1 CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

1 CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE LA PARTÍCULA CNTENIDS BÁSICS 1 Paícula o puno maeial Cinemáica de la paícula 3 Ineacciones ene paículas 4 Momeno de una fueza 5 Momeno angula 6 Tabajo y enegía Foogafía del dibujo de una máquina, con divesos componenes mecánicos que se encuena en el Deusches Museum. München (Adjunamos una foo que sobe el paicula, ealizamos nosoos hace iempo en el ciado Museo). 7 Enegía poencial 8 Consevación de la enegía TEMA DE AMPLIACIÓN 9 Fuezas de inecia INFFÍSICA Populsión y Cohees. En la figua se epesena el dibujo de una máquina, fomada po un conjuno de componenes mecánicos acoplados, como ejes, enganajes, uedas divesas y un onillo de Aquímedes (sin fin) empleado paa eleva el agua. En la pae supeio lleva un deposio con agua que sale po el caño siuado a la izquieda, ansfomando su enegía poencial en cinéica que al incidi sobe la ueda de paleas la pone en movimieno y a avés del eje se ansmie el movimieno a las uedas veicales que pemien abaja al aesano. A su vez, el movimieno del eje mediane un enganaje y una ueda denada, hace gia el onillo sin fin que asciende de nuevo el agua evacuada al deposio. El popósio de esa máquina es funciona indefinidamene, sin embago con ese diseño esula imposible, pues el abajo que hace el aesano es a cosa de la enegía poencial del agua que cae, de modo que iá ascendiendo cada vez menos agua y acabaá paándose. Además hay oos moivos, sabes cuáles?. El esudio y las aplicaciones de la Mecánica se inician ya en la anigüedad, coninúan en la Edad Media y el Renacimieno, gacias al esfuezo imaginación y enacidad de muchas menes a lo lago de los siglos. Suge enonces la figua de Galileo que inoduce la expeimenación, como faco fundamenal paa la compobación de las hipóesis cieníficas. En el siglo XVII Newon fomula un compleo aado sobe la Mecánica en su oba Pincipios Maemáicos de la Filosofía Naual y su Sisema del Mundo y se complea el esudio de la Mecánica Clásica con oas impoanes apoaciones, siendo las más significaivas las de Lagange y Hamilon. 1

1. Paícula o puno maeial La Física se ocupa de los objeos de la naualeza o de los debidos al ingenio humano, aando de enende las leyes que los gobienan, paa pedeci su compoamieno. Po ejemplo paa ponosica la ayecoia de un planea o poyeca un feocail en el que podamos confia, sin embago los poblemas eales son muy complicados y es necesaio simplificalos paa pode abodalos. Paa descibi el movimieno del planea en el sisema sola, no es peciso considea lo que ocue en su ineio y pasaemos po alo los elemenos físicos que no influyen en el poblema. Inoducimos ahoa el concepo de paícula como un objeo de dimensiones muy pequeñas, fene aquellas que caaceizan a su ayecoia y en cuyo movimieno no cabe disingui ni oaciones, ni vibaciones. Realmene al ene sin dimensiones no exise en la naualeza, sin embago el concepo de paícula es muy úil, poque los cuepos eales en muchas ocasiones se pueden apoxima a la idealización de paículas, lo que nos pemie pescindi de considea su amaño y su esucua inena. Cinemáica de una paícula.1 Sisemas de efeencia y veco de posición La posición de una paícula P en el espacio se deemina especo de unos ejes que consiuyen un sisema de efeencia, siendo genealmene el más empleado el caesiano oogonal. Ahoa bien, cuando el movimieno es sobe una eca o un plano su esudio se puede simplifica. Si la paícula móvil P se desplaza sobe una eca, su posición queda deeminada po la disancia x, desde P a un puno fijo que se oma de efeencia. En dicha eca es x > 0 (posiiva), cuando P se encuena a la deecha de y x < 0 (negaiva) si P esá a la izquieda de. Fig.1.1. i x < 0 x > 0 Fig.1.1 En el movimieno ecilíneo de una paícula, las posiciones se definen a pai de un puno de efeencia omado sobe la eca. Y y() j i P = P x() Fig.1.. En el movimieno de la paícula en el plano, se oma un sisema de efeencia con dos ejes X e Y; y sobe ellos los vecoes uniaios i ; j. X Si el puno móvil P se desplaza sobe un plano, su ayecoia es una cuva plana. El sisema de efeencia esá fomado po dos ejes pependiculaes ene sí que se coan en y el veco de posición necesia dos componenes que dependen del iempo x() e y(). Fig. 1.. En el eje X se oma un veco uniaio i (de módulo la unidad) y en el eje Y oo j. () = x()i + y()j Z Tayecoia Si el puno P se mueve en el espacio, el sisema de efeencia lo consiuye un iedo (XYZ) y al puno P se le asigna en cada insane un veco de