Solución de ecuaciones no lineales y aplicaciones a la cuadratura numérica

Solución de ecuaciones no lineales y aplicaciones a la cuadratura numérica Javier Segura Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación Universidad de Cantabria, Spain Fundamentos de Matemática Aplicada (INVESMAT) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 1 / 45

Contenidos: 1 Repaso de métodos básicos Bisección Método de la secante El método de Newton 2 Métodos de punto fijo Soluciones numéricas de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos 3 Cuadraturas gaussianas y ceros de polinomios ortogonales 4 Método de autovalores para relaciones de recurrencia Ceros de polinomios ortogonales Ceros de soluciones mínimas de relaciones de recurrencia Pros y contras de los métodos de recurrencias 5 El método de Golub-Welsch J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 2 / 45

Bisección Repaso de métodos básicos Bisección Teorema (Bolzano). Si f (x) es continua en el intervalo [a, b] con f (a)f (b) 0, entonces existe al menos un α [a, b] tal que f (α) = 0. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 3 / 45

Repaso de métodos básicos Bisección Bisección Teorema (Bolzano). Si f (x) es continua en el intervalo [a, b] con f (a)f (b) 0, entonces existe al menos un α [a, b] tal que f (α) = 0. Algoritmo (Bisección) Algoritmo: Bisección en un intervalo [a,b], tal que f (a)f (b) < 0 (1) Sea c = (b + a)/2 (2) Si b c ɛ, aceptar c; parar (3) Si f (b)f (c) 0, tomar a = c; y si no: b = c. (4) Volver a (1) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 3 / 45

Repaso de métodos básicos Bisección J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 4 / 45

Repaso de métodos básicos Bisección 1 Bisección es lo óptimo para resolver una ecuación f (x) = 0 cuando no sabemos nada de f salvo calcular su signo. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 5 / 45

Repaso de métodos básicos Bisección 1 Bisección es lo óptimo para resolver una ecuación f (x) = 0 cuando no sabemos nada de f salvo calcular su signo. 2 El cero está siempre dentro de un intervalo de acotación y converge siempre que f cambie de signo, aunque también puede converger a una discontinuidad. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 5 / 45

Repaso de métodos básicos Bisección 1 Bisección es lo óptimo para resolver una ecuación f (x) = 0 cuando no sabemos nada de f salvo calcular su signo. 2 El cero está siempre dentro de un intervalo de acotación y converge siempre que f cambie de signo, aunque también puede converger a una discontinuidad. 3 Lento aunque seguro: a lo sumo, el orden de convergencia es 1. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 5 / 45

Repaso de métodos básicos Bisección 1 Bisección es lo óptimo para resolver una ecuación f (x) = 0 cuando no sabemos nada de f salvo calcular su signo. 2 El cero está siempre dentro de un intervalo de acotación y converge siempre que f cambie de signo, aunque también puede converger a una discontinuidad. 3 Lento aunque seguro: a lo sumo, el orden de convergencia es 1. 4 Inespecífico: el número de iteraciones sólo depende del intervalo [a, b] y del cero α [a, b]. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 5 / 45

Repaso de métodos básicos Bisección Orden de convergencia Sea {x n } una sucesión que converge a α y definamos ɛ n = x n α. Si exite un número p y una constante C 0 tales que ɛ n+1 lim n ɛ n p = C se dice que el orden de convergencia es p siendo C la constante de error asintótica. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 6 / 45

Regula falsi Repaso de métodos básicos Bisección Regula falsi es un intento (fallido) de mejorar bisección estimando c por interpolación lineal c = b Puede llegar a ser y peor que bisección: Regula falsi b a af (b) bf (a) f (b) = f (b) f (a) f (b) f (a) (b,(f(b)) x=a x=b x y=f(x) (a,f(a)) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 7 / 45

Repaso de métodos básicos Método de la secante Método de la secante Igual que regula falsi, pero sin tener en cuenta los signos x n+1 = x n x n x n 1 f (x n ) f (x n 1 ) f (x n) (1) y Metodo de la secante y=f(x) α x 3 x 2 x 1 x 0 x J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 8 / 45

