Funciones homogéneas. Funciones

Lección 4 Funciones homogéneas Funciones implícitas 41 Funciones homogéneas Una clase de funciones especialmente importantes en economía es la de las funciones homogéneas Si consideramos, por ejemplo, la función de Cobb-Douglas F (K, L) = A K α L β ; A > 0; 0 < α < 1; 0 < β < 1 donde K es el capital invertido y L el trabajo, y multiplicamos estas cantidades (inputs) por el factor positivo t, resulta que: F (tk, tl) = A (tk) α (tl) β = t α+β A K α L β = t α+β F (K, L) Estudiando cuando α+β es mayor, igual o menor que 1 vemos cuando la función tiene rendimientos de escala creciente (el output varía en mayor proporción que los inputs); tiene rendimientos de escala constantes (el output varía en la misma proporción que los inputs) o rendimientos de escala decreciente (el output varía en menor proporción que los inputs) Pasemos a desarrollar la teoría matemática correspondiente Definición 411 Sea f : D IR n IR definida en un dominio D abierto Supongamos que (x 1, x 2,, x n ) pertenece a D y t > 0 tal que (tx 1, tx 2,, tx n ) pertenece también a D Decimos que f es homogénea de 1

grado m en D, si f(tx 1, tx 2,, tx n ) = t m f(x 1, x 2,, x n ); t > 0 m puede ser cualquier número, positivo, cero o negativo Ejemplo 411 Sea f : IR 2 IR, f(x, y) = 3x 2 y y 3 Es una función homogénea de grado tres ya que f(tx, ty) = 3(tx) 2 (ty) (ty) 3 = 3t 2 x 2 ty t 3 y 3 = t 3 (3x 2 y y 3 ) = t 3 f(x, y) Proposición 411 Sean f, g : D IR n IR con D abierto 1 Si f y g son homogéneas de grado m, entonces f + g, f g son homogéneas de grado m 2 Si f es homogénea de grado m, entonces λf, λ IR es homogénea de grado m 3 Si f es homogénea de grado m y g es homogénea de grado m, entonces f g es homogénea de grado m + m 4 Si f es homogénea de grado m y g es homogénea de grado m y g(x) 0 en D, entonces f g es homogénea de grado m m Demostración: 1 (f ± g)(tx) = f(tx) ± g(tx) = t m f(x) ± t m g(x) = t m (f ± g)(x) 2 (λf)(tx) = λf(tx) = λt m f(x) = t m (λf)(x) 3 (f g)(tx) = f(tx)g(tx) = t m f(x)t m g(x) = t m+m f(x)g(x) = t m+m (f g)(x) 4 f f(tx) (tx) = g g(tx) = tm f(x) f(x) = t m tm m g(x) g(x) Proposición 412 Sean f : D 1 IR n IR y g : D 2 IR IR homogéneas de grados respectivos m y m y si x D 1 existe g f(x), entonces g f es homogénea de grado m m Demostración: (g f)(tx) = g(f(tx)) = g(t m f(x)) = (t m ) m g(f(x)) = t mm (g f)(x) 2

Proposición 413 Sea f : D IR n IR homogénea de grado m en D y existen sus derivadas parciales hasta orden uno en D y son continuas (Si f C 1 (D)), entonces las funciones derivadas parciales primeras de f son funciones homogéneas de grado m 1 Demostración: f(tx) = t m f(x) Si derivamos parcialmente respecto a en ambos miembros tenemos que Por tanto es homogénea de grado m 1 t (tx) = t m m 1 (tx) = t (x) Nota 411 Se deduce de forma inmediata que si f es una función de clase C p (D), entonces las funciones derivadas parciales de f de orden p: p f x p i anterior p veces son homogéneas de grado m p; para ello basta repetir el proceso Proposición 414 Sea f : D 1 IR n IR, D 1 abierto y tal que x D 1, > 0, entonces la función es homogénea de grado m en D 1 si y sólo si existe g : D 2 IR n 1 IR tal que f(x 1,,,, x n ) x m i ( x1 = g,, 1, +1,, x ) n ( ) Demostración (TC): Supongamos que f es homogénea de grado m en D y tomemos t = 1, entonces f(tx) = f ( x1,, 1,, +1,, x ) n = 1 x m i Luego existe una función g : D 2 IR n 1 IR que verifica ( ) f(x 1,,,, x n ) Veamos el recíproco: supongamos que existe la función g : D 2 IR n 1 IR que verifica ( ) y tomemos tx D 1 con t > 0 Tenemos que f(tx 1,, t,, tx n ) (t ) m ( tx1 = g,, t 1 t, t+1 t t,, tx ) n t es decir f(tx 1,, t,, tx n ) t m x m i ( x1 = g,, 1, +1,, x ) n En resumen podemos afirmar que f(tx 1,, t,, tx n ) t m x m i = f(x 1,,,, x n ) x m i f(tx 1,, t,, tx n ) = t m f(x 1,,,, x n ) Por tanto es homogénea de grado m 3

