Uniboyacá GUÍA DE APRENDIZAJE NO 7 1. IDENTIFICACIÓN Programa académico Psicología e Ingeniería Ambiental Actividad académica o curso Matemáticas básicas Semestre Segundo de 2012 Actividad de aprendizaje Polinomios: suma resta multiplicación, división y factorización Orientador del proceso de aprendizaje Mg. Oscar Ferney Pérez Holguín Resultados de aprendizaje El estúdiate simplificara expresiones algebraicas 2 Introducción y descripción de actividades POLINOMIOS En el término: + + (el cual es una expresión algebraica), xes el símbolo de una variable, mientras que 6, 2 y 5 son constantes, así como también lo es y en el termino: +. Una expresión algebraica basada únicamente en potencias enteras no negativas de una o más variables y que no contenga variables en un denominador se le llama polinomio. Por ejemplo, 2, 5 8 +2, 4 6 +3 2 +1 Son polinomios de variable x. ejemplos de polinomios de variable x y y son: 3, 6 +8, 8 7 + 3 En el termino algebraico 5, 5 es el denominado coeficiente constante de. Los términos que solo difieren en sus coeficientes constantes reciben el nombre de términos semejantes. Por ejemplo, 6 y 3 son términos semejantes. Los términos semejantes de un polinomio se combinan algebraicamente usando la ley distributiva. En particular, 6 + +7+3 4 = 6 +3 + 4 +7 = 6+3 + 1 4 +7 =9 3 +7 Si después de combinar los términos semejantes, el polinomio tiene un solo termino, se le llama monomio (5 ); si tiene dos se la llama binomio (6 +7 ); y si tiene tres se trata de un trinomio (5 8 +2). Al hablar de grado de un monomio de una variable, se esta indicando el exponente de dicha variable. En particular 5 es de tercer grado. Si un monomio tiene más de una variable, su grado es la suma de los exponentes de todas las variables. Por ejemplo, el grado de 3 es 7. El grado de 2 es 3. El grado de un monomio de una constante no cero, tal como 4, es cero. La constante 0 no tiene grado. El grado de un polinomio es el mismo que el del términocon el grado más alto. Por consiguiente, 7 4 +2 es un polinomio de segundo grado, 3 +6 es un polinomio de primer grado. El grado de 6 4 +2 es 4, pues el termino con el grado mas alto es 6, cuyo grado es 4. Ejemplo No 1 Indique si el polinomio es monomio, binomio o trinomio; en todos los casos determine el grado del polinomio. a) 8 +5 +2 4 = 8+2 + 5 4 =10 + ; el polinomio es un binomio de grado 2. b) 7 3 +8 5 6 = 7 3 + 8 5 6 = 4 3 ; el polinomio es un binomio de grado 3. Ejercicio No 1 Indique si el polinomio es monomio, binomio o trinomio; en todos los casos determine el grado del polinomio. 1. a) 7 2 +5; b) 4 +3 ; c) 4 ; d) 2 +6. 2. a) 8 +6 1; b) 8 ; c) 2 +5 ; d) 3 +2. En los ejercicios 3 a 6, simplifique la expresión algebraica. 3. a) 4 5 +6 2 ; b) 5 6 4 + 3. 4. a) 7 3 8 ; b) 2 3 4 5 3. 5) a) 3 +3 2 2 7 ; b) 9 4[3 +2 6+ 5].