Repaso de métodos básicos Método de la secante Orden de convergencia: Con ɛ k = x k α, desarrollando f (x k ) = f (α + ɛ k ) y llevándolo a (1), tenemos que ɛ n+1 = f (α) 2f (α) ɛ nɛ n 1 Con esto, se puede comprobar que el orden es p = (1 + 5)/2 (Vamos mejorando, si es que converge!) Criterio de parada: como el orden es p > 1: x n+1 x n x n α 1 + x n+1 α x n α 1 cuando n +. Se puede entonces utilizar x n+1 x n para estimar el error. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 9 / 45

Repaso de métodos básicos Método de la secante Otra forma de interpretar el método de la secante Teorema (Teorema del resto) Sea f (x) una función continua en [a, b] y derivable n + 1 veces en (a, b). Si P n (x) es el polinomio de grado menor o igual que n que interpola f (x) entre los n + 1 nodos distintos x 0...x n [a, b] (es decir, tal que P n (x k ) = f (x k )) entonces x [a, b] ζ x (a, b), dependiente de x, tal que f (x) = P n (x) + f (n+1) (ζ x ) (n + 1)! donde se dice que R n (x) es el resto. n (x x j ) P n (x) + R n (x) j=0 Utilizando diferencias divididas de Newton: f (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) +... + f [x 0, x 1,..., x n ](x x 0 )...(x x n 1 ) n +f [x 0,..., x n, x] (x x j ) j=0 J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 10 / 45

Repaso de métodos básicos Método de la secante Resolver la ecuación f (x) = 0, con solución x = α es equivalente a evaluar α = g(0) donde g = f ( 1). Aproximando g(y) por interpolación lineal para los puntos (y n, x n ), (y n 1, x n 1 ) (y k = f (x k )), tenemos: g(y) = y y n 1 y n y g(y n ) + y n y n 1 y n y g(y n 1 ) + E n 1 = y f n 1 f n f n 1 x n + f n y x f n f n 1 + E n 1 E = ġ(ζ) 2 (y y n)(y y n 1 ) = g (ζ) 2 (y f n)(y f n 1 ), para cierto ζ. Haciendo y = 0: α = f nx n 1 f n 1 x n f n f n 1 + g(ζ) 2 f nf n 1 De donde ɛ n+1 g(0) 2 f (α) 2 ɛ n ɛ n 1 Esta idea se puede generalizar para más puntos de interpolación, de manera que se pueden obtener métodos de order arbitrariamente alto, pero... J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 11 / 45

Repaso de métodos básicos Método de la secante Recordemos que con el método de la secante no tenemos intervalos de acotación de la raíz. Cómo garantizar que el método converge? J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 12 / 45

Repaso de métodos básicos Método de la secante Recordemos que con el método de la secante no tenemos intervalos de acotación de la raíz. Cómo garantizar que el método converge? Cómo escoger los valores iniciales? Existen algoritmos que combinan bisección y secante que: 1 Garantizan la convergencia y dan un intervalo de acotación J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 12 / 45

Repaso de métodos básicos Método de la secante Recordemos que con el método de la secante no tenemos intervalos de acotación de la raíz. Cómo garantizar que el método converge? Cómo escoger los valores iniciales? Existen algoritmos que combinan bisección y secante que: 1 Garantizan la convergencia y dan un intervalo de acotación 2 Convergen más rápidamente que bisección Los métodos de Dekker (bisección + secante) y Brent (bisección + interpolación cuadrática inversa) son dos ejemplos populares. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 12 / 45

Repaso de métodos básicos El método de Newton El método de Newton El método de Newton consiste en resolver la ecuación f (x) = 0 invirtiendo la aproximación lineal de Taylor alrededor de x = α (f (α) = 0) 0 = f (x n ɛ n ) = f (x n ) f (x n )ɛ n + f (ζ n ) 2 donde ɛ n = x n α Despreciando el error α x n+1 = x n f (x n) f (x n ) Orden de convergencia = 2 Parece buena idea caso de que se disponga de la derivada f (x) ɛ 2 n J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 13 / 45