posición, cuyas es componenes son las poyecciones de P sobe los ejes. Se definen sobe los ejes, es vecoes uniaios: i, j, k. Fig 1.3. P = () = x()i + y()j + z() k (1.1). Tayecoia Cuando un puno se mueve ocupa una posición disina P en cada insane. La línea fomada po odas las posiciones P que va ocupando el móvil en el espacio se llama ayecoia, esán epesenadas en las Fig.1.1. y Fig.1.. La foma de la ayecoia da nombe al movimieno, ecilíneo, cicula, paabólico ec, y la ecuación de la ayecoia se descibe con las componenes x(); y(); z(). Si la ayecoia es plana, se podía elimina el iempo ene las ecuaciones x = x(); y = y() del veco de posición, obeniéndose una la ecuación de una cuva de la foma y = f(x). X x() z() i k ( ) j P y() Fig.1.3. Cuando la paícula se mueve en el espacio, se oma un sisema caesiano con es ejes pependiculaes (X,Y,Z) y es vecoes uniaios i, j, k. Y

.3 Desplazamieno Cuando el móvil P cambia de posición hasa ocupa oa posición P, el veco P P se llama veco desplazamieno fig.1.4, y iene como oigen la posición inicial P y como exemo la posición P, esulando se igual al incemeno del veco de posición. PP = = P P Sobe la ayecoia, la disancia ecoida es la longiud del aco PP. Z P P PP Mienas el móvil se desplaza desde P a P, el iempo va anscuiendo y lo medimos po el inevalo empoal =, que es la difeencia ene los insanes final, e inicial que esá señalando un eloj, cuando el móvil pasa po los punos consideados. En el S.I. la posición y módulo del desplazamieno se miden en meos (m) y el iempo se mide en segundos (s). Ejemplo 1.1 X P P Fig.1.4. El veco desplazamieno P P iene su oigen en P y exemo en P. Y Una paícula se mueve siguiendo la ayecoia dada po el veco de posición que depende del iempo () = i + cos j + sen k. Encona el veco de posición de la paícula móvil, en los insanes 1 = π /6 s y = π /4 s. Halla ambién la disancia ene esas dos posiciones. Las unidades esán dadas en el S.I. Susiuyendo los insanes coespondienes los vecoes de posición son: (π /6) = (π /3) i + cos(π /6) j + sen(π /6) k = π /3 i + 3/ j + ½ k (π /4) = (π /) i + cos(π /4) j + sen(π /4) k = π / i + / j + / k El veco desplazamieno: = (π /4) - (π /6) =(π / i + / j + / ) - (π /3 i + 3/ j + ½ k ) = (π /6) i + ( / - 3/) j + ( / 1 /) k Z P P v m La disancia ene las dos posiciones es el módulo del veco desplazamieno: 5 = π + 36.4 Velocidad y aceleación Velocidad media 4 4 3 8 + 4 0,59m Se define la velocidad media, como el cociene ene el veco desplazamieno y el inevalo de iempo en que se efecúa. Es un veco de igual diección y senido que el veco desplazamieno, fig.1.5. v m P P = = ' X P P Fig.1.5. El veco velocidad media v m ene las posiciones P y P iene la diección y senido del veco desplazamieno. Compaa esa figua con la Fig.1.4. Y En el S.I. la velocidad se mide en meos paido segundo (m/s). Exise oa unidad deivada de la aneio de mucho uso que es el km/h. 3

Velocidad insanánea Es la que lleva un móvil en un insane deeminado o en un puno de su ayecoia. Cuando omamos el inevalo de iempo = an pequeño, an pequeño que iende hacia ceo, enonces la velocidad insanánea coincide con la velocidad media del móvil en las poximidades del puno P. Po definición, la velocidad insanánea es el límie de la velocidad media cuando el inevalo de iempo iende a ceo. v = lim 0 vm = lim 0 τ v La expesión aneio se llama la deivada del veco de posición especo del iempo y se escibe de las dos maneas siguienes: d v = = ' ( ) (1.) Es un veco angene a la ayecoia en cada puno. Fig.1.6. y se puede expesa como el poduco de su módulo, v = v po un veco uniaio angene a la ayecoia en cada puno, τ. Resula: v = v τ = v τ La velocidad insanánea (que de ahoa en adelane nombaemos solamene como velocidad, mienas no se manifiese expesamene lo conaio), puede cambia de módulo y diección de un insane a oo. Si el módulo pemanece consane el movimieno se llama unifome. Si la diección pemanece consane se llama ecilíneo. Si el modulo y la diección pemanecen consanes se llamaá ecilíneo y unifome. Fig.1.6. En la figua se epesenan el veco de posición y el veco velocidad insanánea v, que es en cada puno angene a la ayecoia. Además, se encuena el veco uniaio angene τ que es de módulo la unidad, de diección angene en cada puno a la ayecoia y del mismo senido que el veco velocidad, de modo que v = v τ. Tayecoia Aceleación Cuando el veco velocidad cambia con el iempo, el movimieno se llama aceleado. La aceleación media se obiene dividiendo el incemeno de velocidad ene el