6. a) 4 +3 2 2 3 + 5 ; b) 3 2 3 [ + ]. Suma de polinomios La adición de polinomios se facilita colocándolos en filas paralelas con sus términos semejantes colocados en la misma columna. Ejemplo No 2 Sume los polinomios: 4 +7 +3 8 6 2 + +4 10 +5 +3 4 La sustracción de un polinomio de otro, también se puede llevar a cavo colocando los polinomios en las filas paralelas, de manera que los términos semejantes queden en las mismas columnas. Ejemplo No 3 Reste 4 8 +2 +6 de 2 + +4 3. Ordenamos los polinomios en columnas de términos semejantes. 2 + +4 3 4 8 +2 +6 Ahora se piensa en cada término del polinomio inferior como su negativo y se suma: 2 + +4 3 4 +8 2 6 2 +9 +2 9 Ejercicio No 2 En los ejercicios 7 a 10, (a) sume los polinomios y (b) reste el segundo polinomio del primero. 7. 4 7 +2 4; 3 +8 +3 7. 8. 5 3 +10; 6 +4 2. 9. 6 2 +3 1; 8 5 2 +6. 10. 2 +7 +4 +1; 4 6 + 8. Producto de polinomios Las leyes distributivas pueden utilizarse para expresar el producto de un monomio y un polinomio por ejemplo: + + = + + Ejemplo No 4 a) 4 5 7 3 =4 5 4 7 4 3 =20 28 12 b) si n es un entero positivo, 3 4 +2 =3 4 +3 2 =12 +6 Las leyes distributivas pueden aplicarse en forma repetitiva para obtener el producto de dos polinomios, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo No 5 2 +7 3 4 =2 3 4 +7 3 4 =6 8 +21 28=6 +13 28 Ejercicio No 3 El los ejercicios 11 a 26, obtenga el producto (n un entero positivo). 11. a) 3 4 2 +7 ; b) 2 +5. 12. a) 5 3 6 +2 ; b) 6 4 13. a) 2 3 6 1 ; b) 3 4 +5 14. a) 2 + 8 ; b) 2 +3 1 16. a) +8 4 3 ; b) 2 5 3 + 17. a) 4 9 5 +3 ; b) 2 4 +1 18. a) 7 ; b) 6 3 4 +2 19. 3 +53 +4 20. 2 54 3 21. 2 +4 3 6 +5 22. 3 +2 +1 2 5 +6 23. 3 +7 5 +2 3 24. 2 5+ 8 6+ 25. 3 + 4 5 26. 3 + Productos notables Existen algunos productos especiales de polinomios, llamados productos notables, que aparecen con frecuencia y es necesario reconocerlos.
Producto notable1: + + = + ++ Por ejemplo, +7+2 = + 7+2 +7 2= +9 +14 Producto notable2: + = +2 + Por ejemplo, +2 = +2 2 +2 = +4 +4; 2 +5 = 2 +2 25 + 5 =4 +20 +25 Producto notable3: + = Por ejemplo, +2 2 = 2 = 4; 3 +4 3 4 = 3 4 =9 16 Producto notable4: ++= ++ + Por ejemplo, 5 23 +6 = 5 3 +[5 6+ 2 3] +[ 2 6] =15 +24 12 Ejercicio No 4 Aplique los productos notables para obtener el producto indicado, 27. a) +4+5 ; b) 2 +3 28. a) 2+1 ; b) 5 +3 29. a) +6 6 ; b) 3 24 + 30. a) +4 4 ; b) 6 3 +2 31. a) 5 +9 ; 4 3 32. a) 73 8 ; 6 +5 División de polinomios Para dividir polinomios entre un monomio, cada termino del polinomio se divide entre el monomio. En particular d 0 (puesto que la división no esta defina para cero) Ejemplo No 6 a) = + + + = + + =5 6 +3 =5 6 +3 b) = =4 3 =4 3 A partir del producto se muestra que, Por consiguiente, si x, se deduce que 6 2 +7 3 4 =6 +13 28 +13 28 =2 +7 3 4 Podemos ahora explicar un método formal para obtener el cociente 2x+7 cuando el dividendo es 6 +13 28 y el divisor es 3 4, de la siguiente manera: 2x+7 3x-4 6x²+ 13x - 28 6x²- 8x 21x- 28 21x- 28 0 Explicación del procedimiento: 1. se divide 6x² (el primer termino del dividendo) entre 3x (el primer termino del divisor) para obtener 2x (el primer termino del cociente). 2. se multiplica 3x-4 (el divisor) por 2x, para obtener el producto 6x²-8x, que escribimos bajo los términos semejantes del dividendo. 3. se resta y obtenemos así el residuo 21x-28, que se considera como el nuevo dividendo. 4. dividimos 21x (el primer termino del nuevo dividendo) entre 3x (el primer termino del divisor) y resulta 7 (el segundo termino del cociente). 5. se multiplica 3x-4 (el divisor) por 7 para obtener el producto 21x-28, que escribimos bajo el nuevo dividendo y se resta. Obtenemos un residuo cero en este problema. Ejemplo No 7 Obtener el siguiente cociente, 3z²+4z+2 z-5 3z³- 11z²- 18z- 6 3z³- 15z² 4z²- 4z²- 18z 20z 2z- 6 2z- 10 4
