1 Problemas de Optimización

1 Problemas de Optimización Eercise 1.1 Hallar un número positivo ue sumado con su inverso nos dé una suma mínima Si llamamos a dicho número; entonces la epresión ue nos permite calcular la suma de él con su inversa es: S = + 1 Por la naturaleza del problema, el dominio de esta función es el conjunto ]0, + [ Vamos pues a determinar el valor de para el cual S es mínima Calculamos S 0 S 0 =1 1 = 1 (D(f 0 )=]0, + [) Valores ue anulan S 0 (posibles máimos o mínimos locales) ( 1 =1 ]0, + [ =0 1=0 = 1 / ]0, + [ EstudiodelsignodeS 0 Si 0 < < 1; 1 < 0; S 0 = 1 < 0 S es est. decreciente en ]0, 1[ Si 1 < ; 1 > 0; S 0 = 1 > 0 S es est. creciente en ]1, + [ Por lo tanto; por la condición suficiente de mínimo local (criterio de la 1 a derivada) podemos afirmar ue para =1la suma S =es mínima La gráfica de la función S = + 1 en ]0, + [ 10 8 6 0 0 1 5 1

El punto P (1, ) es mínimo local y absoluto de S en]0, + [ Eercise 1. Con un alambre de m de longitud se uiere formar un rectángulo desuperficie máima Si denominamos alaanchuraey alaalturadedichorectángulo;entonces su superficie es S = y (*) Como nos dicen ue el perímetro ha de ser de m entonces = +y 1= + y y =1 sustituyendo la epresión obtenida para y en (*) tendremos: S = (1 ) = El dominio de esta función es ]0, +1[ S 0 =1 (D(S 0 )=]0, +1[ Valores ue anulan S 0 (posibles máimos o mínimos locales) 1 =0 ½ = 1 ]0, 1[ EstudiodelsignodeS 0 Si 0 < < 1 ; S0 =1 >0; S es est. creciente en ]0, 1 [ Si 1 < < 1; S0 =1 <0 S es est. decreciente en ] 1, 1[ Por lo tanto; por la condición suficiente de máimo local (criterio de la 1 a derivada) podemos afirmar ue para = 1 mlasuperficie S = 1 1 = 1 m es máima La gráfica de la función S = en ]0, 1[ es :

0.5 0. 0.15 0.1 0.05 0 0 0. 0. El punto P ( 1, 1 ) es máimo local y absoluto de S en]0, 1[ Eercise 1. Con una cuerda de 0 m se uiere formar un triángulo isósceles de área máima. Cuál es el valor de dicha área? 0.6 0.8 1 Figure 1: Si denominamos a los dos lados iguales y y al lado desigual; entonces la altura de dicho triángulo la podemos epresar en función de e y h = y Su superficie es pues: S = y y (**) Por ser el perímetro de 0 m tendremos: 0 = +y =15 y

Sustituyendo en (**) la epresión obtenida para y tendremos S = y (15 y) y = y (5 0y) = 5y 0y D(f) ={y < + /5 0y >0} =]0, 15 [ ds dy = S 0 = 5y 5y 5y 0y = 5 5y (5 0y) Valores ue anulan S 0 (posibles máimos o mínimos locales) 5 5y (5 0y) =0;5 5y =0 y =5m EstudiodelsignodeS 0 Si 0 < y < 5; S 0 = Si 5 < < 15 ; S0 = 5 5y (5 0y) > 0; S es est. creciente en ]0, 5[ 5 5y (5 0y) < 0 S es est. decreciente en ]5, 15 [ Por lo tanto; por la condición suficiente de máimo local (criterio de la 1 a derivada) podemos afirmar ue para y =5la superficie S =5 (5 150) = 5 m es máima Fíjate ue si y =5m =10m Luego; para ue la superficie sea máima el triángulo ha de ser euilátero La gráfica de la función S = y (5 0y) en ]0, 7.5[ es

