Espacios vectoriales

Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1

En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación por escalares con un tipo especial de matrices, las de orden nx1. Abusando del lenguaje y la notación establecimos la correspondencia: x x x 1.... n (x 1, x,...., x n ) Algebra Lineal

n Es decir, aceptamos que Mnx 1( R) R, con el fin de aprovechar la familiaridad que se tiene con los espacios R y R. En este capítulo estudiaremos conjuntos que n poseen propiedades algebraicas similares a R. A dichos conjuntos se les dará el nombre de espacios vectoriales y a sus elementos el nombre de vectores. κ En lo que sigue designará al cuerpo de los números reales o al cuerpo C de los números complejos. R Algebra Lineal

Espacios y subespacios vectoriales Un espacio vectorial sobre el cuerpo es un conjunto de objetos V con dos operaciones: (1) + : V x V V ; (u, v) u + v que es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro (cero) y cada elemento posee un inverso. () p: x V V ; ( α, v) que satisface lo siguiente: i) ii) iii) κ iv) α( βv) ( α + β)v ( αβ)v ; αv + βv; α, β κ; α, β κ; v α v α(u + v) αu + αv; α κ; u, v V 1 v v; v V, con 1 elemento unidad de κ Algebra Lineal 4 κ V v V

La operación (1) es interna en V; se llama suma o adición. La operación () es externa y se llama multiplicación por escalar o ponderación. Los elementos de V se llaman vectores y los de escalares. Si κ R, se dice que V es un espacio vectorial real. Si κ C, el espacio vectorial V se dice complejo. En cualquier espacio vectorial V sobre se tiene que: a) b) c) d) 0 v α v α 0 (-1) v 0, 0, 0 v, v V α κ ( α v 0 V v κ 0) κ Algebra Lineal 5

Ejemplos de espacios vectoriales (1) Para n número natural, sea (n veces), es decir, R n R (x 1 n,..., x R R.... R {(x1,..., xn ) / x i R, i 1,..., n } con las operaciones siguientes: n ) + (a α (x,..., a,..., x ) (x ) ( α x es un espacio vectorial real. 1 1 n n 1 n + a 1 1,..., x,..., α x n n + a n ) ), α R En consecuencia, R es un espacio vectorial sobre sí mismo. Algebra Lineal 6

El espacio vectorial real R Algebra Lineal 7

El espacio vectorial real R Algebra Lineal 8

Suma en R Ponderación en R Algebra Lineal 9

R () No sólo es un espacio vectorial sobre. Si IK es un cuerpo, IK es un espacio vectorial sobre si mismo. En este caso, la ponderación coincide con la multiplicación del cuerpo IK. En consecuencia, C (números complejos) es un espacio vectorial complejo. Pero C también es un espacio vectorial real si se considera la ponderación: α (a + bi ) αa + αbi, α R () Para m, n IN, el conjunto M mxn ( R ) de las matrices reales de orden mxn, con las operaciones suma y multiplicación habituales de las matrices, es un espacio vectorial real. (4) El conjunto R[x] de los polinomios en x con coeficientes reales, con las operaciones suma y ponderación usuales, es un espacio vectorial sobre. Algebra Lineal 10 R R

(5) Para n número natural, denotemos por [x] P n {p(x) R[x] / p(x) grado n } P n [x], con las operaciones suma y multiplicación por escalares reales, es un espacio vectorial real. (6) Si A R, el conjunto F(A, R) { f :A R / función }, con la suma y ponderación usuales de las funciones, es un espacio vectorial sobre. R de Cuál es el elemento cero de los siguientes espacios vectoriales reales? n R, M mxn ( R ), Pn [x] y F(A, R) Algebra Lineal 11

Los siguientes conjuntos, con las operaciones suma y ponderación habituales de los respectivos espacios, no son espacios vectoriales reales. A { (x, y) R / y x } B C D { a + 5x { A M n P [x] / a R } ( R ) / det(a) 0 { f F( R, R ) / f creciente } en R } Ejercicio: Demuestre que los conjuntos A, B, C y D mencionados anteriormente, no son espacios vectoriales reales. Algebra Lineal 1

