Notas de Medida, Integración y Probabilidad

Notas de Medida, Integración y Probabilidad J. Armando Domínguez, UAS, jadguez@uas.uasnet.mx Víctor Pérez-Abreu, CIMAT, pabreu@cimat.mx Agosto 2009

Contenido Introducción 2 1 Clases de conjuntos 3 1.1 Límites de sucesiones de conjuntos....................... 10 2 La medida y sus propiedades 20 2.1 Propiedades de la medida............................ 21 2.2 Extensión de medida............................... 24 2.2.1 La medida exterior............................ 24 2.2.2 El Teorema de extensión......................... 28 2.2.3 Ejemplo: Medida de Lebesgue...................... 32 2.2.4 Invariancia bajo traslaciones de la medida de Lebesgue........ 32 2.2.5 Un conjunto no Boreliano........................ 35 2.3 Medida de Lebesgue-Stieltjes........................... 37 3 Funciones medibles y variables aleatorias 42 3.1 Espacios de medida y espacios medibles..................... 42 3.2 Transformaciones y funciones medibles..................... 43 i

Contenido 0 3.3 Variables aleatorias................................ 52 4 Integración 53 5 Medidas con signo 69 5.1 Continuidad absoluta y equivalencia de medidas................ 74 6 Espacios L p 80 7 Medidas producto y el Teorema de Fubini 87

Introducción Consideremos = (0; 1]; I i = (a i ; b i ]; a i < b i y sea n S A = I i : I i ajenos, n 1 : P : A! [0; 1] ; A 2 A ) A = S n I i: De namos Proposición. P (A) = nx ji i j = nx (b i a i ) : a) La función P () está bien de nida en A : b) Si A; B 2 A y A \ B =? ) P (A [ B) = P (A) + P (B) : c) P () = 1: Observación. P (A) = R 1 0 1 A (x) dx; 1 A (x) = P n 1 (a i ;b i ] (x) : 2

Capítulo 1 Clases de conjuntos De nición 1 Una colección D no vacía de subconjuntos de es un -sistema (clase de Dynkin) si cumple: i)? 2 D ii) Si A; B 2 D; entonces A \ B 2 D: De nición 2 Una colección S no vacía de subconjuntos de se llama semi-anillo si cumple con las siguientes condiciones: i) S es un -sistema de ii) Si A; B 2 S y A B; existen A i 2 S ; i = 1; 2; :::; n para algún n tal que A i s son n[ mutuamente ajenos y BnA = A 1 + + A n = (unión de conjuntos mutuamente ajenos). A i De nición 3 Una colección no-vacía S de subconjuntos de es una semi-álgebra si i) S es un -sistema. ii) 2 S : 3

Capítulo 1. Clases de conjuntos 4 iii) Si A 2 S ; existen conjuntos ajenos A 1 ; :::; A n 2 S, para algún n; tal que A c = A 1 + + A n : Observación 4 Una semi-álgebra es un semi-anillo con 2 S. Ejemplos. a) Sea un conjunto no vacío. C = f?; g clase trivial. C = 2 conjunto potencia es -sistema, semi-anillo, semi-álgebra. b) Sea un conjunto no vacío. C = fa : #A < 1 ó #A c < 1g C es un -sistema. Esto es cierto ya que: i)? 2 C ii) A; B 2 C ) A \ B 2 C : Supongamos que #A < 1: A \ B A ) # (A \ B) #A Supongamos que #A c < 1 y #B c < 1: Entonces (A \ B) c = A c [ B c y que # (A c [ B c ) #A c + #B c < 1: Entonces A \ B 2 C : Además, C es semi-álgebra. Si A 2 C implica que A c 2 C ) 2 C : Para entender el siguiente ejemplo se requiere del conocimieno básico de la teoría de la probabilidad. El estudiante lo puede omitir si no ha visto lo que es el espacio de probabilidad. c) Sea (; F ; P ) un espacio de probabilidad y sea

Capítulo 1. Clases de conjuntos 5 C = fa 2 F : P (A) = 0 ó P (A) = 1g C se llama la colección 0-1 (P-0-1) C es -sistema. Demostración.? 2 C ya que P (?) = 0 (P () = 1 ) 2 C ) : Si A; B 2 C tenemos varios casos: i) P (A) = 0; A \ B A ) P (A \ B) P (A) = 0 ) P (A \ B) = 0: ii) P (A) = P (B) = 1 P ((A \ B) c ) = P (A c [ B c ) P (A c ) + P (B c ) = 0 ) P ((A \ B) c ) = 0 ) P (A \ B) = 1 ) A \ B 2 C : Observemos que si A 2 C ) A c 2 C ) C es semi-álgebra. d) Sea = R: La clase C = f(a; b] : a; b 2 R; a bg ; es un -sistema que no es semi-álgebra i)? 2 C ; ((a; a]) ii) Si A 1 ; A 2 2 C ; A 1 = (a 1 ; b 1 ]; A 2 = (a 2 ; b 2 ] (hacer los detalles). La clase C sí es semi-anillo: A; B 2 C ; A B A = (a 1 ; a 2 ]; B = (b 1 ; b 2 ]: (a 1 ; a 2 ] (b 1 ; b 2 ] ) BnA = (b 1 ; a 1 ] [ (a 2 ; b 2 ] La clase C no es semi-álgebra: (a; b] c = ( 1; a] [ (b; 1) e) Consideremos = R: La clase

Capítulo 1. Clases de conjuntos 6 es semi-álgebra: i) S es -sistema S = f(a; b]; (c; 1); ( 1; d]; R : a; b; c; d 2 Rg ; R = ( 1; 1) ; ii) Caso I: (a; b] c = ( Caso II: (c; 1) c = ( 1; a] [ (b; 1) 2 S 1; c] 2 S Caso III: ( 1; a] c = (a; 1) 2 S Caso IV: ( 1; 1) =? 2 S Ejercicio 5 Considere = R 2 ; S 1 como en el ejemplo anterior. S 2 = S 1 S 1 = fa B : A; B 2 S g : Probar que S 2 es una semi-álgebra de : (Hacer el caso similar para R n ): La clase S 2 se llama semi-álgebra producto. Más generalmente, si S 1 y S 2 son semi-álgebras de 1 y 2 respectivamente, entonces S = S 1 S 2 = fa 1 A 2 : A i 2 S i ; i = 1; 2g es una semi-álgebra de 1 2 : De nición 6 Una colección no-vacía R de subconjuntos de es un anillo si i) A; B 2 R ) A [ B 2 R ii) A; B 2 R y A B ) BnA 2 R: De nición 7 Una colección A no vacía de subconjuntos de es álgebra si i)? 2 A ii) A; B 2 A ) A [ B 2 A iii) A 2 A ) A c 2 A :

Capítulo 1. Clases de conjuntos 7 Observación 8 Un álgebra A es un anillo tal que 2 A y viceversa. Ejemplos. Omitir este ejemplo hasta el momento que veamos la de nición de medida. f) = R y la medida de Lebesgue y considere la clase C = fa R : (A) < 1g : C es un anillo que no es álgebra de R: Veamos que es anillo: i)? 2 R ya que (?) = 0 ii) Si A; B 2 R (A [ B) (A) + (B) < 1: iii) Si A; B 2 C ; A B BnA = B \ A c B ) (BnA) (B) < 1 ) BnA 2 C : g) C = fa 2 R 3 : volumen (A) < 1g : Ejemplo (b) (continuación). La clase C = fa : #A < 1 o #A c < 1g ; es un álgebra. Demostración. i)? 2 C

Capítulo 1. Clases de conjuntos 8 ii) A 2 C ) A c 2 C iii) Si A; B 2 C ; hay varios casos: 1) #A < 1; #B < 1 ) # (A [ B) < 1 2) #A c < 1; #B c < 1 ) # (A c \ B c ) < 1 ) A [ B 2 C 3) #A < 1; #B c < 1: Ya vimos que C es -sistema y con iii) se obtiene ii). Lema 9 Un -sistema cerrado bajo complementos es un álgebra. Lema 10 Sea R un anillo de : entonces i)? 2 R: ii) R es cerrado bajo diferencias simétricas e intersecciones. iii) R es cerrado bajo uniones e intersecciones nitas. Lema 11 Un álgebra A de es un anillo de tal que es un elemento de A ; i.e., 2 A y viceversa. Ejemplos a) = R S = f(a; b]; ( 1; a]; (b; 1); ( 1; 1) : a; b 2 Rg es una semi-álgebra. Observación. Sean 1 y 2 conjuntos arbitrarios. Sea A 1 y B 2 : A B = (A 2 ) \ ( 1 B) : (Demostrarlo). b) Semi-álgebra de rectángulos Sean 1 ; 2 dos conjuntos no vacíos con álgebras A 1 ; A 2 ; respectivamente. Sea A 1 A 2 = fa 1 A 2 : A 1 2 A 1 ; A 2 2 A 2 g : Entonces A 1 A 2 es una semi-álgebra de 1 2 :

