La Trigonometría es la parte de las Matemáticas dedicada al estudio de las relaciones existentes entre los lados y los ángulos de un triángulo. Un triángulo queda determinado conociendo sólo alguno de sus elementos. A partir de ellos, se puede obtener el valor de los otros. Por ejemplo, conociendo un ángulo y los lados que lo forman, el triángulo queda determinado, es decir, se sabe inequívocamente, cuál es. A este proceso se le llama, actualmente, resolver el triángulo. Para qué se puede desear resolver un triángulo? Muchas aplicaciones justifican el desarrollo de la trigonometría a través de la historia: - Astronomía: Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, predicción de eclipses, confección de calendarios,... - Artillería: A qué distancia se encuentra un blanco al que sea disparar con una catapulta o un cañón? - Cartografía: Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y ángulos. - Construcciones. Como construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En que dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado. - Navegación. Construcción de cartas marinasen las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes... Sus orígenes se remontan al tiempo de los egipcios. Ante las periódicas inundaciones del río Nilo, resultaba de vital importancia conocer la cantidad de superficie cultivable. Desde mucho antes se sabía calcular el área de un triángulo; el más conocido y utilizado era aquel cuyos lados medían, 4 y 5. Pero el problema surgía cuando en la triangulación de la superficie no todos los triángulos eran rectángulos. Cómo calcular entonces el área de un triángulo cualquiera con el sólo conocimiento de las longitudes de los lados? Quien dio la respuesta a esta última cuestión fue Herón de Alejandría. Las culturas babilónicas, egipcia y griega antigua, manejaron aspectos práctico relacionados con la Trigonometría: medida de ángulos en grados sexagesimales, realización de algunas construcciones para las que se requería triangulación como, por ejemplo, el túnel de Samos (siglo VI a.c.) que se taladró desde sus dos extremos, orientación de templos de modo que un cierto día del año el Sol iluminara el santuario consagrado al Dios,... La búsqueda de precisión para prever eclipses y para construir calendarios eficientes, les llevó a una sistematización de sus observaciones y al intento de una matematización de las mismas. Este proceso lo culmina Hiparco (s II a.c) con la construcción de unas auténticas tablas trigonométricas precursoras de la moderna Trigonometría. Siglos más tarde, en tiempos de Copérnico, empezaron los estudios de lo que más tarde se denominaría Trigonometría esférica, entre cuyas aplicaciones se halla el cálculo de la distancia entre dos puntos cualesquiera de una superficie esférica. En el siglo XVI FranÇois Viète sistematizó y amplió los conocimientos trigonométricos de entonces con importantes teoremas que aplicó a la resolución de problemas aritméticos y geométricos. Pocos años después se inventaron los logaritmos. La espléndida ayuda que estos aportaron para aliviar los cálculos aritméticos supuso un enorme impulso al desarrollo posterior de la Trigonometría. Desde su descubrimiento, la Trigonometría ha permitido resolver numerosos problemas de las ciencias aplicadas. Arquitectura, topografía, navegación, astronomía,... no serían posibles sin la existencia de la Trigonometría. 1. MEDIDA DE ÁNGULOS Cada vez que medimos una magnitud debemos tomar una unidad de medida. Existen varios sistemas de medida de ángulos. Sistema sexagesimal. La unidad fundamental de medida en el sistema sexagesimal es el grado sexagesimal. Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto. Para medir ángulos pequeños utilizamos submúltiplos del grado. Un grado tiene 60 minutos. Un minuto tiene 60 segundos. x60 x 60 1 grado 1º 1 minuto 1 1 segundo 1 : 60 : 60 Una medida angular en el sistema sexagesimal puede venir expresada en una única unidad ( forma incompleja) o en varias (forma compleja). Para pasar de una a otra basta aplicar las equivalencias entre las diferentes unidades.