Cuando un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre el cuerpo κ, con las operaciones de V restringidas a sus elementos, resulta ser un espacio vectorial sobre κ, entonces se dice que W es un subespacio vectorial (o subespacio lineal o simplemente subespacio) de V. Por lo tanto, W es un subespacio de V O equivalentemente, 0 V W W 0 V W no es subespacio de V Algebra Lineal 1

El siguiente teorema caracteriza a los subespacios de V. Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre y W un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio de V si y sólo si i) u, v W u + v W ii) α κ, u W αu W κ Del teorema anterior sigue que, si V es un espacio vectorial sobre κ, entonces V y { 0 } son subespacios vectoriales de V. Algebra Lineal 14

Ejemplo: El conjunto D { (x, y) R / y x } no es un subespacio de R pues, por ejemplo, u (, 4) D, v (, 9) D y u + v (5, 1) D. Ejemplo: El conjunto W {(x, y, un subespacio de R ; en efecto, Algebra Lineal 15 z) R / x - z 0 } W { (x, y, x) / x, y R } y se tiene que, i) 0 (0, 0, 0) W y W ii) (x, y, x) + (a, b, a) (x + a, y + b, (x + a)) W iii) α( x, y, x) ( αx, αy, αx) W En virtud del teorema enunciado anteriormente, W es un subespacio de R. es

Ejemplo: El conjunto U { A M n ( R ) / A es simétrica} es un subespacio de M n ( R ) ; efectivamente, i) O n U; puesto que la matriz nula es simétrica. Luego U i) A, B U (A t A B t B ) (A + B) t A t + B t A + B A + B U ii) ( α R A U) ( α A) t α A t α A α A U Por lo tanto, W es un subespacio de M n ( R ). Algebra Lineal 16

Ejercicio: Muestre ejemplos de conjuntos que sean subespacios de R y conjuntos que no sean subespacios de R. Ejercicio: Demuestre que los siguientes conjuntos son subespacios del respectivo espacio. S S S S 1 4 { (x, { a a c + y) bx b d R + c x M / y { (x, y, z, t) R P 4 ( R) / x [x] / 4x } + / y a a + + + 4t b - c d 0 0 0 } y c - z + t - b 0 0 } Algebra Lineal 17

Algebra Lineal 18 Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre y sean U y W subespacios de V. Entonces es un subespacio de V. κ U W Efectivamente, como 0 V pertenece a U y también a W, Además si u, v son vectores de, W. U 0 V W U W U u W u U u W u U u, y W U u α α α α κ W U v u W v u U v u W v U v V u U u + + + Finalmente, si

Es posible demostrar que la intersección de cualquier colección de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V. También es fácil mostrar que la unión de dos subespacios de un espacio vectorial V no es un subespacio de V. Por ejemplo, considere los subespacios de R : U { (x, y) / y x } W { (x, y) / y x } Entonces U U W no es un subespacio de R. Por qué? Algebra Lineal 19

Combinaciones lineales - generadores Sea V es un espacio vectorial sobre y S {v 1,..., v n } un conjunto de vectores de V. Una combinación lineal de vectores de S (o de v1,..., v n ) es un vector de la forma v α1 v1 +... + αnvn, donde α...., α. 1, n κ Por ejemplo, el vector v (-1, -, 7) del espacio R es combinación lineal de los vectores s ( 1, -4, ) y t (-, 5, -1) puesto que v s + t. κ Algebra Lineal 0

El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S resulta ser un subespacio vectorial de V; se llama espacio generado por S (o espacio generado por v1,..., v n ) y se denota <S> o < v,..., v } >. { 1 n Ejemplo: Determinemos el subespacio generado por los vectores v (1, 0, ) y v (0, -1, 1) de : < { v 1, 1 R v } > { αv 1 { ( α, - β, α + β) / α, β R } { (x, y, + βv z) R / α, β R } { α(1, 0, ) + β(0, -1, 1) / α, β R } / z x - y } Algebra Lineal 1