Capítulo 1. Clases de conjuntos 9 Observación 12 a). Se tiene la misma conclusión si A 1 y A 2 son semi-álgebras. c) Más generalmente, si A i es un álgebra de i ; i = 1; :::; n; entonces A 1 A n = fa 1 A n : A i A i ; i = 1; :::; ng ; es una semi-álgebra de 1 n : Ejemplo*. Sea R 1 el conjunto de todas las sucesiones reales: R 1 = (a n ) n1 : a n 2 R; n1 : Sea A un álgebra de R: Un conjunto de la forma C (i 1 ; :::; i n ; A 1 ; :::; A n ) = fx 2 R 1 : x i1 2 A 1 ; :::; x in 2 A n g ; i 1 ; :::; i n enteros y A i 2 A ; se llama cilindro de índices i 1 ; :::; i n y base A 1 ; :::; A n : Observación 13 a) Un cilindro no tiene una única representación. Proposición 14 La colección C (R 1 ) de todos los cilindros de R 1 es una semi-álgebra (Kolmogorov). Ejemplo. (Cilindros de funciones continuas). Sea = C [0; 1] y A un álgebra de R: Un conjunto de la forma C (t 1 ; :::; t n ; A 1 ; :::; A n ) = ff 2 C [0; 1] : f (t i ) 2 A i ; i = 1; :::; ng ; donde t i 2 [0; 1] ; A i 2 A se llama cilindro. Ejercicio 15 La colección de cilindros de es una semi-álgebra. Observación 16 El conjunto bien podría ser R T ; el conjunto de todas las funciones reales.

Capítulo 1. Clases de conjuntos 10 1.1 Límites de sucesiones de conjuntos De nición 17 Sea fe n : n = 1; 2; :::g una sucesión de subconjuntos de : Entonces T lime n = 1 1S m=n S líme n = 1 1T m=n E m ; E m ; límite superior. límite inferior. Decimos que la sucesión fe n g n1 es convergente si líme n = líme n = líme n : : n Observación 18 Se cumple que líme n líme n : Por lo tanto, para probar que el límite existe, basta veri car que líme n líme n : Decimos que fe n g n1 es monótona creciente si E n E n+1 ; 8n 1 y que es monótona decreciente si E n+1 E n 8n 1: Notación. Monótona creciente: E n " Monótona decreciente: E n # Proposición 19 Una sucesión monótona creciente (decreciente) de conjuntos es convergente. Corolario 20 a) Si E n "; b) Si E n # lím n E n = 1 S E n : T líme n = 1 E n : n

Capítulo 1. Clases de conjuntos 11 Lema 21 Sea fe n g n1 una sucesión de conjuntos en un anillo R y sea E = S 1 E n: Entonces i) E = S 1 F n con F n 2 R; F n "; ii) E = S 1 G n con G n 2 R; conjuntos ajenos y G n E n 8n: Notemos que E no necesariamente está en el anillo. Demostración. i) Tenemos que F n = ii) G 1 = E 1 = F 1 G 2 = E 2 ne 1 = F 2 nf 1 2 R; G 2 E 2. G n = F n nf n 1 2 R: n[ E i ; F n "; F n 2 R: Los conjuntos G n son ajenos, ya que F n " : Además, y G n = n[ 1S!- n[ 1 E i G n = 1 S F n : E i E n Lema 22 Sea R un anillo de para cada en un conjunto arbitrario. Sea R = T 2 R : Entonces R es un anillo de : Demostración. Si E; F 2 R; entonces E; F 2 R ; 8 2

Capítulo 1. Clases de conjuntos 12 ) E [ F 2 R y EnF 2 R 8 2 ) E [ F 2 R y EnF 2 R ) R es anillo. Corolario 23 La intersección arbitraria de álgebras es álgebra. Teorema 24 Sea E una clase arbitraria de conjuntos de : Entonces existe un único anillo, R 0 ; tal que E R 0 y tal que si R es otro anillo con la propiedad de que R E ; entonces R 0 R: Observación 25 a) R 0 es el anillo más pequeño que contiene a E ; llamado el anillo generado por E ; denotado por R (E ) : b) Se tiene un resultado similar para álgebras: existe una única álgebra A 0 tal que E A 0 y si A es álgebra con E A ; entonces A 0 A : La denotamos por A (E ) : c) R (E ) A (E ) : No siempre R (E ) = A (E ) : Ejemplo 26 Sea A un subconjunto de : E = fag ; R (E ) = f?; Ag ; A (E ) = f?; A; ; A c g : Teorema 27 Sea E una clase no-vacía de subconjuntos de : Entonces cualquier elemento en R (E ) puede ser cubierto por una unión nita de conjuntos en E : (8E 2 R (E ) 9 E 1 ; :::; E n 2 E t.q. E S n E i) Demostración (Principio de los buenos conjuntos). Sea G la colección de todos los conjuntos «buenos», es decir, los subconjuntos de que pueden ser cubiertos por una unión nita de elementos en E : Trivialmente, E G :

Capítulo 1. Clases de conjuntos 13 Si demostramos que G es un anillo, (E G ); entonces R (E ) G y, por lo tanto, R (E ) cumple la propiedad. Vemos que G es un anillo. Si E; F 2 G ; trivialmente E [ E 2 G y EnF E; lo cual implica que EnF 2 G : Por lo tanto, G es un anillo. Teorema 28 Sea P un semi-anillo de : Entonces R (P) coincide con la clase de conjuntos de la forma n E i ; E i 2 P; i = 1; :::; n, para algún n 1 y los conjuntos E 1 ; :::; E n S son ajenos. Demostración. Sea ( ) n[ L = E : E = E i ; E i 2 P; E i s ajenos : Tenemos que L R (P) ; pues E i 2 P R (P) y Además P L : n[ E i 2 R (P) : Basta probar que L es anillo, en cuyo caso R (P) L ; de lo cual se sigue que R (P) = L : i) Si E; F 2 L ; trivialmente E [ F 2 L : ii) Veamos que L es un -sistema. n[ m[ Si E; F 2 L ; se sigue que E = E i ; F = F j ; E 1 ; :::; E n ; 2 P ajenos y F 1 ; :::; F m 2 P ajenos. n[ m[ Entonces E \ F = (E i \ F j ) ; E i \ F j 2 P; ya que P es -sistema. Entonces E \ F 2 L ; ya que A ij! = E i \ F j son ajenos. n[ [ m n[ m\ ii) Ahora EjF = E i F j = (E i jf j ) :

Capítulo 1. Clases de conjuntos 14 m\ Observemos que (E i jf j ) E i son ajenos, i = 1; :::; n: Si probamos que E i nf j son ajenos y están en L ; por (i) tendremos que la intersección m\ (E i jf j ) está en L, i = 1; :::; n y por (i) EnF 2 L : E i nf j 2 P; ya que P es semi-anillo y como E i ; F j 2 P; E i nf j = q[ H k ajenos y están en P: k=1 De nición 29 a) conjunto. S es -anillo si i) E; F 2 S ; EnF 2 S : ii) Si E i 2 S ) S 1 E i 2 S : b) F es -álgebra si i) 2 F : ii) A 2 F ) A c 2 F : iii) A i 2 F ; i = 1; :::; n; ::: S 1 A i 2 F : Proposición 30 Una -álgebra F es un -anillo con 2 F. Observación 31 1) Un -anillo es un anillo y una -álgebra es un álgebra, ya que A [ B = A [ B [? [ [?: 2) Los -anillos y las -álgebras son cerrados bajo intersecciones numerables. Teorema 32 Si E es una clase de subconjuntos de ; entonces i) Existe un único -anillo S 0 tal que E S 0 y si S es un -anillo con E S ; entonces S 0 S ; S 0 se llama el mínimo -anillo generado por E y escribimos S (E ) = S 0 : ii) Lo mismo es cierto para -álgebra y la denotamos por (E ) :