Repaso de métodos básicos El método de Newton y Metodo de Newton rectas tangentes y=f(x) α x3 x2 x x0 1 x J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 14 / 45

Repaso de métodos básicos El método de Newton Posibles problemas del método de Newton J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 15 / 45

Repaso de métodos básicos El método de Newton En el plano complejo los problemas aumentan El método de Newton también se puede utilizar para calcular ceros en el plano complejo. Supongamos que queremos resolver f (z) = 0 donde f (z) = z 3 1. Tenemos z n+1 = z n z3 n 1. El conjunto de los valores iniciales que 3z 2 n dan convergencia a z 0 = 1 es... J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 16 / 45

Repaso de métodos básicos El método de Newton En el plano complejo los problemas aumentan El método de Newton también se puede utilizar para calcular ceros en el plano complejo. Supongamos que queremos resolver f (z) = 0 donde f (z) = z 3 1. Tenemos z n+1 = z n z3 n 1. El conjunto de los valores iniciales que 3z 2 n dan convergencia a z 0 = 1 es... J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 16 / 45

Métodos de punto fijo Métodos de punto fijo Los métodos de punto fijo responden a esquemas x n+1 = T (x n ) Ejemplo: el método de Newton, T(x)=x-f(x)/f (x) Si T is contínua y, dado cierto x 0, existe lim n x n = α entonces α = T (α) (α punto fijo de T ). Teorema Si T (x) es continua en I = [a, b] y T (I) I entonces existe al menos un punto fijo de T (x), α [a, b]. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 17 / 45

Métodos de punto fijo b y A puntos fijos y=x y=g(x) B a La curva debe cruzar la linea y=x para alcanzar B desde A puesto que la curva esta confinada en la caja a b x J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 18 / 45

Métodos de punto fijo Teorema (Continuación) Si, además T (x) es continuamente diferenciable en (a, b) y T (x) M < 1, x (a, b), entonces 1 T (x) tiene un único punto fijo α en [a, b] J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 19 / 45

Métodos de punto fijo Teorema (Continuación) Si, además T (x) es continuamente diferenciable en (a, b) y T (x) M < 1, x (a, b), entonces 1 T (x) tiene un único punto fijo α en [a, b] 2 Para cada x 0 [a, b], la sucesión definida como x n+1 = T (x n) converge al único punto fijo α. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 19 / 45

Métodos de punto fijo Teorema (Continuación) Si, además T (x) es continuamente diferenciable en (a, b) y T (x) M < 1, x (a, b), entonces 1 T (x) tiene un único punto fijo α en [a, b] 2 Para cada x 0 [a, b], la sucesión definida como converge al único punto fijo α. x n+1 = T (x n) 3 La estimación del error de la enésima iteración está dada por x n α Mn 1 M x 1 x 0 J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 19 / 45

Métodos de punto fijo Teorema (Continuación) Si, además T (x) es continuamente diferenciable en (a, b) y T (x) M < 1, x (a, b), entonces 1 T (x) tiene un único punto fijo α en [a, b] 2 Para cada x 0 [a, b], la sucesión definida como converge al único punto fijo α. x n+1 = T (x n) 3 La estimación del error de la enésima iteración está dada por x n α Mn 1 M x 1 x 0 4 Si T (α) 0, y N > 0 : a n α n > N entonces α x n+1 lim = T (α). n α x n Es decir, que si T (α) 0 el orden de convergencia es 1. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 19 / 45

Métodos de punto fijo y y=x y=g(x) α x 3 x 2 x 1 x 0 x J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 20 / 45

Métodos de punto fijo y y=g(x) y=x α x 0 x 1 x 2 x J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 21 / 45

Métodos de punto fijo y y=x y=g(x) x 0 x 2 x 3 x 1 x J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 22 / 45

Métodos de punto fijo y y=g(x) y=x x 0 x 1 x J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 23 / 45