Ejemplo: Sea S { - 5x + x, 1- x + x } P [x] El vector p(x) - 4x 5x pertenece a < S >? La pregunta equivale a existen α( - 5x + x ) + β(1- x + x α, β R ) tales que - 4x - 5x? Esta igualdad nos conduce a α + β 5α β 4 α + β 5 Sistema que resulta incompatible y, en consecuencia, p <S> Algebra Lineal

V o F Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones, relativas a un espacio vectorial V, son verdaderas o falsas: A) B) C) D) 0 < S >, S V k 1,..., n, vk < {v1,..., v S T < S > < T > < S > < T > S T n } > Si V es un espacio vectorial y S es un subconjunto de V, puede ocurrir que < S > V; en este caso se dice que S genera a V o que V está generado por S. Algebra Lineal

Ejemplo: Consideremos los vectores de R, e 1 (1, 0, 0), e (0, 1, 0) y e (0, 0, 1). Entonces { e1, e, e } genera al espacio R ; en efecto, < { e 1, e, e } > {a(1,0, 0) + b(0,1, 0) + c(0, 0,1) / a,b,c R} {(a,b,c) / a,b,c R} R Puntos en el espacio R Algebra Lineal 4

R está generado por e 1 1 R 0 1 está generado por e (1, 0), e 1 (0, 1) 1 1 P [x] está generado por {1, x, x } puesto que a + bx + cx a 1+ b x + c x Cuáles son los generadores naturales de M ( )? R Algebra Lineal 5

4 Dependencia lineal En R, consideremos los vectores u (1, 0, -1, 0), v (0, 1, 0, -1) y w (1, -1, -1, 1). Entonces, < {u, v, w} > {( α + γ, β γ, - α γ, - β + γ ) / α, β, γ R } {(a, b, c, d) / a + c 0 y b + d 0 } Por otra parte, < {u, v} > {( α, β, - α, - β) / α, β R } {(a, b, c, d) / a + c 0 y b + d 0] Es decir, < {u, v, w} > < {u, v} >. Este hecho no es casual, se deriva de la dependencia lineal que existe entre u, v, w que, en este caso, significa w u v. Algebra Lineal 6

S { v 1 Sea V espacio vectorial sobre y,..., v } un conjunto de vectores de V. n Se dice que S es linealmente dependiente (l.d.) si existen escalares α 1,..., αn no todos nulos tales que α v +... + α v 0 1 1 n n κ Si S no es l.d., se dice que S es linealmente independiente (l.i.). Por lo tanto S es l. i. si α v +... + α v 0 α 0, i 1,...,n 1 1 n n i Por ejemplo, los vectores e1, e, e de R son l. i. demuéstrelo! Algebra Lineal 7

Algebra Lineal 8 1 0 0 0 E, 0 1 0 0 E, 0 0 1 0 E, 0 0 0 1 E 4 1 Sea e i el vector de que tiene todas sus componentes iguales a cero, excepto la i-ésima que es uno. Entonces el conjunto de vectores {e 1,...,e n }, además de generar a, es un conjunto l. i. n R n R El conjunto {1, x, x } de generadores de P [x] es un conjunto l. i. Los vectores generan al espacio M ( ) y son l. i. R Ejercicio: Demuestre las afirmaciones hechas antes.

Ejercicio: Determine si los siguientes conjuntos son l. i. S { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) } R S S S 1 4 { (1, { 1 + 1 1 1, x - ), - x, 1 (-1,, 0, x 1), + x 0, (-1,, 1 - - 1 0, ) x } } 4 4 R P M [x] ( R ) Ejercicio: Sean V espacio vectorial sobre, u y v vectores de V. a) Bajo que condiciones { v } es l. i.? b) Bajo que condiciones { u, v } es l.d.? κ Algebra Lineal 9

Ejercicio: Sea V espacio vectorial sobre. Demuestre que: a) 0 S S l. d b) c) ( S T ( S T T S l.i.) l.d.) S l.i. T l.d. Ejercicio: Suponga que { v 1, v, v } es un conjunto linealmente independiente de vectores de un espacio vectorial V. Demuestre que {v 1 + v v, v + v, v 1 v } es también un conjunto linealmente independiente de V. κ Algebra Lineal 0

