La recta en el plano.

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 La recta en el plano. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas. Representación gráfica de rectas. Ecuaciones de primer grado. Sistemas de ecuaciones. Vectores. Sería conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente. 2. La recta. Definición: La recta es la distancia más corta entre dos puntos. Los polinomios de primer grado representan, realmente, una recta: y = m x + n A m se la denomina pendiente de la recta y está relacionada con el ángulo que forma la recta con la horizontal: m = tan α α = arctan m A n se la denomina ordenada en el origen y está relacionada con el lugar donde corta la recta al eje de las ordenadas (el eje de las y s). En la figura 1 se puede apreciar el significado gráfico de estos conceptos, lo que se ha hecho en esta figura es representar gráficamente la función f(x) = m x + n. Figura 1: Gráfica de una recta.

3 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. 2 3. Gráfica de una función. Las funciones se suelen representar usando unos ejes coordenados. Al eje horizontal se le suele llamar eje de abscisas o eje de las x. Al eje vertical se le denomina eje de ordenadas o eje de las y. 4 3 2 1-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 x -1-2 y -3-4 Se representan dando valores a la x y obteniendo la y correspondiente, obteniéndose pares (x, y). A estos pares se les denomina puntos, pues representan puntos en el sistema de ejes. Por ejemplo, para representar la gráfica de la función y = 2x 1: ❶ Se dan valores a la x y se obtiene el correspondiente valor de la y. Los valores para la x se tomarán al azar. x = 1 y = 2x 1 = 2 ( 1) 1 = 3 x = 0 y = 2x 1 = 2 (0) 1 = 1 x = 1 y = 2x 1 = 2 (1) 1 = 1 x = 2 y = 2x 1 = 2 (2) 1 = 3 ❷ Se representan los pares de puntos en un sistema de ejes coordenados. -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 ❸ Si se dan un alto número de valores, mayor definición tendrá la función, que es lo que hacen los ordenadores o calculadoras científicas para representar las funciones. En este caso lo que se tiene es una recta. -1-2 -3-4

4 LA ECUACIÓN DE LA RECTA. 3-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 4 3 2 1-1 -2-3 -4 Representar las siguientes rectas: 1. y = 2x + 1 2. y = 2x + 1 Pensar cómo se dibujarían las siguientes rectas: 1. y = 2 2. x = 1 4. La ecuación de la recta. La ecuación de la recta es la expresión que debe cumplir un punto (un par (x,y)) para pertenecer a dicha recta. La ecuación más sencilla de la recta es la ecuación vectorial de la recta: Se considera un vector en la dirección de la recta, u, y un punto por el que pasa la recta, el punto A. La ecuación de la recta con dirección u y que pasa por el punto A es: r(t) = OA + t u Donde r es un vector que va desde el origen a los puntos de la recta y OA es un vector que va desde el origen al punto A. Ejemplo: Sea A = (1, 2) un punto de la recta y u = ( 1, 4) un vector en la dirección de la recta. Calcular la ecuación de la recta y un punto de la misma. La ecuación vectorial de la recta es: r(t) = OA + t u r(t) = (1, 2) + t ( 1, 4) Para calcular un punto cualquiera de la recta sólo hay que dar valores a t: Para t = 0 r(0) = (1, 2) + 0 ( 1, 4) = (1, 2) Para t = 1 r(-1) = (1, 2) + -1 ( 1, 4) = (1, 2) + (1, 4) = (2, 2) Para t = 1 2 r(1 2 ) = (1, 2) + 1 2 ( 1, 4) = (1, 2) + ( 1 2, 2) = (1 2, 4)