Métodos de punto fijo Teorema (Otra versión) Sea T (x) continua en I [a, b] y continuamente diferenciable en (a, b). Si α I : T (α) = α y se verifica que g (x) M < 1 en (a, b), entonces se cumplen los resultados enunciados en el anterior. Consecuencia de esto es que si T es continuamente diferenciable en un entorno de α y T (α) < 1, entonces existe un entorno de α tal que x n+1 = T (x n ) converge a α para cualquier x 0 en ese entorno (convergencia local). Teorema (Convergencia monótona) Si T (x) tiene derivada primera continua en un intervalo I que contiene un punto fijo de T (x) y 0 T (x) < 1 en I, entonces hay sólo un punto fijo de T (x) en I, la iteración de punto fijo x n+1 = T (x n ) es convergente x 0 I y la convergencia es de tipo monótono, es decir: Si x 0 > α, entonces x 0 > x 1 >... > x n >... > α Si x 0 < α, entonces x 0 < x 1 <... < x n <... < α J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 24 / 45

Métodos de punto fijo Dado un método de punto fijo x n+1 = T (x n ) y T (α) = α, si la primera derivada no nula en α de T (x) es la m sima (y es continua), entonces el método tiene orden de convergencia m con constante de error asintótica C = T (m) (α)/m!. En efecto: Luego x n+1 = T (α + ɛ n ) = T (α) + T (m) (ζ n ) ɛ m n m! con ζ n entre α y x n, luego ɛ n = T (m) (ζ n ) ɛ m n m! ɛ n+1 lim n ɛ m n = T (m) (α)/m! J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 25 / 45

Métodos de punto fijo Dos ejemplos de métodos de punto fijo con orden m 2 1 El método de Newton cuando f (α) 0: Orden 2 T (x) = x f (x)/f (x) T (x) = f (x)f (x)/f (x) 2 T (α) = 0, T (α) = f (α)/f (α) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 26 / 45

Métodos de punto fijo Dos ejemplos de métodos de punto fijo con orden m 2 1 El método de Newton cuando f (α) 0: Orden 2 T (x) = x f (x)/f (x) T (x) = f (x)f (x)/f (x) 2 T (α) = 0, T (α) = f (α)/f (α) 2 Método de arctan(newton) T (x) = x 1 w(x) arctan(w(x)y(x)/y (x)) para cierto w(x). Cuál es el orden si y(x) es solución de y (x) + w(x) 2 y(x) = 0? J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 26 / 45

Métodos de punto fijo Soluciones numéricas de punto fijo Como ejemplo consideremos el cálculo de los ceros de Invirtiendo κx sin(x) cos(x) = 0 tan x = 1 κx x = arctan ( 1 κx ) + mπ T m (x), m = 1, 2,...; T 0 (x) = π/2 arctan(κx) Tenemos un cero en cada intervalo I m = ((m 1/2)π/2, (m + 1/2)π/2), m N y otro en I 0 = (0, π/2) si κ > 0. T (I m ) I m, T κ (x) = 1 + κ 2 x 2 Converge al cero en I m dando x 0 I m, con la duda de κ > 1 en I 0. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 27 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos Aproximaciones analíticas: un ejemplo simple Consideremos de nuevo el ejemplo κx sin(x) cos(x) = 0. Vamos a construir una aproximación para ceros grandes (o no tanto). Partimos de x 0 = mπ e iteramos con T m para aproximar el cero α m en I m. Como T m(x) = O(m 2 ), tenemos, iterando una vez: ( ) 1 α (m) = arctan + mπ + O(m 2 ) = mπ + 1 κmπ πκm + O(m 2 ) E iterando dos veces ( α (m) = T m (T m (x m ))+O(m 4 ) = mπ+µ 1 κ + 1 ) µ 3 +O(µ 5 ) (2) 3 donde µ = πκm J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 28 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos Otra forma de hacer lo mismo es por resustitución: Empezamos con α (m) mπ. Teníamos T m (x) = arctan(1/(κx)) + mπ. Como ( ) 1 arctan = 1 z z 1 3z 3 + 1 5z 5..., (3) quedándonos sólo con el primer término y sustituyendo con la primera aproximación mπ. Tenemos: Resustituyendo de nuevo: y expandiendo tenemos (2). α (m) 1 = mπ + 1 κmπ. α (m) 2 = mπ + 1 κα 1 1 3(κα 1 ) 3 J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 29 / 45