Ejemplo : 4,º (forma incompleja) 4º 1 1 (forma compleja) Sistema centesimal. Un grado centesimal es la centésima parte de un ángulo recto. Un grado centesimal tiene 100 minutos. Un minuto centesimal tiene 100 segundos. x 100 x 100 1 grado 1 g 1 minuto 1 min 1 segundo 1s : 100 : 100 La ventaja de este sistema es que la transformación de una expresión compleja a incompleja y viceversa, es automática. Ejemplo : 48,516g 48g 5m 16s Radian. La unidad de medida de ángulos en el Sistema Internacional es el radián Un radian es una medida angular correspondiente a un ángulo cuyo lado mide igual que su arco. Como la longitud de una circunferencia es πr, el radio ( lado del ángulo ) cabe π veces en la circunferencia y por tanto 60º π rad. Esta equivalencia permite pasar de grados a radianes y viceversa. EJERCICIOS 1. Expresa en forma incompleja de segundos 5º 17 6.. Expresa en forma compleja 046.. Expresa el ángulo α 65g 4m 1s en forma sexagesimal. 4. Expresa el ángulo α 15º 4 1 en forma centesimal 5. Cuántos radianes son 150º? 6. Expresa en radianes los ángulos de 90º y 10º. 7. 5π Expresa los siguientes ángulos en el sistema sexagesimal: rad π, rad 8. UTILIZIÓN DE LA CALCULADORA. Las calculadoras científicas pueden trabajar con los tres tipos de medidas angulares. Basta escoger el modo correspondiente: DEG sistema sexagesimal, GRA sistema centesimal, RAD radianes. Para introducir en la calculadora, por ejemplo, el valor del ángulo 15º 56, debes teclear : 1 5 5 6 Obtendrás 18,9888889, que es la expresión decimal o incompleja del ángulo. Si lo que quieres es hallar la expresión compleja del ángulo, por ejemplo, si te dan el ángulo 5,764166º debes teclear el número y después la inversa de EJERCICIO. Escribe la forma incompleja de los siguientes ángulos, utilizando la calculadora a) 15,84º b) 5,106º c) 87,085º
. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. Consideremos un ángulo α. Señalamos un punto cualquiera A de uno de sus lados y trazamos la perpendicular al otro lado. Con ello obtenemos un triángulo rectángulo. Se definen las razones trigonométricas del ángulo α de la siguiente manera: A Seno de α : sen α α Coseno de α : cos α catetoopuesto hipotenusa cateto _ contiguo hipotenusa b a a c cateto _ opuesto b Tangente de α: tg α cateto _ contiguo c hipotenusa a Y las razones inversas a estas : Cosecante de α : cosec α cateto _ opuesto b hipotenusa a Secante de α: sec α cateto _ contiguo c cateto _ contiguo c Cotangente de α : cotg α cateto _ opuesto b Las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo utilizado para definirlas. EJERCICIOS. 1. Calcula las razones trigonométricas del ángulo α: 6 cm α 8 cm. Puede ser el seno de un ángulo agudo mayor que 1? Razona tu respuesta.. Calcula las razones trigonométricas de α α 8 cm 6 cm
. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Como los ángulos de un triángulo suman siempre 180º y en un triángulo rectángulo tiene que haber un ángulo de 90º, los otros dos ángulos son complementarios. Observa lo siguiente: senα a c sen β b c cosα b c cosβ a c Como puedes ver se verifica sen α cos β y sen β cos α Por tanto, el seno de un ángulo coincide con el coseno de su complementario. EJERCICIO: Halla el seno y el coseno de 60º, sabiendo que sen 0º ½ y cos0º UTILIZIÓN DE LA CALCULADORA Al utilizar la calculadora pueden presentarse dos problemas distintos: Problema directo : Dado un ángulo, determinar sus razones trigonométricas. Ejemplo: Vamos a calcular sen0º15 1º Introducimos el ángulo : 0 1 5 º Tecleamos : sin En algunas calculadoras hay que teclear primero sin. Obtendrás 0,46117057 Problema inverso : Dada una razón trigonométrica, encontrar el ángulo correspondiente. Ejemplo: Encontrar el ángulo α tal que sen α 0,74 1º Introducimos el número 0,74 º Tecleamos : shift sin o inv sin según la calculadora. Obtendrás 15,866687 Lo pasaras a su expresión en grados minutos y segundos como explicamos Anteriormente: 15º 5 0,07 EJERCICIOS. 1. Utilizando la calculadora averigua el valor de: a) sen 80º 5 1 e) sec 8º 1 b) cos 10º 1 f) cotg 16º 1 6 c) tg 71º 1 g) cos 50º 6 d) cosec 6º h) tg 70º
. Utilizando la calculadora averigua el valor del ángulo α tal que: a) Sen α 0,811 c) tg α -,614 b) Cos α - 0,64 d) sen α - 0,95 4. RELIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN MISMO ÁNGULO Entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo existen unas relaciones que nos serán de gran utilidad, pues nos permitirán, conocida una razón, calcular las otras. Observando el dibujo, sen α + cos α c b + a a c + b a a a 1 y así obtenemos el teorema fundamental de la trigonometría: sen + cos 1 Si ahora dividimos el seno entre el coseno de un ángulo, obtenemos: senα cosα c a b a c b senα tg α tg α cosα Si ahora, partiendo de la fórmula fundamental, dividimos por sen α o por cos α, obtenemos nuevas relaciones: sen α cos 1 sen α α sen α sen α 1 + cotg α cosec α sen α cos 1 cos α α cos α cos α 1 + tg α sec α EJERCICIOS. 1. Sabiendo que sen α 0,6, calcula el resto de las razones trigonométricas del ángulo.. Calcula las razones trigonométricas de α sabiendo que tg α
