Problemas de Programación Entera I 1 PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN ENTERA I 1. Un departamento ha dispuesto 2 millones de pesetas de su presupuesto general para la compra de material informático, con el que se comprarán ordenadores, impresoras y programas. éstos pueden ser adquiridos a un coste por unidad de 125.000, 76.000 y 120.000 pesetas, respectivamente. Se ha decidido que han de adquirirse al menos 5 ordenadores y 2 impresoras. Debido a los costes de mantenimiento, se ha decidido también no comprar más de 5 impresoras. Por acuerdo del departamento, el rango en que ha de variar la proporción de programas a ordenadores ha de estar entre 1/12 y 1/2. El objetivo es maximizar la utilidad total de la compra, donde las utilidades individuales están dadas como 2, 3 y 1. Resolver el problema planteado. 2. Una empresa desea planear su política de producción/inventario para los meses de agosto, septiembre, octubre y noviembre. La demanda estimada del producto para esos meses es de 500, 600, 800 y 1000 unidades, respectivamente. En la actualidad, la capacidad de producción mensual es de 600 unidades con un coste de 2500 pesetas. La administración ha decidido instalar un nuevo sistema de producción con capacidad mensual de 1100 unidades a un coste por unidad de 3000 pts. Sin embargo, el nuevo sistema no puede ser instalado hasta noviembre. Supóngase que el inventario inicial es de 250 unidades y que, durante cualquier mes dado, se pueden almacenar a lo sumo 400 unidades. Si el coste mensual por unidad por mantener en inventario es de 300 pesetas, minimizar el coste total de producción e inventario. Suponer que se debe satisfacer la demanda y que se requiere tener 100 unidades en inventario al final de noviembre. 3. Una compañía tiene dos fábricas, una en Atlanta y otra en Los Ángeles. Las dos fábricas producen refrigeradoras y lavadoras. Las capacidades de producción de estos artículos en Atlanta son de 5000 y 7000, respect., y en Los ángeles de 8000 y 4000. La compañía entrega estos productos a tres grandes clientes en las ciudades de Nueva York, Seattle y Miami, siendo las demandas: Demanda/cliente Nueva York Seattle Miami Refrigeradores 4000 5000 4000 Lavadoras 3000 3000 4000 Los artículos se transportan por ferrocarril. En la tabla siguiente se muestran los costes por unidad de transporte y las limitaciones para enviar de cada fábrica a cada cliente:
Problemas de Programación Entera I 2 Nueva York Seattle Miami Atlanta Coste unitario 6 14 7 Máximo unidades 6000 3000 8000 Los Ángeles Coste unitario 10 8 15 Máximo unidades 3000 9000 3000 Se desea minimizar el coste total de transporte. 4. Una compañía planea construir varios almacenes para guardar un cierto producto. Estos almacenes surtirán a dos grandes clientes con demandas mensuales de 3000 y 5000 unidades. Se pueden construir tres almacenes que se tienen como candidatos con capacidades 4000, 5000 y 6000 unidades. Usando el coste estimado de construcción de los almacenes, su vida útil y el valor del dinero en el tiempo, los costes de construcción por mes para los tres almacenes se han estimado en 8000, 12000 y 7000. A continuación se dan los costes de transporte por unidad desde los tres almacenes candidatos a los clientes. Almacén / Cliente 1 2 Alm. 1 1.50 2.00 Alm. 2 2.00 1.50 Alm. 3 2.50 2.25 Determinar qué almacenes se deben construir y cómo se ha de satisfacer la demanda de los clientes. 5. Tienen que transportarse sacos con alimentos mediante tres tipos de aviones A1, A2, A3, desde un aeropuerto y arrojarse en aldeas V1, V2, V3, V4,V5, afectadas por inundaciones. La cantidad de alimentos (en unidades adecuadas) que cada avión puede transportar a cada aldea en cada viaje, se da en la siguiente tabla. El número de viajes que puede hacer cada avión se da en la última columna y el número de aviones que puede recibir cada aldea diariamente en la última fila. Encontrar el número de viajes que deberá hacer cada avión a cada aldea de forma que se maximice la cantidad de alimento distribuido por día. V1 V2 V3 V4 V5 A1 10 8 6 9 12 50 A2 5 3 8 4 10 90 A3 7 9 6 10 4 60 100 80 70 40 20
