w + w ) = v w + v w La propiedad que más nos interesa es de naturaleza geométrica. Si v y w son no nulos y forman un ángulo α, entonces v w = v w cos α Esto permite calcular cos α (y determinar el ángulo α de los vectores) a partir del producto escalar. En particular, v y w son perpendiculares si y solo si cos α = 0. Por tanto, v w v w = 0 El símbolo v w significa que ambos vectores son perpendiculares (o, como se dice también, ortogonales). Observemos que, dado un vector, es muy fácil construir otros perpendiculares a él. Por ejemplo, (a, b) ( b, a) = 0, (a, b, c) ( b, a, 0) = 0 = (a, b, c) (0, c, b) 1.6. Producto vectorial El producto vectorial de dos vectores solo tiene sentido para vectores en tres dimensiones v = (a, b, c) y w = (a, b, c ), y es un nuevo vector que se define como v w = (a, b, c) (a, b, c ) = (bc b c, a c ac, ab a b) La manera más sencilla de ver y recordar este producto es escribir las coordenadas de los factores en una matriz. El producto vectorial se obtiene entonces calculando de la misma manera que para un determinante i j k (a, b, c) (a, b, c ) = a b c a b c = i (bc b c) + j (ca ac ) + k (ab ba ) 4

Por ejemplo: i j k (2, 3, 0) (4, 2, 1) = 2 3 0 4 2 1 = 3 i + 4 k 2 j 12 k = (3, 2, 8) Aparte de algunas propiedades aritméticas elementales como w v = ( v w ), v ( w + w ) = v w + v w lo más importante del producto vectorial es su interpretación geométrica. De la expresión como determinante se deduce que si v y w tienen la misma dirección, entonces su producto vectorial es 0. En otro caso, v w es el vector determinado del siguiente modo: 1. Su módulo es igual a v w = v w sen ϕ siendo ϕ el ángulo formado por v y w. 2. Su dirección es perpendicular al plano determinado por v y w. 3. Su sentido está dado por la regla del sacacorchos: coincide con el sentido de avance de un sacacorchos que girase desde v hacia w siguiendo el menor ángulo. De acuerdo con la figura w ϕ d v base v altura d= w senϕ el módulo v w coincide con el área del paralelogramo formado con v y w como lados. 1.7. Producto mixto El producto mixto de los tres vectores u = (a, b, c), v = (d, f, g), w = (m, n, s) está dado por a b c u ( v w ) = d f g m n s El producto mixto, siendo un producto escalar, es un número real. La expresión como determinante muestra también que u ( v w ) = v ( w u ) = w ( u v ) El valor absoluto del producto mixto es igual al volumen de un paralelepípedo cuyas aristas sean los vectores u, v, w. En particular, u ( v w ) = 0 si y solo si los tres vectores u, v, w son coplanarios (e.d., un plano los contiene a los tres). 5

2. Lección 31. Ecuaciones de rectas y planos Usaremos ahora la interpretación geométrica de los vectores para estudiar las ecuaciones de rectas en el plano R 2 y de rectas y planos en el espacio R 3. Las ecuaciones determinan en todo caso los puntos que forman la recta o el plano de que se trate. Hay principalmente dos formas de identificar rectas y planos mediante ecuaciones: Ecuaciones paramétricas. Los puntos se identifican mediante funciones x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t) que dependen de un parámetro t. Para cada valor t 0 del parámetro t, se obtiene un punto (x, y, z) calculando los valores de dichas funciones para el valor t 0. Ecuaciones implícitas o generales. Se trata de ecuaciones F (x, y, z) = 0 que identifican los puntos como aquellos cuyas coordenadas (x, y, z) satisfacen la ecuación. 2.1. Rectas en el plano y en el espacio Llamamos vector director (o vector de dirección) de una recta r (en el plano o en el espacio) a cualquier vector v = P Q tal que P, Q sean dos puntos distintos de la recta r. Notemos que si v es un vector director de la recta r, entonces todos los vectores de dirección de dicha recta r son los de la forma λ v, donde λ es cualquier número real no nulo. Una recta r está identificada cuando conocemos: Un punto de la recta. Uno de los vectores de dirección de r. Naturalmente, una recta está también determinada si conocemos dos de sus puntos, A, B. Pero esto equivale a lo anterior; pues conocidos A, B, conocemos un punto (por ejemplo, A) y un vector director AB. 2.2. Ecuaciones paramétricas de la recta Sea r la recta del plano que pasa por el punto P (a, b) y que tiene al vector v = (v1, v 2 ) como uno de sus vectores de dirección. Sea X(x, y) un punto arbitrario del plano. Vamos a escribir una condición necesaria y suficiente para que X esté en la recta r. Esta condición identificará a los puntos de dicha recta. X está en la recta si y solo si existe λ tal que P X = λ v. Esto es claro, pues P X ha de ser un vector director de r, o ser nulo para que X esté en la recta. La condición P X = λ v significa (x a, y b) = λ(v 1, v 2 ) = (λv 1, λv 2 ) Por tanto, X(x, y) está en la recta si y solo si existe λ tal que se verifica: x = a + λv 1, y = b + λv 2 6