Base - dimensión Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo. Una base de V es un conjunto B de vectores de V que es linealmente independiente y generador de V. Por ejemplo, para cada n IN el conjunto B { e 1,...., e n } n n de vectores de R, es una base de R ; se llama base n canónica (o usual) de R. Los conjuntos B { 1, x, x } 1 0 0 1 0 0 0 0 B,,, 0 0 0 0 1 1 0 1 son las bases canónicas de [x] y M ( ) respectivamente. P R Algebra Lineal 1 κ

Todo espacio vectorial tiene una base? Si un espacio vectorial posee un conjunto finito de generadores S, S {0}, entonces S contiene a una base de V. Para demostrar este hecho consideremos S {v 1,..., v m }. (*) Si S es l.i., entonces S es base de V. Si S no es l.i., alguno de los vectores de S, llamemos v i depende linealmente de los demás y el conjunto S (1) S {v i } sigue generando a V. Y volvemos a (*) pero ahora con S (1). Repitiendo este proceso llegamos a obtener una base de V que, al menos, tendrá un solo vector no nulo. Algebra Lineal

Cada espacio vectorial tiene una única base? No, por ejemplo, sea B el conjunto de vectores de B {(-, 1, 0), (1,, ), (1, 1, 1)} R i) Demostremos que B es linealmente independiente. Sean α, β, γ R tales que α(,1, 0) + β(1,, ) + γ(1,1,1) (0, 0, 0) α + β + γ α + β + γ β + γ Luego B es l. i. 0 0 0 Sistema que tiene solución única α 0, β 0, γ 0 Algebra Lineal

ii) Demostremos que B genera a R. Sea ( a, b, c) R y α, β, γ R tales que α(,1, 0) + β(1,, ) + γ(1,1, 1) (a, b, c) α + β + α + β + β + γ b γ c Sistema que tiene solución única En consecuencia, γ a α a b + c β a + b - c γ a - 4b + 7c (-a-b+c)(-, 1, 0) + (a+b-c)(1,, ) + (-a-4b+7c)(1, 1, 1) (a, b, c) Luego B genera a R y B es una base de R. Algebra Lineal 4

Ejercicio: Determine si los conjuntos S 1, S base del espacio P [x]. S 1 { + x + x, + x, -1 + x + x } S {1 + x, -1 + x, + x } son Ejercicio: Suponga que { v 1, v, v } es una base de un espacio vectorial V. Demuestre que {v 1 + v v, v + v, v 1 + 4v + 6v } también es una base de V. Algebra Lineal 5

Un espacio vectorial V sobre puede tener múltiples bases, pero se puede demostrar que todas ellas, cuando son finitas, tienen el mismo número de elementos (la misma cardinalidad). Este hecho nos permite entregar el siguiente concepto: κ Si V es un espacio vectorial sobre que tiene una base B con n vectores, entonces se dice que V es un espacio de dimensión finita y el número entero n se llama dimensión de V. κ Si V tiene dimensión n, anotaremos dim K V n dim V n, si no hay lugar a confusión. o Algebra Lineal 6

En consecuencia, dim R 1, dim dim P [x], dim M ( R) 4, R n n dim P n dim M [x] mn n + 1 ( R) mn Cuál es la dimensión del espacio {0} El espacio V {0} no posee base, sin embargo se le asigna la dimensión cero: dim {0} 0 Algebra Lineal 7

Ejemplo: Determinemos la dimensión del subespacio de P [x], W { a + bx + cx / a b + 4c 0} Se tiene que W {a + bx + cx { a + (a + 4c)x + cx { a(1 + x) + c(4x + x < { 1 + x, 4x + x / b a + 4c } } > / a, c R } ) / a, c R } Siendo B { 1 + x, 4x + x } un conjunto generador de W y linealmente independiente, puesto que B tiene dos vectores y uno no es múltiplo escalar del otro, B es una base de W; luego dim W. Algebra Lineal 8

Observaciones: 1) La dimensión del espacio vectorial real C de los números complejos es. Pero si consideramos a C como espacio vectorial sobre si mismo, entonces C es un espacio de dimensión 1. Justifique esta afirmación. ) Existen espacios vectoriales que no poseen una base finita. Dichos espacios se dicen de dimensión infinita; por ejemplo, el espacio vectorial real C([a, b]; R ), de todas las funciones reales continuas en [a, b] tiene dimensión infinita. Muestre otro ejemplo de un espacio vectorial de dimensión infinita. Algebra Lineal 9