Capítulo 1. Clases de conjuntos 15 Demostración. Proponemos S 0 = T fs : S es -anillo de y E S g ; S 0 es -anillo. (concluir demostración). Observación 33 En general, no es posible describir completamente a S (E ) ni a (E ) : Lema 34 i) Si E y F son dos clases de subconjuntos de y E F ; entonces S (E ) S (F ) y (E ) (F ) : ii) S (R (E )) = S (E ) y (A (E )) = (E ) ; en donde R (E ) y A (E ) son el anillo generado por E y el álgebra generada por E ; respectivamente. De nición 35 Sea un espacio métrico (topológico) con colección de abiertos O: La - álgebra (O) se llama la -álgebra de Borel de y se denota por B () : Ejercicio 36 Mostrar que una -álgebra in nita es no-numerable. Ejemplo. I) B (R) ; II) B (R n ) ; III) B (C [0; 1]) : IV) = R: P = f(a; b] : a; b 2 Rg : P es semi-anillo. Veamos que R (P) = (P) = B (R) (F) Ejercicio 37 Sea P n = f(a 1 ; b 1 ] (a n ; b n ] : a i ; b i 2 Rg : Mostrar que S (P n ) = (P n ) = B (R n ) :

Capítulo 1. Clases de conjuntos 16 Demostración de Ejemplo IV ( F). S (P) = (P) ya que R 2 S (P) puesto que ( n; n] 2 P S (P) : (de Proposición 30). S R = 1 ( n; n]; Teorema 38 Los siguientes conjuntos están en (P) : i) fag ; a 2 R ii) A; A numerable iii) Los intervalos: abiertos, cerrados, semi-cerrados, nito o in nito. iv) A; A es abierto. v) A; A es cerrado. Lema 39 Sea P O = f(a; b) : a < b; a; b 2 Rg : Entonces (P O ) = (P) : Ejemplos. Sea un conjunto no-vacío ff n ; n 1g una sucesión de -álgebras de tal que F n F n+1 ; n 1: Entonces S i) 1 F n es un álgebra. S ii) 1 F n no necesariamente es -álgebra. (dar ejemplo de que no es -álgebra). 1 S F 1 = F n es la -álgebra generada por ff n g : De nición 40 Una colección D de subconjuntos de es una D-clase si es cerrada bajo diferencias propias y uniones numerables de ajenos: i) E; F 2 D; E F ) F ne 2 D ii) Si E n 2 D; n 1 y son ajenos, entonces 1 S E n 2 D:

Capítulo 1. Clases de conjuntos 17 De nición 41 Una colección M de subconjuntos de es una clase monótona si es cerrada bajo límites monótonos: S Si E n 2 M ; n 1 y E n E n+1 (E n+1 E n ) 8n 1; entonces 1 E n 2 M T 1 E n 2 M : Observación 42 a) Dada una clase E de subconjuntos de siempre existe una mínima D-clase que contiene a E ; denotada por D (E ) ; D-clase generada por E : b) Igualmente, existe una mínima clase monótona M que contiene a E ; denotada por M (E ) ; la clase monótona generada por E : c) -anillo y -álgebra son ejemplos de D-clases monótonas. Teorema 43 Si E es un -sistema, entonces D (E ) es también un -sistema. Demostración. (Técnica de los buenos conjuntos). E es un -sistema. Sea E y D E = ff : F \ E 2 D (E )g : Observemos que, si F 2 D E ; entonces E 2 D F. Para todo E ; D E es una D-clase: Sean F; G 2 D E ; F G: Observemos que F ng = (F \ E) n (G \ E) ; dado que E; F 2 D E se sigue que (F \ E) 2 D (E ) y (G \ E) 2 D (E ) : D (E ) es una D-clase y si F G ) F \E G\E: Por lo tanto (F \ E) n (G \ E) 2 D (E ) : O sea, D E es cerrado bajo diferencias propias. Si F n 2 D E ; n 1 F n ajenos, entonces F n \ E 2 D (E ) ; n 1 y son ajenos.

Capítulo 1. Clases de conjuntos 18 Lo que implica que S 1 S F n \ E = 1 (F n \ E) 2 D (E ) ; ya que D (E ) es cerrado bajo uniones numerables de ajenos. Por lo tanto D E es una D-clase 8 E : Ahora, si E 2 E ; entonces E D E ya que F \ E 2 E D (E ) ; 8F 2 E : Así, D E es una D-clase que contiene a E : D (E ) D E ; 8E 2 E : (1.1) Si E 2 E y F 2 D (E ) se sigue que F 2 D E : En consecuencia E 2 D F ; o sea, E D F si F 2 D (E ) : Por lo tanto D (E ) D F si F 2 D (E ) : Finalmente, si F; E 2 D (E ) ; F \ E 2 D (E ) ; i.e., D (E ) es -sistema. Teorema 44 Si E es un -sistema, entonces D (E ) = S (E ) : Demostración. Por la demostración anterior, S (E ) es D-clase (que contiene a E ): Entonces D (E ) S (E ) : Por el Teorema 43 D (E ) es cerrado bajo diferencias propias, uniones numerables de ajenos y bajo intersecciones, por lo que el resultado se sigue del siguiente lema: Lema 45 Si E es un -sistema que es una D-clase, entonces E es un -anillo. Demostración. i) A; B 2 E : AnB = An (A \ B) ; A (A \ B) ) AnB 2 E pues E es D-clase. ii) A; B 2 E A [ B = (AnB) [ (BnA) [ (A \ B) [? [ [? 2 E ; pues E es D-clase.

Capítulo 1. Clases de conjuntos 19 iii) Por el Lema 21 ii), Si A n 2 E ; n 1 y E es anillo, entonces E ; n 1 son ajenos. 1[ Por lo tanto A n 2 E : 1[ A n = [ G n, G n 2 Corolario 46 a) Si E es un -sistema y 2 E ; entonces D (E ) coincide con (E ) ; i.e., D (E ) = (E ) : b) Si E es un álgebra, M (E ) = (E ) : Teorema 47 Si E es un anillo, entonces M (E ) = S (E ) : Demostración. Ejercicio.

Capítulo 2 La medida y sus propiedades Sea C una clase de conjuntos cualquiera. Consideraremos sólo funciones de la siguiente forma: : C! R; donde R = R [ f 1; 1g (reales extendidos). De nición 48 La función : C! R es: a) Aditiva, si (A [ B) = (A) + (B) siempre que A; B 2 C son ajenos. b) Aditiva nita si! ns A j = nx (A j ) ; siempre que A j 2 C ; j = 1; :::; n y sean ajenos (por pares). c) -aditiva si! 1S A j = 1X (A j ) ; siempre que A j 2 C ; j = 1; 2; ::: y sean ajenos (por pares).

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 21 De nición 49 La función : C! R es: a) Finita si j (A)j < 1; A 2 C : b) - nita si para cada A 2 C existe fa n g n1 2 C tal que S A 1 A j y j (A j )j < 1; j 1: Observación 50 Es necesario que la función sea nita para que sea - nita. De nición 51 Sea R un anillo. Una medida es una función : R! [0; 1] que es -aditiva y (?) = 0: Observación 52 i) -aditiva implica (?) = 0; excepto en el único caso donde (A) = 1; 8A 2 R; esto porque si (A) < 1; entonces A = A [? [ [? [ 2 R ) (A) = (A) + (?) + ) (?) = 0: ii) La medida es aditiva nita. En efecto ns A j = A 1 [ [ A n [? [? [ 2 R; lo que implica que! ns A j = 1X (A j ) = nx (A j ) : 2.1 Propiedades de la medida La clase R será un anillo, a menos que se especi que lo contrario.