Esta condición es la que expresan las ecuaciones paramétricas de la recta de vector director (v 1, v 2 ) que pasa por (a, b): x = a + v 1 t, y = b + v 2 t Ejercicio 1. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta del plano que pasa por los puntos A(2, 1) y B(0, 2). El vector AB será un vector director de la recta. AB = (0 2, 2 ( 1)) = ( 2, 3) Las ecuaciones paramétricas de esta recta son: x = 2 2t, y = 1 + 3t Hemos visto cómo escribir las ecuaciones paramétricas a partir de los datos que identifican la recta. Recíprocamente, a partir de las ecuaciones paramétricas, podemos identificar fácilmente un vector director y un punto de la recta. Ejercicio 2. Dadas las ecuaciones paramétricas de la recta s: x = 1 + 2t, y = 2 2t 3 5 hallar un punto de la recta s y un vector director. Podemos leer directamente en las ecuaciones un punto y un vector director. Pero, simplemente, podemos hallar dos puntos distintos de la recta dándole valores al parámetro. Por ejemplo, t = 1 da el punto A( 1 3, 0), y t = 0 da el punto B( 1 3, 2 5 ). Un vector director es AB = ( 2 3, 2 5 ). Otro vector director es ( 10, 6). 2.3. Rectas en el plano: ecuación implícita o general Como hemos visto, la recta r del plano con vector director v que pasa por el punto (a, b) está formada por los puntos X(x, y) que cumplen para algún valor λ. P X = (x a, y b) = λ v = (λv 1, λv 2 ) Notemos que esto ocurre si y solo si el determinante x a y b v 1 v 2 se anula. Es decir, si y solo si (x a)v 2 = (y b)v 1 Esta es una forma de la ecuación general de la recta. 7

La ecuación anterior se suele escribir en la forma siguiente, más fácil de recordar probablemente: x a v 1 = y b v 2 Desarrollando la ecuación general tal como la hemos dado arriba, obtenemos la ecuación en esta forma: v 2 x v 2 a = v 1 y v 1 b, v 2 x v 1 y + (v 1 b v 2 a) = 0 Como vemos, toda ecuación general de una recta se puede escribir como Ax + By + C = 0, para ciertos coeficientes A, B, C con la condición de que A, B no son simultáneamente nulos. Ejercicio 3. Escribir la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 1/2) y que tiene (0, 4) como vector director. Con esos datos, escribimos la forma sencilla de la ecuación x 3 0 = y (1/2) 4 Tal como está, la igualdad no tiene una significación clara; pero recordamos la ecuación de la que procede: 4(x 3) = 0(y 1/2), x 3 = 0 lo que da la ecuación general en la forma Ax + By + C = 0 (aquí, B = 0). Recíprocamente: conocida la ecuación general de la recta, podemos determinar un punto y un vector director. Para ello basta calcular directamente dos puntos A, B, y tomar el vector AB como vector director. Notemos que la forma explícita de la ecuación de la recta y = mx + b, es solamente una manera de reescribir la ecuación general. Sin embargo, no todas las rectas se pueden escribir en la forma explícita: la recta anterior x 3 = 0 no admite forma explícita. Hay una manera muy simple de obtener un vector director de la recta r a partir de su ecuación general Ax+By+C = 0. En efecto: el vector w = (w 1, w 2 ) es vector director de la recta anterior si y solo si w es ortogonal al vector (A, B); es decir, si y solo si se cumple Aw 1 + Bw 2 = 0. Esto se debe al hecho de que w es un vector director si y solo si al aplicarlo en un punto P (x 0, y 0 ) de la recta (es decir, tomando w = P Q), su extremo Q(x 1, y 1 ) está en la recta. Ahora bien: Q está en la recta si y solo si se cumple Ax 1 + By 1 + C = 0. Como sabemos que Ax 0 + By 0 + C = 0 (porque P está en la recta), se deduce que Q está en la recta si y solo si A(x 1 x 0 ) + B(y 1 y 0 ) = 0. Pero w = (w 1, w 2 ) = P Q = (x1 x 0, y 1 y 0 ). Luego Q está en la recta (y w es vector director de la misma) si y solo si Aw 1 + Bw 2 = 0. Ejercicio 4. Indicar un vector director de la recta 3x 2y +5 = 0, sin hallar ningún punto de la misma. 8