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. Las razones trigonométricas de un ángulo dependen sólo de la abertura del ángulo, no de la medida de sus lados. Suelen considerarse los ángulos dibujados con vértice en el centro de una circunferencia ( no importa el radio ) de centro el origen de coordenadas y con uno de sus lados sobre el eje x. De esta manera, cada ángulo α está asociado a un punto P de la circunferencia. Este punto P tendrá unas coordenadas, P ( x, y ). Por tanto, se tiene : sen α y r cos α x r tg α y x r P (x,y) y x Como el radio puede tomar cualquier valor, suele utilizarse una circunferencia de radio 1, que recibe el nombre de circunferencia goniométrica. De esta manera: y senα 1 y x cosα x 1 y z 1 y tg α z ( th de Thales) α x x Según lo dicho anteriormente, podemos razonar cual es el signo de cualquier razón trigonométrica en cualquiera de los cuatro cuadrantes:
sen α + cosec α + cos α + sec α + tg α + cotg α + sen α + cosec α + cos α - sec α - tg α - cotg α - sen α - cosec α - cos α - sec α - tg α + cotg α + sen α - cosec α - cos α + sec α + tg α - cotg α - Si queremos calcular las razones trigonométricas de ángulos de más de 60º basta dividir por 60 para saber el número de vueltas que da. El resto de la división efectuada proporciona el ángulo equivalente del primer giro. Ejemplo: 1 0 6 0 sen 10º sen 40º -0,866 4 0
EJERCICIOS. 1. Indica el signo que tienen las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 66º, 175º, 4º, -18º, -10º.. Calcula las razones trigonométricas de α, sabiendo que pertenece al cuarto cuadrante y que su seno vale 1/.. Calcula las razones trigonométricas de 10º, reduciendo a un ángulo del primer cuadrante. 4. Calcula las razones trigonométricas de α sabiendo que tg α - y 90º < α < 180º 5. Si sen α ¾ y α es un ángulo agudo, halla, sin utilizar la calculadora, sen(90º - α ) y cos (180º - α) 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º, 45º Y 60º Razones del ángulo de 0º Consideremos un triángulo equilátero de lado la unidad. La altura lo divide en dos triángulos rectángulos iguales, cuyos ángulos miden 0º y 60º. Aplicamos el teorema de Pitágoras a uno de esos triángulos rectángulos para hallar el valor de h: h 1 1 4 h Las razones trigonométricas del ángulo de 0º serán: sen 0º cos 0º tg 0º 1 1 cosec 0º 1 sec 0º 1 1 cotg 0º Razones trigonométricas del ángulo de 60º Las razones trigonométricas del ángulo de 60º pueden calcularse a partir del mismo triángulo rectángulo utilizado para hallar las razones del ángulo de 0º: 1 Sen 60º Cosec 60º 1 cos 60º 1 tg 60º 1 1 1 sec 60º cotg 60º
Razones trigonométricas del ángulo de 45º Consideremos un cuadrado de lado la unidad. La diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos agudos miden 45º. Aplicamos el teorema de Pitágoras a uno de estos triángulos para hallar el valor de d. 45º d 1 + 1 Las razones trigonométricas del ángulo de 45º serán : 1 Sen 45º cosec 45º 1 Cos 45º sec 45º 1 1 Tg 45º 1 cotg 45º 1 1 1 7. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ángulos) conocidos. Para ello basta utilizar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas. Ejemplo : Resuelve el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5cm y uno de sus catetos 4 cm. B a 5 cm c 5 4 9 cos C 5 4 C 6,87º A b 4 cm C B 90º - 6º 5 1 5,1º EJERCICIOS : 1. Resuelve el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 5cm.. Resuelve el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide cm y uno de sus ángulos es de 70º.. Resuelve el triángulo rectángulo uno de cuyos catetos mide 4 cm y uno de sus ángulos es de 50º. 4. El ángulo de elevación del punto más alto de una antena, observado desde el punto del suelo situado a 50m de su pie es de 0º. Calcula la altura de la antena. 5. El ángulo de elevación del punto más alto de una montaña, observado desde un punto situado en tierra es de º. Al aproximarnos 1000 m en dirección a la montaña, el ángulo de elevación es de 41º. Cuál es su altura si los dos puntos de observación están al nivel del mar? 6. Jaime está haciendo volar una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y esta forma un ángulo de 55º con el suelo A que altura se encuentra? 7. Para hallar la anchura de un río procedemos así: Nos situamos en un punto A en una orilla del río y medimos el ángulo, 5º, bajo el cual se ve un árbol que está frente a
nosotros, en la otra orilla. Nos alejamos 0 metros de la orilla en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el cual se ve el árbol, º. cuánto mide el ancho del río? 0 m x 8. TEOREMA DEL SENO Este teorema relaciona los ángulos de un triángulo con sus lados opuestos: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. C a b c a sena senb senc b A D c B Demostración : Consideremos el triángulo de la figura ( un triángulo cualquiera). Trazamos la altura y consideramos los dos triángulo rectángulos que se forman, ADC y DBC. Se cumple : h sen A h b. sen A b sen B a h Igualando las dos expresiones h a. sen B a b b. sen A a. sen B sena senb que constituye la primera parte de la igualdad. Si ahora trazamos la altura desde A, y razonamos de forma análoga, obtenemos: b c senb senc con lo que se concluye la demostración.