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 22 Teorema 53 Sea una medida sobre R: Entonces es a) Monótona; i.e., (A) (B) ; siempre que A; B 2 R y A B: b) Sustractiva; i.e., (BnA) = (B) (A) ; siempre que A; B 2 R; A B y (A) < 1: Teorema 54 Sea una medida sobre R: Si A 2 R y fa n g n1 R es tal que A S 1 A n; entonces 1X (A) (A n ) : Observación 55 No es necesario que S 1 A n 2 R: Teorema 56 Sea una medida sobre R: Entonces 1X (A n ) (A) ; siempre que A 2 R; fa n g n1 ; A n elementos de R; n 1; con S 1 A n A y A n \ A m =? 8n 6= m: Teorema 57 Sea una medida sobre R: Entonces 1 S A n = lím (A n ) ; n!1 para toda sucesión fa n g n1 de R; monótona creciente y tal que S 1 A n 2 R: Teorema 58 Sea una medida sobre R: Entonces 1 T A n = lím (A n ) ; n!1 siempre que fa n g n1 ; A n elementos de R; n 1; monótona decreciente, tal que T 1 A n 2 R y por lo menos existe m tal que (A m ) < 1:

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 23 Observación 59 Si para una sucesión fa n g n1 monótona. (A n ") o (A n #) denotamos De esta manera los teoremas anteriores nos dicen que lím A n = lím (A n ) : n!1 n!1 Entonces es continua por abajo y por arriba en A 2 R en el sentido de la siguiente: De nición 60 Una función : C! R es: a) Continua por abajo en A 2 C si para toda sucesión fa n g n1 de C tal que A n " A se tiene que lím (A n) = (A) : n!1 b) Continua por arriba en A 2 C si para toda sucesión fa n g n1 de C tal que A n # A y j (A m )j < 1 para algún m; se tiene que lím (A n) = (A) : n!1 Teorema 61 Sea una función nita, no-negativa y aditiva sobre el anillo R: Si a) la función es continua por abajo para toda A 2 R o b) la función es continua por arriba al?; entonces es medida sobre R: Observación 62 Debido a que es -aditiva, se cumple que (?) = 0.

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 24 2.2 Extensión de medida Consideremos : C! R y : D! R funciones cualesquiera. Si C D y (A) = (A) para toda A 2 C se dice que es una extensión de a D: Ejemplo 63 P = f(a; b] : a < bg es un semianillo y la función ((a; b]) = b a (la longitud de (a,b]) es nita y -aditiva. Más adelante veremos que tiene una única extensión a una medida sobre S (P) (-anillo). resulta que S (P) son los conjuntos de Borel. Objetivo: Extender la función : P! R a una medida sobre el -anillo S (P) : El método. Extender la función de P (semianillo) a R (P) (anillo) y luego de R (P) (anillo) a S (P) (-anillo). Teorema 64 Sea P un semianillo y : P! [0; 1] una función -aditiva tal que (?) = 0: Entonces se extiende a una única medida sobre el anillo R = R (P) : Ejercicio: Si la función es nita, entonces la medida lo es también. Si la función es - nita, entonces también lo es. 2.2.1 La medida exterior Usaremos la medida exterior para construir medidas con el n de extender una medida en un anillo a una en un -anillo.

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 25 De nición 65 Sea : 2 X! [0; 1] con (?) = 0 y X cualquier conjunto. La función se llama medida exterior si: a) Es monótona como función, i.e., (A) (B) ; 8A B: b) Es -subaditiva, i.e., 1 S E n 1X (E n ) ; para toda colección de subconjuntos, fe n g n1 de 2 X : Ejemplo 66 Si es medida en 2 X ; entonces es medida exterior. De nición 67 Un conjunto E se llama -medible si para todo A X; (A) = (A \ E) + (A \ E c ) : (2.1) Sea Para probar que E 2 S ; basta probar que S = E 2 2 X : E satisface (2.1) : (A) (A \ E) + (A \ E c ) ; 8A X: La colección S será una -álgebra y : S! [0; 1] una medida. Lema 68 Para todo E; F 2 S y A 2 2 X ; se tiene que a) (A) = (A \ E \ F ) + (A \ E c \ F ) + (A \ E \ F c ) + (A \ E c \ F c ) :

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 26 b) (A \ (E [ F )) = (A \ E \ F ) + (A \ E c \ F ) + (A \ E \ F c ) : c) siempre que E y F sean ajenos. (A \ (E [ F )) = (A \ E) + (A \ F ) ; Demostración. Como F 2 S ; entonces (A \ E) = (A \ E \ F ) + (A \ E \ F c ) y (A \ E c ) = (A \ E c \ F ) + (A \ E c \ F c ) ; y como E 2 S ; sustituimos ambas ecuaciones en (2.1) y obtenemos (a). Al sustituir A \ (E [ F ) por A en (a) se obtiene (b). Por último si E \ F =?; entonces E F c y F E c : Entonces (b) ) (c): Teorema 69 La colección S es una -álgebra y la restricción de a S es una medida. Demostración. Probaremos primero que S es álgebra. i) Por propiedad de simetría de la de nición de S ; tenemos que si E 2 S se sigue que E c 2 S : ii). Si E; F 2 S y A 2 2 X ; del Lema 68 (a) y (b) tenemos que (A) = (A \ (E [ F )) + (A \ (E [ F ) c ) : iii). X 2 S :

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 27 Luego S es álgebra. Ahora probaremos que S es una -álgebra. Por demostrar que si fe n g 1 S se cumple que 1[ E = E n 2 S : Podemos suponer, sin pérdida de generalidad que los E n s son ajenos, esto porque S es anillo y se puede particionar. Por inducción sobre n e inciso (c) del Lema 68! n[ A \ E i = nx (A \ E i ) : Sea F n = Entonces n[ E i : es claro que F n 2 S ; pues S es álgebra. (A) = (A \ F n ) + (A [ Fn) c ; n 1 nx = (A \ E i ) + (A \ Fn) c nx (A \ E i ) + (A \ E c ) (por monotonía), haciendo n! 1 se sigue que (A) 1X (A \ E i ) + (A \ E c ) (A \ E) + (A \ E c ) (por -subaditividad). Por lo tanto E 2 S : Veamos ahora que es medida en S :

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 28 1[ Sea E = E i ; E i s conjuntos ajenos que pertenecen a S : Entonces 1X (A) = (A \ E i ) + (A [ E c ) ; 8A: la prueba termina tomando A = E; pues el segundo término se hace cero y 1X (E) = (E i ) : 2.2.2 El Teorema de extensión De nición 70 Sea : R! [0; 1] medida y E 2 2 X : De nimos : 2 X! [0; 1] como 8 ( ) 1P 1[ >< ínf (E n ) : E E n ; E n 2 R (E) = >: +1; cuando no se puede cubrir a E: Teorema 71 La función es una medida exterior y es una extensión de : Demostración. Dividiremos la demostración en tres pasos: i) es una extensión. Sea E 2 R; E = E [? [? [ ; entonces (E) (E) + (?) + (por de nición de ) 1[ Ahora, si E 2 R; E E n ; E n 2 R; se tiene que 1X (E) (E n ) (Teorema 56)

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 29 (E) (E) (por de nición de ) (E) = (E) 8E 2 R: En particular (?) = 0: ii) es monótona. Sea E F: Cualquier sucesión ff n g 1 F que cubre a F; cubre a E: Entonces (E) (F ) : Si F no se puede cubrir, entonces (F ) = 1 y la desigualdad es clara. iii) es -subaditiva. Sea fe n g 1 2X con (E n ) < 1: Por de nición de ; dado " > 0; para cada n existe fe mn g 1 m=1 R tal que 1[ E n m=1 E mn y 1X m=1 (E mn ) (E n ) + " 2 n : Notemos que [ 1[ fe mn : n = 1; 2; :::; m = 1; 2; :::g E := E n : Entonces 1X 1X (E) (E mn ) Haciendo "! 0; se prueba lo deseado. m=1 1X (E n ) + ": Lema 72 Probar que S (R) S ; donde S es la -álgebra de los conjuntos -medibles respecto a la medida exterior de la De nición 70. Demostración. Ejercicio. Teorema 73 Sea : R! [0; 1] una medida. Entonces existe una medida : S (R)! [0; 1] tal que se extiende a sobre S (R) : Si es - nita sobre R; entonces la extensión es - nita y única.