0 0 0 10 0 0 1 y 5 6 7 El punto P (5, 5 ) es máimo local y absoluto de S en]0, 7.5[ Eercise 1. De todos los rectángulos de área 16 m. Cuálessonlasdimensiones del ue tiene menor perímetro? Si denominamos alaanchuraey alaalturadedichorectángulo. Como el rectángulo tiene de supeficie 16 m ;entonces:.y =16 y = 16 P = +y P 0 = = Valores ue anulan P 0 EstudiodelsignodeP 0 P = + =0 = 0 con ]0, + [ ( = ]0, + [ = / ]0, + [ Si 0 < < ; P 0 = < 0; P es est. decreciente en ]0, [ Si < ; P 0 = > 0 P es est. decreciente en ], + [ Por lo tanto; por la condición suficiente de mínimo local (criterio de la 1 a derivada) podemos afirmar ue para =melperímetrop =8+ =16 mesmínimo La gráfica de la función P = + en ]0, + [ es : 5

00 150 100 50 0 0 6 8 10 1 1 El punto P (, 16) es mínimo local y absoluto de la función P = + en ]0, + [ Eercise 1.5 Un jardinero ha de construir un parterre en forma de sector circularyuetengaunperímetrode0m. Quéradiohadetenerpara lograr ue el área sea máima? Cual será entonces la longitud de su arco y su amplitud? Nota1 : Si denominas al ángulo en radianes,r al radio y l alalongitud del arco; has de saber ue = l entonces como el perímetro es de 0 m r resultará ue: 0 r r + l =0 r + r =0 = (a) r Nota : Si el área de un círculo de radio r es πr yadichasuperficie le corresponde una vuelta completa o sea π radianes; entonces la superficie del sector circular de radio r y ángulo en radianes 1 es S = r Y la del sector de ángulo en radianes es: S = r (b) Sustituyendo la epresión para de (a) en la epresión (b) tendremos: S = r 0 r r =10r r 6

Observa ue r ha de ser un número positivo ue no puede ser igual o superior a10 cm S 0 =10 r Valores ue anulan S 0 10 r =0 r =5 Como S 00 = ; entonces para r =5la superficie S =50 5 = 5cm es máima Sustituyendo en la epresión a el valor de r obtendremos ue el ángulo en radianes es: = 0 5 =rad 5 Por ultimo, la longitud del arco correspondiente a este sector circular es l =10cm La gráfica de la función S =10r r en el intervalo [0, 10] es: 5 0 15 10 5 0 0 r 6 8 10 Eercise 1.6 (Septiembre 00) De todos los cuadrados inscritos en un cuadrado de lado 16 m determina auél cuya superficie sea mínima 7

Es evidente, ue la superficie del cuadrado inscrito es: S = L = +(16 ) = +56donde ]0, 16[ El mínimo local y absoluto en ]0, 16[ de la función S = + 56, ha de ser el vértice de la parábola. Si dibujamos su gráfica 50 00 150 100 50 0 0 6 8 10 1 1 16 Vemos ue su mínimo es V (8, 18) Comprobémoslo Valores ue anulan S 0 Estudio del signo de S 0 S 0 = +(16 )( 1) = = 0 =8 8

Si 0 <<8; S 0 < 0 S es est. decreciente en ]0, 8[ Si 8 <<16; S 0 > 0 S es est. creciente en ]8, 16[ Por la condición suficiente de mínimo local, podemos afirmar ue para =8m,S(8) = 18 m es mínima. Fíjate ue el lado del cuadrado mide L =8 Eercise 1.7 De todos los rectángulos inscritos en un cuadrado de lado 10 m determina auél cuya superficie sea máima ) Fíjate ue: PQ = + = QR = (10 ) +(10 ) =(10 ) Es evidente; ue la superficie del rectángulo PQRT es: S = PQ QR =(10 ) =0 donde ]0.10[ El máimo local y absoluto en ]0, 10[ de la función S =0, ha de ser el vértice de la parábola. Fíjate en su gráfica, y observarás ue su máimo es el vértice V (5, 50) 9