Interpretación geométrica del teorema del seno. La constante de proporcionalidad expresada en el teorema del seno tiene una importante interpretación geométrica. En efecto, puede demostrarse que : a b c R sena senb senc siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC EJERCICIOS: 1. Halla el lado a del triángulo de la figura: C b5 cm a A 50º B0º. Halla el ángulo B del triángulo ABC, sabiendo que a 9 cm, b 6 cm y A 6º. 9. TEOREMA DEL COSENO Este teorema es una generalización del teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos: El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de éstos por el coseno del ángulo que comprenden. C a b + c.b.c cos A b c + a.a.c cos B b a c a + b.a.b cos C A c B Demostración. Sólo vamos a demostrar una de las igualdades ya que para demostrar las otras el razonamiento es análogo. Observemos el triángulo de la figura: C b h a h b. sen A c 1 b. cos A Teniendo en cuenta que Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo DBC, tenemos : a h + c Pero en el triángulo ADC se cumple : c c c 1 podemos escribir: A D B c 1 c a h + c h + ( c c 1 ) c ( b. sen A ) + ( c b cos A ) b. sen A + c. b. c cosa + b.cos A b. ( sen A + cos A ) + c. b. c. cos Y como sen A + co A 1, se tiene : a b + c -. b. c cos A
Ejemplo : Halla el lado c del triángulo de la figura : C Aplicamos el teorema del coseno: c a + b. a. b cos C Sustituyendo los datos, tenemos: b 5 cm a 8cm c 8 + 5.8.5.cos10º 11,6 cm A c B EJERCICIOS 1. Halla el lado c del triángulo ABC, sabiendo que b 10 cm y C 6º.. Halla el ángulo B del triángulo ABC sabiendo que a 9 cm, b 6 cm y A 6º.. Halla el lado a del triángulo ABC, si b 10 cm, c 1 cm y A 6º. 4. Resuelve los siguientes triángulos: a) a 9, B 118º, C 6º b) c 7, B 40º, C 60º c) b 10 m, c 9m, A 5º d) a 6 cm, c 5 cm, B 1º 5. A qué distancia del refugio situado en A se halla un observador situado en B, distante 100m de otro punto C, si se han medido los ángulos B 40º y C 60º? A C B 6. Dos amigos parten de un mismo punto A y siguen direcciones que forman entre sí un ángulo de 5º. Tras caminar 50 m y 75 m, respectivamente, se sitúan en dos puntos B y C. Calcula la distancia que les separa y los ángulos B y C del triángulo ABC. C a B b 50 m c 75 m A 7. En un parque hay tres estatuas A, B, C. A dista 50m de B y 60 m de C. Si el ángulo que forman los segmentos AB y es de 10º, cuánto dista B de C?ç 8. Resuelve el triángulo ABC sabiendo que a 5 m, b m y c 7 m.
