UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 20/05/2008 Ing. SEMS
2.1 INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior estudiamos de qué manera los datos podrían ser presentados en forma compacta, comprensible mediante cuadros y gráficos. Sin embargo con frecuencia necesitamos resumir aún más para facilitar el análisis e interpretación de la información. Cuando la variable en estudio es cuantitativa, el investigador puede estar interesado en encontrar un solo valor que pueda caracterizar más nítidamente la naturaleza de los datos que se están midiendo. Un valor que refleje la tendencia de los datos puede darse mediante las medidas de posición o tendencia central. Para cuantificar la variabilidad de los datos con respecto a un valor central se utilizará las medidas de dispersión o variabilidad. En el gráfico N 1 se presenta el polígono de frecuencia de las determinaciones de ácido úrico en 250 pacientes reportada durante un año en una comunidad determinada. 20/05/2008 Ing. EFREN S. MICHUE SALGUEDO
GRÁFICO N 1 Pacientes según las determinaciones del ácido úrico en una comunidad Según el gráfico, observamos en esta distribución, que los datos tienden a concentrarse alrededor de un valor central que puede ser: Media aritmética Mediana Moda Cuantiles Sin embargo, también se puede visualizar una variabilidad o dispersión de los datos con respecto al valor central y para cuantificar esta variabilidad se utiliza una medida de dispersión, y puede ser: Amplitud total Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación No 60 50 40 30 20 10 0 Pacientes según las determinaciones del ácido úrico 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 DET.DE ACIDOURICO
2.2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central permiten hallar un solo valor numérico e indican el centro de un conjunto de datos. Debido a esta circunstancia, suelen ser llamados de posición o tendencia central. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS A.- MEDIA ARITMÉTICA: La media aritmética denominada también promedio se considera como un valor representativo del conjunto de datos que se está estudiando y caracteriza a toda una distribución. En su cálculo intervienen todos los valores que se están estudiando. A continuación damos la siguiente definición:
Definición.- Si tenemos n datos representados por: 1, 2,..., n. La media aritmética de estos n datos está dado por: x + x + x +... + x n 1 2 3 n-1 + Simbólicamente lo podemos representar como: x n n i 1 n i Ejemplo 1: Las edades de 6 pre escolares son: i: 4, 1, 3, 5, 2, 3 años. La edad promedio de estos 6 niños es: 4+ 1+ 3+ 5+ 2+ 3 6 6 1 8 3
La edad promedio de los 6 pre escolares es de 3 años, esto quiere decir que cada pre escolar asume una edad de 3 años por que la media aritmética es un valor representativo del conjunto de datos. Propiedades de la media aritmética La media aritmética puede ser un valor positivo, cero, o un valor negativo. Si a los valores que estamos estudiando le sumamos o restamos una constante, el valor de la nueva media aritmética quedaría como la media aritmética de los datos originales más o menos la constante que se ha agregado.
Ejemplo 2: Consideremos los datos en el ejemplo 1, es decir; 4, 1, 3, 5, 2, 3. La media aritmética de estos datos fue 3. Si a cada uno de los datos le sumamos el valor de 2, la media aritmética de estos nuevos valores es: La nueva media aritmética es 30/6 5, es decir, ' 3+ 2 + 2 x i x i +2 4 6 1 3 3 5 5 7 2 4 3 5 18 30
Si a cada uno de los valores le restamos 1, según la propiedad el valor de la nueva media aritmética es: ' 1 3 1 2 Si a cada valor de la serie le multiplicamos pon una constante, la nueva media aritmética sería igual a la media aritmética original multiplicada por la constante, es decir: ' donde es una constante La suma de las desviaciones de los datos con respecto a la media es cero, es decir: n i 1 i 0
B.- MEDIANA (Me) La mediana es un valor que divide a la distribución ordenada en forma ascendente o descendente en dos grupos iguales, es decir, a cada grupo le corresponde el 50% de los datos. El siguiente diagrama nos da una idea intuitiva de lo que es la mediana: 50% 50% Vmin Me V max Para calcular el valor de la mediana de los datos 1, 2,..., n, se tendrá en cuenta el siguiente procedimiento:
Se ordenan los datos en forma ascendente o descendente. Si N es impar, el valor de la mediana es el valor del centro, es decir M e (n + 1)/2 Donde (n + 1)/2 es la posición de la mediana Si N es par, el valor de la mediana va a estar dado por: M e n/2 + 2 (n/2 + 1) esto quiere decir, que el valor de la mediana se encuentra entre los valores cuya posición son: n/2 y n/2 + 1
Ejemplo 3: Encontrarla edad mediana de las edades de 7 niños que se presentan a continuación: 2, 3, 6, 1, 5, 7, 9 Ordenando la serie se tiene : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9 Como el número de datos es impar (n 7), se tiene que la posición de la mediana es: (n + 1)/2 (7 + 1)/2 4, por consiguiente, el valor de la mediana está ubicada en la posición 4, es decir, Me 4 5 años. Esto significa que el 50% de los pre escolares tienen una edad de 5 años o menos y el 50% restante están por encima de 5.