Sea V un espacio vectorial sobre de dimensión finita n. La demostración de los siguientes teoremas queda de ejercicio. 1. Si S {v 1,...., v m } V, con m > n, entonces S es l.d.. Si B {v 1,...., v n } V es l. i., entonces B es base de V.. Si B {v 1,...., v n } V es generador de V, entonces B es base de V. 4. Si W es un subespacio de V, entonces dimw n 5. Si W es un subespacio de V tal que dim W n, entonces V W. κ Algebra Lineal 40

En un espacio vectorial V de dimensión finita, un conjunto linealmente independiente de vectores de V puede completarse hasta formar una base de V. Teorema (Completación de base) Sea V espacio vectorial sobre κ de dimensión finita n. Si { v1,..., vk } V, con k < n, es un conjunto linealmente independiente, entonces existen vectores vk+ 1,..., vn V tales que { v1,..., vk, vk+ 1,..., vn} es base de V. Ejercicio: Demuestre el teorema precedente. Algebra Lineal 41

Ejercicio: Considere el subespacio de M (R), a b W / a - b + c - 4d 0 a + b - d 0 c d a) Determine una base S para W. b) Encuentre una base B de M (R) que contenga a la base S de W. Ejercicio: Determine todos los valores del número k de modo que el conjunto B { (1, 1, -1), (, k, k), (4, k, 0)} sea una base de R. Algebra Lineal 4

El siguiente teorema nos proporciona otra caracterización para las bases de un espacio vectorial de dimensión finita. Teorema: Sea V espacio vectorial sobre y sea B {v 1,...., v n } conjunto de vectores de V. B es base de V todo vector v de V se escribe de una única manera como combinación lineal de los vectores de B. Ejercicio: Demuestre el teorema precedente. κ Algebra Lineal 4

El teorema precedente asegura que para cada v V existen únicos escalares α1,..., αn κ tales que v α v +..... + α 1 1 n v n Estos escalares reciben el nombre de coordenadas del vector v con respecto a la base (ordenada) B y se denotan v] ( α,....., α ) [ B 1 n Observe que [v] B es un vector de. Por esta razón, muchas veces es llamado vector coordenado. κ n Algebra Lineal 44

Ejemplo: Las coordenadas del vector v (6, -5) con respecto a la base canónica E {(1, 0), (0, 1)} de R son [ v] E (6, Cuáles son las coordenadas de v (6, -5) con respecto a la base ordenada B {(5, - ), (, -1)}? α, Debemos resolver para la ecuación - β R 5) α( 5, - ) + β(, -1) (6, es decir, 5α + β 6 - α β - 5-5) R De aquí, [ v] B (4, - 7) Algebra Lineal 45

Ejemplo: Sea v R tal que [ v] B (1, - 1, ), donde B es la base ordenada B {(1, -1, ), (1, 0, -), (, 1, -1)}. Cuál es el vector v? Determinemos [ v ] C, donde C es la base C {(1, 0, 1), (1, 1, ), (1, 1, 4)}. El vector es v 1(1, -1, ) -1(1, 0, -) + (, 1, -1) (6, 1, ) Determinemos α, β, α + β + 4γ Obtenemos [ v ] C (5,, -) γ R tales que α( 1, 0,1) + β(1,1, ) + γ(1,1, 4) (6,1, ) Esto requiere resolver el sistema compatible α + β + γ 6 β + γ 1 Algebra Lineal 46

Ejemplo: Consideremos la base ordenada de P [x] B {1 + x, 1+ x, + x } Determinemos las coordenadas del vector p (x) 4 + 5x - x con respecto a la base B, esto es, encontremos tales que α, β, γ R α( 1+ x ) + β(1 + x) + γ( + x ) 4 + 5x x Reordenando e igualando polinomios obtenemos el sistema: α + β + γ 4 β 5 α + γ - cuya solución nos conduce a [ p(x)] B (, 5, - ) Algebra Lineal 47