9. El entrenador de un equipo de fútbol indica a tres jugadores que se sitúen en el campo formando un triángulo. A debe situarse a 0 m de B, B a 15 m de C y C a m de A. Bajo que ángulo observa cada jugador a los otros dos? 10. En un instante determinado, un avión se encuentra a 8 km de la torre de control de un aeropuerto y a 7,5 km de un dirigible. Si ambos son observados bajo un ángulo de 0º, A que distancia se encuentra en ese momento el dirigible del aeropuerto? 10. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO SUMA Vamos a obtener las razones trigonométricas del ángulo suma α + β en función de las razones trigonométricas de los ángulos α y β. Las demostraciones hacen referencia a la construcción de la siguiente figura: C F E β α+β α A B D Sen ( α + β ) sen α. cos β + cos α. sen β Demostración : Sen ( α + β ) BC BF + FC DE + FC DE + FC Observa, además, que: DE AE. senα y FC CE. cos α Si sustituimos en la expresión anterior, tenemos: AE Sen ( α + β ). sen α + CE. cos α Pero AE cos β y CE senβ. Luego: Sen ( α + β ) sen α. cos β + cos α. sen β
Cos ( α + β ) cos α. cos β - sen α. sen β Demostración : Cos ( α + β ) AB AD BD AD FE AD FE Observa, además, que: AD AE. cosα y FE CE. sen α Si sustituimos en la expresión anterior, tenemos: AE CE Cos ( α + β ). cosα senα Pero AE cos β y CE senβ. Luego : Cos ( α + β ) cos α. cos β - sen α. sen β Tg ( α + β ) tgα + tgβ 1 tgα. tgβ Demostración : Para determinar tg ( α + β ) bastará dividir las expresiones de sen ( α + β ) y cos ( α + β ): Tg ( α + β ) sen cos ( α + β ) ( α + β ) senα cos β + cosα senβ cosα cos β senα senβ Dividiendo el numerador y el denominador por el producto cos α. cos β y simplificando: senα cos β cosα senβ + cosα cos β cosα cos β tgα + tgβ tg ( α + β ) cosα cos β senα senβ 1 tgα tgβ cosα cos β cosα cos β
11. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DIFERENCIA Sen ( α - β ) sen α. cos β - cos α. sen β Demostración : Como α - β α + ( - β ), se tiene: Sen ( α - β ) sen ( α + ( - β ) ) sen α. cos ( - β) + cos α. sen (-β ) sen α. cos β + cos α. ( - sen β ) sen α. cos β - cos α. sen β Cos ( α - β ) cos α. cos β + sen α. sen β Demostración: Como α - β α + ( - β ), se tiene: Cos ( α - β ) cos ( α + ( - β ) ) cos α. cos (-β) - sen α. sen (-β) cos α. cos β - sen α. ( - sen β ) cos α. cos β + sen α. sen β Tg ( α -β ) tgα tgβ 1+ tgα. tgβ Demostración : Como α - β α + ( - β ), se tiene: tgα + tg( β ) Tg ( α -β ) Tg [ α + (-β ) ] 1 tgα tg( β ) tgα tgβ 1+ tgα tgβ EJERCICIOS. 1. Calcula el valor de cos 105º, teniendo en cuenta que 105º 60º + 45º.. Calcula las razones trigonométricas de 150º. Para ello expresa 150º como suma de dos ángulos cuyas razones sean conocidas.. Calcula cos ( α -β ) si sen α 4/5 y sen β 1/1 y tanto α como β son ángulos del segundo cuadrante. 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DOBLE Y MITAD Vamos a ver ahora como obtener las razones trigonométricas del ángulo doble, α, y del ángulo mitad, α/, en función de las del ángulo α.
Razones trigonométricas del ángulo doble Puesto que α α + α, podemos deducir las razones trigonométricas de α a partir de las obtenidas para el ángulo suma. En efecto: Sen α sen ( α + α ) sen α. cos α + cos α. sen α sen α. cos α Luego Sen α sen α. cos α Cos α cos ( α + α ) cos α. cos α - sen α. sen α cos α - sen α Luego Cos α cos α - sen α Tg α tg ( α + α ) tgα Luego Tg α 1 tg α tgα + tgα 1 tgα. tgα tgα 1 tg α Razones trigonométricas del ángulo mitad. Puesto que α α, podemos combinar las relaciones que ya conocemos por el ángulo doble y el teorema fundamental: α α α cosα cos cos sen α α 1 sen + cos Restando estas dos igualdades, tenemos: α α 1 cosα 1 cosα sen sen ± Análogamente, si sumamos las dos igualdades anteriores, tenemos : 1+ cosα cos α α 1+ cosα cos ± α Para obtener la tangente del ángulo mitad, dividiremos sen α 1 cosα tg ± 1+ cosα α entre cos, Elegiremos el signo según el cuadrante al que pertenezca α
