Matemática D y D MATEMÁTICA D y D Módulo I: Análisis de Variable Compleja Unidad 0 Números Complejos Mag. María Inés Baragatti Números complejos. Generalidades Un número complejo es un par ordenado de números reales (a,b) Comúnmente utiliamos la letra para indicar un complejo y escribimos: = (a,b) El conjunto de todos los números complejos lo designamos con la letra C. La primera componente del complejo = (a,b) se denomina parte real de componente real de y la indicamos: a = Re() o La segunda componente del complejo = (a,b) se denomina parte imaginaria de o componente imaginaria de y la indicamos: b = Im() Si la primera componente de un complejo es igual a cero, es decir = (0,b) decimos que que es un número imaginario puro. El complejo puede representarse como un punto del plano de coordenadas (a,b) o como un vector de componentes (a,b). b y Igualdad de números complejos a x Dos números complejos = (a,b ) y = (a,b ) son iguales si coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias. Simbólicamente escribimos : = [Re ( ) = Re ( ) y Im( ) = Im ( )] [a = a y b =b ]
Matemática D y D Actividad : Dados los complejos = (3t -, 4s +7) y = (4s -t, s + t ) siendo s y t dos números reales, hallar los valores de s y t para que = Suma y producto de complejos Dados los complejos = (a, b) y = (c, d), se definen las operaciones de suma y producto entre ellos como: + = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). = (a, b). (c, d) = (ac bd, ad + bc) Observaciones: - La suma y producto de dos números complejos también son números complejos. - El complejo (0,0) es el elemento neutro de la suma pues (a,b) + (0.0) = (a,b) 3- El complejo (,0) es el elemento neutro del producto pues (a,b). (.0) = (a,b) 4- La suma de complejos equivale a la suma de sus componentes, por ello se comporta como una suma vectorial. y + + = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) x 5- Los números complejos con parte imaginaria nula se comportan como los números reales pues, aplicando las definiciones de suma y producto, se observa que : (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) y (a, 0). (c, 0) = (ac, 0) cuyos resultados se obtienen sumando o multiplicando sus partes reales. Por esta raón es conveniente considerar el sistema de números reales como un caso particular del sistema de números complejos y convenimos en identificar al complejo (a,0) con el número real a y escribimos a = (a,0). Por ejemplo: 0 = (0,0), = (,0), - = (-,0) Actividad : Justificar que las operaciones de suma y producto de complejos goan de las siguientes propiedades : conmutativa: + = +. =.
Matemática D y D asociativa : [ + ]+ 3 = + [ + 3 ] [. ]. 3 =. [. 3 ] distributiva del producto respecto a la suma: [ + ]. 3 =. 3 +. 3 Unidad imaginaria El número complejo (0,) se representa por i y se denomina unidad imaginaria. Escribimos : i = (0,) Actividad 3: a) Calcular i = i. i = y completar el recuadro i = b) Calcular i 3 = i. i, i 4 = i 3. i y averiguar el valor de las potencias: i 4n, i 4n+ 4n +3, i Actividad 4: Dado el complejo = (a,b), justificar la siguiente igualdad (a,b) = (a,0) + (0,). (b,0) y deducir que puede expresarse en la forma = a + i b. Forma binómica de un complejo Teniendo en cuenta el resultado de la actividad anterior, observamos que : Todo complejo = (a,b) puede expresarse en la forma = a + i b, a la que se denomina forma binómica del complejo. Actividad 5: Dados los complejos en forma binómica = a + i b y = a + i b, justificar que el producto. = (a + i b ) (a + i b ) puede realiarse usando la propiedad distributiva y teniendo en cuenta que i = - Complejos conjugados El complejo a i b es el complejo conjugado de = a + ib y lo indicamos = a i b Módulo de un complejo Dado el complejo = a + i b, el número real + = a b y resulta ser la distancia de al origen de coordenadas. a + b es el módulo de, lo indicamos 3