Problemas de Programación Entera I 3 6. Una oficina de correos necesita un número diferente de empleados de tiempo completo para días diferentes de la semana. El número de empleados de tiempo completo requeridos para cada día se da en la tabla adjunta. Las reglas sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo tiene que trabajar durante cinco días consecutivos y, después, descansar dos días. Por ejemplo, un empleado que trabaje de lunes a viernes tiene que descansar sábado y domingo. La oficina de correos quiere cumplir con sus requerimientos diarios y utilizar sólo empleados de tiempo completo. Formular mediante programación matemática un problema que pueda utilizar la oficina de correos para minimizar el número de empleados de tiempo completo que hay que contratar. Número de empleados de tiempo completo requeridos Día 1 = lunes 17 Día 2 = martes 13 Día 3 = miércoles 15 Día 4 = jueves 19 Día 5 = viernes 14 Día 6 = sábado 16 Día 7 = domingo 11 7. Una compañía textil fabrica camisetas, camisas y pantalones. La manufactura de la ropa requiere que la compañía alquile una determinada maquinaria para cada tipo de prenda. El precio del alquiler de la maquinaria para confeccionar camisetas es de 20.000 pesetas por semana; el de la maquinaria de camisas, 15.000 pesetas; y el precio de la de pantalones, 10.000 pesetas. La manufactura de cada tipo de ropa requiere las horas de trabajo y cantidad de tela para cada prenda que aparecen en la primera tabla. HORAS YARDAS PRECIOS COSTE CUADRADAS VENTA Camisetas 3 4 Camisetas 1200 600 Camisas 2 3 Camisas 800 400 Pantalones 6 4 Pantalones 1500 800 Cada semana se dispone de 150 horas de trabajo y 160 yardas cuadradas de tela. El coste por unidad de cada tipo de prenda y el precio de venta aparecen en la segunda tabla. Formular el correspondiente problema de programación lineal entera.
Problemas de Programación Entera I 4 8. En una ciudad se intenta disminuir la contaminación reduciendo la circulación interurbana. Un primer estudio busca determinar el mínimo número de autobuses que satisfagan las necesidades de transporte. Después de recoger la información se observa que este número varía según la hora del día, pero se puede considerar constante en intervalos sucesivos de cuatro horas: 12:00 a.m. -- 4:00 a.m. 4 autobuses 12:00 p.m. -- 4:00 p.m. 7 autobuses 4:00 a.m. -- 8:00 a.m. 8 autobuses 4:00 p.m. -- 8:00 p.m. 12 autobuses 8:00 a.m. -- 12:00 p.m. 10 autobuses 8:00 p.m. -- 12:00 a.m. 4 autobuses Los turnos de autobuses funcionan durante ocho horas seguidas y pueden comenzar al principio de cualquiera de los seis periodos descritos anteriormente. Además, si en el turno que comienza a las 8:00 p.m. hay m s de 4 autobuses, en el siguiente ha de haber también más de 4. Plantear un problema de programación lineal para determinar el mínimo número de autobuses diario que satisface las necesidades anteriores. 