EJERCICIOS : 1. Calcula el valor de sen 40º y cos 40º sabiendo que sen0º 0,4 y cos0º 0,94.. Calcula el valor de sen 5º y cos 5º sabiendo que sen50º 0,77 y cos50º 0,64.. Sabiendo que sen14º 0,4 y sen 4º 0,67, halla cos14º, tg 14º, cos 4º y tg4º. Calcula también las razones trigonométricas de 8º, 56º y 1º. 1. TRANSFORMIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS. Estas transformaciones tienen por objeto expresar las sumas y diferencias de senos y cosenos en forma de producto. A + B A B sena + senb sen cos A + B A B sena senb cos sen A + B A B cos A + cos B cos cos A + B A B cos A cos B sen sen Veamos como deducir estas fórmulas: Consideramos las expresiones del seno de los ángulos α +β y α -β Sen ( α + β ) sen α. cos β + cos α. sen β + Sen ( α - β ) sen α. cos β - cos α. sen β Sen ( α + β ) + Sen ( α - β ) sen α. cos β Llamamos α + β A α β B y expresamos α y β en función de A y B. Para ello A + B resolvemos el sistema y obtenemos: α y β A B Si sustituimos estos valores en la expresión anterior obtendremos: Sen ( α + β ) + Sen ( α - β ) sen α. cos β A + B A B sena + senb sen cos
Análogamente, si restamos y hacemos los mismos cambios, obtendremos: Sen ( α + β ) sen α. cos β + cos α. sen β - Sen ( α - β ) sen α. cos β - cos α. sen β Sen ( α + β ) - Sen ( α - β ) cos α. sen β A + B A B sena senb cos sen Procederíamos de forma análoga para encontrar las fórmulas que expresan en forma de producto las sumas y las diferencias de cosenos. 14. ECUIONES TRIGONOMÉTRICAS Son aquellas en las que la incógnita está afectada por razones trigonométricas. No hay un método general para resolver una ecuación trigonométrica. Sin embargo, en la mayoría de los casos, puede resultarte útil seguir los siguientes pasos: 1. Si hay razones trigonométricas de distintos ángulos, x, x, x + π,..., las expresaremos todas en función del mismo ángulo ( generalmente x ). Si hay varias razones trigonométricas, senx, cosh, tgx,... las expresaremos todas en función de una de ellas.. Resolveremos la ecuación obtenida considerando como incógnita la razón trigonométrica elegida en el paso. 4. Hallaremos el ángulo x a partir de su razón trigonométrica, teniendo en cuenta que, si el ángulo x es una solución, tambien lo serán los ángulos x + 60º k, con k Z. Ejemplos : a) cos x Los ángulos cuyo coseno es igual a son 15º y 5º. Por otro lado, los ángulos obtenidos al sumar a los anteriores un número entero de vueltas tendrán el mismo coseno. Luego se cumple que : x 15º + 60º k; k Z x 5º + 60º k, k Z Al despejar x, obtenemos las soluciones: 15º 60º k x + 5º 60º k x + x 45º + 10º k x 75º + 10º k b) sen x sen x Escribimos sen x en función de x, utilizando que sen x sen x cos x : La ecuación queda:
Sen x sen x cos x Sen x senx cos x 0 Sacamos factor común a sen x: sen x 0 Sen x. ( 1 cos x ) 0 1 cos x 0 - De sen x 0 obtenemos como soluciones: x 0º + 60º k, k Z x 180º + 60º k, k Z Observa que todas las soluciones difieren 180º y por tanto podemos escribirlas como x 0º + 180ºk - De 1 cos x 0, obtenemos como soluciones: 1 Cos x x 60º + 60º k, k Z x 00º + 60º k, k Z c) sen x + sen x 0 Utilizamos la expresión que transforma una suma de senos en producto: x + x x x Sen x + sen x sen cos. sen x. cos (-x). sen x. cos x Con lo que la ecuación dada es equivalente a. sen x. cos x 0 Las soluciones serán los valores de x que satisfagan: x 0º + 60º k - Sen x 0 x 0º + 180ºk, k Z x 0º+90ºk, k Z x 180º + 60º k x 90º + 60º k, k Z - Cos x 0 x 90º + 180º k, k Z x 70º + 60º k, k Z d) cos x 1 + sen x Sustituimos cos x por cos x sen x, para conseguir que aparezcan razones trigonométricas de un único ángulo, x, en toda la ecuación: cos x sen x 1 + sen x Sustituimos cos x por 1 - sen x para conseguir la misma razón trigonométrica en toda la ecuación: 1 - sen x - sen x 1 + sen x 1 - sen x 1 + sen x sen x + sen x 0 Resolvemos la ecuación considerando como incógnita sen x. Sacamos factor común a sen x, con lo que la suma se transforma en un producto: Sen x. ( sen x + 1 ) 0 Entonces : x 0 + 60k, k Z - sen x 0 x 180º + 60º k, k Z x 0º + 180º k, k Z 1 x 10º + 60º. k, k Z -. sen x + 1 0 sen x x 0º + 60º. k, k Z