El vector director ha de ser (r, s) cumpliendo que 3r 2s = 0. Por ejemplo, el vector (2, 3) es un vector director de la recta. La propiedad sobre la ecuación general de la recta que acabamos de ver puede ser aplicada con provecho en algunos problemas. Ejercicio 5. Hallar la ecuación general de la recta de vector director (1, 2) que pasa por el punto (1, 1). Sabemos que la ecuación 2x y + k = 0 es la de una recta con el vector director dado; por tanto, paralela a la que buscamos. Si ponemos la condición de que pase por el punto (1, 1) obtendremos el valor de k y la recta pedida. 2 1 ( 1) + k = 0, 3 + k = 0, k = 3 Luego la ecuación de la recta es 2x y 3 = 0. Ejercicio 6. Escribir la ecuación de la recta s que pasa por (0, 3) y es perpendicular a la recta r de ecuación 3x 2y + 1 = 0. Por la hipótesis, todo vector director de la recta s es ortogonal al vector director de la recta r; pero, por la propiedad vista, (3, 2) es ortogonal al vector director de r, luego ese es un vector director de s. Por tanto, la ecuación de s es 2x + 3y + k = 0 La condición de que pase por el punto (0, 3) implica 9 + k = 0 y k = 9. Luego la ecuación de la recta s es 2x + 3y + 9 = 0. 2.4. Distancia de un punto a una recta Dada la recta r de ecuación Ax + By + C = 0 y el punto P (x 0, y 0 ), la distancia de P a la recta es la longitud P Q, siendo Q el pie de la perpendicular trazada por P a la recta r. Para calcularlo, supongamos que Q(x 1, y 1 ) es el punto donde dicha perpendicular corta a la recta r. Como un vector director de la perpendicular es (A, B), tendremos P Q = λ(a, B) = (x 1 x 0, y 1 y 0 ) para algún valor λ. La distancia buscada es el módulo del vector P Q = λ (A, B). Resulta de aquí x 1 = x 0 + λa, y 1 = y 0 + λb. Pero sabemos que Q está en la recta r, así que sus coordenadas deben cumplir la ecuación de r: Esto nos dará Ax 1 + By 1 + C = 0, A(x 0 + λa) + B(y 0 + λb) + C = 0 (Ax 0 + By 0 + C) + λ(a 2 + B 2 ) = 0 Así, Ax 0 + By 0 + C = λ(a 2 + B 2 ) y Ax 0 + By 0 + C = λ (A, B) 2. 9

Como λ (A, B) es la distancia d buscada, obtenemos Ax 0 + By 0 + C (A, B) 2.5. Ecuaciones de planos = d = Ax 0 + By 0 + C A2 + B 2 Dado un plano π del espacio tridimensional, un vector director del plano es cualquier vector v = P Q para dos puntos distintos P, Q del plano. Si v 1, v 2 son dos vectores directores no alineados (por tanto, de coordenadas no proporcionales) del plano π, entonces todo vector director del plano es combinación lineal de v 1, v 2. Un vector u no nulo es normal al plano π si es perpendicular a todos los vectores directores del plano π. Para ello es suficiente con que sea perpendicular a dos vectores directores no alineados. Si u es un vector normal al plano π, entonces todo vector normal al plano π es igual a λ u para algún escalar λ. La manera principal de determinar un plano es dando un punto y un vector normal al plano. Otra manera relacionada es mediante un punto y dos vectores directores que no estén alineados: a partir de dichos vectores u, v, podemos encontrar un vector w normal al plano, imponiendo la condición de que sea u w = v w = 0. Recíprocamente, si conocemos el vector normal u, podemos obtener vectores x de la dirección del plano imponiendo la condición u x = 0. Bastará encontrar dos de tales vectores x que no estén alineados. 2.6. Ecuaciones paramétricas del plano Si P (a, b, c) es un punto del plano π; y v = (v 1, v 2, v 3 ) y u = (u 1, u 2, u 3 ) son dos vectores directores no alineados de dicho plano, entonces un punto arbitrario X(x, y, z) está en el plano si y solo si el vector P X es un vector director del plano π; por tanto, si y solo si P X es combinación lineal de v, u. Podemos poner esta condición de modo más desarrollado y obtener así las ecuaciones paramétricas del plano. Se tiene que P X es combinación lineal de v, u si y solo si existen escalares λ, µ de modo que P X = (x a, y b, z c) = λ(v 1, v 2, v 3 ) + µ(u 1, u 2, u 3 ) Esta ecuación vectorial equivale a las ecuaciones x = a + λv 1 + µu 1, y = b + λv 2 + µu 2, z = c + λv 3 + µu 3 Estas son las ecuaciones paramétricas del plano. Cada par de valores de los parámetros λ, µ determinan un punto del plano. Ejercicio 7. Escribir las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por los puntos A(1, 0, 1), B(2, 1, 1) y C(0, 2, 1). Los vectores AB = (1, 1, 2) y AC = ( 1, 2, 2) son vectores directores del plano no alineados. Luego las ecuaciones paramétricas pueden darse como: x = 1 + λ µ, y = λ 2µ, z = 1 + 2λ + 2µ 10