coespondiene incemeno del iempo. v a m v = v 1 1 v = a Su unidad en el S. I. es el meo po segundo en cada segundo, m/s. Aceleación insanánea Cuando la a m se calcula en un inevalo de iempo an pequeño que iende a ceo, enonces se obiene la aceleación del móvil en un insane, o aceleación insanánea. Se define como el límie de la aceleación media cuando 0. v dv a = lim 0 am = lim 0 = = v ' ( ) (1.3) Fig.1.7. El veco velocidad v es angene a la ayecoia, peo el veco aceleación a apuna hacia el lado cóncavo de la misma. La aceleación insanánea es la deivada del veco velocidad especo del iempo y es un veco diigido hacia la concavidad de la cuva, fig.1.7, si se excepúan los movimienos ecilíneos en los que es angene a la popia ayecoia ecilínea. 4

Ejemplo.1 Una paícula descibe una ayecoia en el plano XY cuyo veco de posición es ( ) = i j, encona los valoes de los vecoes: posición, velocidad y aceleación en el insane = 0,5 s. Las unidades son del S.I. Tayecoia a n a El veco de posición en el insane pedido es (0,5) = 0,5 i 0,065 j m El veco velocidad es la deivada del veco de posición especo al iempo, v () = i j que en el insane dado vale v (0,5) = i 0,5 j m/s. a La aceleación es la deivada del veco velocidad especo del iempo, m/s que como vemos es consane y no depende del iempo. Componenes inínsecas de la aceleación a( ) = J Son dos componenes de la aceleación, omadas según unos ejes que van desplazándose con el móvil a lo lago de la ayecoia, uno en la diección de la angene y oo en la diección pependicula a la angene, la nomal. La aceleación iene enonces dos componenes inínsecas la aceleación angencial y la aceleación nomal. Fig.1.8, y son las poyecciones del veco aceleación sobe la angene y la nomal a la ayecoia en cada puno. La aceleación angencial a iene de módulo la deivada especo al iempo del módulo de la velocidad en valo absoluo y es la causane del cambio de módulo del veco velocidad. dv a = = v' ( ) (1.4) La aceleación nomal a n es pependicula a la angene y apuna hacia la concavidad de la ayecoia. Tiene la diección y senido del uniaio n, fig.1.9. Su módulo es el cuadado del módulo de la velocidad, ene el adio de cuvaua de la ayecoia ρ en cada puno. La aceleación nomal poduce el cambio de diección del veco velocidad. v a n = (1.5) ρ El veco aceleación se expesa en función de las componenes inínsecas. dv v a = τ + n (1.6) ρ Ene los módulos de los 3 vecoes Fig.1.10, exise la ecuación a = a + a Ejemplo. Con los daos del ejecicio.1 deemina las componenes inínsecas de la aceleación y su valo en el insane = 0,5 s. Unidades del S.I. Los módulos de la velocidad y la aceleación: v = 4 + 4 = 1 + ; a = d v d 0,5 a = = 1 + = ; Paa =0,5 s; a = = 0,49 m / s 1 + 1 + 0,5 n Fig.1.8. La aceleación a es un veco diigido hacia la concavidad de la ayecoia y iene dos componenes inínsecas, la aceleación angencial a y la aceleación nomal a n. C ρ n Fig.1.9. El adio de cuvaua ρ es el adio de la cicunfeencia, al que siuado su ceno en un puno C, llamado ceno de cuvaua, se podía aza un pequeño elemeno de aco AB de la ayecoia. n a n τ a Fig.1.10. En el iángulo de colo de la figua, los caeos que son las componenes inínsecas de la aceleación y la hipoenusa que es la aceleación, veifican ene sus módulos el eoema de Piágoas a = an + a A a B v El valo de la componene nomal de la aceleación en ese insane se calcula. n a = a a = 4 0,4 = 1,94m / s 5

3 Ineacciones fundamenales ene las paículas Los cuepos maeiales que exisen en el univeso ineaccionan unos con oos. Hasa ahoa se han descubieo cuao ipos de ineacciones ene las paículas maeiales; dos de ellas se obsevan macoscópicamene y son la gaviaoia y la elecomagnéica. Las oas dos son micoscópicas y sus efecos se apecian ene paículas que se encuenan en el núcleo de los áomos, se disinguen dos ipos que se denominan ineacción fuee y débil. Las ineacciones en la Mecánica Clásica se desciben mediane fuezas. Debido a sus efecos dinámicos, los cuepos alean su esado de eposo o movimieno y cambian sus posiciones elaivas. La gaviación es la fueza que acúa ene los asos del fimameno, peo ambién es la que hace cae a los cuepos hacia la Tiea y que conocemos como el peso. Recodamos que el peso es el poduco de la masa del cuepo po la inensidad de la gavedad en el puno donde se encuena siuado P = m g. Su diección define la veical del luga. La ineacción elecomagnéica engloba los fenómenos de la elecicidad y del magneismo, algunos conocidos desde la anigüedad. Resuló un eeno de invesigación