Métodos de punto fijo Un caso más general Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos El anterior ejemplo x arctan(1/κx) = mπ para m grande es un ejemplo particular de un caso más general: donde f (x) = x + n i=0 f (x) = w f i x i + O(x n 1 ), x En el que se puede comprobar la validez del esquema anterior considerando T (x) = w g(x), g(x) = f (x) x = n i=0 f i x i + O(x n 1 ) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 30 / 45

Métodos de punto fijo Un ejemplo no trivial Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos Expansion de McMahon para ceros grandes de las funciones de Bessel La función de Bessel function J ν (z), solución regular en el origen de z 2 y + zy + (z 2 ν 2 )y = 0 se puede escribir 2 J ν (z) = {P(ν, z) cos ξ Q(v, z) sin ξ}, arg z < π, (4) πz donde ξ = z νπ/2 π/4 y P y Q tienen conocidas expansiones cuando z, con Q/P µ 1 8z (1 + O(z 1 )), µ = 4ν 2. Para aproximar los ceros, tomamos tan(ξ) = P/Q e invertimos: z = β arctan(q/p), β = (s + ν/2 1/4)π, s = 1, 2,.... (5) Una primera aproximación para los ceros de J ν (x) es j ν,s β and the second j ν,s β µ 1 8β, (6) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 31 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos Expansion de McMahon (continuación) Repitiendo el proceso, se puede escribir j ν,s β µ 1 2 P i (µ), (7) 2i+1 (4β) i=0 con P i (µ) polinomios en µ de grado i, que se pueden escribir i P i (µ) = c i ( 1) i k a (k) i µ k, c i Q +, a (k) i N. (8) k=0 Algunos de los coeficientes (usando Maple) son i c i a (0) i a (1) i a (2) i a (3) i a (4) i a (5) i 0 1 1 1 1/3 31 7 2 2/15 3779 982 83 3 1/105 6277237 1585743 153855 6949 4 2/305 2092163573 512062548 48010494 2479316 70197 5 2/3465 8249725736393 1982611456181 179289628602 8903961290 287149133 5592657 J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 32 / 45

