UD : Los números reales RADICALES. CONCEPTO Y OPERACIONES. Concepto de raíz. - La raíz cuadrada de un número a es otro número b, que al elevarlo al cuadrado te da a (que es lo mismo que decir que a b si b a ). - La raíz enésima (o n-ésima) de un número a es otro número b, que al elevarlo a n te da a n (que es lo mismo que decir que a b si b n a ). n - La raíz es la operación inversa a la potencia, en el sentido de que a n a siempre. 6 Raíz como potencia de exponente fraccionario. m n m n - Es importante saber que a a. En muchos problemas viene bien pasar a esta forma, porque con fracciones sabemos operar mejor. / Simplificación de raíces. / / - Una raíz n a m se puede simplificar en su índice (n) y el exponente (m) de su radicando ( m a ) de manera muy similar a una fracción: 9 9 6 6 y como 6 y 9 son divisibles por, 9 6 Es fácil ver el parecido con las fracciones si consideramos que / / - Pero cuidado, el exponente que se simplifica tiene que estar elevando a todo lo que hay dentro de la raíz, como si hacemos 9 6 9 6 9 8x x (x ) x - Sin embargo x + no se puede transformar en x +. Sólo se simplifican los exponentes de factores que están multiplicando o dividiendo. Extracción e introducción de factores. - Para sacar factores de una raíz, primero es bueno descomponer el radicando en factores primos, como en este ejemplo: 80 Y todos los factores cuyo exponente sea igual o mayor que la raíz van a poder sacarse, porque: no se puede sacar de ninguna manera Entonces: 80 0
UD : Los números reales - Un truco práctico para calcular qué sale y qué queda dentro de la raíz: la división tradicional. Si nos dan, de cada factor cuyo exponente sea igual o mayor que el índice (en este caso ) se puede extraer algo fuera de la raíz, mientras que de los factores con exponente menor al índice de la raíz (en este caso el ) no. Para, basta con dividir su exponente por el índice de la raíz. El cociente indica con qué exponente sale el factor y el resto será el exponente del factor que queda dentro de la raíz. Como 9 entre da cociente con resto : 8 8 - Ojo! Si un factor está dividiendo dentro de la raíz y sale por las reglas descritas arriba, sale también dividiendo:! - Si necesitamos introducir factores en una raíz en vez de extraerlos, funciona a la inversa. Cada factor que entre en una raíz se debe elevar al índice de ésta, por lo que: 0 0 # $ % El exponente que tuviera cada factor fuera de la raíz se multiplica por el índice de ésta. Suma y resta de raíces. - Sólo podemos sumar y restar términos cuya parte radical sea exactamente igual (que coincidan su radicando y su índice). Por ejemplo, en una operación como ésta: + +, y no se pueden agrupar de ninguna manera, por lo que sólo podemos tratarlas como si fueran tres variables distintas (x, y, z) y hacer: Que es lo mismo que: + + + + + + + + - Si las partes radicales no coinciden, se puede intentar hacer una extracción de factores con todas ellas para ver si alguna se puede operar. 8 + 6 + + 88 9 + + +, + # $ + + + +, + # $
UD : Los números reales Producto y división de raíces. - Si los índices de las raíces son iguales, multiplicar y dividir entre ellas es tan simple como multiplicar y dividir entre sus radicandos: * 6 6 - Para multiplicar raíces de distinto índice hará falta aplicar la simplificación antes explicada. Por ejemplo, no se puede meter en una sola raíz. Habrá que hacer el mínimo común múltiplo de los índices (de y sería 6) y como 6 y - Otro ejemplo: - 6, sí se puede hacer: 6 6 6 - Debemos pasar a índice común, que de y 6 sería. -. % % - Funciona igual con varios factores multiplicando o dividiendo: / 0. / # $ % Raíz de una raíz. - # $ / Debemos pasar a índice común, que de, y 0 sería 0. / # $ 0 0 % % / % % - / 88 % % 0 0 - Para efectuar la raíz de una raíz, simplemente se multiplican los índices, siempre y cuando no haya ningún término entre una y otra: 6!. - Con un ejemplo como no es tan fácil, no se puede aplicar la propiedad anterior con ese en medio. Habría que introducir el dentro de la raíz cúbica y entonces sí se podrán multiplicar los índices.!! - - Otro:! 0!! 0 % / %