4 LA ECUACIÓN DE LA RECTA. 4 La ecuación vectorial de la recta también puede ser escrita usando otra expresión: Si r(t) = (x,y), OA = (x0,y 0 ) y v = (u x,u, y ): r(t) = OA + t u (x,y) = (x 0,y 0 ) + t (u x,u, y ) Operando un poco en esta última expresión se puede llegar a la ecuación paramétrica de la recta: x = x 0 + t u 1 y = y 0 + t u 2 Despejando el parámetro t de ambas expresiones e igualando, se llega a la ecuación continua de la recta: } x x 0 u 1 = y y 0 u 2 Tomando m = u 2 u 1 y operando, se llega a la ecuación punto pendiente de la recta: y y 0 = m (x x 0 ) Tomando ahora n = m x 0 + y 0 y operando, se llega a la ecuación explícita de la recta: y = m x + n Como se indicaba anteriormente m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen. Operando en la ecuación continua de la recta, y llamando A = u 2, B = u 1 y C = u 1 y 0 u 2 x 0 se llega a la ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0 Una propiedad interesante de esta expresión de la recta es que el vector formado por (A, B) es un vector perpendicular a la recta. En el caso de que la recta no pase por el origen y que corte a los ejes de coordenadas en los puntos P a = (a,0) y P b = (0,b), se puede calcular el vector que une ambos puntos, AB = (0,b) (a,0) = ( a,b), y aplicarlo a la ecuación en forma continua. Se llegaría a la ecuación canónica o segmentaria de la recta: x a + y b = 1 1. Calcular todas las posibles ecuaciones de la recta que pasan por los puntos: a) (2,1) y (3,0) Pista: Para calcular el vector dirección de la recta, suponer que (2,1) y (3,0) son vectores y calcular la diferencia entre ellos. b) (0,1) y (3,0) Pista: Para calcular el vector dirección de la recta, suponer que (0,1) y (3,0) son vectores y calcular la diferencia entre ellos. Comprobar el resultado usando la ecuación segmentaría de la recta. Se te ocurre alguna forma de verificar estos resultados? 2. Qué ocurre de extraño al calcular las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (2,-1)? 3. Calcular una recta que sea perpendicular a la recta y = 2x + 1 y pase por el punto (0,1). Se te ocurre alguna forma de verificar este resultado?

5 ALGUNAS CONSIDERACIONES ÚTILES SOBRE LAS RECTAS. 5 5. Algunas consideraciones útiles sobre las rectas. Se van a realizar algunos ejemplos para comprender mejor las propiedades de las rectas: Cálculo de una recta paralela a otra: Si se pide calcular una recta paralela a la recta y = 2x + 3 sólo hay que darse cuenta que las rectas paralelas a y = 2x + 3 tendrán la misma pendiente y cortarán al eje de ordenadas en otros lugares. Por lo tanto, y = 2x + a, donde a es cualquier número distinto de 3, serán rectas paralelas a la dada. Cálculo de un vector en la dirección de la recta: Sólo hay que calcular dos puntos de la recta, dando valores al parámetro o a la x según corresponda y calcular el vector que los une. Por ejemplo: Calcular un vector en la dirección de la recta y = 2x + 3. Se calcular dos puntos que pertenezcan a la recta dando dos valores al azar a la x: Para x = 0 y = 2 0 + 3 = 3 A = (0, 3) Para x = 1 y = 2 1 + 3 = 1 B = (1, 1) El vector que los une es el AB = (1, 1) (0, 3) = (1, 2). Cálculo del ángulo que forman dos rectas: En el tema anterior se estudió la forma de calcular el ángulo que forman dos vectores. Sólo habrá que calcular vectores en la dirección de la recta y calcular el ángulo que forman. Usando este método también se puede determinar si dos rectas son perpendiculares. La ecuación de la recta punto pendiente: La ecuación de la recta punto pendiente y y 0 = m(x x 0 ) se usa para calcular la recta que pasa por dos puntos. Para ello si se despeja el valor de la pendiente: m = y y 0 x x 0 Cambiando el nombre de y y de x por y 1 y x 1, respectivamente: m = y 1 y 0 x 1 x 0 Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta que pasa por (2,3) y (1,2). Solución: Tomando (x 0 = 2, y 0 = 3) y (x 1 = 1, y 1 = 2): m = y 1 y 0 x 1 x 0 = 2 3 1 2 = 1 Ya se tiene la pendiente. Sustituyendo en la ecuación de la recta punto pendiente: y y 0 = m(x x 0 ) y 3 = 1(x 2) y = x + 1 1. Calcular una recta que sea paralela a la recta y = 2x + 1 y pase por el punto (2,1). Comprobar el resultado gráficamente. 2. Sean las rectas y = 2x + 1 y y = 1 2x + 1. Calcular el ángulo que forman. Verificar el resultado gráficamente. Sol.: 90 o 3. Demostrar que si una recta tiene una pendiente m y otra tiene 1 m las dos rectas forman un ángulo de 90o. 4. Usando la ecuación de la recta punto pendiente calcular las rectas que pasan por: a) (2,1) y (3,0) b) (0,1) y (3,0) Nota: Son los mismos puntos del apartado anterior.