McMahon no basta Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos Para valores de ν moderados, McMahon funciona hasta para los primeros ceros. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 33 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos McMahon no basta Para valores de ν moderados, McMahon funciona hasta para los primeros ceros. Para ν grande McMahon falla y se necesitan aproximaciones uniformes (mucho más complicadas) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 33 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos McMahon no basta Para valores de ν moderados, McMahon funciona hasta para los primeros ceros. Para ν grande McMahon falla y se necesitan aproximaciones uniformes (mucho más complicadas) Es habitual que haya que combinar métodos (como pasa con el ejemplo más sencillo) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 33 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos McMahon no basta Para valores de ν moderados, McMahon funciona hasta para los primeros ceros. Para ν grande McMahon falla y se necesitan aproximaciones uniformes (mucho más complicadas) Es habitual que haya que combinar métodos (como pasa con el ejemplo más sencillo) Aunque hay otras estrategias para ciertas funciones, incluida la función de Bessel J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 33 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos McMahon no basta Para valores de ν moderados, McMahon funciona hasta para los primeros ceros. Para ν grande McMahon falla y se necesitan aproximaciones uniformes (mucho más complicadas) Es habitual que haya que combinar métodos (como pasa con el ejemplo más sencillo) Aunque hay otras estrategias para ciertas funciones, incluida la función de Bessel Volveremos al asunto, de alguna forma... J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 33 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos Otras dos aproximaciones para el mismo problema (el sencillo, claro) Para κ pequeño y ceros no muy grandes: ( ) 1 x = arctan +mπ = (m+ 1 κx 2 )π arctan(κx), m = 0, 1, 2,..., (9) Consideramos x n+1 = T (x n ) con T (x) = Λπ arctan(κx), Λ = (m + 1 2 ). (10) Para κ pequeño y moderado x, T (x) κ y, empezando con x 0 = Λπ tenemos un O(κ) en cada iteración. Iterando tres veces: [ ( ) ] α (m) (κ) Λπ 1 κ + κ 2 + 1 + Λ2 π 2 3 κ 3 + O(κ 4 ), κ 0. (11) Esta expansión es útil para κ pequeño y ceros no muy grandes (caso para el que la anterior expansion no funciona). J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 34 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos Para κ grande, el primer cero de κx sin x cos x = 0 tiende a hacerse pequeño. Una primera aproximación viene de resolver κx sin x cos x 1 + (κ + 1/2)x 2 (κ/6 + 1/24)x 4 = 0 Expandiendo el menor cero en potencias de κ 1 : α (0) 1 ( 1 1 ) κ 6κ El método de punto fijo para T 0 (x) = π arctan(κx) no es tan fácil de 2 aplicar ahora porque T (α (0) ) = κ/(1 + κ 2 α (0) ) 1, pero se puede... Resultado: α (0) = 1 κ (1 1 6 κ 1 + 11 360 κ 2 17 5040 κ 3 281 604800 κ 4 + 44029 119750400 κ 5 +... ). (13) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 35 / 45

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos Combinando los tres: κ 1 2 3 4 5 6 0.01 2 10 7 (2) 6 10 6 (2) 2 10 6 (2) 4 10 5 (2) 6 10 5 (2) 1 10 4 (2) 0.1 4 10 4 (2) 4 10 3 (2) 1 10 2 (2) 5 10 3 (1) 2 10 3 (1) 6 10 4 (1) 1 1 10 4 (3) 2 10 5 (1) 5 10 5 (1) 5 10 6 (1) 9 10 7 (1) 2 10 7 (1) 10 1 10 10 (3) 2 10 6 (1) 3 10 8 (1) 3 10 9 (1) 5 10 10 (1) 1 10 10 (1) Y aprovechando la convergencia local del método de Newton tenemos un método eficiente y seguro para todo κ. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 36 / 45

Cuadraturas gaussianas y ceros de polinomios ortogonales Cuadratura gaussiana A continuación trataremos de obtener los nodos y los pesos para cuadraturas de integrales tales que b a f (x)w(x)dx = n i=1 f (2n) (λ) w i f (x i ) + γ n, λ (a, b) (2n)! siendo w(x) una función peso. Estas son cuadraturas gaussianas (con el mayor grado de exactitud posible para n nodos) Ejemplos clásicos: 1 Gauss-Hermite: + f (x)e x 2 dx J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 37 / 45

Cuadraturas gaussianas y ceros de polinomios ortogonales Cuadratura gaussiana A continuación trataremos de obtener los nodos y los pesos para cuadraturas de integrales tales que b a f (x)w(x)dx = n i=1 f (2n) (λ) w i f (x i ) + γ n, λ (a, b) (2n)! siendo w(x) una función peso. Estas son cuadraturas gaussianas (con el mayor grado de exactitud posible para n nodos) Ejemplos clásicos: 1 Gauss-Hermite: + f (x)e x 2 dx 2 Gauss-Laguerre: + 0 f (x)x α e x dx, α > 1 J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 37 / 45

Cuadraturas gaussianas y ceros de polinomios ortogonales Cuadratura gaussiana A continuación trataremos de obtener los nodos y los pesos para cuadraturas de integrales tales que b a f (x)w(x)dx = n i=1 f (2n) (λ) w i f (x i ) + γ n, λ (a, b) (2n)! siendo w(x) una función peso. Estas son cuadraturas gaussianas (con el mayor grado de exactitud posible para n nodos) Ejemplos clásicos: 1 Gauss-Hermite: + f (x)e x 2 dx 2 Gauss-Laguerre: + 0 f (x)x α e x dx, α > 1 3 Gauss-Jacobi: +1 1 f (x)(1 x)α (1 + x) β dx, α, β > 1 J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 37 / 45