50 0 0 0 10 0 0 6 8 10 Comprobémoslo Calculemos de esta función su máimo Valores ue anulan S 0 Estudio del signo de S 0 S 0 =0 0 =0 =5 Si 0 <<5; S 0 > 0 S es est. creciente en ]0, 5[ Si 5 <<10; S 0 < 0 S es est. decrecreciente en ]5, 10[ Por la condición suficiente de máimo local, podemos afirmar ue para =5m,S(5) = 50 m es máima. Fíjate ue el rectángulo es un cuadrado cuyo lado mide L =5 m Eercise 1.8 (Junio 00) Desde un punto N de la orilla del mar, un nadadordebealcanzarunaboyaueflota a km de la costa y dista 5 km del punto N. Si recorriendo la orilla (ue se supone recta y plana), su velocidad media es de 5 km h y nadando, de km. Cuánto tiempo deberá h caminar hasta lanzarse al mar, para alcanzar la boya en el menor tiempo posible? ) 10

Si te fijas en el dibujo NO = r ³ 5 =6 Si consideramos un punto C y designamos por al segmento NC,es evidente ue CO =6 El segmento NC es el trayecto ue realiza andando el nadador. Como nos dicen ue anda a una velocidad de 5 km h esa distancia es T NC = 5. El tiempo empleado en recorrer El segmento CB = +(6 ) es el trayecto ue realiza nadando. Como nos dicen ue nada a una velocidad de km h El tiempo empleado 11

+(6 ) en recorrer esa distancia es T CB = El tiempo total empleado será: T = T NC + T CB = 5 + +(6 ) con [0, 6] Calculemos pues el valor de para ue el tiempo empleado sea mínimo Valores ue anulan T 0 dt d = T 0 = 1 5 (6 ) +(6 ) 1 (6 ) (6 ) =0 5 = +(6 ) +(6 ) 5 Elevando al cuadrado, tendremos: (6 ) +(6 ) = 9 5 5 (6 ) =81+9(6 ) Aislando (6 ) (6 ) = 81 16 6 = 9 = 15 6 = 9 = > 6 no me sirve El único valor ue anula T 0 es = 15 Km Calculemos ahora la segunda derivada dt 0 d = T 00 1 = 1 (6 ) +(6 ) ³ +(6 ) Vamos a simplificarla dt 0 d = T 00 = 1 +(6 ) h 1 (6 ) +(6 ) i = 1 +(6 ) 9 +(6 ) = ³ +(6 ) Como T 0 ( 15)=0 y T 00 ( 15)= ³ +(6 15 = 6 115 1

Por la condición suficiente de mínimo local (criterio de la segunda derivada), podemos afirmar ue: Para = 15 Km el tiempo empleado en llegar de N a B,de la manera 15 descrita en el problema, T = 5 + +(6 15 ) =hes mínimo Eercise 1.9 (Junio 00) Encontrar razonadamente el punto de la curva y = 1 en el ue la recta tangente a la curva tiene pendiente máima y 1+ calcular el valor de esa pendiente. Calculemos y 0 Si y =(1+ ) 1 y 0 = 1(1 + ) = (1 + ) Nos están pidiendo los valores de para los cuales la función H = y 0 es máima, siendo H = y 0 = (1 + (El dominio de H es <) ) Si te fijas en su gráfica (la de H) 0.6 0. 0. - - 0 0-0. -0. -0.6 Observarás, ue eiste un único máimo local y absoluto para esta función. Determinémoslo Obtengamos su derivada H 0 = y 00 = (1+ ) + (1 + ) (1 + ) = (1 + )[ (1 + )+8 ] (1 + ) = 6 (1 + ) 1

Calculemos los valores ue anulan H 0 (Posibles máimos y mínimos de H) ( = 6 1 =0 = 1 Estudio del signo de H 0 (El signo de H 0 depende del signo de 6 ) Si < 1 H 0 > 0 H es est. creciente en], 1 [ Si 1 1 < < H 0 < 0 H es est. decreciente en ] 1 1, [ Si 1 < H 0 > 0 H es est. creciente en ] 1, [ Luego; podemos afirmar ue: Para = 1 ( ; H = 1 ) ³ = 8 es máima ) 1+( 1 ) Para = 1 ( ; H = 1 ³ = 8 es mínima ) 1+( 1 Conclusión: 1 El punto de la curva y = en el ue la recta tangente a la curva 1+ tiene pendiente máima es el punto de coordenadas = 1 1 y = 1+ ³ = 1. El valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto es 8 La ecuació de su recta tangente en ese punto es: y = 8 1 ( + ) Nota: Este punto P ( 1, ) es el punto de infleión cóncavo-conveo de la función y = 1. Compruébalo tú, utilizando el criterio de la segunda 1+ derivada Si nos hubiesen pedido también: Cuál es el punto de la curva y = 1 1+ en el ue su recta tangente tiene pendiente mínima? 1