Ejemplo 412 Sea f : D IR 3 IR, f(x, y, z) = x 2 3y 2 + xz2 y 0; z > 0} f(tx, ty, tz) = t 2 x 2 3t 2 y 2 + txt2 z 2 es homogénea de grado dos y además ty = t 2 ( ) x 2 3y 2 + xz2 y ( ) f(x, y, z) y 2 ( ) x 2 = 1 3 + z2 y 2 ( ) z 2 x xy = 1 3 1 + y x x x Análogamente pasaría si dividimos por y 2 o por z 2 con D = {(x, y, z) IR 3 / x > 0; y > = t 2 f(x, y, z) ( y = g x x), z Teorema 411 Teorema de Euler) Sea f : D IR n IR con D abierto y f diferenciable en D, entonces f es homogénea de grado m si y sólo si < f(x), x >= m f(x) para cualquier x que pertenezca a D Demostración (TC): ) Sea x = (x 1, x 2,, x n ) D Definimos la función g : IR + IR como g(t) = f(tx) = f(tx 1, tx 2,, tx n ) t IR +, g es derivable y aplicando la regla de la cadena Como f es homogénea de grado m g (t) = x 1 (tx) + x 2 (tx) + + x n x n (tx) g(t)) = f(tx) = t m f(x) g (t) = mt m 1 f(x) Para t = 1 tenemos que x 1 (x) + x 2 (x) + + x n x n (x) = mf(x) ) Sea x = (x 1, x 2,, x n ) D Definimos la función h : IR + IR como h(t) = f(tx 1, tx 2,, tx n ) t m f(x 1, x 2,, x n ); t > 0 h es derivable y h (t) = [ ] x 1 (tx) + x 2 (tx) + + x n (tx) t m mt m 1 f(tx) x n t 2m = 4

ya que por hipótesis n i=1 = t m 1 [ n i=1 ] t (tx) mf(tx) t 2m = 0 (x) = mf(x) y por tanto en el punto tx : n i=1 t (tx) = mf(tx) Si h (t) = 0, entonces h(t) es constante y como h(1) = 0 tenemos que h(t) 0 Por tanto f(tx 1, tx 2,, tx n ) t m luego f es homogénea de grado m f(x 1, x 2,, x n ) = 0 f(tx) = t m f(x) 411 Aplicaciones económicas Si f(x 1, x 2,, x n ) es el output de cierto proceso de producción en función de las cantidades x 1, x 2,, x n de inputs empleados en él Normalmente se supone que si las cantidades x 1, x 2,, x n se multiplican por un factor t, el output queda multiplicado por t, es decir f(tx 1, tx 2,, tx n ) = tf(x 1, x 2,, x n ); t > 0 Esto implica que f es homogénea de grado 1 Se dice que las funciones de producción que tienen esta propiedad dan rendimientos constantes a escala Una función de producción homogénea de grado m < 1 tiene rendimientos decrecientes a escala, mientras que si m > 1 se dice que tiene rendimientos crecientes a escala En el caso de que la función de producción f(x 1, x 2,, x n ) sea de clase C 1 se tiene que es la la productividad marginal de y representa la variación de la función de producción f cuando se considera una variación infinitesimal del input Pues bien, la variación de la función de producción f al considerar cambios infinitesimales en todos los inputs (lo representamos por df) se puede aproximar mediante la expresión En el caso de que df = dx 1 + dx 2 + + dx n x n f(k, L) = A K α L β ; A > 0; 0 α, β < 1 La variación de la cantidad producida para variaciones infinitesimales de K y L se puede aproximar por df == A β K α L β 1 = A α K α 1 L β 5

Si consideramos la función de producción de Cobb-Douglas f(k, L) == A K α L 1 α la productividad media del capital f(k, L) K sería f(k, L) K = A ( L K ) 1 α la productividad media del trabajo f(k, L) L sería f(k, L) L ( ) K α = A L Si llamamos c = K L a la relación capital-trabajo, tenemos que g(c) = f(k, L) K = A f(k, L) cα 1 ; h(c) = = A c α L Es decir, las productividades medias de ambos factores se mantienen constantes mientras la relación capital-trabajo c se mantenga constante Además como la función f(k, L) = A K α L 1 α es homogénea de grado uno, las productividades marginales son homogéneas de grado cero ( ) K α 1 K = α A Kα 1 L 1 α = α A = α A c α 1 L ( ) K α L = (1 α) A Kα L α = (1 α) A = (1 α) A c α L Las productividades marginales de ambos factores se mantienen constantes mientras la relación capitaltrabajo c se mantenga constante al igual que pasaba con las producciones medias Sea f(x 1, x 2 ) una función de producción homogénea de grado m Consideremos la hipótesis de la teoría marginalista en régimen de competencia perfecta: los factores son remunerados de acuerdo con sus productividades marginales, se tiene x 1 es la cantidad de producto destinada a remunerar el factor x 1 x 2 es la cantidad de producto destinada a remunerar el factor x 2 6