Cuadraturas gaussianas y ceros de polinomios ortogonales Teorema Sea w(x) una función peso en [a, b] y p n el polinomio mónico de grado n tal que b a Sean x 1,..., x n los ceros of p n y w i definido por w i = x k p n(x)w(x) dx = 0, k = 0,..., n 1. (14) b a L i (x)w(x) dx, L i (x) = donde i = 1, 2,..., n. Entonces, la regla de cuadratura n k=1,k i x x k x i x k, (15) b a f (x)w(x) dx Q G n (f ) = n w i f (x i ) (16) i=1 es exacta para polinomios de grado menor o igual que 2n 1. Si f tiene derivada continua f (2n) en [a, b], entonces λ (a, b) : b a f (x)w(x) dx = Q G n (f ) + γ n f (2n) (λ) (2n)!, (17) donde γ n = b a pn(x)2 w(x) dx. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 38 / 45

Cuadraturas gaussianas y ceros de polinomios ortogonales Teorema Los polinomios ortogonales mónicos {p k } asociados al peso w(x) en el intervalo [a, b] satisfacen la relación de recurrence p 1 (x) = (x B 0 )p 0 (x), p k+1 (x) = (x B k )p k (x) A k p k 1 (x), k = 1, 2,..., (18) donde A k = p k 2 p k 1 2, k 1, B k = < xp k, p k > p k 2, k 0. (19) Algoritmo (Stieltjes) Input: a, b, w(x). Output: B 0, A i, B i, p i (x), i = 1, 2,..., n p 1 (x) = 0; A 0 = 0; p 0 (x) = 1, B 0 =< x, 1 > / < 1, 1 >; DO i = 1,..., n 1: p i+1 (x) = (x B i )p i (x) A i p i 1 (x). A i+1 = p i+1 2 / p i 2 ; B i+1 =< x, p i+1 > / p i+1 2. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 39 / 45

Método de autovalores para relaciones de recurrencia Método de recurrencias, construcción general Consideremos relaciones de recurrencia a n y n+1 (x) + b n y n (x) + c n y n 1 (x) = g(x)y n (x), n = 0, 1,..., Las primeras N relaciones se pueden escribir J N Y N (x) + a N 1 y N (x)e N + c 0 y 1 (x)e 1 = g(x)y N (x), e 1 = (1, 0,..., 0) T, e N = (0,..., 0, 1) T, Y N (x) = (y 0 (x),..., y N 1 (x)) T J N = b 0 a 0 0.. 0 c 1 b 1 a 1 0. 0 0 c 2 b 2 a 2. 0..... 0..... a N 2 0 0 0. c N 1 b N 1. (20) Si para cierto x = x 0 a N 1 y N (x 0 ) = c 0 y 1 (x 0 ) = 0 tenemos un problema de autovalores con autovalor g(x 0 ) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 40 / 45

Método de autovalores para relaciones de recurrencia Método de recurrencias, construcción general Consideremos relaciones de recurrencia a n y n+1 (x) + b n y n (x) + c n y n 1 (x) = g(x)y n (x), n = 0, 1,..., Las primeras N relaciones se pueden escribir J N Y N (x) + a N 1 y N (x)e N + c 0 y 1 (x)e 1 = g(x)y N (x), e 1 = (1, 0,..., 0) T, e N = (0,..., 0, 1) T, Y N (x) = (y 0 (x),..., y N 1 (x)) T J N = b 0 a 0 0.. 0 c 1 b 1 a 1 0. 0 0 c 2 b 2 a 2. 0..... 0..... a N 2 0 0 0. c N 1 b N 1. (20) Si para cierto x = x 0 a N 1 y N (x 0 ) = c 0 y 1 (x 0 ) = 0 tenemos un problema de autovalores con autovalor g(x 0 ) Esto es así cuando x 0 es un zcero of y N (x) (o de y 1 (x)) y, por algún motivo, c 0 y 1 (x) = 0 (o a N 1 y N (x) = 0). J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 40 / 45