Matemática D y D Actividad 6: Demostrar que. = Actividad 7: Dado el complejo no nulo = a + bi, averiguar qué forma debe tener el complejo w = c + di para que el producto. w sea un número real. Resta de complejos: Dados los complejos y, la resta es un complejo 3 tal que = + 3 Actividad 8: Si = a + i b, = a + i b y 3 =, justificar que 3 = (a a ) + i (b b ) Cociente de números complejos : Dados los complejos y 0, el cociente Actividad 9: es un complejo 3 tal que =. 3 a) Si = a + i b es un complejo no nulo, justificar la siguiente equivalencia:. w = w = / b) Hallar la parte real y la parte imaginaria del complejo son números reales no simultáneamente nulos. 3 a + ib = =, donde a y b a + ib Forma polar o trigonométrica de un complejo Si = (a,b) es un complejo no nulo, podemos definir sus componentes usando las coordenadas polares : a = r cos θ, b = r sen θ donde r =, y θ es el ángulo entre el vector de componentes (a,b) y el eje x positivo, medido en sentido positivo (antihorario) o en sentido negativo (horario). b y θ r a x Por lo tanto todo complejo no nulo puede expresarse como = a + i b = r cos θ + i r sen θ = r (cos θ + i sen θ) y esta última se denomina forma polar o trigonométrica de. 4
Matemática D y D Argumento y argumento principal Si θ es el ángulo de inclinación de un complejo no nulo, es decir 0, también lo son los números θ + kπ con k = ±, ±, ± 3.. El conjunto formado por todos ellos se denomina argumento de y lo indicamos arg(). El argumento de 0 que satisface - π < θ π, se denomina valor principal del argumento o argumento principal y lo indicamos Arg() Observación Para determinar el ángulo θ, al que medimos en radianes, debe tenerse en cuenta la relación tg θ = b/a y el cuadrante en que se encuentra el complejo. Es bastante usual que se diga que : "si tg θ = b/a entonces θ = arctg (b/a)" y esta expresión no es siempre correcta cuando se pretende hallar el argumento de un complejo, pues debemos recordar que: la función y = arctg x, de variable real x, tiene como dominio el conjunto de todos los números reales pero su imagen es el intervalo abierto (-π/, π/). Teniendo en cuenta que sólo los complejos con parte real positiva tienen argumento principal entre -π/ y π/, sólo para ellos puede usarse que θ = arctg (b/a) Ejemplos # Si = + i tgθ = / = θ = Arg( ) = arctg = π/4, pues Re( ) > 0 Por lo tanto Arg( ) = π/4 y arg( ) = {π/4 + kπ, con k = ±, ±, ± 3.} # Si = - i tgθ = -/ = - θ = Arg ( ) =arctg (-) = - π/4, pues Re( ) > 0 Por lo tanto Arg( ) = -π/4 y arg( ) = { - π/4 + kπ, con k = ±, ±, ± 3.} # Si la parte real del complejo es negativa y su parte imaginaria es positiva entonces el argumento principal de dicho complejo es arctg (b/a) + π Si 3 = - + i tgθ 3 = /- = - θ 3 = arctg (-) + π = - π/4 + π = 3π/4, hemos sumado π al arctg (-) pues Re( 3 ) < 0 y Im( 3 ) > 0 Por lo tanto Arg( 3 ) = 3π/4 y arg( 3 ) = { 3π/4 + kπ, con k = ±, ±, ± 3.} # Si la parte real del complejo es negativa y su parte imaginaria es negativa entonces el argumento principal de dicho complejo es arctg (b/a) - π 5