EJERCICIOS. TRIGONOMETRÍA 5π 1. Cuántos grados sexagesimales son 4 rad?. Halla las razones trigonométricas del ángulo α: 7 α,9,4 α. De un triángulo rectángulo se conoce un cateto b 86 cm y el ángulo opuesto B 40º. Calcula los demás elementos del triángulo. 4. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo que pertenece al segundo cuadrante y cuya cotangente vale /. 5. Halla todos los ángulos comprendidos ente 0º y 60º que verifican: a) sen α -1/ b) cos α c) tg α 6. Un observador situado en la orilla de un río ve un árbol situado en la orilla opuesta, bajo un ángulo de 60º. Si se aleja 0m, lo ve bajo un ángulo de 0º. Halla la altura de dicho árbol y la anchura del río. 7. Dos radares A y B, distan entre sí 15 km y detectan un avión, que está en el mismo plano vertical que ellos bajo ángulos de 4º y 56º respectivamente. Halla la altura a la que vuela el avión y la distancia de éste a cada uno de los radares. 8. En un triángulo rectángulo se conoce B 56º y su cateto opuesto b. Calcula los valores del cateto c, la hipotenusa y el ángulo C. 9. Una escalera de m de largo está apoyada sobre una pared, estando su base a un metro y medio de la pared. Qué ángulo forma la escalera con el suelo? 10. Calcula el área de la parcela triangular del dibujo. 150 m 0º 75 m
11. Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado 10 cm? 1. Cuánto vale la parcela con forma de paralelogramo del dibujo si el precio del metro cuadrado es de 50.000 pesetas?. 10m 55º 00 m 1. La longitud del hilo que sujeta una cometa es de 15m. Si el ángulo de elevación de la cometa es de0º, qué altura alcanza la cometa? 14. El piloto de un avión observa un punto del terreno con un ángulo de depresión de 0º. Dieciocho segundos más tarde, el ángulo de depresión obtenido sobre el mismo punto es de 55º. Si vuela horizontalmente y a una velocidad de 400millas/hora, halla la altitud del vuelo. 15. Calcula los ángulos menores de 60º que cumplen: a) Sen α 1 b) tg α - c) cos α - 0,5 d) sen α 0 e) cos α -1 16. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 15º b) 40º c) 15º 17. Calcula : a) sen 190º b) tg 550º c) cosec 75º 18. Utilizando la calculadora averigua el valor del ángulo α: a) cos α -0,879 b) cosec α,564 c) cotg α -1,58 19. Determina la superficie de un pentágono regular inscrito en un círculo de 9 cm de radio. 0. Calcula las incógnitas de los siguientes triángulos: α α x x x 0º 45º 1 60º 4 4 α 1. Calcula el valor de las incógnitas: 90º b h c C 9 cm 4 cm B
. Una antena de televisión está sujeta por dos cables que forman ángulo recto, siendo la distancia entre los dos puntos de anclaje de 0 m. a) Calcula la longitud de los cables y la altura de la antena, así como las longitudes de las dos partes en que la antena divide a la distancia entre los puntos de anclaje. b) Cuáles son las razones trigonométricas del otro ángulo agudo que forma el cable más largo con el suelo? c) Halla las razones trigonométricas de los dos ángulos agudos que forman la antena y los cables. 55º 0 m. Demuestra las siguientes igualdades: a) cotg α. sec α cosec α b) sec α - cos α tg α. sen α 4. Expresa sen α en función de sen α y cos α. 5. Halla los ángulos del primer giro que satisfacen la ecuación: sen x +. Cos x 1 6. Sin utilizar la calculadora, calcula senα, cos α y tgα: a) 10º b) 5º c) 0º d) 1590º 7. Calcula el perímetro de un rombo que tiene un ángulo de 50º y cuya diagonal menor mide 1 cm. 8. Calcula el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 4 cm y 8 cm y uno de sus ángulos interiores mide 10º. 4 9. Resuelve la ecuación: tg x + cotg x 0. Resuelve los triángulos: a) a 4 cm B 5º C 47º b) a 10 b 6 C 7º c) a 5 b c 7 d) B 5º b 0 a 1 e) a 10 b 1 c 14 1. Calcula sen α si sabemos que α es un ángulo del tercer cuadrante y que sen α -1/1. Verifica las siguientes identidades : sen a + cos a a) 1 + tg α sec α b) cos a sec a