Método de autovalores para relaciones de recurrencia Ceros de polinomios ortogonales Para polinomios ortogonales mónicos, y n = P n (x), g(x) = x y a n and c n tienen el mismo signo. Además c 0 P 1 = 0, de modo que cuando y n (x 0 ) = P N (x 0 ) = 0: J N Y N (x 0 ) = x 0 Y N (x 0 ), Luegos los ceros de los polinomios ortogonales (nodos of cuadraturas gaussianas) son exactamente los autovalores de la matriz de Jacobi matrix J N. Wilf (1967), Golub-Welsch (1969) J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 41 / 45

Método de autovalores para relaciones de recurrencia Consideremos otra vez Ceros de soluciones mínimas de relaciones de recurrencia J N Y N (x) + a N 1 y N (x)e N + c 0 y 1 (x)e 1 = g(x)y N (x), y ahora consideremos que son los ceros de y 1 (x) los que se buscan. Si y N (x) es suficientemente pequeño para N grande y y 1 (x 0 ) = 0 J N Y N (x 0 ) g(x 0 )Y N (x) Esta aproximación funciona aproximadamente para soluciones mínimas de recurrencias lineales y homogéneas con tres términos, y particularly para las funciones de Bessel J ν (x) (Grad y Zakrajšek (1973), Ikebe (1975),..., Ball (2000)). Unas solución {f n } de una recurrencia a tres términos es mínima (o recesiva) cuando y n+1 + β n y n + α n y n 1 = 0 f n lim = 0 n + g n para cualquier otra solución {g n } any other solution de la recurrencia independiente de f n. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 42 / 45

Método de autovalores para relaciones de recurrencia Pros y contras de los métodos de recurrencias Pros 1 Todos los ceros de los P.O. se pueden calcular simultáneamente. 2 Los ceros complejos también se pueden evaluar cuando existen. 3 El método sólo requiere de los coeficientes de la recurrencia, y no es necesario evaluar la función. Cons 1 Todos los ceros se calculan 2 El condicionamiento no siempre es bueno. 3 El tipo de recurrencias es restrictivo 4 Para soluciones mínimas: dónde truncar la matriz? 5 Eficiencia? Otros métodos más flexibles, menos específicos y globalmente convergentes existen. J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 43 / 45

El método de Golub-Welsch Volviendo al cálculo de cuadraturas gaussianas, consideremos el problema de calcular los nodos y pesos de una cuadratura gaussiana. Los nodos, como ya dijimos, se pueden obtener como autovalores de la matriz de Jacobi. Para los polinomios ortogonales mónicos teníamos: donde p 1 (x) = (x B 0 )p 0 (x), p k+1 (x) = (x B k )p k (x) A k p k 1 (x), k = 1, 2,..., (21) A k = p k 2 p k 1 2, k 1, B k = < xp k, p k > p k 2, k 0. (22) Recurrencia para polinomios ortonormales Normalizando los polinomios, p k = p k p k, tenemos α k+1 p k (x) + β k p k (x) + α k p k 1 (x) = x p k (x), α m = p m / p m 1, β k = B k J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 44 / 45

El método de Golub-Welsch Partiendo de las recurrencias para polinomios ortonormales, es sencillo obtener también los pesos, a partir de los autovectores. Ver: A. Gil, J. Segura, N.M. Temme Numerical Methods for Special Functions, pp. 141-147 J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 45 / 45

El método de Golub-Welsch Partiendo de las recurrencias para polinomios ortonormales, es sencillo obtener también los pesos, a partir de los autovectores. Ver: A. Gil, J. Segura, N.M. Temme Numerical Methods for Special Functions, pp. 141-147 Pues veamos: J. Segura (Universidad de Cantabria) Ecs. no lineales y cuadratura 2009 45 / 45