2.7. Ecuación general del plano Sea de nuevo el plano π el determinado por el punto P (a, b, c) y con vectores directores v = (v 1, v 2, v 3 ) y u = (u 1, u 2, u 3 ). Un punto arbitrario X(x, y, z) está en el plano si y solo si los vectores P X, v, u son coplanarios. Sabemos que esto equivale a que su producto mixto P X ( v u ) = 0. Recordando la forma del producto mixto, esta condición significa que x a y b z c v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = 0 Si se desarrolla ese determinante, se obtiene una ecuación lineal de la forma Ax + By + Cz + D = 0 que es la forma general de la ecuación de un plano. Ejercicio 8. Hallar la ecuación del plano que pasa por (1, 1, 1) y tiene vectores directores (1, 0, 1) y (0, 1, 1). x 1 y 1 z 1 La ecuación es 1 0 1 = 0. Desarrollando, 0 1 1 (z 1) + (x 1) (y 1) = 0, x y z + 1 = 0 Sea Ax + By + Cz + D = 0 la ecuación de un plano. Si P (x 1, y 1, z 1 ) y Q(x 2, y 2, z 2 ) son dos puntos cualesquiera del plano, entonces 0 = (Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D) (Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D) = A(x 2 x 1 ) + B(y 2 y 1 ) + C(z 2 z 1 ) = 0 Esto indica que el producto escalar del vector (A, B, C) por el vector P Q = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) es cero; y, por tanto, que estos dos vectores son perpendiculares. En consecuencia, el vector (A, B, C) es un vector normal al plano. Como en el caso de las rectas, podemos aprovechar esta propiedad. Ejercicio 9. Hallar la ecuación del plano π, que es paralelo al plano de ecuación 3x + 2y z = 0, y que pasa por el punto (0, 0, 1). El vector (3, 2, 1) es normal al plano indicado; por tanto, también es normal al plano π. Así, la ecuación de π será 3x + 2y z + k = 0 Como pasa por (0, 0, 1), tenemos 1 + k = 0 y k = 1. Esto da la ecuación 3x + 2y z + 1 = 0. 11

2.8. Distancia de un punto a un plano Dado el plano π de ecuación Ax + By + Cz + D = 0 y el punto P (x 0, y 0, z 0 ), la distancia de P al plano es la longitud P Q, siendo Q el pie de la perpendicular trazada por el punto P al plano π. Para calcularlo, supongamos que Q(x 1, y 1, z 1 ) es el punto donde dicha perpendicular corta al plano. Como un vector director de la perpendicular es (A, B, C), tendremos P Q = λ(a, B, C) = (x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ) para algún valor λ. La distancia buscada es el módulo del vector P Q = λ (A, B, C). Resulta de aquí x 1 = x 0 + λa, y 1 = y 0 + λb, z 1 = z 0 + λc. Pero sabemos que Q está en el plano π, así que sus coordenadas deben cumplir la ecuación de π: Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, A(x 0 + λa) + B(y 0 + λb) + C(z 0 + λc) + D = 0 Esto nos dará (Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D) + λ(a 2 + B 2 + C 2 ) = 0 Así, Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = λ(a 2 + B 2 + C 2 ) y Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = λ (A, B, C) 2. Como λ (A, B, C) es la distancia d buscada, obtenemos Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D (A, B, C) 2.9. Rectas en el espacio = d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 Sea r la recta del espacio que pasa por el punto P (a, b, c) y que tiene al vector v = (v 1, v 2, v 3 ) como vector director. Igual que en el plano, un punto arbitrario X(x, y, z) pertenece a la recta si y solo si P X es igual a λ v para algún número real λ. Esto nos conduce, por el mismo argumento usado en el caso de las rectas del plano, a las ecuaciones paramétricas de la recta del espacio que pasa por (a, b, c) y tiene al vector (v 1, v 2, v 3 ) como vector director: x = a + v 1 t, y = b + v 2 t, z = c + v 3 t 2.10. Ecuaciones implícitas de la recta Sean π 1, π 2 dos planos no paralelos. Supongamos que sus ecuaciones respectivas son Ax + By + Cz + D = 0, A x + B y + C z + D = 0 12