apasionane paa los cieníficos en los siglos XVIII y XIX. Se da ene cagas elécicas, ano en eposo o en movimieno y es la esponsable de la esucua, consisencia y popiedades de los cuepos maeiales, pues deemina los enlaces químicos ene áomos y moléculas. V = Ce Fig.1.11. Si desde los sisemas y enconamos que la paícula libe m, se halla en eposo o en movimieno ecilíneo y unifome, enonces esos sisemas de efeencia se llaman ineciales. En la pácica, consideaemos como sisemas ineciales aquellos que esán en eposo o en movimieno ecilíneo y unifome. m Las ineacciones nucleaes se han descubieo en el siglo XX cuando se han desaollado eoías como la Relaividad, Física Cuánica y las más ecienes del Campo Unificado. A su vez se han dispueso de medios ecnológicos paa invesiga las ineacciones ene paículas nucleaes. 3.1 Ineacciones mecánicas ene paículas Las paículas macoscópicas se caaceizan po ene masa, y cuando se mueven a velocidades pequeñas fene a la de la luz, se compoan según los pincipios de la Mecánica de Newon. Tes concepos son muy impoanes: la paícula libe, el momeno lineal y el concepo de ineacción: Paícula libe es aquella que se considea aislada del eso del univeso, po lo que no expeimena la acción de ninguna fueza, ni ampoco puede ejecela. Pemie inoduci el concepo de sisema inecial fig.1.11. El momeno lineal de una paícula especo de un sisema de efeencia, es una magniud vecoial que se define como el poduco de su masa po su veco velocidad. p = m v (1.7) En el S. I. de unidades se mide en kg m/s. Acciones ene paículas. Cuando se encuenan pesenes dos o más paículas, consiuyen un sisema, en la fig.1.1 se señalan unos límies imaginaios. Enonces las paículas ineaccionan ene sí inecambiándose fuezas, así la paícula m 1 ecibe fuezas de la m y de la m 3 y a su vez ejece oas fuezas sobe ellas. Análogamene le sucede a las demás paículas del sisema, en nueso caso m y m 3. m 1 F 1 F 13 F 1 m F 3 F 31 F 3 m 3 Fig.1.1. Cada una de las paículas del sisema ejece fuezas sobe odas las demás y a su vez ecibe fuezas de odas las oas paículas del sisema. Sobe m 1 acúa las fuezas f 1 y f 13 que le ejecen especivamene m y m 3. Lo mismo sucede con las demás. 6

3. Pincipios de Newon Pemien descibi el movimieno de los cuepos desde sisemas ineciales. La idea básica eside, en que las obsevaciones expeimenales desciben las ineacciones mecánicas ene paículas, mediane una popiedad caaceísica de las mismas que es su masa y la aceleación que adquieen Pime pincipio. Exisen sisemas de efeencia llamados ineciales, desde los que una paícula libe conseva su momeno lineal p = ce o nulo. Segundo pincipio. Cuando una paícula ineacciona con oas, sufe la acción de las fuezas ejecidas po las demás y su momeno lineal sufe una vaiación que designaemos po dp. Si la ineacción dua el iempo y la esulane de las fuezas es F F, el segundo pincipio dice: La fueza se = i inviee en poduci una vaiación del momeno lineal especo del iempo. dp F = (1.8) Paa elaciona la ec. (1.8) con la aceleación, basa susiui la ec.(1.7) ecodando que la masa de la paícula es consane. En efeco: dp d dv F = = ( m v ) = m = m a ; F Fi m a = = (1.9) p m 1 m p 1 Fig.1.13. En un sisema aislado las paículas no eciben ninguna acción del medio exeio po lo que el momeno lineal oal del sisema p = p1 + p = ce ; pemaneceá consane. Los momenos lineales esán medidos desde un sisema inecial. El efeco de la fueza es poduci aceleación. El coeficiene de popocionalidad ene la fueza y la aceleación, es la masa del cuepo que epesena la oposición de ése a adquii aceleación. Tece pincipio. Si consideamos dos paículas aisladas del eso del univeso, el sisema endía su momeno lineal oal consane, ya que po esa aislado, no ecibiía la acción de ninguna fueza exeio, fig.1.13. Po lo ano el momeno lineal oal del sisema, definido como la suma de los momenos lineales de cada una de sus paículas no vaiaá. p = p + p 1 = ce Deivando la aneio ecuación especo del iempo esula: dp d dp1 dp d = ( p + p ) = + = ( ce) 0 1 = De acuedo con ec.(1.8) la deivada del momeno lineal especo del iempo, es igual a la fueza que acúa sobe la paícula. Designando con F 1 la fueza sobe m 1 y con F 1 la fueza sobe m esula po susiución: F + (1.10) 1 F1 = 0; F1 = F1 m 1 m F 1 F 1 Fig.1.14. Las fuezas de acción y eacción son iguales peo con senidos conaios, acuando en cuepos disinos. Las paículas m 1 y m que únicamene esán someidas a su ineacción muua, expeimenan fuezas iguales y conaias, conocidas como paejas de acción y eacción. bseva en la fig.1.14, como esas fuezas de acción y eacción esán aplicadas en cuepos disinos. La ecuación (1,10) expesa el esulado del ece pincipio de Newon. En la ineacción muua ene dos paículas se ejecen fuezas de la misma inensidad y de la misma diección, peo de senidos conaios, esando aplicadas en cuepos disinos. Consiuyen una paeja de acción y eacción. 7