1+ sena coseca + 1 1+ sena coseca + 1 c) d) 1 sena coseca 1 1 sena coseca 1 1+ sena cos a e) 1+ tga + tg a cos a π. Conocida sec a y < a < π, calcula sen a y tg a. m 4. Sabiendo que cosa, calcula sen a y tg a. 1+ m 5. Sin utilizar la calculadora, averigua el valor de : sen 45º + cos 15º + tg 5º + cosec 15º + sec(-45º) + cotg 585º 6. Halla los ángulos positivos menores que 1000º que verifiquen sen x. 7. Si tg α ¾ y tg β ½ y ambos son ángulos del tercer cuadrante, calcula las razones trigonométricas del ángulo α+β. 8. Resuelve las siguientes ecuaciones si 0 < x < 60º: 1 a) cos + π 1 x d) cos x senx 0 4 b) cos x. cotg x e) ( tg x - 1 ). ( 4. sen x ) 0 c) sen x + cos x 9. Los visuales a lo alto de una torre desde dos puntos A y B del plano horizontal, separados 00m entre sí, forman con el segmento AB ángulos de 50º y 45º, respectivamente. Calcula la distancia desde lo alto de la torre a los dos puntos. 40. En el triángulo ABC, AD es la altura relativa al lado BC. Calcula las razones trigonométricas del ángulo B y halla loa ángulos A, B, C. B D 4, A C 41. Halla las razones trigonométricas de α sabiendo que tg α y α>90º. 4. Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y el ángulo comprendido mide 60º. Halla los otros ángulos. 4. Simplifica las siguientes expresiones: a) ( cos a + sen a ) sen a cosa b) sec a sen a. tg a sen a c) 1 cosa cosec a + sen a cos a d). 4 cosec a sen a 1+ sen a e) cos a sena sena. sec a + cot ga cosa
44. Halla el valor de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora. Cos 10º + sen(-60º) + tg 10º + cotg 60º + sec 40º + cosec 960º 45. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 4 sen x π b) cos x cos x + 1 0 46. Calcula el volumen de un cono de revolución, sabiendo que la generatriz del cono forma con la base un ángulo de 60º y el radio de la base mide m. 47. Demuestra que en todo triángulo rectángulo se cumple: c a) cos B. tg C b) sen B + sen C 1 ab 48. Halla los ángulos positivos menores de 1000º que verifiquen cos x -1/. 49. Verifica las siguientes identidades: sena 1+ cos a sen a a) c) tg a sen a 1 cos a sena cot g a cosa sec a b) sec a + cosec a sec a.cosec a d) tg a sena coseca 50. Simplifica la expresión: 1 sen a 1` + cos a + sena + sena cos a 51. Sabiendo que tg a, calcula el valor de sen 4ª 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen x. cos x ½ b) sen x cos x c) cos π + 5 cos x + 0 d) cos x cos 6x sen 5x + sen x 5. El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide cm y dos de sus ángulos miden 0º y 45º. Resuelve dicho triángulo. 54. Halla los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 18 cm y dos de sus ángulos A 0º y B 45º. 55. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) tg 4x π 1 c) tg x -tg x 4 b) sen x. cos x 6 sen x d) cos x sec x 5 56. Halla los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases miden 8 m y 51 m y cuya altura mide 61 m. 57. Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D separados por la longitud de 7, m. Suponiendo que los ángulos D 80º1 BCDº y ADC º14 determina la distancia AB. 58. Un amigo le dice a otro : Tengo tres hijos cuyas edades, que son números enteros, si las tomasemos como longitudes formarían un triángulo, de manera que uno de sus ángulos es doble que el otro. Si mi hijo mediano tiene 5 años, qué edades tienen los otros dos?
59. Sabemos que las medidas de los lados del triángulo de las Bermudas son números enteros consecutivos tomando como unidad 100 km. Ademas, el ángulo menor es la mitad del ángulo mayor. Sabrias hallar las medidas del triángulo de las Bermudas? 60. Es posible que un triángulo tenga lados que midan a 15 cm, b 7 cm y c 5 cm? 61. Las diagonales de un paralelogramo miden 6 cm y 14 cm y forman un ángulo de 75º. Halla los lados y los ángulos del paralelogramo. 6. Eeen un triángulo conocemos dos de sus ángulos y un lado A 55º, B 98º a7,5 cm. Resuelve el triángulo. 6. En un triángulo se conocen A 5º, b 0 cm y c 14 cm. Resuelve el triángulo. 64. Resuelve los siguientes triángulos: a) a b 8 A 5º b) a 1,6 b 6,4 B 14º 4