Puesto que no son paralelos, su intersección es una recta. De este modo, el sistema de dos ecuaciones anterior determina una recta: precisamente la recta cuyos puntos son todas las soluciones del sistema. Esta es la forma general de las ecuaciones de una recta en el espacio. Toda recta tiene unas ecuaciones generales, pues siempre se puede ver como intersección de dos planos. Una forma sencilla de pasar de las ecuaciones generales de una recta a las paramétricas es resolver el sistema formado por las dos ecuaciones: el conjunto de soluciones depende de un parámetro. Ejercicio 10. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta dada por las ecuaciones x 2y + 3z = 1, x + 2y = 1 Para resolver el sistema, ponemos la matriz de los coeficientes en forma escalonada simple mediante transformaciones elementales. ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 3 1, 1 2 0 1 0 0 3 0 ( ) ( ) 1 3 2 1 1 3 2 1, 0 3 0 0 0 1 0 0 La forma escalonada simple para la matriz de los coeficientes da lugar al sistema de ecuaciones x + 3z = 1 + 2y, z = 0 La incógnita y puede tomar cualquier valor. La tomamos como parámetro y = t, y obtenemos las ecuaciones paramétricas x = 1 + 2t, y = t, z = 0 Así vemos que la recta pasa por el punto (1, 0, 0) y tiene vector director (2, 1, 0). Consideramos ahora el problema de escribir las ecuaciones generales de una recta que tenemos identificada por un vector director v = (v 1, v 2, v 3 ) y un punto P (a, b, c). Sabemos que la recta está formada por los puntos X(x, y, z) que cumplen para algún valor λ. (x a, y b, z c) = λ(v 1, v 2, v 3 ) = (λv 1, λv 2, λv 3 ) Esto quiere decir que en la matriz ( ) x a y b z c v 1 v 2 v 3 la primera fila se iguala a una constante λ por la segunda. Esta condición implica (y, de hecho, es equivalente a) la de que los tres menores de orden 2 que se pueden obtener de esa matriz son nulos. 13

Por tanto, las ecuaciones se pueden escribir como x a y b v 1 v 2 = 0, x a z c v 1 v 3 = 0, y b z c v 2 v 3 = 0 Esto nos da las ecuaciones (generales) de la recta que pasa por (a, b, c) y tiene vector director (v 1, v 2, v 3 ): Como en el caso del plano, escribimos estas ecuaciones de forma más simétrica (x a)v 2 = (y b)v 1, (x a)v 3 = (z c)v 1, (y b)v 3 = (z c)v 2 x a v 1 = y b v 2 = z c v 3 Aunque se obtienen de ese modo tres ecuaciones, bastan dos de ellas (si bien esas dos no las podemos escoger arbitrariamente) para determinar la recta. Ejercicio 11. Escribir las ecuaciones generales de la recta que pasa por los puntos (1, 1, 1) y (0, 3, 1). Un vector director se obtiene como (1, 2, 0). Entonces las ecuaciones son x 1 1 = y 1 2 = z 1 0 Necesitamos dos de esas ecuaciones para determinar la recta. Serán que podemos escribir como 2(x 1) = y 1, 0 = z 1 2x + y 3 = 0, z 1 = 0 Ejercicio 12. Hallar un vector director de la recta cuyas ecuaciones son: x 2y + 3z = 3, 2x + y 2z = 1 Sabemos que el vector normal a un plano es perpendicular a todos los vectores directores de dicho plano. Un vector director v = (v 1, v 2, v 3 ) de la recta ha de ser vector director de cada uno de los dos planos. Luego debe tenerse Es decir, (1, 2, 3) (v 1, v 2, v 3 ) = (2, 1, 2) (v 1, v 2, v 3 ) = 0 v 1 2v 2 + 3v 3 = 2v 1 + v 2 2v 3 = 0 Cualquier solución no nula de este sistema de ecuaciones da un vector director de la recta. El sistema se puede escribir como v 1 2v 2 = 3v 3, 2v 1 + v 2 = 2v 3 que es un sistema de Cramer para cualquier valor que le demos a v 3. Por ejemplo, para v 3 = 5, obtenemos la solución (1, 8, 5) que será un vector director de la recta. 14