Ejemplo 3.1 Una paícula de masa m=0,1 kg se mueve con velocidad v = i 10 j Calcula su momeno lineal y la fueza sobe dicha paícula en el insane =10s. Unidades del S.I. El momeno lineal, p( ) m v 0 1, = = i 10 j = i j 0 dp La fueza: F( ) = = i j 10 En el insane consideado, = 10 s: p (10) = 5 i 10 j kg m/s, su módulo es p = 5 + ( 10) = 11, kg m / s F (10)= i - j N, su módulo es F = 1 + ( 1) = N Ejemplo 3. El veco de posición de una paícula de masa m= 0,4 kg que se mueve en el plano (XY) es: ( ) = i + j Calcula los valoes del momeno lineal y de la fueza en el insane = 5 s. Unidades del S.I. La velocidad es v ( ) = = i + j m/s y la aceleación a( ) = = i m / s El momeno lineal d dv p( ) = mv = 0,8 i + 0,8 j ; en el insane = 5s, p( 5) = 4 i + 0,8 j p 5 = 4 + 0,8 = 4,08 kg m / 0,4 kg i m / s = 0,8 i N de módulo F = 0,8 N cuyo módulo vale: ( ) s La fueza F = m a = 3.3 Fueza angencial y fueza nomal Cuando la paícula descibe una ayecoia cuvilínea bajo la acción de una fueza F, fig. 1.15, ésa popocionaá en geneal dos componenes, una conocida como fueza angencial F y oa como fueza nomal o cenípea F n. Como del segundo pincipio sabemos que las fuezas poducen aceleaciones ec.(1.9), se puede asegua que ésas fuezas son las causanes de las aceleaciones angencial a y nomal a n ; especivamene. En consecuencia. F = m a = m a τ donde τ es el veco uniaio angene v Fn = m an = m n donde n es el veco uniaio nomal ρ F n F Fig.1.15 La fueza F aplicada a la paícula popociona dos componenes, una angene a la ayecoia nomal a la misma F n. F F y oa La fueza nomal, ambién llamada cenípea esá diigida siempe hacia el ceno de cuvaua C de la ayecoia. En el movimieno cicula C es el ceno de la cicunfeencia. En una ayecoia ecilínea no exise fueza cenípea o nomal. En un movimieno unifome no exise fueza angencial y al se la aceleación angencial nula, la velocidad iene su módulo consane. Si el movimieno es cicula unifome solo exisiá fueza nomal que seá de módulo consane po selo el módulo de la velocidad. v Fn = m R (1,11) Cuando el movimieno es cicula, el adio de cuvaua es el adio de la cicunfeencia que es consane y se designa con R. 8

En el cuso pasado hemos viso que cuando un móvil descibe una cicunfeencia lleva una ciea velocidad angula ω fig.1.16, que elaciona los ángulos que va giando el móvil con el iempo y que esá vinculada con el módulo del veco velocidad v, y el adio R de la cicunfeencia, po la ecuación v = ω R. Si esa ecuación se susiuye en la ec.(1.11) esula. v ( ω R) Fn = m = m = m ω R (1.1) R R R ω Ejemplo 3.3 Un ciclisa de masa 80 kg ecoe una pisa cicula de 100 m de adio con velocidad de 54 km/h. Calcula el valo de la fueza cenípea que le debe popociona el ozamieno de sus uedas con la pisa, paa que no se salga. La velocidad: km 1000 m 54 = 54 = 15 h 3600 s ( 15 m ) v La fueza cenípea vale F m 80 kg s c = = = 180 N R 100 m m s v fig.1.16 En el movimieno cicula, la velocidad lineal es igual a la angula po el adio de la cicunfeencia, v = ω R 3.4 Fueza de ozamieno Es una fueza de conaco como las eacciones nomales ene sólidos, siendo de naualeza elecosáica. Paa que un cuepo en conaco con oo, comience a deslizase sobe él, le aplicamos una fueza, sin embago la expeiencia enseña que en muchas ocasiones el cuepo no desliza. La causa es una fueza de oposición a la aplicada, llamada de ozamieno, que se opone al deslizamieno de un cuepo sobe el oo, fig.1.17. Aumenando la inensidad de la fueza aplicada, llega un momeno en el que el cuepo comienza a desliza. Sucede que la fueza de ozamieno ha ido aumenando hasa un valo límie, peo una vez que ése ha sido alcanzado ya no puede oponese a que el cuepo deslice. La fueza de ozamieno iene la diección del desplazamieno peo es de senido conaio al movimieno, fig.1.18. F R Fig.1.17 Mienas que la fueza de ozamieno F R equiliba a la fueza aplicada F, el cuepo pemanece en eposo. N P F El valo de la fueza de ozamieno esá elacionado con la fueza que acúa en diección nomal ene las dos supeficies N y además, depende de la naualeza de ésas y de su pulimenación. Se expesa con el coeficiene de ozamieno µ, que oma valoes disinos anes y