El cociente es 3z²+4z+2 y hay el residuo 4. Se escribe el resultado como: 3 11 18 6 =3z²+4z+2+ 4 5 z 5 Ejercicio No 5 Obtenga el cociente. Ninguno de los divisores es cero. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si un polinomio es el producto de otros polinomios, entonces a cada uno de los polinomios se le llama factor del original. Puesto que, 25= 5+5 5 +5 son factores de 25. El proceso de obtención de los factores de un polinomio constituye la factorización de dicho polinomio. La factorización es importante al trabajar con fracciones para resolver ecuaciones. Separación de un factor monomial común Si todos los términos de un polinomio contienen un factor monomial común, entonces, el polinomio puede escribirse como el producto del factor monomial común y el cociente obtenido al dividir el polinomio original entre el factor común. Por ejemplo, es el factor monomial común de cada uno de los términos del trinomio + + ; por consiguiente, + + =+ + Ejemplo No 8 Factorizar el polinomio. a) 6 3 +9, como el factor monomial común es 3 entonces: 6 3 +9 =32 +3 Nótese que el factor 2 +3 se obtiene dividiendo el polinomio dado entre 3. b) + (n un entero positivo), el factor monomial es entonces, + = + Ejercicio No 6 43. 8 +4 44. 9 3 45. 3 + 46. +2 +3 47. 36 6 48. 12 4 49. + 50. 6 +3 9 51. 12 28 20 52. + + 53. + 54. + + Diferencia de cuadrados perfectos A partir del producto notable 3 se obtiene la formula: = +. El lado izquierdo de esta formula es la diferencia de dos cuadrados y la formula enuncia que puede escribirse como el producto de la suma por la diferencia de las dos variables. Ejemplo No 9 a) el binomio 4 es la diferencia de los dos cuadrados y 2. Por consiguiente, 4= +2 2 b) el binomio 9 49 es la diferencia de los cuadrados de 3 y 7 ; esto es, 9 49 = 3 +73 7
Ejercicio No 7 55. 64 56. 16 57. 49 58. 4 9 59. 4 25 60. 36 81 61. 9 16 62. 49 25 63. 64. Factorización de trinomios El producto notable 2 proporciona la siguiente formula: +2 + = + Nótese que siempre que se dese factorizar un trinomio que tenga dos términos que son cuadrados perfectos, se puede aplicar esta fórmula siempre que el otro término sea el doble producto de las raíces de los términos cuadrados perfectos. A este tipo de trinomio se le llama trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo No 10 El trinomio 16 +40 +25 tiene dos términos que son cuadrados perfectos, 16, que es 4, y 25, que es 5. Además, el otro término 40 es el doble producto de las raíces 2 45. Por tanto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Así que, 16 +40 +25= +2 + = 4 +5 De acuerdo con el producto notable1: + ++ = + + Ejemplo No 11 El trinomio +3 28 es del tipo del lado izquierdo de la formula anterior. Puede factorizarse a un producto de dos binomios + y +, cuando contiene dos enteros y tales que = 28 y + =3. Los enteros 4 y 7 satisfacen estas condiciones; de esta manera, +3 28= +7 4 A partir de esto, se establece una regla practica para factorizar un trinomio de la formax + a+b x+ab o x +Bx+ C, tal como lo es +3 28. 1) El trinomio de descompone en dos factores binomios cuyo primer término es, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Tendremos. + = 2) En el primer factor, después de se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. Tendremos. + = + 3) finalmente, se buscan dos números cuya suma sea el coeficiente del segundo término del trinomio ( = + =3) y cuyo producto sea el coeficiente del tercer término ( = = 28). Tendremos. + = +. Donde, + =,y, = Regla para factorizar trinomios de la forma + + Se diferencia de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer término tiene un coeficiente distinto de 1. Ejemplo No 12 Factorizar6 7 3. Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de que es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7 se tiene: 36 6 7 18 Pero 36 = 6 y 6 7 =7 6, luego podemos escribir: 6 7 6 18 Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de 6 o sea 6 : + Dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 18 son 9 y 2. Tendremos +. Como al principio multiplicamos el trinomio por 6, ahora tenemos dividir por 6, para no alterar el trinomio. Tenemos, + 6 Como ninguno de los binomios es divisible por 6, descomponemos 6 en (3 2) y dividiendo 6 9 entre 3 y 6 +2 entre 2 se tendrá. 6 9 6 +2 = 2 3 3 +1 3 2 Luego, 6 7 3= 2 3 3 +1 Ejercicio No 8 65. +7 +10 66. 9 +18
67. 10 +24 68. +13 +42 69. 4 32 70. +5 24 71. 21 10 + 72. +4 21 73. +6 +9 74. 10 +25 75. 16 8 +1 76. 9 30 +25 77. 4 12 +9 78. 25 10 +1 79. 5 7 6 80. 10 11 6 81. 18 +9 20 82. 32 +12 9 83. 18 57 +35 84. 20 +43 +14 85. 4 12 86. 14 +49 Suma y diferencia de dos cubos Calculando el producto de + y +, obtenemos + + = + + + = + Por consiguiente, + = + + Formula que sirve para factorizar la suma de dos cubos. Para factorizar la diferencia de dos cubos usamos la fórmula, = + + Ejemplo No 13 El binomio 8 es la diferencia de los cubos de 2 y b. 8 =2 = 2 2 +2 + = 2 4+2 + Ejercicio No 9 87. +8 88. 27 89. 64 90. 125 +64 91. 27 92. 8 Factorización por agrupamiento Algunas veces, aun cuando los términos de un polinomio no tengan un factor monomial común, puede ser posible agrupar términos de manera que cada grupo tenga un factor común. Ejemplo No 14 Para factorizar el polinomio 3 +7 6 14 Agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos, obteniendo, 3 +7 + 6 14 Los dos primeros términos tienen factor común, y los dos últimos, un factor común 2. Por consiguiente el polinomio se puede expresar como, 3 +7 2 3 +7 Observemos que hay un factor binomial común de 3 +7 en ambos términos. Por tanto, Ejercicio No 10 93. + +2 +2 94. +3 + +3 95. 4 +4 1 96. + + + 97. 10 +25 4 10 98. 4 +4 1 99. 3 +3 100. 28 16 21 +12 101. 6 9 2 +27 102. 4 3 +2 103. 2 3 16 115. 16 116. 81 117. 1 118. 1 3 +7 6 14= 3 +7 2 104. 2 + 5 3 105. +10 +25 9 106. +4 4 107. 8 +16 36 +12 108. 9 24 +16 4 +4 109. 9 16 3 4 110. 16 4 + 111. 4 +64 112. +27 + +3 113. +2 1 114. 3 27 119. +2 +1 120. 9 +8 121. 8 +7 1 122. 5 +4. 1. a) Trinomio, 2; b) Binomio, 1; c) Monomio, 6; d) Trinomio, 4. 3. a) 10 7 ; b) 30 +20 5 +15. 5. a) 17 +11 4 ; 5 +77
7. a)7 + +5 11; 15 +3 9.a)14 5 4 +3 +5; 2 +5 4 3 7 11. a) 12 +6 21 ; + 13.a)6 12 2 2 ; 3 12 +15 15.a)2 11 21; 10 +8 24 17.a)-36 88 +60 ; 32+16 +2 19. 9 +12 +7 +20 21. 2 8 17 +38 15 23. -15 +14 +26 19 +14 25. 12 11 5 27. a) +9 +20; 4 +12 +9 29. a) 36; 12 5 2 31. a) +4 45; 16 24 +9 33. 2 7 35. 3 +4 2 37. 2 1 39. 2 +3 41. 5 3 +6 43. 4 2 +1 45. 3 +1 47. 6 6 49. + 51. 4 3+7 +5 53. +1 55. +8 8 57. +7 7 59. 2 +52 5 61. 3 +4 3 4 63. ( + 65. +2+5 67. 4 6 69. +4 8 71. 3 3 73. +3 75. 4 1 77. 2 3 79. 5 +3 2 81. 6 53 +4 83. 6 53 7 85. +2 6 87. +2 2 +4) 89. 4 16 +4 + 91. ( 3 +3 +9 93. +2 + 95. +1 4 1 97. 2 +5 5 2 99. +3 101. 2 +9 3 103. 2 3 +4 2 3 4 105. +5 +3+5 3 107. 4 +6 6 + 109. 3 +43 4 1 111. 41 4 16 113. +2 1 +4 + + +2 +1 115. +4+2 2 117. +1 +1+1 1 119. +1 +1 121. 2 1+1 4 +2 +1 +1 4. Ejercicio final Desarrolle 10 ejercicios diferentes a los planteados en la guía (Estos deben ser de factorización). 5. Evaluación Evidencia El estudiante deberá presentar la guía impresa junto con la solución de los ejercicios planteados, de forma ordenada en una carpeta o Kiper. Criterios de Evaluación Se evaluara mediante evaluaciones parciales, individuales y en grupo.