2.11. Distancia de un punto a una recta Sea Q un punto del espacio y r una recta que no pasa por el punto Q. Existe un único plano π que contiene a la recta r y al punto Q. La distancia en ese plano π del punto Q a la recta r es la menor distancia posible entre el punto Q y puntos de la recta r. Se dice entonces que esa es la distancia (en el espacio) del punto Q a la recta r. Para calcular esa distancia d, consideramos la siguiente figura en el plano π: Se tiene P P Q α v Q d = P Q v sen(α) P Q sen α = v d = P Q v v Ejercicio 13. Calcular la distancia del punto (1, 1, 1) a la recta cuyas ecuaciones son x + y z = 1, 2x + 2y + z = 1 Debemos escoger un punto cualquiera P de la recta y un vector director v. Para ello pasamos las ecuaciones a la forma paramétrica, resolviendo el sistema. Escribimos la matriz del sistema y le aplicamos transformaciones elementales. ( 1 1 1 1 2 2 1 1 ), ( 1 1 1 1 0 0 3 3 ), ( 1 1 1 1 0 3 0 3 donde debe notarse que el último cambio implica el de orden de las incógnitas: ahora es x, z, y. ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 1 0, 0 1 0 1 0 1 0 1 De este modo, el sistema de ecuaciones se convierte en x = y, z = 1. O bien, en forma paramétrica: x = t, y = t, z = 1 Vemos que P (0, 0, 1) es un punto de la recta, y v = ( 1, 1, 0) es un vector director. Así el vector P Q es (1, 1, 0). El producto vectorial P Q v vendrá dado por i j k 1 1 0 1 1 0 = 2 k = (0, 0, 2) Su módulo es 2. La distancia es d = P Q v = 2 = 2 2 = 2 v 2 2 ) 15

3. Lección 32. Bases y coordenadas 3.1. Vectores en R n Del mismo modo que en ocasiones es necesario usar magnitudes variables vectoriales (cuyos valores se identifican con elementos de R 3 ), también es necesario a veces emplear variables cuyos valores han de expresarse con más de tres coordenadas: por ejemplo, los puntos en el espacio-tiempo tienen cuatro coordenadas. Como otro ejemplo, cuando queremos especificar no solamente la posición de una partícula, sino también su momento (como en la mecánica hamiltoniana), necesitamos seis coordenadas. Ocurre que muchas de las propiedades que conocemos de los vectores, o elementos de R 3, se mantienen cuando estudiamos elementos de R 4, R 5 o, en general, R n. Los elementos de R n se llaman también vectores (en sentido amplio). Por ejemplo, la suma de vectores y el producto de escalares por vectores se puede hacer exactamente igual en R n. También se puede extender a esta situación el concepto de combinación lineal: Para vectores v 1, v 2,..., v k, u en R n, se dice que u es combinación lineal de v 1, v 2,..., v k cuando para ciertos escalares λ 1,..., λ k. u = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ k v k El módulo del vector v = (c 1, c 2,..., c n ) es igual a c 2 1 + c2 2 + + c2 n. Los vectores de módulo 1 se llaman unitarios. Se puede también definir el producto escalar de dos vectores de R n : (c 1,..., c n ) (d 1,..., d n ) = c 1 d 1 + + c n d n = n c i d i y se dice que dos vectores u, v son ortogonales cuando u v = 0. También existen las llamadas bases canónicas: los vectores e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1) forman la base canónica de R n. Entonces el vector v = (c 1, c 2,..., c n ) es combinación lineal de los vectores de la base canónica. En efecto: i=1 v = c 1 e 1 + c 2 e 2 + + c n e n En cambio, los vectores de R n no tienen una interpretación geométrica como los de R 3. Nuestra intuición visual está limitada a tres dimensiones. El problema de saber si un vector dado es o no combinación lineal de otros vectores dados es equivalente a resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ejercicio 1. Dados los vectores u 1 = (3, 2, 1), u 2 = (1, 0, 1) y u 3 = (1, 2, 3), decir si el vector v = (1, 1, 1) es combinación lineal de ellos. La pregunta equivale a la de si existen escalares x, y, z que satisfagan la ecuación vectorial xu 1 + yu 2 + zu 3 = v 16