9. Una compañía considera la apertura de almacenes en cuatro ciudades: Madrid, Barcelona, Sevilla y Bilbao. Cada almacén puede enviar 100 unidades a la semana. El coste semanal fijo para mantener abierto cada almacén es de 40000 pesetas en Madrid, 50000 pesetas en Barcelona, 30000 pesetas en Sevilla y 15000 pesetas en Bilbao. La región 1 del país requiere semanalmente 80 unidades, la región 2, 70 unidades, y la región 3, 40 unidades. En la tabla adjunta se dan los costes (incluyendo producción y envío) para enviar una unidad de cada almacén a cada región. Se desea satisfacer las demandas semanales a un coste mínimo, sujetas a la información anterior y teniendo en cuenta que no se pueden abrir más de dos almacenes. COSTES UNITARIOS Madrid Barcelona Sevilla Bilbao Región 1 2000 4800 2600 2400 Región 2 4000 1500 3500 5000 Región 3 5000 2600 1800 3500 10. En una determinada ciudad se va a construir la red del metro. La empresa encargada ha de decidir qué líneas construir y para ello tiene varias opciones. Existen 10 puntos claves por los que la red ha de pasar, y se ha visto que son 8 las posibles líneas a construir. Las líneas posibles, los puntos clave por los que pasaría cada una, y su coste estimado de construcción en unidades apropiadas, son:
Problemas de Programación Entera I 5 Línea Puntos clave Coste L1 P1P2 P3 P4 4 L2 P1 P3 P5 P7 4 L3 P2 P3 P4 P6 4 L4 P5 P7 P9 P10 4 L5 P2 P7 P8 3 L6 P1 P4 P5 P10 4 L7 P3 P8 P9 3 L8 P2 P6 P10 3 Además, por el punto P2 han de pasar al menos dos líneas; y, si los puntos P3 y P7 no quedan conectados por una línea directa entonces debe existir un ransbordo en P8 de modo que pase una línea que una este punto con el P3 y otra con el P7. Plantear como un problema de programación lineal entera el problema de decidir qué líneas construir de la forma más económica con estas restricciones, y teniendo en cuenta que por cada punto clave debe pasar al menos una línea. 11. En una misión pacífica de las Naciones Unidas se dispone de 5 aviadores para formar las tripulaciones de dos aviones biplaza. Estos aviadores son de distintas nacionalidades: Español, Francés, Italiano, Griego y Portugués. Como en toda cuestión diplomática las relaciones internacionales son de gran peso, cada una de las distintas composiciones de las tripulaciones conlleva un beneficio, siendo éstos: Francés Italiano Griego Portugués Español 2 5 4 3 Francés 4 4 2 Italiano 5 4 Griego 3 Por otra parte estas mismas relaciones internacionales hacen que si una tripulación está formada por el aviador español y el italiano la otra ha de estar formada por el aviador francés y el griego. Formular el problema como un problema de programación lineal entera. 12. En una fábrica se producen dos productos, P1 y P2, cuyos beneficios unitarios son 20 y 70, respectivamente. En la producción se utilizan dos materias primas, disponiendo de 30 y 60 unidades cada una. La demanda total es de al menos 20 productos, y ha de ser satisfecha. El planteamiento del problema es:
Problemas de Programación Entera I 6 Max 20x + 70y s.a. x + 3y 30 2x + 4y 60 x + y 20 x, y 0 (a) Resolver mediante el algoritmo del símplex. (b) Dar los valores e interpretación de las variables originales, las de holgura, las artificiales (si existen), las duales, de los costes reducidos y de la función objetivo, si la tabla óptima fuera X Y S1 S2 S3 Z 0 0 25 0 5 650 Y 0 1 1/2 0 1/2 5 S2 0 0-1 1 1 10 X 1 0-1/2 0& 3/2 15 (c) Surge ahora en el mercado la posibilidad de fabricar un tercer producto, P3. Este producto requiere 1 unidad de la primera materia prima (de la que se dispone de 30) y 1 unidad de la segunda, siendo su beneficio unitario de 60. La demanda total sería de 20 unidades igualmente. Sin embargo, este producto requiere del alquiler de un tipo de maquinaria cuyo coste es de 100 unidades monetarias, independientemente del tiempo que sea usada y de la cantidad que se produzca. Además, si se produce alguna cantidad de este producto P3 han de producirse al menos 8 productos del producto P2. Plantear un problema de programación lineal entera para maximizar el beneficio de la empresa. 