Ejemplo 4: Encontrar el puntaje mediano, de 8 puntuaciones que se dan a continuación: 11, 8, 13, 20, 14, 3, 7, 12 Ordenando la serie ascendente, se tiene: 3, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 20. En este caso, N es un número par, por consiguiente la mediana se localiza entre los valores 4 y 5 (o sea, está entre la posición 4 y 5), es decir, entre los valores 11 y 12 Por tanto el valor de la mediana es: Me (11 + 12)/2 11.5 Esto nos indica que el 50% de los puntajes están por debajo de 11.5 años y el 50% restante por encima de los 11.5 puntos. Nota: El valor de la mediana puede o no coincidir con uno de los datos que se están estudiando.
Ejemplo 5: Calcular la media aritmética y la mediana para la siguiente serie de datos: 2, 4, 5, 6, 9, 30, 11. Además, identifique cuál de ellos es el más representativo. Tenemos que la media aritmética es: 2+ 4+ 5+ 6+ 7+ 30+ 11 67 9.44 7 7 Para encontrar el valor de la mediana primero ordenamos la serie, es decir: 2, 4, 5, 6, 9, 11, 30. Como n es impar la posición del valor de la mediana es: 8/2 4, por consiguiente el valor de la mediana es Me 4 6
Dado que la serie de datos está afectado por un valor extremo, éste va a distorsionar el valor de la media aritmética por que en su cálculo intervienen todos los valores, mientras para calcular el valor de la mediana interviene un solo dato (o los dos datos centrales) por lo tanto no se ve afectada por el valor extremo. Por consiguiente la mediana será el más representativo por que la media aritmética es más sensible a las variaciones extremas. Por otro lado, la media aritmética se considera una medida más estable de muestra en muestra que la mediana, por que en su cálculo intervienen todos los valores.
C.- LA MODA ( Mo ).- Se utiliza mayormente cuando la característica en estudio se ha medido en escala nominal u ordinal. La moda es la observación que mayormente se repite (o es la observación que posee la mayor frecuencia). Ejemplo 6: Encontrar el valor modal de la siguiente serie de datos: 2, 3, 4, 5, 5, 6, 4, 5. Ordenando los datos, se tiene: x i Por consiguiente la moda es Mo 5, por que es el dato que posee la mayor frecuencia. f i 2 1 3 1 4 2 5 3 6 1 8
Ejemplo 7: En una determinada institución, 100 socios fueron clasificados según su estado civil: Estado civil f i Soltero 30 Casado 60 Divorciado 10 Total 100 Como la variable en estudio es cualitativa, el valor modal es un valor categórico, por consiguiente la moda es la categoría de mayor frecuencia, es decir: Mo Casado. Nota: En una distribución puede existir dos o más modas.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS Es decir en tablas de distribución de frecuencias. D.- MEDIA ARITMÉTICA Tratándose de datos agrupados o que están en una tabla de distribución de frecuencias, tenemos la siguiente fórmula para calcular la : Donde: 1, 2,..., m f 1, f 2,..., f m respectivas m x1 f1 + x 2f 2 + x 3f3 +... + n : son marcas de clase : son frecuencias absolutas que corresponden a las marcas de clases : número de clases o intervalos x m f m