Esta ecuación desarrollada dará lo que equivale al sistema (3x, 2x, x) + (y, 0, y) + (z, 2z, 3z) = (1, 1, 1) 3x + y + z = 1 2x + 2z = 1 x y + 3z = 1 En forma matricial, el sistema es AX = B, donde la matriz (A B) es la matriz 3 1 1 1 2 0 2 1 1 1 3 1 Como puede verse, la matriz del sistema tiene las coordenadas de los vectores u 1, u 2, u 3 en las columnas. En general, diremos que la matriz de una sucesión de vectores u 1,..., u k es la matriz que tiene las coordenadas de esos vectores como columnas, en el orden especificado. La última columna de la matriz anterior está formada por las coordenadas de v. Resolver el sistema es lo que responderá a la pregunta de si v es combinación lineal de u 1, u 2, u 3. Como de costumbre, resolvemos el sistema a partir de la matriz 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 0 2 1, 0 2 4 1, 0 2 4 1 3 1 1 1 0 4 8 4 0 0 0 2 Llegados a este punto, podemos decir ya que el sistema es incompatible. Como no hay solución, el vector v no se puede poner como combinación lineal de u 1, u 2, u 3. Obsérvese que, por el contrario, si hubiésemos tomado v = ( 1, 1, 1), el mismo proceso anterior habría conducido a la matriz 1 1 3 1 0 2 4 1 0 0 0 0 y el sistema habría sido compatible con infinitas soluciones. En ese caso, v sería combinación lineal de u 1, u 2, u 3. 3.2. Independencia lineal y rango Una sucesión u 1, u 2,..., u k (con k 2) de vectores de R n se dice que es linealmente independiente cuando ninguno de esos vectores es combinación lineal de los demás. Una propiedad importante es la siguiente: La sucesión u 1, u 2,..., u k (con k 2) de vectores de R n es linealmente independiente cuando la matriz n k de esa sucesión de vectores tiene rango k. 17

Una sucesión de n vectores u 1, u 2,..., u n de R n es una base de R n cuando es linealmente independiente. Por el resultado anterior, la sucesión de vectores u 1, u 2,..., u n de R n es una base si y solo si la matriz de dichos vectores tiene rango n. De acuerdo con un resultado del capítulo 7, la sucesión de vectores u 1, u 2,..., u n de R n es una base si y solo si el determinante de la matriz de esos vectores es no nulo. 3.3. Coordenadas respecto a una base La propiedad que hace especialmente importantes a las bases de un espacio R n es la siguiente: Supongamos que u 1, u 2,..., u n es una base de R n. Sea v cualquier vector de R n. Si nos planteamos, como antes, el problema de ver si se puede expresar v como combinación lineal de esa base, llegamos a un sistema de ecuaciones que, en forma matricial, es A X = B siendo A la matriz de los vectores de la base dada, y B la columna de las coordenadas de v. Pero A será una matriz cuadrada con determinante no nulo. Por tanto, el sistema es un sistema de Cramer, y admite una solución única. Eso significa que todo vector v de R n se puede poner como combinación lineal de una base dada; y que los coeficientes en esa combinación están determinados unívocamente por v y la base. Los coeficientes de la combinación lineal que da el vector v se llaman las coordenadas de v con respecto a la base dada. Ejercicio 2. Comprobar que los vectores u 1 = (1, 0, 0), u 2 = (1, 1, 0) y u 3 = (1, 1, 1) forman una base de R 3 ; y hallar las coordenadas con respecto a esa base del vector (1, 1, 2). La primera parte consiste en comprobar que el determinante de la matriz de esos vectores es no nulo. Lo calculamos 1 1 1 0 1 1 0 0 1 = 1 0 Para encontrar las coordenadas de v = (1, 1, 2), debemos hallar x, y, z con la propiedad v = xu 1 + yu 2 + zu 3. Sabemos que esto lleva al sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 La solución del sistema es única. Obtenemos z = 2, y + z = 1, x + y + z = 1 de donde z = 2, y = 1, x = 2 18