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 30 Demostración. Suponga que es - nita en R: Sean 1 ; 2 : R! [0; 1] medidas tales que extienden a ; i.e., Fijar A 2 R tal que (A) < 1 y sea 1 (E) = 2 (E) = (E) ; 8E 2 R: D = fe 2 S (R) : 1 (A \ E) = 2 (A \ E)g : i) E; F 2 D; F E; entonces 1 ((EjF ) \ A) = 1 (E \ A) 1 (F \ A) = 2 (E \ A) 2 (F \ A) = 2 ((EjF ) \ A) : ii) Si fe n g 1 D y ajenos, entonces 1! [ 1 E n \ A = = 1X 1 (E n \ A) 1X 2 (E n \ A) 1! [ = 2 E n \ A : En consecuencia D es cerrado bajo diferencias propias y unión numerable de ajenos, esto es, D es una D-clase. Obsérvese que R D: Entonces D (R) D: Por otra parte, D (R) = S (R) (ver Teorema 44). Entonces D S (R) ; así 1 (E \ A) = 2 (E \ A) ; 8E 2 S (R) :

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 31 Dado que D (R) = S (R) y por la - nitud de en R: Si E 2 S (R) ; entonces existen E n 2 R; 1[ E E n y (E n ) < 1: (2.2) Podemos tomar los E n s ajenos, E = 1 S (E \ E n ) ; y los (E \ E n ) s son ajenos. 1 (E \ E n ) = 2 (E \ E n ) ; n 1 Entonces 1X 1X 1 (E) = 1 (E \ E n ) = 2 (E \ E n ) = 2 (E) : Luego, la extensión es única. Que es - nita es precisamente (2.2). Teorema 74 (Teorema de extensión de Carathéodory). Sea P un semianillo y : P! [0; 1] una función -aditiva y (?) = 0: Entonces existe una medida : S (P)! [0; 1] que es una extensión de sobre P: Si es - nita en P; entonces la extensión es única y - nita en S (P) : Demostración. Paso I: se extiende a sobre R (P) y por paso II: se extiende a sobre S (R (P)) = S (P) : La extensión es única pero no. Como es - nita, por ejercicio es - nita sobre R (P) y entonces es - nita sobre S (R (P)) :

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 32 2.2.3 Ejemplo: Medida de Lebesgue Teorema 75 Existe una única medida en la -álgebra de Borel B (R) tal que ((a; b]) = b a; 8a < b: La medida es - nita y se llama la medida de Lebesgue en B (R) : Observación 76 Sea la medida de Lebesgue en B (R) : (a) (fag) = 0: Sea A n = (a 1 n ; a]; (A n) = 1 n < 1; A n # fag ) (A n )! (fag) ) 1! 0 ) (fag) = 0: n (b) Si A 2 B (R) es numerable, entonces (A) = 0; por -aditividad. En particular (Q) = 0 y (I) = 1: (c) La medida de lebesgue de un intervalo acotado es su longitud. ((a; b]) = b a: ([a; b]) = (fag [ (a; b]) = b a: (a; b] = (a; b) [ fbg ) ((a; b]) = ((a; b)) + (fbg) ) ((a; b)) = b a: (d) La medida es - nita en P; R (P) y S (P) y S : 2.2.4 Invariancia bajo traslaciones de la medida de Lebesgue De nición 77 Si A R y x 2 R; entonces la traslación de A por x se de ne como el conjunto x A = fx + a : a 2 Ag :

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 33 Ejemplo 78 Sea la medida de Lebesgue. Entonces (x I) = (I) ; I = (a; b]; (a; b); [a; b); [a Teorema 79 Si E R y x 2 R; entonces (x E) = (E) : Demostración. Si E S 1 E i; E i 2 S ; entonces x E S 1 (x E i) : Además, debido a que 1X (E i ) = 1X (x E i ) ; lo que implica que ( 1 ) X S (x E) inf (x E i ) : x E 1 E i ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (E i ) : x E 1 E i ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (E i ) : E 1 K i ; K i 2 S = (E) : (K i = ( x) E i ; K i 2 S :) Ahora ( 1 ) X S (E) inf (E i ) : E 1 E i ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (x E i ) : x E x 1 E i ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (x E i ) : x E 1 (x E i ) ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (x E i ) : x E 1 I i ; I i 2 S = (x E) :

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 34 (I i = x E i ; I i 2 S :) Por lo tanto (x E) = (E) : Ejercicio 80 Sean A y B subconjuntos de R y z 2 R: Entonces (z A) \ B = z fa \ [( z) B]g y x B c = (x B) c : Teorema 81 Si E 2 B (R) y x 2 R; entonces x E 2 B (R) y (x E) = (E) : Demostración. Dado que es invariante bajo traslaciones, tenemos ([( x) A] \ B) = (( x) [A \ (x B)]) = (A \ (x B)) : (2.3) Ahora, sea E 2 B (R) ; sustituyendo B por E y por E c en (2.3), respectivamente,se obtiene que (A) = (( x) A) = ([( x) A] \ E) + ([( x) A] \ E c ) = (A \ (x E)) + (A \ (x E c )) = (A \ (x E)) + (A \ (x E) c ) ;

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 35 para todo A 2 2 R : Por lo tanto x E 2 B (R) y por lo anterior (x E) = (E) = (E) : Ejercicio 82 Para un subconjunto E de R y a; b 2 R; a 6= 0; de namos T (E) = ae + b = fax + b : x 2 Eg : 1) T (E) 2 B (R) si, y sólo si, E es de Borel. 2) Si es la medida de Lebesgue en B (R) ; entonces (T (E)) = jaj (E) : 2.2.5 Un conjunto no Boreliano Teorema 83 Existe un subconjunto en R que no pertenece a B (R). De namos una relación de equivalencia en R por x y () x y 2 Q: Esta relación particiona a R en clases de equivalencia [x] = fx + q : q 2 Qg : Claramente cada clase de equivalencia contiene a un punto de [0; 1] : Sea V [0; 1] un conjunto con exactamente un punto de cada clase de equivalencia (dicho conjunto existe, por el axioma de elección).

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 36 Para todo q i 2 Q\ [ 1; 1] ; de namos V i = q i V: Observemos que [0; 1] S V i [ 1; 2] : (2.4) i2n Para ver que la primera inclusión es válida, notemos que si x 2 [0; 1] ; debe de existir y 2 V tal que x 2 [y] ~ : (debido a que x debe de pertenecer a alguna clase de equivalencia y de la de nición de V éste contiene un elemento de cada clase de equivalencia). Entonces x y = q i ; para algún q i 2 Q\ [ 1; 1] y así x 2 q i V: Observemos también que V i \ V j =? si i 6= j; (2.5) de no ser así para algún y; z 2 V; y 6= z implica que y + q i = z + q j! lo cual es imposible por la elección de V: Demostración del Teorema 83. Supongamos que V es medible. Entonces también lo es V n ; n = 1; 2; ::: y S i2n V i: Por (2.4) y la monoticidad de la medida de Lebesgue tendremos S 1 = ([0; 1]) V i ([ 1; 2]) = 3: (2.6) i2n Por invariancia bajo traslaciones de tenemos que 0 < (V i ) = (V ) : (2.7) Por lo tanto, debido a que los V i son ajenos y por -aditividad tenemos que lo cual es una contradicción de (2.6). S V i = X (V i ) = X (V ) = +1!; i2n i2n i2n En consecuencia el conjunto V no puede ser medible.

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 37 2.3 Medida de Lebesgue-Stieltjes De nición 84 Una función F : R! R se llama función de distribución si es nodecreciente y continua por la derecha. Teorema 85 (Caracterización de medidas en B (R)): a) Sea F una función de distribución. Entonces existe una única medida (- nita) F en la -álgebra de Borel B (R) tal que F ((a; b]) = F (b) F (a) ; 1 < a < b < 1: b) Recíprocamente si es una medida en B (R) tal que ((a; b]) < 1 para todo 1 < a < b < 1; entonces existe una función de distribución F tal que = F : c) La función F es única módulo una constante aditiva. Demostración. Sea S = f(a; b]; (c; 1); ( 1; d]; ( 1; 1) : a < b 2 Rg : La colección S es una semi-álgebra. Por el Teorema de Carathéodory (Teorema 74) para demostrar (a) tenemos que probar que F es -aditiva en la semi-álgebra S : si (a i ; b i ]; i 1 son ajenos F S (a i ; b i ] = 1X F ((a i ; b i ]) : Lema 86 Sea E 0 2 S y fe n g n1 una sucesión de intervalos ajenos en S tal que E i E 0 ; para todo i 1: Entonces 1X F (E i ) F (E 0 ) :