en el momeno de iniciase el movimieno, llamado coeficiene de ozamieno esáico µ e; o cuando el movimieno ya esá esablecido, coeficiene de ozamieno cinéico µ c. F R N P F Expeimenalmene se confima que el módulo de la fueza de ozamieno esá elacionado con la fueza nomal, mediane dos ecuaciones disinas: Anes de comenza el deslizamieno F Al iniciase el deslizamieno F R < µ e N = N (1.13) R µ e Fig.1.18. A medida que aumena la fueza aplicada, cece ambién la fueza de ozamieno que se opone a ella, sin embago hasa un cieo valo límie, de modo que una vez alcanzado ya pemie que el cuepo empiece a desliza, ahoa esula F R < F Cuando el cuepo desliza la fueza de ozamieno F R se vincula con la nomal N, po el coeficiene de ozamieno cinéico µ c. Enonces F R = µ c N. El coeficiene de ozamieno cinéico µ c es meno que el esáico µ e. Ambos valoes se deeminan expeimenalmene, indicándose los límies ene los que se encuenan, así, paa un cuepo de madea que oza sobe oo ambién de madea µ e se encuena ene 0,5-0,50; mienas que µ c se halla ene 0,0-0,40. 9

Ejemplo 3.4 Un aco de madea de m 1 = 10 kg esá sobe una mesa de madea hoizonal siendo µ e =0,3. De ese cuepo se cuelga oa masa m mediane una cueda que pasa po una polea, fig.1.19. Deemina el máximo valo que puede oma m paa que el cuepo no deslice. Como el valo máximo de la fueza de ozamieno esáico es F R = µ e N; y la fueza que ia es la ensión T de la cueda y en esa siuación esáica, es T = P. = T ; FR = µ e N = µ e P1 = e m g ; T = P = m g FR µ 1 F R N T µ g m g = µ m = 0,3 10 kg 3,0 kg e m1 = m e 1 = Paa valoes de m mayoes de 3,0 kg el cuepo ya comienza a desliza sobe el plano. bseva que el máximo valo que puede oma la fueza de ozamieno es. m ( FR ) máx = µ e m1 g = 0,3 10 kg 9,8 = 9,4 N s P 1 T P 3.5 La fueza elásica Los cuepos cambian sus dimensiones cuando se le aplican fuezas a pesa de que hay fuezas ineioes que se oponen a los cambios. Cuepo elásico es el que adquiee la foma pimiiva cuando cesa la acción defomadoa. Fig.1.19. Las fuezas esán equilibadas de modo que la ensión de la cueda es T = P.. Además N = P 1 El ejemplo más sencillo lo consiuye un muelle, el cual se puede alaga bajo una fueza de acción, o acoa si ésa es de compesión. El muelle defomado eacciona cona la fueza exeio, con oa fueza de senido conaio que se llama fueza ecupeadoa. Supongamos un muelle cuya longiud naual es l 0, y que se le aplica una fueza de inensidad ceciene en el exemo, po medio de un gancho de masa despeciable. El muelle se alagaá, y si se epesenan gáficamene los valoes de la fueza aplicada en odenadas y el alagamieno en abscisas, se obiene una gáfica como la de la fig.1.0, cuya ecuación es la de la eca: F = k(l l o ) = k x; conocida como ley de Hooke. La magniud k es la consane ecupeadoa o elásica del muelle y se deemina expeimenalmene mediane la pendiene de la eca. F F = k x Cuando el muelle esá defomado, la fueza F ' aplicada al gancho en el exemo del muelle, y la fueza ecupeadoa F que el muelle ejece sobe el gancho, fig.1.1, lo dejan en equilibio de modo que son iguales y de senido conaio. F = F' = F' i = k l l i = k x (1.14) ( ) i El signo menos indica que F, iene senido posiivo si x < 0 y el muelle esá compimido y F iene senido negaivo si x > 0 y el muelle esá alagado. l 0 o l l 0 = x Fig.1.0. En un muelle defomado, las fuezas aplicadas son popocionales a los alagamienos que poducen. i F F ' F l F ' x <0 x =0 x>0. Fig.1.1. Paejas de acción-eacción en un muelle esiado 10

Ejemplo 3.5 Un muelle cuya longiud naual es de 5 cm, se esia con una fueza de 0 N, alagándose hasa 30 cm. Halla la longiud que endá ese muelle cuando se suspenda de él una masa de kg en un luga donde la inensidad de la gavedad vale 9,8 N/kg. De la ley de Hooke se puede obene la consane elásica del muelle: F k = l l 0 0 N = = 400 0,30 m 0,5 m El peso es ahoa la fueza defomadoa. Al suspendelo del muelle se oigina una acción y de nuevo la ley de Hooke. kg 9,8 N P kg x = l l0 = = = 0,049 m = 4,9 cm k 400 N La longiud del muelle esiado es: l = l0 + x = 5 cm + 4,9 cm = 9,9 cm 4 Momeno de una fueza m Cuando una fueza se aplica a un cuepo libe poduce aceleación, peo si el cuepo se encuena unido a un eje que únicamene le pemie gia, cómo acúa enonces la fueza?. Ejeciendo oo efeco llamado momeno. N m F M Fig.1.. El momeno de la fueza espeo de, es un veco M pependicula al plano fomado po los dos vecoes, con senido el de avance de un onillo que al gia pueda lleva al pimeo, en ese caso (cuya diección se ha