Sea V espacio vectorial sobre y B una base ordenada de V. Entonces, κ (1) () [v [ α + v] u] B B α [v] [v] B B +, [u ] v B, V, v, u α V κ Ejercicio: Sea B { v 1, v, v } una base ordenada de R. Determine los vectores de B si se sabe que (-1, 1, 1), (1, -1, ) y (, -1, 1) son las respectivas coordenadas, según la base B, de los vectores e 1, e, e de la base canónica de R. Algebra Lineal 48

Suma y Suma directa Sea V un espacio vectorial sobre y sean U, W dos subespacios de V. Ya mencionamos que la unión de U y W no es, necesariamente, un subespacio de V. Definiremos U + W, la suma de U y W; esta resultará ser un subespacio de V que contendrá a ambos subespacios. κ La suma de U y W es: U+ W { v V / v u+ w, u U, w W } Algebra Lineal 49

Se tiene que: i) 0 V 0 + 0, con 0 U y 0 W ii) Si v 1 u 1 + w 1 y v u + w son vectores de U + W, entonces v 1 + v (u 1 + u ) + (w 1 + w ) U + W. iii) Si α κ, entonces αv1 αu1 + αw1 U + W Por lo tanto U + W es un subespacio de V. Además se puede establecer que: (1) () () U U + W Si U S y W dim(u+ W) dimu y W U + W T, + entonces dim W - U + W dim(u W) S T Algebra Lineal 50

Puede suceder que dim(u + W) dim V, es decir, V U + W. Por ejemplo, R U+ W donde U {(1, 0), (0, 1)} y W {(, 1)} En efecto, es claro que U+ W R Por otra parte, si ( x, y) R, entonces (x, y) (0, y - x ) + (x, x ) U + W Si V U + W, los vectores de V no necesariamente se escriben de manera única como una suma de un vector de U y un vector de W. En el ejemplo anterior, (, ) (0, 1) + (, 1) (, ) -6(1, 0) + (, 1) Algebra Lineal 51

Observe que: V U+ W v V, u U, w W: v u + w Sea V un espacio vectorial sobre y sean U, W dos subespacios de V. Se dice que V es la suma directa de U y W, en cuyo caso se anota V U W si κ v V,!u U,! w W: v u + w Ejercicio: Sean U < {(0, 1)} > y W < {(, 1)} > subespacios de R. Demuestre que R directa de U y W. es suma Algebra Lineal 5

Una caracterización útil de la suma directa la entrega el siguiente teorema: Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre y sean U, W dos subespacios de V. V U W (V U+ W U W {0}) Ejercicio: Demuestre el teorema precedente. Consecuencia del teorema anterior es la siguiente: Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y V U W, entonces dim V dim U + dim W. κ Algebra Lineal 5

Ejercicio: Considere los subespacios de R U 1 { (x, y, z) : x + y + z 0 } U < { (1, 1, 1) } > Demuestre que R es suma directa de U 1 y U. Ejercicio: Sean S 1 y S los subespacios de M ( R) S 1 { A M ( R) / A diagonal a b S M( R) / d 0 c d Es M (R) suma directa de S 1 y S? } Algebra Lineal 54

Dado un subespacio U de V, existe un suplementario de U? Es decir, existe un subespacio W de V tal que V U W. Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre de dimensión finita n y sea U subespacio de V. Entonces existe W subespacio de V tal que V U W. En efecto, si U V, basta tomar W {0}. Supongamos que dim U k < n y sea { v 1,..., v k } una base de U. Por el teorema completación de base, existen v k+1,..., v n vectores de V tales que { v 1,...., v n } es base de V. Sea W { v k+1,..., v n } ; entonces V U W. κ Algebra Lineal 55

El suplementario de un subespacio U no es único. En R cualquier par de rectas no colineales que pasen por el origen, están asociadas a subespacios suplementarios. Ejercicio: Considere el subespacio de 4 R, U {(x, y, z, t) : x - y + z 4 t 0 y x + y + z 0} 4 4 Determine W subespacio de R tal que R U W. Algebra Lineal 56