6 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS. 6 6. Posiciones relativas de dos rectas. Hay que recordar que los sistemas de ecuaciones, realmente representan rectas. La solución de un sistema de ecuaciones es el punto donde se cortan las rectas. En el caso de que las rectas sean paralelas, el sistema de ecuaciones no tiene solución (al resolver las ecuaciones se obtienen igualdades imposibles como 1 = 2). En el caso de que corten, el sistema tiene una solución. En el caso de que las dos rectas sean la misma recta, el sistema tiene infinitas soluciones (al resolver el sistema se obtienen igualdades entre números como 0 = 0). Cuando dos rectas se cortan, se dice que son secantes. En el caso de se pregunta la posición relativa entre dos rectas, sólo habrá que resolver el sistema de ecuaciones dado por las ecuaciones de ambas rectas. Según si el sistema tiene una solución, infinitas soluciones o ninguna solución, las rectas será secantes, coincidentes o paralelas, respectivamente. 1. Calcular la posición relativa de las siguientes rectas: a) y = 2x + 1 y y = 4x + 1 b) x + y = 1 y 2x + 2y = 3 2. Muchas fórmulas de física realmente representan rectas. Por ejemplo, la fórmula que da la posición x de un móvil, respecto del tiempo t, que se mueve con velocidad constante v y que parte de la posición inicial x 0 es: x = vt + x 0 a) Comparar la fórmula anterior con la de una recta, identificando a qué corresponde la pendiente y la ordenada en el origen. b) Resolver el siguiente problema: Dos coches se mueven a velocidad constante. Uno parte del km 2 y se mueve a una velocidad de 80 km/h, el otro parte del km 0 y tiene una velocidad de 100 km/h. Cuánto tardan y en qué kilómetro se encuentran los dos coches? Comprobar el resultado gráficamente. c) Dos ciudades, A y B, están separadas entre sí por 100 km. Un tren parte de la ciudad A a la ciudad B a 100 km/h. En el mismo instante otro parte de otra ciudad en dirección la ciudad A a 80 km/h. Cuánto tardarán en encontrarse y en qué kilómetro lo harán? Comprobar el resultado gráficamente. Pista: Las velocidades deben tener signos contrarios. 7. Distancia de un punto a una recta. Dada una recta en su forma general Ax + By + C = 0 y un punto de coordenadas P = (x 0,y 0 ) la distancia del punto a la recta viene dada por la expresión: distancia = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 La demostración de esta expresión se puede encontrar en el texto base de la asignatura. Ejemplo: Calcular la distancia entre la recta y = 2x + 1 y el punto (0,2). Solución: Se pasa la recta a forma general: y = 2x + 1 2x y + 1 = 0 En este caso A = 2, B = 1, C = 1, x 0 = 0, y 0 = 2, así: distancia = Ax 0 + By 0 + C 2 0 + ( 1) 2 + 1 = = 1 = 1 A2 + B 2 22 + ( 1) 2 5 5

7 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. 7 1. Dada la recta y = x + 3 y el punto (2,2): a) Calcular la distancia del punto a la recta. b) Calcular una recta perpendicular a y = x + 3 que pase por el punto (2,2). c) Calcular el punto de corte entre la recta y = x + 3 y la recta del apartado anterior. d) Calcular la distancia entre el punto (2,2) y el punto calculado en el apartado anterior. Por qué debe coincidir con el resultado del apartado a? 2. Repetir el ejercicio anterior pero para los siguientes casos: a) y = 3x 1 y (0,0) b) y = 2x + 1 y (-1,-2) c) y = 2x y (1,0) 3. Hay otra forma de comprobar los resultados de los ejercicios anteriores?