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 38 Demostración. Si F (E 0 ) = 1; la demostración termina. Supongamos que F (E 0 ) < 1: Sea n jo, entonces nx nx F ((a i ; b i ]) = [F (b i ) F (a i )] F (b 0 ) F (a 0 ) = F (E 0 ) : Así, tomando el límite tenemos 1X F ((a i ; b i ]) F (E 0 ) : Lema 87 Si S [a 0 ; b 0 ] n (a i ; b i ) ; entonces nx F (b 0 ) F (a 0 ) [F (b i ) F (a i )] : Demostración. Ejercicio (utilizar -subadtividad de F ). Lema 88 Si E 0 2 S ; E i 2 S ; i 1 y E 0 S 1 E i; entonces 1X F (E 0 ) F (E i ) : Demostración. Supongamos que F (E 0 ) < 1: Siempre podemos tomar E i s de longitud nita (E i = (a i ; b i ]; 1 < a i < b i < 1). Sea " > 0, tal que, 0 < " < F (b 0 ) F (a 0 ) : Por ser F continua por la derecha, elegimos i tal que F (b i + i ) < F (b i ) + " ; i = 1; 2; ::: 2i

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 39 Entonces S [a 0 + "; b 0 ] 1 (a i ; b i + i ): Por el Teorema de Heine-Borel existe un n tal que Entonces por el Lema 87. S [a 0 + "; b 0 ] n (a i ; b i + i ): F (b 0 ) F (a 0 + ") (F es no decreciente) = nx [F (b i + i ) F (a i )] 1X [F (b i + i ) F (a i )] 1X [F (b i + i ) F (b i ) + F (b i ) F (a i )] 1X F ((a i ; b i ]) + 1X " 2 i : Por lo tanto F (b 0 ) + F (a 0 + ") Si " # 0 y por continuidad por la derecha de F 1X F ((a i ; b i ]) + ": F ((a 0 ; b 0 ]) = F (b 0 ) F (a 0 ) 1X F ((a i ; b i ]) : Volviendo a la demostración del Teorema 85-(a): Si E i 2 S ; i 1 son ajenos y S 1 E i = E 0 2 S ; por los Lemas 86 y 88 tenemos que F (E 0 ) = 1X F (E i ) ;

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 40 es decir, F es -aditiva en S : Ahora, F es - nita en S ya que todo E 2 S F (E) = 1X F (E i ) ; F (E i ) < 1; E i ajenos, E i = (a i ; b i ]; 1 < a i < b i < 1: Por Carathéodory (Teorema 74) se desprende que existe una única medida F en (S ) = B (R) tal que F ((a; b]) = F (b) F (a) : Demostración Teorema 85-(b): Sea una medida en B (R) tal que (E) < 1; para todo E 2 S : De namos 8 < F (x) = : ((0; x]) ; x 0 ((x; 0]) ; x < 0: La función es una medida, lo que implica que F es no decreciente. Además, F es continua por la derecha: Sea x 0 y h n # 0: Entonces (0; x + h n ] # (0; x]: Por el Teorema de continuidad de medida (Teorema 58) ((0; x]) = lím ((0; x + h n ]) ; n!1 es decir F (x) = lím F (x + h n ) : n!1 Por otro lado F ((a; b]) = F (b) F (a) = ((a; b]) : ( es - nita en S ).

Capítulo 2. La medida y sus propiedades 41 La unicidad se sigue por Carathéodory (Teorema 74) F = en B (R) : Demostración Teorema 85-(c): Si G es otra función de distribución tal que G = ; entonces para todo x 2 R G (x) G (0) = F (x) F (0) : En consecuencia F = G + C: Observación 89 a) F (fag) = F (a) F (a ) ; pues F (fag) = lím 1 F (a ; a] n!1 n = lím F (a) F a 1 n!1 n = F (a) F (a ) : b)si F es continua en a 2 R; entonces F (fag) = 0: c) F ((a; b)) = F (b ) F (a) ; F ([a; b)) = F (b ) F (a ) : d) F (x) = x nos da la medida de Lebesgue (única en B (R) que a cada intervalo acotado le asigna su longitud) e) Si F (+1) = 1 y F ( 1) = 0; entonces F es una medida de probabilidad en B (R) :

Capítulo 3 Funciones medibles y variables aleatorias 3.1 Espacios de medida y espacios medibles (X; S ) es un espacio medible si X es un conjunto no-vacío y S es una -álgebra. (X; S ; ) es un espacio de medida si (X; S ) es un espacio medible y es una medida en S : (X; S ; ) es un espacio de probabilidad si es un espacio de medida y (X) = 1: Denotemos por B R la -álgebra que contiene a a) B (R) b) f 1g ; f+1g Ejercicio. Prueba que B R = B; B [ f+1g ; B [ f 1g ; B [ f+1g [ f 1g : B 2 B R :

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 43 Convenciones algebraicas Si 1 < a < 1 1 a = 1 1 a = 1 (1) (0) = 0 (1) = 0: Si a > 0; a (1) = 1; a ( 1) = 1 Si a < 0; a (1) = 1; a ( 1) = 1: 1 + 1 = 1; 1 1 = 1: No permitiremos 1 1 ni 1 + ( 1) : 3.2 Transformaciones y funciones medibles Imagen inversa transforma conjuntos T : X! Y (T x 2 Y; x 2 X) T 1 G = fx 2 X : T x 2 Gg ; G Y: Lema 90 Sea T una transformación de X en Y y G; H; G i ; i = 1; 2; ::: subconjuntos de Y: Entonces

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 44 i) T 1 (GnH) = T 1 GnT 1 H (T 1 (?) =?) 1! [ 1[ ii)t 1 G i = T 1 G i 1! \ 1\ iii)t 1 G i = T 1 G i iv) T 1 G c = (T 1 G) c Lema 91 Sea T : X! Y y sea T un -anillo de Y: Entonces T 1 T = T 1 G : G 2 T : es un -anillo de X: T 1 T es una -álgebra si T es una -álgebra y si T está de nida en todo X: Demostración. Use Lema 90 i), ii). Lema 92 Sea (X; S ) un espacio medible y T : X! Y una transformación. Entonces T = G : T 1 G 2 S ; es un -anillo. Demostración. Trivial. De nición 93 Sean (X; S ) y (Y; T ) espacios medibles y T : X! Y: Se dice que T es S jt -medible si T 1 T S ; es decir, T 1 G 2 S ; para todo G 2 T ; es decir la imagen inversa de un medible es medible. De nición 94 Si Y = R y f : X! R decimos que f es medible si f es S jb R -medible.

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 45 De nición 95 Si (X; S ; ) es un espacio de probabilidad las funciones medibles se llaman variables aleatorias. Teorema 96 Sean (X; S ) ; (Y; T ) espacios medibles y T una transformación de X en Y: Sea G una clase de subconjuntos de Y tal que S (G ) = T (-anillo generado por G ): Entonces T es S jt -medible si, y sólo si, T 1 G 2 S ; para todo G 2 G : Demostración. Si T es S jt -medible, claramente T 1 G 2 S ; 8G 2 G : (3.1) Recíprocamente. Supongamos que se cumple (3.1) y que S (G ) = T y sea D = G Y : T 1 G 2 S : Por el Lema 92, D es un -anillo y, por hipótesis, G D; por lo tanto S (G ) = T D: Entonces T 1 G 2 S ; 8G 2 T : Luego T es S jt -medible. Teorema 97 Sea (X; S ) un espacio medible y f : X! R: Entonces f es una función medible si, y sólo si, a) f 1 (f 1g) 2 S ; f 1 (f1g) 2 S y a 1 ) f 1 (B) 2 S ; para todo B 2 B (R) ; o a 2 ) fx 2 X : 1 < f (x) ag = f 1 (( 1; a]) 2 S ; para todo a real.