Matemática D y D Si 4 = - - i tgθ 4 = -/- = θ 4 = arctg - π = π/4 - π = - 3π/4, hemos restado π al arctg pues Re( 4 ) < 0 y Im( 4 ) < 0 Por lo tanto Arg( 4 ) = -3π/4 y arg( 3 ) = { -3π/4 + kπ, con k = ±, ±, ± 3.} Actividad 0: Hallar el argumento y el argumento principal de los complejos * = 3 i, ** = - 3 i, y de los complejos -*, - **, *. **, */**, * + **, * - **, -* - **, -* + ** Actividad : Si el complejo = r ( cos θ + i sen θ ) es igual al complejo = r ( cos θ + i sen θ ), demostrar que sus módulos son iguales y que sus argumentos difieren en un múltiplo de π, es decir θ = θ +kπ, con k número entero. Potencias Para calcular las potencias naturales de un complejo = a + ib puede usarse la fórmula del binomio de Newton: n = (a + i b) n = n n! k!(n k)! k= 0 pero es bastante tediosa su utiliación. Por ello es conveniente calcular cualquier potencia de un complejo, expresándolo en la forma polar. Es muy interesante observar que si un complejo se expresa en forma polar y tiene módulo r y argumento θ entonces el complejo w = tiene módulo r y argumento θ + kπ pues: a n k (ib) k = r (cos θ + i sen θ ) = = r [cos θ + i cos θ sen θ - sen θ ] = = r [ (cos θ - sen θ) + i cos θ sen θ] = = r [(cos(θ) +i sen(θ)] Recordar que : sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b cos(a + b) = cos a cos b - sen a sen b si a = b entonces sen (a) =... cos(a) =... por lo tanto = r y arg( ) = θ + kπ con k número entero, observar que esta relación entre los argumentos de dos complejos iguales fue demostrado en la actividad. Raonando en forma similar puede demostrarse que : y utiliando inducción completa puede demostrarse que : 3 = r 3 [cos (3θ) + i sen(3θ)] 6
Matemática D y D n = r n [cos (nθ) + i sen(nθ)], n N De donde se desprende que: n = n y arg( n ) = n arg Comentario Antes de analiar la raí cuadrada de un número complejo es conveniente hacer un comentario sobre la ecuación de variable real x + = 0, que sabemos no tiene solución en el conjunto de números reales pues despejando se obtiene x = ±. Tendrá solución en el conjunto de números complejos? Para contestar pensemos que x es un complejo a + ib, de donde la ecuación anterior puede escribirse (a + ib) + = 0 y realiando las operaciones indicadas obtenemos (a - b + ) + i ab = 0, de donde a - b + = 0 () y ab = 0 () De () se desprende que a = 0 ó b = 0. Si a = 0, reemplaamos en () y obtenemos - b + = 0, de donde b = ó b = -, por lo tanto x = 0 + i = i y x = 0 - i = - i son soluciones de la ecuación x + = 0 Si b = 0, reemplaamos en () y obtenemos a + = 0, que no tiene solución. Por lo tanto la ecuación x + = 0 tiene solución en el conjunto de números complejos y sus soluciones son : i y -i Pretendemos ahora poder resolver la ecuación anterior sin tener que hacer tanto trabajo, es decir pretendemos encontrar el valor de, tomando a - como el complejo - + i0 Raíces Si queremos hallar debemos encontrar un complejo w tal que w =. Para evitar trabajar con situaciones complicadas como en el comentario anterior, es conveniente considerar a y a w en la forma polar. Supongamos que = w, = r ( cos θ + i sen θ ) y w = R (cos ϕ + i sen ϕ ) Debemos hallar w = R y arg(w) = ϕ tal que 7 w =, para ello consideramos la igualdad w = R (cos (ϕ) + i sen(ϕ ) = r ( cos θ + i sen θ ) R = r y ϕ = θ + kπ θ + kπ R = r y ϕ = θ + kπ θ + kπ Por lo tanto = w = r cos + isen, con k = 0, porqué hicimos esta restricción para el número entero k?...