La fórmula de la media aritmética en forma abreviada está dada por: m f f 1 m 1 m 1 f n
La fórmula para la media cuadrática, cúbica y bi cuadrática: n f M m 1 2 q 3 m 1 3 c n f M 4 m 1 4 b n f M Media cuadrática Media cúbica Media bi cuadrática
MEDIA ARITMÉTICA, CUADRÁTICA, CUBICA Y BICUADRATICA i-1 i i f i i f i 2 i 2 f i i 3 i 3 f i i 4 i 4 f i i 10 20 14,5 10 145,0 210,3 2102,5 3048,6 30486,3 44205,1 442050,625 20 30 24,5 18 441,0 600,3 10804,5 14706,1 264710,3 360300,1 6485401,13 30 40 34,5 32 1104,0 1190,3 38088,0 41063,6 1314036,0 1416695,1 45334242 40 50 44,5 20 890,0 1980,3 39605,0 88121,1 1762422,5 3921390,1 78427801,3 50 60 54,5 15 817,5 2970,3 44553,8 161878,6 2428179,4 8822385,1 132335776 60 70 64,5 5 322,5 4160,3 20801,3 268336,1 1341680,6 17307680,1 86538400,3 Total 100 3720,0 155955,0 7141515,0 349563671,3 Media 37,20 1559,6 71415,2 3495636,7 Media q 39,49 Media c 41,49 Media b 43,24
La media aritmética, cuadrática, cúbica y bi cuadrática: 3720.0 Media aritmética 37. 20 100 Media cuadrática Media cúbica Media bi cuadrática 155955 M q 100 7141515 M 3 100 c 3495636713. 100 39.49 41.49 M b 4. 43 24
La fórmula para la media geométrica y armónica: Media geométrica M g antiln m 1 Ln( n )f Media armónica M a m 1 (1/ n )f 1
MEDIA GEOMETRICA Y ARMONICA i-1 i i f i i f i Ln i Ln( i )f i 1/ i (1/ i )f i 10 20 14,5 10 145,0 2,6741 26,7 0,068966 0,6896552 20 30 24,5 18 441,0 3,1987 57,6 0,040816 0,7346939 30 40 34,5 32 1104,0 3,5410 113,3 0,028986 0,9275362 40 50 44,5 20 890,0 3,7955 75,9 0,022472 0,4494382 50 60 54,5 15 817,5 3,9982 60,0 0,018349 0,2752294 60 70 64,5 5 322,5 4,1667 20,8 0,015504 0,0775194 Total 100 3720,0 354,3 3,1540722 Media 37,20 3,5 0,0315407 Media g 34,59 Media a 31,71
La fórmula para la media geométrica y armónica: Media geométrica 354.3 M g antiln 100 34.59 Media armónica M 1 a 3.1540722 100 31.71
RELACIONES < < < < < a g q c b
Ejemplo 8: Considerando los datos referente a edades de 40 personas, agrupadas en una tabla de distribución de frecuencias que se da a continuación, se pide encontrar la edad promedio, media armónica, geométrica, cuadrática, cúbica y bi cuadrática. Edad f i x i f i x i 05-09 3 7.0 21 10-14 9 12.0 108 15-19 15 17.0 255 20-24 8 22.0 176 25-29 5 27.0 135 Total 40 695 Por consiguiente, la media aritmética de estas edades es: 695 17.375 años.de.ed ad 40
Sin embargo, hay situaciones en que los valores de i tienen pesos o ponderaciones dados por θi, por consiguiente, se tiene una media aritmética ponderada, es decir: 2 1 2 2 1 1... x... x x θ θ θ θ θ θ + + + + + +