Dicho punto es el punto de coordenadas = 1 1 y = 1+ ³ = 1. El valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto es 8 La ecuació de su recta tangente en ese punto es: Nota: Este punto Q( 1 la función y = derivada 1 ( ) y = 8, ) es el punto de infleión conveo-cóncavo de 1.Compruébalo tú, utilizando el criterio de la segunda 1+ 1 0.8 0.6 0. 0. - -1 0 0 1 Eercise 1.10 De todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 m determina las dimensiones del ue tenga superficie máima 15

Como + y =100 S = y S = 100 Nota: S es máima H = S = (100 ) Calculemos H 0 H 0 = 1 (00 ) Puntos singulares de H (Valores ue anulan H 0 ) 00 =0 Estudio del signo de H 0 en ]0, 10[ con ]0, 10[ =0no es del dominio =5 = 5 no es del dominio = 1 (100 ) lo es Si 0 < < 5 H 0 > 0 H es est. creciente en ]0, 5 [ Si 5 < < 10 H 0 < 0 H es est. decreciente en ]5, 10[ Por lo tanto; para =5 H = S = 1 µ100 ³ 5 ³ 5 =65es máima Así pues; el triángulo rectangulo de hipotenusa ( 10 m ycuyasuperficie =5 (S =5m ) es máima es el ue tiene por catetos y = 100 50 = 5. Se trata de un triángulo rectángulo isósceles. Eercise 1.11 De todos los triángulos rectángulos de superficie 100 m determina las dimensiones del ue tenga perímetro mínimo 16

Como 100 = y + y = z y = 00 + 0000 = z La función a minimizar es el perímetro del triangulo. Como P = + y + z P = + 00 s + + 0000 P 0 =1 00 + 80000 ( ) ( + 0000 y = 00 s + 0000 ) = 00 + ( 0000) ( +0000) = z con ]0, + [ Para facilitar los valores ue anulan P 0 vamos a factorizar su epresión: P 0 = 00 0000) + ( = 1 ( 00) 1+ +00) ( ( +0000) ( +0000) Valores ue anulan P 0 ( 00) 1+ ( +00) ( +0000) = 0 ( 00) = 0 = Estudio del signo de P 0 Si 0 <<10 P 0 < 0 P es est. decreciente en ]0, 10 [ Si >10 P 0 > 0 P es est. creciente en ]10, + [ Para =10 m y = 00 10 =10 m z = 0 m el perímetro P =0 +0es mínimo. Se trata pues de un triángulo rectángulo isósceles. v u t ( 10 10 no es del dominio ³ 10 0000 + ³ = 10 Eercise 1.1 De todos los triángulos rectángulos de perímetro 0 m determina las dimensiones del ue tenga superficie máima. La función a maimizar es la superficie S = y Intentemos encontrar una relación entre las variables e y, apartirde los datos del problema. 1 0000 = 00 + 00 1+ ( +00) ( +0000) > 0 17

Por ser el perímetro de 0 m + y + z =0 (1) Por el teorema de Pitágoras + y = z () De la epresión (1) despejamos z y elevamos al cuadrado, obteniendo: z =(0 y) =900 60 60y + +y + y () Sustituyendo lo obtenido para z en la epresión (); tendremos: + y = 900 60 60y + +y + y () 0 = 900 60 60y +y (5) Aislando y de la epresión (5) y = 60 900 60 = 0( 15) ( 0) (6) Así pues; la función a maimizar es: S = 0( 15) ( 0) =15 ( 15) ( 0) con ]0, 0[ La derivada de S es: S 0 =15 ( 15)( 0) ( 15) =15 60 +50 ( 0) ( 0) 18