13. Una empresa abastecedora de agua tiene que llevar agua de un punto s a un punto t, y para realizar la conexión entre ambos puntos ha de pasar por unos puntos intermedios. Cada conexión entre un par de puntos tiene un coste estimado de construcción y, una vez construida, un coste unitario de envío de cada litro y una capacidad por hora que se recogen en la siguiente tabla: Conexión Coste construcción Coste envío litro/m. Capacidad litros/m. s - 1 100.000 40 100 s - 2 200.000 50 200 1-3 80.000 60 50 1 - t 100.000 70 30 2-3 200.000 40 20 2 - t 200.000 70 100 3 - t 150.000 60 60
Problemas de Programación Entera I 7 Plantear un problema de programación matemática si se quieren enviar 180 litros por minuto de la forma más económica posible, y teniendo en cuenta que si se construye la conexión de s a 2, ha de hacerse la de 2 a t. 14. Una compañía dispone de 4 fábricas, F i, i = 1, 2, 3, 4, con capacidades de producción de 240, 190, 250, 175 unidades, respectivamente, y debe suministrar 185, 110, 125, 180, 170 unidades a sus 5 clientes C j, j = 1, 2, 3, 4, 5. Estudia la apertura de varios centros de distribución, con 5 posibles localizaciones D k, k = 1, 2, 3, 4, 5. Se dispone de 28 millones para la construcción de los centros de distribución, siendo los costes de construcción de 7, 12, 10, 10 y 8 millones de pesetas, respectivamente. Los costes de transportes por unidad, en miles de pesetas, de cada fábrica F i a cada centro D k, y de cada centro D k a cada cliente C j, se dan en las siguientes tablas: D1 D2 D3 D4 D5 C1 C2 C3 C4 C5 F1 3 5 2 4 3 D1 6 4 7 8 3 F2 3 2 4 2 3 D2 4 6 2 7 3 F3 5 1 6 3 1 D3 6 5 1 8 2 F4 4 3 2 6 2 D4 3 4 2 1 1 D5 7 1 2 1 1 Además la construcción de un centro en el lugar D1 implica la construcción de otro centro en el punto D2. Formular un modelo de programación lineal entera que determine el plan de localización y distribución más económico. 15. Una empresa de panadería especializada en la elaboración de magdalenas artesanas, ofrece tres variedades de magdalenas: de huevo, de vainilla y de chocolate. Cada variedad debe procesarse con dos tipos de máquinas (M 1 ) y (M 2 ). En la tabla siguiente se muestra el tiempo que se tarda en procesar cada docena de magdalenas con cada máquina, así como el beneficio obtenido con cada docena de magdalenas. Tipo Magdalenas Magdalenas Magdalenas Disponibilidad Maquinaria Huevo Vainilla Chocolate (horas) M 1 2 5 4 70 M 2 3 4 6 86 Beneficio(euros) 80 70 95
Problemas de Programación Entera I 8 Se pide: (a) Formule el problema de programación lineal que proporcione el mayor beneficio para la empresa. (b) Suponga que la empresa se plantea aumentar la disponibilidad de cada máquina según la tabla adjunta, pero sólo puede realizar a lo sumo un tipo de incremento para cada máquina. En total se dispone de un capital de 340.000 euros para realizar las inversiones. Formule el problema de programación lineal que proporcione qué inversiones se deben realizar para obtener un mayor beneficio. (c) Si sólo se invierte en un aumento de disponibilidad de M 2 en el caso de que se invierta en M 1, cómo se formula esta condición? (d) Si se invierte en un aumento de disponibilidad de M 2 si y sólo si se invierte en M 1, cómo se formula esta condición? Tipo de máquina M 1 M 2 Incremento en disp. (horas) 10 15 8 12 Coste inversión (miles euros) 160 170 170 175