Ejemplo 9: Para determinar el promedio final de un estudiante en el curso de Estadística, se consideran tres componentes con diferentes pesos o ponderaciones. Para tal efecto, se tiene: Supongamos que un alumno obtiene una nota en el examen parcial 15, en la práctica calificada 16 y en intervenciones orales obtuvo una nota de 12. Por consiguiente, su promedio final es: 3*15 + 2*16 + 1*12 89 14.83 3 + 2 + 1 6 Por tanto, la nota promedio final del estudiante es de 14.83 puntos. x i θ i EP 3 PC 2 IO 1
Trabajo : Considerando los datos referente a la distribución de frecuencia ( z, f ). Hallar la media aritmética, armónica, geométrica, cuadrática, cúbica y bi cuadrática. i f i 5 4 7 6 9 8 11 15 13 12 15 8 17 6 19 1
0 ' m 1 ' 0 d n f d + c c d d n f d c 0 ' '' m 1 '' 0 + 1.- 2.- METODOS ABREVIADO PARA LA MEDIA ARITMETICA
Calcular la media aritmética por el primer método simple de la distribución de frecuencia que aparece a continuación. E J E M P L O d ' LI LS f x d' (x -150) d' f 117 124 4 120.5-29.5-118.0 125 132 11 128.5-21.5-236.5 133 140 18 136.5-13.5-243.0 141 148 14 144.5-5.5-77.0 149 156 3 152.5 2.5 7.5 150 150 + 136.66 667.0 50 50-667.0 150 13.34 o 150.00 M(d') -13.34 Media 136.66
Calcular la media aritmética por el segundo método simple de la distribución de frecuencia que aparece a continuación. E J E M P L O d '' 143 8 143 + 8 136.66 LI LS f x d'' (x -143)/8 d'' f 117 124 4 120.5-2.8125-11.25 125 132 11 128.5-1.8125-19.94 133 140 18 136.5-0.8125-14.63 141 148 14 144.5 0.1875 2.63 149 156 3 152.5 1.1875 3.56 39.63 50 50-39.63 143 8( 0.79) o 143.00 M(d'') -0.79 Media 136.66
Trabajo : Considerando los datos referente a la distribución de frecuencia ( z, f ). Hallar la media aritmética aplicando los métodos abreviados o simples. i f i 5 4 7 6 9 8 11 15 13 12 15 8 17 6 19 1
E. MEDIANA (Me) Para calcular la mediana en una tabla de distribución de frecuencias, se usa la siguiente fórmula: Donde: M e Li + c n 2 f i F i 1 n/2 Posición de la Me Li Límite real inferior de la clase que contiene la Me n Número total de observaciones F i-1 Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que contiene a la mediana (clase mediana) f i Frecuencia absoluta de la clase que contiene a la Me c Amplitud de la clase que contiene a la mediana Clase mediana: Es la primera clase cuya frecuencia absoluta acumulada excede a n/2.
Ejemplo 10: Calcular la Me de la siguiente distribución: Procedimiento: Edad f i F i 05-09 3 3 10-14 9 12 15-19 15 27 20-24 8 35 25-29 5 40 Total 40 1.- Calcular las frecuencias acumuladas Fi 2.- Calcular N/2 40/2 20 sirve para detectar la clase mediana 3.- Clase mediana: clase cuyo Fi excede a 20 (15-19) 4.- De la clase mediana se obtiene
Li 14.5, F i-1 12, C 5, f i 15 Los valores encontrados en (2), (3) y (4) lo reemplazamos en la fórmula y se tiene: M M e e 14.5 + 17.17 5 20 12 15 Por consiguiente, el 50% de los puntajes están por debajo de 17.17 y el 50% está por encima de 17.17 puntos.