Matemática D y D En forma similar puede demostrarse que : 3 = w = 3 θ + kπ θ + kπ r cos + i sen, con k = 0,, 3 3 Y por inducción puede demostrarse la siguiente expresión, conocida como fórmula de De Moivre: n = n r θ + kπ θ + kπ cos + isen, con k = 0,,,.., (n ) n n Actividad : Calcular 3, 3 4 3, siendo = 8 ( cos π/5 + i sen π/5 ). Fórmula de Euler Es muy sencillo demostrar que la función f(x) = e k x, donde x es una variable real, es solución de la ecuación diferencial f (x) = k f(x) y verifica f(0) =. Si por otra parte consideramos las funciones u(x) = cos x y v(x) = sen x de variable real x, es muy sencillo observar que : u'(x) + i v'(x) = -sen x + i cos x = i (cos x + i sen x) = i [u(x) + i v(x)] (#) Si llamamos g(x) = cos x + i sen x entonces la expresión (#) puede escribirse g'(x) = i g(x) Comparamos los resultados obtenidos con f(x) y g(x) Sabemos que es solución de y verifica f(x) = e k x f (x) = k f(x) f(0) = g(x) = cos x + i sen x g (x) = i g(x) g(0) = Si tomamos k = i, la segunda y tercera columna del cuadro anterior afirman la misma cosa, para que todo sea consistente, deberá ser f(x) = g(x), por lo tanto es raonable definir para x variable real la siguiente expresión, que se denomina fórmula de Euler e i x = cos x + i sen x Actividad 3: Justificar que e -ix = cos x - i sen x, con x número real. Notación exponencial Si θ es el argumento de un complejo 0, por la fórmula de Euler sabemos que e i θ = cos θ + i sen θ, por lo tanto todo complejo no nulo de módulo r y argumento θ se puede indicar = r e i θ, denominada notación exponencial del complejo 8
Matemática D y D Actividad 4: Escribir los complejos = i, = -, 3 = -i, 4 = 3, 5 = - i, 6 = - e iπ/4, 7 = i e iπ/4 en la forma exponencial Imposibilidad de ordenar los números complejos : Sabemos que dados dos números reales distintos a y a, se verifica que a > a o a < a. Esta afirmación no puede hacerse entre dos números complejos y para justificarlo supongamos que los complejos i y 0 pueden ordenarse. # Si i > 0 entonces i > 0, pues el producto de dos números mayores que 0 es mayor que 0, por lo tanto - > 0 # Si i < 0 entonces i > 0, pues el producto de dos números menores que 0 es mayor que 0, por lo tanto - > 0 Ambas suposiciones nos llevaron a la relación: - > 0 (*) - Si sumamos a ambos miembros de (*) obtenemos 0 > (**) - Si aplicamos nuevamente la propiedad de producto de números mayores que 0 a (*), obtenemos (-) > 0, o > 0 (***) Como es imposible que se cumpla (**) y (***), encontramos una contradicción. Por lo tanto podemos afirmar que Los números complejos no pueden ordenarse sin producir una contradicción en las propiedades de orden entre números reales Ejercicios - Expresar los siguientes números complejos en la forma x + i y a) ( + i ) 3 b) i 3 + i 7 c) ( + 3i) (3 4i) - d) ½ ( + i) ( + i -8 ) - - Si es un número complejo, demostrar que: a) Re(i) = - Im() b) Re() = Im(i) c) Re() d) Im() e) Re() + Im() f) ( ) 3- Si y son dos complejos no nulos, demostrar que: = g). = h) arg( ) = - arg() a) + = + b). =. c) = si 0 9
Matemática D y D 4- Hallar el módulo, el argumento y el argumento principal y la representación exponencial de a) i b) i c) 3 d) i e) i 5- Calcular a) ( 3 + i) 5 b) ( i) 0 c) i / d) (-7) /3 6- Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones a) 4 + = 0 b) i = 0 c) 3 = i 3 7- Si = a e iθ, = b e iϕ con a. b 0, justificar que: a) Si - π < θ + ϕ π entonces Arg(. ) = Arg( ) + Arg( ) b) Si - π < θ + ϕ - π entonces Arg(. ) = Arg( ) + Arg( ) + π c) Si π < θ + ϕ π entonces Arg(. ) = Arg( ) + Arg( ) - π 8- Demostrar que: a) + = ( + ) + b) ± = + ± Re(. ) c) + + (ayuda: usar b) d) ± 9- Representar gráficamente los complejos que verifican las siguientes relaciones: a) Re() = b) < Im() 3 c) = d) = e) > f) π/4 < Arg() < π, > g) < i h) > Im() i) i j) i + k) = Re() l) = 0- Si 0 es un punto interior a la curva γ: = R, justificar que R 0 es exterior a γ 0