Valores ue anulan S 0 (posibles máimos o mínimos locales) 60 +50=0 Estudio del signo de S 0 ( =0+15 / ]0, 0[ =0 15 Si 0 < < 0 15 S 0 > 0 S es est. crec. en ]0, 0 15 [ Si 0 15 < < 0 S 0 < 0 S es est. decrec. en ]0 15, 0[ Luego para =0 15 m y = 0(0 15 15) (0 15 =0 15 0) ³ 0 15 m la superficie S = = 5 ³ m es máima Se trata pues de un triángulo rectángulo isósceles. Eercise 1.1 Qué dimensiones tiene el rectángulo de área máima inscrito en una circunferencia de radio 8 m de radio? Eercise 1.1 Se necesita construir un marco rectangular para una ventana de 1 m de área. El coste del marco se estima en 500 pts por cada metro de altura y 0 m. de anchura. Cuáles son las dimensiones para ue el coste sea mínimo? Eercise 1.15 Unahojadepapeltiene18cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener cm cada uno y los laterales 1 cm Dimensiones del papel para ue el gasto sea mínimo? Eercise 1.16 Una hoja de papel debe contener 18 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferio han de tener cm cada uno y los laterales 1 cm Dimensiones del papel para ue el perímetro sea mínimo? Eercise 1.17 Se desea construir un bote cilíndrico de volumen 1 m. Cuáles son las dimensiones del ue tenga superficie mínima? 19

Eercise 1.18 (Septiembre 005) El perímetro de un sector circular de radio R vale m. Cuántos radianes α ha de medir su ángulo central para ue su área sea máima? El área de otro sector circular es 1 m. Para ué radio es mínimo su perímetro? Eercise 1.19 Se desea inscribir en un triángulo euilátero, de 10 m de lado, un rectángulo de manera ue su base esté contenida en uno de sus lados. Dimensiones de dicho rectángulo para ue su superficie sea máima? Eercise 1.0 Cuáles son las dimensiones de un cilindro inscrito en una esfera de radio 6 m para ue su volumen sea máimo? Eercise 1.1 Cuáles son las dimensiones de un rectángulo inscrito en una semicircunferencia de radio 6 m para ue su superficie sea máima? Nota: Uno de los lados ha de estar contenido en el diámetro de la semicircunferencia Eercise 1. Cuáles son las dimensiones de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia de radio 6 m para ue su superficie sea máima? Nota:Lahipotenusaeseldiámetrodelasemicircunferencia Eercise 1. De un rectángulo de dimensiones 0 cm de altura por 18 cm de anchura, cortamos en las cuatro esuinas un cuadrado eactamente igual y después construimos una caja rectangular. Cuánto ha de valer el lado del cuadrado para ue el volumen de la caja sea máimo? Eercise 1. De todos los conos circunscritos en la esfera de radio 6 m. Determina las dimensiones del ue tenga volumen mínimo Ayuda:Elvolumendeunconoes V = 1 πr h Eercise 1.5 Cuáles son las dimensiones de un triángulo rectángulo ue está inscrito en una semicircunferencia de radio 6 m para ue su superficie sea máima? Nota:Lahipotenusahadeestarcontenidaeneldiámetrodelasemicircunferencia 0

Eercise 1.6 Se uiere construir un recipiente cónico de generatriz g =10 cm y de capacidad máima. Cuál debe ser el radio,r, de la base y la altura h? Ayuda:Elvolumendeunconoes V = 1 πr h g = h + r Eercise 1.7 Calcula la altura y el radio ue debe tener un bote cilíndrico de leche condensada, cuya área total (dos tapas también) es de 150 cm para ue su volumen sea máimo Ayuda: La superficie total de un cilindro y su volumen son respectivamente S =πr +πrh V = πr h Eercise 1.8 De todas las rectas ue pasan por el punto P (1, ) encuentra la ue determina con los ejes coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima Ayuda: la ecuación canónica de una recta en el plano, ue corta a los ejes de coordenadas en los puntos P (a, 0),Q(0,b) es: a + y b =1 1