E J E M P L O M M LI LS f F 117 124 4 4 125 132 11 15 133 140 18 33 141 148 14 47 149 156 3 50 e e 132.5 + 8 136.94 50 25 15 18 132.5 + 10 8 18
F. MODA (Mo) En una tabla de distribución de frecuencias es aproximadamente la marca de clase o punto medio de la clase que tiene la mayor frecuencia absoluta simple. M Δ Δ 1 2 o 1 Li + c Δ 1 + Δ Clase f i 2 f i f i f f i 1 i + 1 Δ 15-19 15 Tomado los datos del ejemplo 10, podemos calcular la moda. La moda estará ubicado en el intervalo: 14.5 + 19.5 Mo 17.0 2 Por lo tanto la marca de clase de dicha clase será: Luego la Mo 17.0
E J E M P L O M M LI LS f F 117 124 4 4 125 132 11 15 133 140 18 33 141 148 14 47 149 156 3 50 O O 132.5 + 8 137.59 7 50 7 + 4 132.5 + 7 8 11
G. LOS CUARTILES Son aquellos que dividen a la distribución en cuatro, diez o cien partes iguales. Cuartiles (Q), son aquellos que dividen a la distribución en cuatro partes iguales, en donde cada uno de ellos incluye el 25% de las observaciones. 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 Q4
Donde: Li Límite real inferior de la clase que contiene el Q1 o Q3 Fi-1 Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que contiene a Q1 o Q3 fi Frecuencia absoluta de la clase que contiene el Q1 o Q3 C ancho de la clase que contiene el Q1 o Q3 + + i 1 i 3 e 2 i 1 i 1 f F 4 3 * n c Li Q M Q f F 4 n c Li Q Las fórmulas para calcular los cuartiles son parecidas a la de la mediana, así:
Deciles (D), son aquellos que dividen a la distribución en diez partes iguales, en donde cada uno de ellos incluye el 10% de las observaciones. Me Q2 D5 10% 10% 10% 10% D1 D2 D9 D10
Las fórmulas son también similares a las del Q1, Q3. Así: Donde: D D D 1 5 7 Li + c M e Li + c n 10 F f i 7 * n 10 f i 1 F i i 1 Li Límite real inferior a la clase que contiene el D1 o D7 Fi-1 Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que contiene el D1 o D7 Fi Frecuencia absoluta simple de la clase que contiene el D1 o D7 C Ancho de la clase que contiene al D1 o D7
Percentiles (P), son aquellos que dividen a la distribución en 100 partes iguales, en donde cada uno de ellos incluye el 1% de las observaciones: Las fórmulas son parecidas a los cuartiles y deciles, así: P P P 10 50 60 Li + c M e Li + c 10 * n 100 f F i 60 * n 100 f i F i 1 i 1 C ancho de la clase que contiene al P 10 o P 60
Ejemplo 11: Como los cálculos de los cuartiles, deciles y percentiles son similares, se calculará el Q3 de la siguiente distribución: Edad f i F i 55-58 20 20 59-62 30 50 63-66 80 130 64-70 70 200 71-74 40 240 75-78 10 250 Total 250
PROCEDIMIENTO: Calcular las frecuencias acumuladas Fi Calcular la posición de Q3: 3N/4 3 (250) / 4 187.5 Clase que contiene a Q3: es la clase cuyo Fi excede a 187.5 y que corresponde al intervalo 67 70 Límite real inferior de la clase que contiene a Q3 es: Li 66.5 Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase que contiene a Q3 es: Fi- 1 130 Frecuencia absoluta de la clase que contiene a Q3 es: f 4 70 Reemplazando estos valores en la fórmula: 187.5 130 Q 3 66.5+ 4 69.8 70 Por consiguiente, se tiene que el 75% de los valores están por debajo de 69.8 puntos y el 25% de los valores están por encima de 69.8
Ejemplo.- Los salarios semanales (en nuevos soles) de un grupo de obreros son los siguientes: 153 134 138 137 128 123 148 138 146 127 129 125 122 138 146 132 139 146 146 144 147 146 137 140 137 138 145 151 137 128 137 148 145 129 143 134 135 124 126 141 131 152 132 117 136 147 128 138 136 138 1.-Calcule la media aritmética de los datos originales. 2.- Agrupe los datos en un cuadro de frecuencias con cinco intervalos 3.-Calcule la media aritmética: - A base de las frecuencias absolutas - A base de las frecuencias relativas
4.- Compruebe que la suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero 5.- Calcule la media aritmética, mediante el primer método abreviado, considerando como origen de trabajo: i. 0t 135 ii. 0t 150 6.- Calcule la media aritmética mediante el segundo método abreviado, considerando como origen de trabajo: i. 0t 143 ii. 0t 127 7.- Compruebe que la suma de los cuadrados de las desviaciones es mínima, cuando dichas desviaciones se consideran con respecto a la media aritmética, utilizando: i. 0t la media aritmética ii. 0t 150 iii. 0t 135 8.- Calcule la media aritmética de la muestra, a base de las medias aritméticas de dos sub muestras (la primera compuesta por los tres primeros intervalos del cuadro), y la segunda por los dos intervalos restantes. 9.- Multiplique por dos los valores de la variable en el cuadro y calcule la media. Compruebe así una propiedad de la media aritmética. Cuál?