Luego las coordenadas del vector v con respecto a esa base son (2, 1, 2). Podemos considerar también el problema inverso. Ejercicio 3. Se sabe que los vectores u 1 = (1, 2, 1, 0), u 2 = (0, 1, 1, 0), u 3 = ( 1, 1, 0, 1) y u 4 = (0, 0, 2, 1) forman una base de R 4. Determinar cuál es el vector v cuyas coordenadas en dicha base son (1, 1, 1, 1). Sea A la matriz de la base indicada. Sea v = (a, b, c, d). El dato que tenemos es que (1, 1, 1, 1) es la solución X del sistema de ecuaciones A X = (a b c d) t Por tanto, si ponemos X = ( 1 1 1 1 ) t y calculamos la matriz columna AX, el resultado dará las coordenadas (a, b, c, d). 4. Ejercicios 1 0 1 0 2 1 1 0 1 1 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 = 1. El centro de masas de un sistema de n puntos con masas m 1,..., m n y con vectores de posición r 1,..., r n se define como el punto con vector de posición r = 1 M n m i r i (donde M = i=1 0 2 0 2 n m i es la masa total) Calcular el centro de masas de tres puntos de masas m 1 = 2, m 2 = 3 y m 3 = 1 con vectores de posición r 1 = (3, 2, 2), r 2 = (2, 1, 0) y r 3 = (0, 1, 2). 2. Comprobar que los puntos P = (2, 1, 3), Q = (3, 1, 4), R = (5, 5, 8) y S = (4, 3, 7) son los vértices de un paralelogramo y determinar su área. 3. Dados los siguientes vectores, calcular el ángulo que forma v con cada uno de los otros: i=1 v = (3, 1) w 1 = (1, 2) w 2 = ( 2, 1) w 3 = ( 3, 6) w 4 = (4, 2) 4. Calcular el área del triángulo con vértices P = (2, 2, 3), Q = ( 1, 4, 0) y R = (5, 1, 1). 5. Dados los vectores u = (2 5, 1, 3 2), v = (0, 2 1, 2 1) y w = (0, 0, 1 7), calcular: a) Un vector perpendicular a v y w. b) Un vector perpendicular a w y a x = 2 u + v + 4 w. c) El volumen del paralelepípedo de aristas u, v, w. 19

6. Calcular la ecuación general de la recta de R 2 que pasa por los puntos (5, 1) y (4, 2). 7. Hallar la ecuación general del plano de R 3 que pasa por los puntos (2, 1, 2), (1, 1, 3) y (3, 3, 2). 8. Encontrar dos vectores de la dirección del plano 3x 2y 4z = 12 que sean perpendiculares. Calcular también la distancia del punto P = (1, 1, 1) a ese plano. 9. Hallar el plano que pasa por el punto (0, 1, 2) y es perpendicular a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son: x = 4 + t, y = t, z = t Calcular también la distancia del punto P = (1, 1, 1) a ese plano. 10. Hallar la recta que pasa por el punto (3, 3, 4) y es perpendicular al plano 2x + y 3z = 5. Calcular también la distancia del punto P = (1, 1, 1) a esa recta. 11. Calcular las ecuaciones generales de la recta de R 3 que pasa por los puntos (0, 2, 1) y (4, 1, 1). 12. Hallar las ecuaciones generales de la recta de R 3 que pasa por los puntos (0, 2, 1) y (4, 1, 1). 13. Hallar la recta que pasa por el punto (3, 3, 4) y es perpendicular al plano 2x + y 3z = 5. Calcular también la distancia del punto P = (1, 1, 1) a esa recta. 14. Hallar la ecuación del plano que es paralelo a la recta de ecuaciones 1 2x + 3y 0 8z + 1 = 0, x 2y + 3 3z + 1 5 = 0 y que contiene a la recta x + y + z + 1 = 0, 0 5x + 0 5y + 2z + 3 2 = 0 15. Dada la recta r de ecuaciones paramétricas x = 1 + 2t, y = t, z = 2 t hallar el punto de dicha recta cuya distancia a la recta es mínima. x = 2 + t, y = 1 + 3t, z = 2t 16. Demostrar que B = {(1, 1, 2), (2, 2, 1), (0, 1, 1)} es una base de R 3, y calcular las coordenadas en B de los vectores a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), c = (0, 0, 1) d = (2, 3, 4), e = (5, 6, 7) 20

17. Demostrar que las siguientes son bases de R 3 : B = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (3, 2, 1)} y D = {(4, 1, 3), (3, 6, 1), (6, 5, 1)} Si el vector v tiene coordenadas (4, 1, 2) en B, cuáles son sus coordenadas en D? 21