UD : Los números reales Racionalización. Para la racionalización necesitamos todas las cuentas que hemos utilizado aquí, pero sobre todo hay dos reglas básicas: ) No puede quedar ninguna raíz en el denominador. Hay que pensar por qué factor se puede multiplicar el denominador para que deje de tener raíces. ) Si multiplicamos el denominador por un factor, debemos hacer la misma operación en el numerador, y viceversa; porque si no, la fracción no será igual. - Lo más sencillo que nos podemos encontrar en el denominador es una raíz cuadrada (que no esté sumando o restando a otro término), porque basta con multiplicar por la misma raíz para quedarnos con el radicando: + + + + 6 - Pero no siempre basta con poner la misma raíz, en un ejemplo como la única manera de quitar la raíz del denominador es meter otro dentro de la raíz para así tener y quedarnos sin raíces, pero claro, la misma multiplicación que haga abajo la debo hacer arriba. Así: - Otro ejemplo: 8 8 - Es posible que en estas situaciones tengamos que multiplicar radicales de distinto índice: 0 0 8 - - Cuando tenemos una raíz cuadrada sumando o restando a otro término (que también puede tener raíces cuadradas) sólo podemos usar el truco del conjugado para forzar una diferencia de cuadrados. Consiste en multiplicar dicha expresión por otra igual, pero en la que cambie el signo del centro: - Otro ejemplo: + + + + + 6 + 6 + 6 Como detalle aparte de los radicales, recuerda que no se debe dejar una expresión negativa en el denominador, para lo cual se multiplica numerador y denominador por -. En este caso en el denominador quedaría # $ # $ y por eso dejamos de verlo.
UD : Los números reales PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. DEFINICIÓN: El logaritmo de un número en una base dada es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener dicho número. 6 8 9 9 8 ;< 8 8. Cuidado! Es indispensable que n>0 (no existe el logaritmo en ninguna base de números negativos ni de 0) y que a>0 y > @. ;< A 0 ;< A # $ ;< C. Bases especiales: Cuando la base sea 0, ponemos log a secas; y cuando la base sea el número e (e 8) ponemos ln, pues se llama logaritmo neperiano. ;< 00 ;< % 00 ;D 00 ;< E 00. El logaritmo de en cualquier base es 0. 6 > @ F ;< 0 ;< 0 ;< G 0. El logaritmo de un número igual a la base es. 6 > > @ ;< ;< ;< G H. El logaritmo de una potencia con base igual a la base del logaritmo es igual al exponente. 6 > > 8 8 ;< 6 ;< 6 ;<000 ;< % 0 ;D I ;< E I 6. El logaritmo de un producto es igual a los logaritmos de los factores. 6 > # 9$ 6 > + 6 > 9 ;<#0$ ;<# 0$ ;< + ;<0 0 J 0 + 0. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el del divisor. 6 > + 9, 6 > 6 > 9 ;<#00$ ;<+ 000, ;<000 ;< 0J 0 699 8. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. 6 > # 9 $ 9 6 > ;<#$ ;<# $ ;< 0 0 0 9. El logaritmo de una raíz es igual al cociente del logaritmo del radicando por el índice. 9 6 > 6 > 9 L ;< ;< 0 0 0 0 0. CAMBIO DE BASE: Para calcular un logaritmo de base que no sea ni 0 ni e. 6 > 6 M 6 M ;< 0 M NOPQP RPS TO>UOVPS>,T6PQ > UOP R T8XP86> ;< 0 ;< 0 0 J ;< #I$ ;D I ;D 099 0 9
UD : Los números reales EJERCICIOS DE REPASO.. Razona si las siguientes afirmaciones son falsas o ciertas: a) El producto de dos números racionales puede ser un número entero. b) El producto de dos números irracionales puede ser un número entero. c) Todo número con infinitas cifras decimales es irracional. d) Para que una fracción irreducible de lugar a una expresión periódica mixta, en la factorización de su denominador no pueden estar ni el ni el.. Clasifica los siguientes números reales, indicando el menor conjunto de números (con su nombre y letra) al que pertenezcan. En caso de los números racionales, di qué tipo de racionales son: Π a) b) 6 ) c) ' d) e) 6 f) g) h) 0 8 i) 8. Halla las fracciones generatrices de los siguientes números racionales: a) 0 006 Y b) Y c) 0 d) 8 06Y. Realiza las siguientes operaciones: a) + + 80 8 b) 8 + c) + d) * e) 8 * * f) 8 g) h) i) j). Racionalizar: a) b) 6 c) 9 d) 600 e) + f) 6. Sabiendo que { log 0, log e 0, ln 0 69, ln 96} a) ln ( e ) e b) log 6 c) ln d) log 000 e) log 0 0009 f) ln 600 g) log 686