polongado) sobe el segundo F con el gio más coo. Consideemos un cuepo con un eje, alededo del cual podía gia fig.1. y una fueza F que acúa a una disancia del eje. Se define el momeno de la fueza especo del puno del eje, como un veco M aplicado en, igual al poduco vecoial del veco de posición po la fueza F. M = F (1.15) La diección de M es pependicula al plano que foman los vecoes y F, fig.1.. Senido, el de avance de un onillo que lleve al pime veco sobe el segundo con el gio más coo. Y módulo fig.1.3, el poduco de los módulos po el seno del ángulo que foman M = F sen α = F sen α = F h 4.1 Momeno de un pa de fuezas Un pa de fuezas fig.1.4, es el conjuno fomado po dos fuezas paalelas, del mismo módulo y de senidos conaios, peo con disino puno de aplicación. Su esulane es nula y no poducen aslación peo popocionan un momeno que povoca la oación del cuepo al que se aplica el pa. F α α h Fig.1.3. La pependicula azada desde hasa la línea de acción de la fueza es h = sen α. Se llama el bazo. M = F ; M = F senα = F h M F h α F α Fig.1.4. M es pependicula al plano fomado po el pa de fuezas. 11

Ejemplo 4.1 Si en el ejemplo 3.3 la cuva caece de peale y la fueza de ozamieno popociona el valo hallado paa la fueza cenípea, deemina el ángulo que debe inclinase el ciclisa con la veical, paa pode oma la cuva sin sufi deape, fig.1.5. En la fig.1.0 se obseva que las fuezas en el suelo puno A, son la eacción nomal N (que equiliba el peso P ) y la fueza de ozamieno F R (que poduce la fueza cenípea) y que al no pasa po el puno de aplicación del peso G, dan momenos especo de ese puno. El ciclisa se inclinaá lo necesaio paa consegui la igualación de esos dos momenos que acúan con senidos conaios. N A G P α F R N h = ; Como N = P = m g ; y F R = F c = 180 N; susiuyendo esula: 1 FR h senα F 180 N N AG sen α = FR AG cos α ; g α = = R = = 0, 3 ; α = 13º cos α N 80 kg 9,8 N 5 Momeno angula o cinéico El momeno cinéico L de una paícula m, especo del oigen, fig.1.6, se define como un veco aplicado en, (se evalúa desde ), igual al poduco vecoial del veco de posición A = po el momeno lineal p. kg Fig.1.5. Cuando el ciclisa oma la cuva la F R al acua hacia el ceno de cuvaua de la misma, hace las veces de la fueza cenípea. Los momenos especo de G, de la eacción N y de la fueza de ozamieno F R se equiliban paa una ciea inclinación α del ciclisa, de modo que puede pemanece con un ladeo, sin caese. L = A p = p = mv (1.16) El momeno cinéico se ha definido especo de, peo se puede calcula especo de cualquie oo puno Q, fig. 1.7. Ahoa es L Q = QA p ; peo la v elación ene los vecoes de posición es QA = A - Q. Susiuyendo: LQ = QA p = ( A Q) p = A p Q p = L Q p LQ = L + Q p (1.17) El momeno angula de una paícula especo de un puno cualquiea Q, es igual al momeno angula especo del oigen L, más el poduco vecoial de los vecoes Q y P. L A = A p = m v Fig.1.6. El momeno angula de una paícula especo del oigen es un veco aplicado en. 5.1 Ecuación del momeno angula Paa encona la elación, es necesaio deemina como vaía con especo al iempo el momeno angula, lo que equiee halla su deivada. dl d d dp = ( p) = p + = v mv + F = F = M v mv = 0 ; po aase del poduco vecoial de dos vecoes paalelos. dp = F según la ec.(1.8) coespondiene al segundo pincipio. dl = M (1.18) La vaiación con especo del iempo del momeno angula, es igual al momeno de la fueza aplicada sobe la paícula, esando ambas magniudes evaluadas desde el mismo puno. L Q Q QA A = A p = m v Fig.1.7. Momeno angula especo de oo puno Q. bseva que A = Q + QA 1

5. Velocidad aeola Paa enende el significado físico del momeno angula vamos a calcula pimeo el valo del áea que ecoe el veco de posición de la paícula, cuando ésa efecúa un desplazamieno d po su ayecoia fig.1.8. El áea se calcula con el poduco vecoial de y d (apéndice). Resula: V A L da = d Teniendo en cuena que el desplazamieno, ec.(1.) es 1 d = v, se obiene: + d d v da = v 1 Pasando dividiendo al pime miembo, y muliplicando y dividiendo en el segundo miembo, po la masa de la paícula m, esula la velocidad aeola da 1 L VA = = m v = m m (1.19) La velocidad aeola es igual al momeno angula dividido po el doble de la masa de la paícula y su significado físico esá elacionado con la apidez con la que el adio veco va cubiendo áeas, fig.1.8. Repesena el valo del áea que ecoe el adio veco en la unidad de iempo. Sus unidades en el S. I. son m /s. 5.3 Consevación del momeno angula Si los vecoes y F son paalelos el momeno es nulo M = F = 0 ; po selo el poduco vecoial de dos vecoes paalelos. Eso sucede con un ipo de fuezas que en odo insane esán diigidas hacia el mismo puno, azón po la que se designan como fuezas cenales, fig.1.9. Cuando el momeno de la fueza es nulo, el momeno cinéico pemanece consane. En efeco de ec.