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 46 Observación 98 La condición (a 2 ) se puede sustituir por f 1 ( 1; a) 2 S ; para todo a 2 R; o f 1 ([a; 1)) 2 S ; para todo a 2 R; o f 1 (a; 1) 2 S ; para todo a 2 R; y a 2 R se puede sustituir por a 2 Q: Demostración. Ejercicio. Ejemplos de funciones medibles (X; S ) espacio medible. 1) f (x) = k; para todo x 2 X es medible. Si a k; f 1 (a; 1) =? 2 S : Si a < k; f 1 (a; 1) = X 2 S : 2) La función indicadora o característica de un conjunto E X: 8 < 1; x 2 E; E (x) = 1 E (x) = : 0; x =2 E: 1 1 E (a; 1) = 8 >< >:?; a > 1; E; 0 < a < 1; X; a 0: 1 E es medible si, y sólo si, E 2 S :

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 47 Esto nos permite construir una función no medible, tomando 1 E : R! R; donde E R es no-medible. 3) Si f : X! R es continua, entonces f es medible. f 1 (a; 1) es un abierto ya que (a; 1) es abierto y f es continua. En general f 1 (O X ) O Y si f es continua, f : X! Y: 4) Si X = R; S = B (R) ; entonces cualquier función monótona es medible. Supongamos que f es monótona creciente 8 < (b; 1) 2 B (R) ; f 1 (a; 1) = : [b; 1) 2 B (R) ; para algún b 2 R: Lema 99 Sea (X; S ) un espacio medible y f; g : X! R funciones S jb (R)-medibles. Entonces las siguientes funciones son medibles: (a) cf; para todo c 2 R; (b) f 2 ; (c) f + g; (d) fg; f n para todo n 1; (e) jfj : Demostración. (a) Si c = 0; es trivial. Si c > 0; fx 2 X : cf (x) > ag = n x 2 X : f (x) > c o 2 S ; a ya que f es medible. El caso c < 0 es similar. (b). Si a < 0; x 2 X : f 2 (x) > a = X 2 S : Si a 0 x 2 X : f 2 (x) > a = x 2 X : f (x) > p a [ x 2 X : f (x) < p a ;

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 48 dado que f es medible se tiene que fx 2 X : f (x) > p ag 2 S y fx 2 X : f (x) < p ag 2 S y así se sigue que f 2 es medible. (c) Para r 2 Q; S r = fx 2 X : f (x) > rg \ fx 2 X : g (x) > a rg 2 S ; dado que f y g son medibles. Además fx 2 X : f (x) + g (x) > ag = S S r 2 S ; por lo tanto f + g es medible. (d) En virtud de que r2q fg = 1 4 (f + g) 2 (f g) 2 ; y utilizando (a), (b) y (c) se tiene que fg es medible. Asimismo, f n es medible para todo n 1: (e) Si a < 0; fx 2 X : jf (x)j > ag = X 2 S : Si a > 0; fx 2 X : jf (x)j > ag = fx 2 X : f (x) > ag [ fx 2 X : f (x) < ag 2 S ; lo anterior es porque f es medible. Observación 100 i) Puede ser que jfj sea medible y f no lo sea. e.g. sea E =2 B (R) : 8 < 1; x 2 E; f (x) = : 1; x =2 E; f (x) no es Borel medible y sin embargo la función jfj = 1 sí es Borel medible.

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 49 ii) Si f; g : X! R entonces (a) ; (b) y (e) en el lema anterior se cumplen. (ejercicio) iii) fg también es medible A f = fx : f (x) = +1g 2 S B f = fx : f (x) = 1g 2 S C f = A f [ B f : iv) f + g puede estar no de nida. Sin embargo la función 8 < f (x) + g (x) ; x =2 C f [ C g ; h (x) = : 0; x 2 C f [ C g ; es medible y C f [ C g 2 S : Proposición 101 Sea f : X! R y f + (x) = max ff (x) ; 0g 0 y f (x) = max f f (x) ; 0g 0: Entonces a) f = f + f : b) jfj = f + + f : c) f + = 1 (jfj + f) y f 2 = 1 (jfj 2 f) : d) f + y f son medibles si, y sólo si, f es medible. Demostración. Los incisos (a), (b) y (c) son triviales. (d). Si f es medible, entonces jfj es medible; por (c) f + y f son medibles. Si f + y f son medibles, por (a), f es medible. Observación. La proposición anterior es cierta si f : X! R: Lema 102 Sea f n : X! R una sucesión de funciones medibles y f (x) = ínff n (x) ; n F (x) = sup f n (x) ; n

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 50 f (x) = límf n (x) ; F (x) = límf n (x) : n n Entonces f; F; f ; F : X! R son medibles. Demostración. La demostración se sigue de las siguientes observaciones fx 2 X : f (x) ag = 1 T fx 2 X : F (x) > ag = 1 S fx 2 X : f n (x) ag ; fx 2 X : f n (x) > ag ; f (x) = sup ínf f n (x) ; F (x) = ínf sup f n (x) : n1 mn n1 mn Corolario 103 Sea f n : X! R una sucesión de funciones medibles tal que 1 f n! f: Entonces f es medible. Corolario 104 Sean f; g : X! R medibles, entonces fg es medible. Demostración. Sea 8 f (x) ; jf (x)j n; >< f n (x) = n; f (x) > n; >: n; f (x) < n; 8 g (x) ; jg (x)j m; >< g m (x) = m; g (x) > m; >: m; f (x) < m: Entonces para todo n 1; f n ; g n : X! R y es fácil ver que son medibles y f n! f y g m! g: Además, por el Lema 99 (d), f n g m son funciones medibles. Por el Corolario 103, 1 lím n!1 f n (x) = f (x) ; x 2 R:

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 51 para todo n 1; f n g = f n lím g m es medible, y de nuevo, por el Corolario 103 fg = lím f n g m!1 n!1 es medible. Observación 105 Se dice que una función g : X! R es simple si existen k; A i 2 S ; k[ a i 2 R; i = 1; 2; :::; k: Los A i s son ajenos tales que X = A i y g (x) = P k a i1 Ai (x) : Teorema 106 ( Teorema de aproximación) Sea f una función medible no-negativa. Entonces existe una sucesión f n de funciones simples reales no-negativas medibles tal que 2 f n " f: Demostración. Sea n jo. Para k = 0; 1; :::; n2 n 1 sean E k;n = x 2 X : k2 n f (x) < (k + 1) 2 n ; y para k = n2 n Ek;n = fx 2 X : f (x) ng : E k;n 2 S para todo k; ya que f es medible, además los E k;n son ajenos X = n2n S k=0 E k;n : Sea Observemos que f n : X! R: f n (x) = 1 X n2n k1 2 n Ek;n (x) : k=0 Entonces f n cumple lo deseado (ejercicio). 2 Para todo n 1, f n (x) f n+1 (x) ; para todo x 2 R y lím n!1 f n (x) = f (x) :

Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 52 3.3 Variables aleatorias Sea (; F ; P ) un espacio de probabilidad. Una función X :! R es variable aleatoria si es una función medible. Sea F (x) = P (X x) = P (f! : X (!) xg) : Entonces F (x) es una función de distribución y F (+1) = 1; F ( 1) = 0 (Función de distribución de probabilidad). Teorema 107 Dada una función de distribución de probabilidad F; existe un espacio de probabilidad (; F ; P ) y una variable aleatoria X en (; F ; P ) tal que X tiene distribución F; es decir F (x) = P (X x) ; para todo x 2 R: Demostración. Sea = R; F = B (R) y F la medida en (R; B (R)) tal que F ((a; b]) = F (b) F (a) : Sea P = F y X :! R de nida por X (!) =!: Claramente X es variable aleatoria y P (X x) = F (( 1; x]) = F (x) : P () = 1:

Capítulo 4 Integración Sea (X; A ; ) un espacio de medida. De namos Nos preguntamos De nición 108 Una función ' : X Representación estándard: : X! [0; 1] ; f : X! [ 1; 1] ; A -medible. X X fd = fd?! fd: fd:! R es simple si toma un número nito de valores. ' (x) = donde los a 0 js son distintos y A j 2 A son ajenos y X = S n A j: nx a j 1 Aj (x) ; (4.1)

Capítulo 4. Integración 54 Observación 109 Existen muchas representaciones para ': Ejemplo 110 ' (x) = 3 1 [1;3] (x) + 2 1 [2;4] (x) = 3 1 [1;2) (x) + 5 1 [2;3] (x) + 2 1 [3;4] (x) : La integral con respecto de de ' 0 se de ne por 'd = Nota: R 'd 2 [0; 1] : nx a j (A j ) : Lema 111 (Linealidad). Sean '; funciones simples no negativas y c 0; a) R c'd = c R 'd; R (' + ) d = R 'd + R d: b) : A! [0; 1] de nida por (A) = '1 A d; es medida en X: Notación. R '1 A d = R A 'd: Demostración. El caso c = 0 es obvio. Sea c > 0: Entonces c = nx c j 1 Aj (r.e. = representación estándard). Luego, cd = nx c j (A j ) = c d:

Capítulo 4. Integración 55 Sea (x) = P n j1 Bj (x) su r.e. dada por (4.1). Podemos representar ( + ) (x) = nx mx k=1 j + k 1Aj \B k (x) : Sean c i ; i = 1; :::; p los distintos números del conjunto j + k : j = 1; :::; n; k = 1; :::; m : I i = (j; k) : j + k = c i ; A j \ B k 6=? D i = S (A j \ B k ) ; i = 1; :::; p: (j;k) (D i ) = P (j;k)2i i (A j \ B k ) y + = ( + ) d = = = = px c i 1 Di es la r.e. dada por (4.1). px px X c i (D i ) = c i (A j \ B k ) nx mx k=1 nx j (A j ) + d + (j;k) j + k (Aj \ B k ) mx k (B k ) r.e. de ; : k=1 d: b) 1 A = P n j1 Aj \A: (A j \ A) \ (A k \ A) =?; j 6= k:

Capítulo 4. Integración 56 Por linealidad e inducción nita 1 A d = = = nx j 1 Aj \Ad nx j (A \ A j ) nx j j (A) ; es una combinación lineal nita de medidas. Consideremos una función f medible no negativa. De nición 112 Sea f : X! [0; 1] medible. De nimos fd = sup 'd : 0 ' f; ' simple : Nota. R fd 2 [0; 1] : R f1 A d = R A fd: Lema 113 a) 0 f g; entonces R fd R gd: b) Si A B; A; B 2 A ; entonces R A fd R B fd: Demostración. (a) 0 ' f ) 0 ' g: (b) Aplicar inciso (a) a f1 A f1 B : Teorema 114 (Teorema de convergencia monótona). Suponga que 0 f n " f: Entonces (i.e., R f n d " R fd): fd = lím n!1 f n d:

Capítulo 4. Integración 57 Nota. No se pide convergencia en ambos lados. Demostración. Tenemos que f es medible, ya que f n (x)! f (x) 8x 2 X: Como f n f; para toda n; se sigue que f n d fd; así lím f n d fd: Sea 0 < " < 1; y sea 0 ' f simple. De namos A n = fx 2 X : "' (x) f n (x)g : Luego, A n 2 A ; A n A n+1 ; 1S A n = X: Si x 2 X entonces "' (x) < ' (x) f (x) : Lo que implica que existe n tal que "' (x) f n (x) : Así Por otro lado "'d A n f n A n 'd = = f n d: '1 X d '1 S 1 d A n (monotonía de la medida) = lím 'd: n!1 A n Entonces " 'd lím n!1 f n d;

Capítulo 4. Integración 58 haciendo "! 1 se obtiene que 'd lím n!1 f n d: Corolario 115 Sean f; g : X! [0; 1] y c 0: Entonces a) cfd = c fd: b) (f + g) d = fd + gd: Demostración. a) el caso c = 0 es obvio. Si c > 0; sean 0 ' n f; tal que ' n ' n+1 ; ' n s simples y ' n % f: ( Teorema de aproximación 106) Tenemos que c' n % cf; c' n s simples. Entonces cfd = lím n!1 c' n d = c fd: Para la primera igualdad se utilizó el Teorema de convergencia monótona (T.C.M. 114) y para obtener la segunda igualdad se utilizó la linealidad de la integral, Lema 111. b) Si 0 n % g; n s simples (f + g) d = lím (' n + n ) d (T.C.M. 114) n!1 = lím ' n d + lím n!1 n!1 nd (linealidad, Lema 111) = fd + gd (T.C.M. 114).

Capítulo 4. Integración 59 Corolario 116 Sean g n 0: Entonces X 1 1X g n d = g n d: Demostración. Aplicar T.C.M. a nx 1X f n = g j % g j : Lema 117 (Lema de Fatou) Sean f n 0; n 1: Entonces límínff n límínf f n d: Demostración. Sea g n = ínf ff n ; f n+1 ; :::g : Notemos que g n %liminf f n : Entonces, por el T.C.M. 114 g n d % liminff n d: (4.2) Por otro lado, g n f m ; 8m n; entonces Por (4.2) y (4.3) se sigue que g n d f m d; 8m n; g n d f m d: (4.3) ínf mn liminff n d liminf f n d:

Capítulo 4. Integración 60 Corolario 118 Sea f : X! [0; 1] : a) b) (A) = fd es medida en A : A f (x) = 0; -c.t.p 1. si, y sólo si, fd = 0: Demostración. a) (A) 0; pues f lo es. (?) = R f1? d = 0: Para probar -aditividad, considerar A 1 ; A 2 ; :::; en A con A = 1 S De namos la sucesión monótona-creciente a f1 A por f n = P n f1 A j : Dado que f n % f1 A ; por el TCM 114 (A) = f1 A d = lím n!1 f n d = lím n!1 nx b) De namos A = fx : f (x) > 0g ; A n = x : f (x) > 1 : n S Observemos que A = 1 A n y f (x) 1 1 n A n (x) 8x 2 X: Si R fd = 0 ) 0 1 n (A n) ; 8n: Entonces (A) = 0; lo cual implica que f (x) = 0 -c.t.p.. Si (A) = 0; de nimos f n = n1 A : f1 Aj d = A j y A i \ A j =?; j 6= k: 1X (A j ) : liminff n (x) = sup n1 inf m1 A (x) f (x) ; 8x 2 X: mn 0 fd liminff n d liminf f n d (Fatou, Lema 117). = liminfn (A) = 0; pues (A) = 0:

Capítulo 4. Integración 61 Corolario 119 El T.C.M. (Teorema 114) sigue siendo válido si reemplazamos 0 f n " f (puntualmente) por 0 f n " f -c.t.p. Ejemplo 120 (Desigualdad estricta en el Lema de Fatou: Lema 117). Sea = (la medida de Lebesgue). f n (x) = 1 [n;n+1] (x)! f (x) = 0; 8x 2 R; y observe que f n d = 1 > fd = 0: Ejemplo 121 (No se aplica el Lema de Fatou) Sea = (la medida de Lebesgue). f n (x) = 1 n 1 [0;n] (x)! f (x) = 0 (uniformemente). R fd = 0 > 1 = R fn d; 8n = límínf R f n d: Ejemplo 122 (No se aplica el T.C.M. Teorema 114). Consideremos f n (x) = 1 [n;1] (x) " f (x) = 0: Pero f n d = 1 < fd = 0: Ejemplo 123 El T.C.M. (Teorema 114) y el Lema de Fatou (Lema 117) es válido para funciones negativas 1 < f 1 d:

Capítulo 4. Integración 62 De nición 124 Una función f : X! R medible es integrable con respecto a si f + d < 1 y f d < 1: Y en este caso de nimos R fd = R f + d R f d: Notación. Cuando f es (Lebesgue) integrable, escribimos f 2 L = L (X; A ; ) : fd = f1 A d; 8A 2 A : A Observación 125 a) f + ; f : X! R + : b) R fd < 1 c) Si f = f 1 f 2 ; f 1 ; f 2 : X! R + y R f 1 d < 1; R f 2 d < 1: Entonces f + f = f 1 f 2 ) f + + f 1 = f 2 + f ) R f + d + R f 1 d = R f 2 d + R f d (linealidad) R fd = R f 2 d R f 1 d ( nitud). d) : A! R de nida por (A) = fd; (f 2 L ); A es una medida signada. i) (?) = f + 1? d f 1? d = 0: ii)!! 1S 1S A j = + A j! 1S A j ;

Capítulo 4. Integración 63 donde A j 2 A ; A j s son mutuamente ajenos y + (A) = f + 1 A d; (A) = f 1 A d: Así! 1S A j = = = = 1X + (A j ) 1X (A j ) 1X + (A j ) (A j ) 1X 1X (A j ) : f + 1 A d f 1 A d e) fd = A 1X S 1 Aj fd; 8A = 1 A j ; A j 2 A ; A j s son mutuamente ajenos. Teorema 126 La función f es integrable si, y sólo si, jfj es integrable. Demostración. La función f es integrable si, y sólo si, f + d < 1 y f d < 1; lo anterior es cierto si, y sólo si, f + y f son integrables, de nuevo si, y sólo si, jfj + = jfj = f + + f ; {z } integrables