(1.18) esula: dl = M = 0 ; L0 = Ce. (1.0) Ley de las áeas. Como la consancia de un veco, conlleva la de su módulo, diección y senido, enonces la ayecoia de la paícula se iene que encona consanemene en un plano pependicula al veco L. Además su velocidad aeola V A ec.(1.19) es consane, ecoiendo áeas iguales en iempos iguales, se conoce como la ley de las áeas. Fig.1.8. La velocidad aeola V A es un veco de la misma diección y senido que el momeno angula L. El áea ayada es la que cube el adio veco en un iempo, y el cociene ene esa áea y el iempo empleado en ecoela epesena la velocidad aeola. L = Ce V A =Ce F Tayecoia p = m v Fig.1.9. Cuando la fueza apuna coninuamene hacia el mismo puno, se llama cenal y enonces el momeno angula L o y la velocidad aeola V A, pemanecen consanes, esulando que la ayecoia de la paícula es plana. El momeno angula de una paícula es un concepo basane absaco, sin embago es una popiedad que se conseva consane, cuando la paícula se mueve bajo la acción de una fueza cenal. Un impoane ejemplo, son las fuezas de gaviación que se dan ene el Sol y los planeas del Sisema Sola. Ésas acúan sobe los planeas apunando coninuamene hacia el Sol, y pemiiéndoles descibi óbias planas alededo de ése. Como consecuencia de que la fueza es cenal se poduce la consancia del momeno angula y las óbias descias son elípicas, con el Sol siuado en uno de los focos de la elipse, fig.1.30, como se ampliaá en la Unidad-. S F G p = m v Fig.1.30. La fueza gaviaoia es cenal 13

5.4 Unidades del momeno angula y del momeno de una fueza De la definición del momeno angula, esula paa el módulo en el S. I. m m m L = m v = m kg = kg m = kg m s = N m s = J s s s s La unidad del momeno angula es el julio muliplicado po segundo. De la definición del momeno de una fueza se obiene paa el módulo. Reao de Lagange M = F = N m La unidad del momeno de una fueza es el newon po meo y no se dice julio, paa difeencialo de una enegía. Ejemplo 5.1 Una paícula de masa 0,4 kg, se mueve siguiendo la ayecoia definida po la función vecoial () = i + j. Calcula el momeno cinéico de la paícula especo al oigen de coodenadas y el momeno de la fueza que acúa sobe la misma especo del mismo puno, en el insane = s. d La velocidad de la paícula es: v = = i + j p = m v = 0,4 i + j = 0,8 i + 0,8 j El momeno lineal, ( ) ( ) dv La aceleación de la paícula es a = = i = Ce en m/s La fueza F = m a = 0,4 kg i m / s = 0,8 i N El momeno angula vale: L = p = i + j 0,8 i + 0,8 j = 0,8 k ( ) ( ) L s = 1,6 k = 6,4 k en J s En el insane = s ; ( ) El momeno de la fueza M = F = ( i + j ) ( 0,8 i ) = 1,6 k Cuando = s. es: M = 1,6 k = 3, k N m dl Veifiquemos si se cumple la ecuación (1.16) = M. Deivando: dl d = ( 0,8 k ) = 1,6 k ; que al compaa con M vemos que se cumple. Ejemplo 5. Calcula los momenos angula y de fueza de la paícula del Ejemplo 5.1 en el mismo insane, peo especo del puno Q cuyo veco de posición es uuu Q = 10 k. uuu uuu El veco Q = Q = 10k susiuyendo en ec. (1.15) esula: uuu L Q = L + Q p = 6, 4 k + 1 0 k ( 1, 6 i + 0, 8 j ) = 8 i 1 6 j 6, 4 k J s Joseph Louis Lagange (1736-1813) Físico y maemáico fanco-ialiano, ealizó una sisemaización de la Mecánica, euniendo odos sus méodos en un libo que iuló Mecánica Analíica, donde solo empleaba pocedimienos algebaicos sin diagamas geoméicos de ningún ipo. En Asonomía aacó el poblema geneal de vaios cuepos que Newon solo dejó planeado. La ley de gaviación univesal se efiee solo a dos cuepos que esán aislados, sin embago en el Sisema Sola hay muchos más, bien es vedad que la influencia del Sol es muy supeio a la de los demás planeas. No obsane esos cuepos menoes ejecen influencias ene sí que se llaman peubaciones y que no se deben ignoa. Lagange dedujo el modo de aplica las maemáicas a sisemas con influencias de más de dos cuepos, como el Tiea, Sol, Luna o el de Júpie con las cuao lunas de Galileo. En 1793 duane la Revolución Fancesa cuando esidía en País, le encagaon la diección de una comisión que debía esudia un nuevo sisema de pesas y medidas. Aquel gupo de cieníficos elaboó el Sisema Méico Decimal. Paa el momeno, usando una ecuación simila compueba que : uuu M Q = M + Q F = 3, k + 10 k ( 0,8 i ) = 8 j 3, k en N m 14