Aplicando el teorema de Euler para cualquier combinación posible de inputs (x 1, x 2 ), se tiene Según los valores de m podemos decir x 1 (x 1, x 2 ) + x 2 (x 1, x 2 ) = mf(x 1, x 2 ) Si m < 1 x 1 (x 1, x 2 ) + x 2 (x 1, x 2 ) < f(x 1, x 2 ) Esto significa que la producción no se agota en la retribución de los factores productivos Si m = 1 x 1 (x 1, x 2 ) + x 2 (x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 ) Esto significa que la retribución de los factores productivos agota todo el output Si m > 1 x 1 (x 1, x 2 ) + x 2 (x 1, x 2 ) > f(x 1, x 2 ) Esto significa que el output obtenido no es suficiente para retribuir a los factores productivos En un mercado con tres bienes x 1, x 2, x 3, supongamos que la demanda de uno de ellos por un consumidor con renta r viene dada por f(x 1, x 2, x 3, r) Si imaginamos que los precios de los bienes aumentan un 10%, lo mismo que la renta del consumidor, multiplicaríamos cada cantidad por 11, en general lo haremos multiplicando por una cantidad t positiva y es lógico suponer que la demanda permanecerá constante, es decir f(tx 1, tx 2, tx 3, tr) = f(x 1, x 2, x 3, r) ( ) Si las restricciones presupuestaria iniciales del consumidor eran αx 1 + βx 2 + γx 3 m, ahora serán tαx 1 + tβx 2 + tγx 3 tm Que se verifique ( ) significa que función de demanda f es homogénea de grado cero Se dice, entonces, que la demanda no se ve influenciada por la ilusión monetaria Un ejemplo concreto es la función de demanda f(x 1, x 2, x 3, r) = que es homogénea de grado cero rx b 1 x b+1 1 + x b+1 2 + x b+1 3 con b constante 7

42 Funciones implícitas 421 Funciones implícitas de una variable Derivación Planteamiento del problema La definición explícita de una función real de variable real establece una relación matemática entre las variables de la forma y = f(x), por ejemplo, el coste de producción de x unidades de un bien de consumo es C(x) = Ax 3 2 + B con A y B números reales positivos Sin embargo, algunos problemas generan relaciones entre las variables x y y en las que ambas aparecen interrelacionadas de la forma F (x, y) = c con c real Así, por ejemplo, según Wold, la demanda Q de mantequilla en Estocolmo en el periodo 1925 1937 estaba relacionada con el precio P según la relación Q P 1 2 = 38 Dada una ecuación del tipo F (x, y) = c nos preguntamos cuando la relación que a cada x le asocia un valor de y es una aplicación, ello ocurrirá cuando a cada valor de x de un cierto dominio de definición le corresponda un único valor de y Además nos interesa saber cuando dicha aplicación es diferenciable y en caso afirmativo cual es su diferencial Así, por ejemplo 2xy + x 2 y = 2 F (x, y) = 0 con F (x, y) = 2xy + x 2 y 2 Nos basta despejar y resulta evidente que para x 1 2 y = 2 x2 2x 1 existe un único valor de y Por lo tanto y = f(x) = 2 x2 2x 1 real de variable real definida en un dominio D = {x IR/ x 1 } y cuya derivada es 2 Ahora bien, si consideramos y = 2x2 + 2x 4 (2x 1) 2 es una función xy e y = 3 F (x, y) = 0 con F (x, y) = xy e y 3 ya no es tan sencillo pues no hay métodos algebraicos para obtener y en función de x A las funciones de la forma F (x, y) = xy e y 3 le llamamos función implícita y la expresión F 8x, y) = c ecuación funcional 8

El problema de la existencia y diferenciabilidad de las funciones implícitas nos lo resuelven los teoremas sobre dichas funciones, pero estos teoremas presentan las siguientes particularidades: 1 Aseguran la existencia de la función explícita y = f(x) pero no obtienen su expresión algebraica 2 Dan la expresión de la derivada de la función explícita, lo cual es muy importante pues no sólo proporciona información sobre el comportamiento local de la función, sino que permite construir una aproximación (al menos lineal) de ella, a través de teorema de Taylor 3 El problema radica en que solamente tienen un carácter local, es decir, solamente van a ser válidos los resultados en un entorno de un punto (a, b) con F (a, b) = 0 Teorema de la función implícita Teorema 421 Sea F : D IR 2 IR con D abierto y sea (a, b) D Si se verifica que: (i) F (a, b) = 0 (ii) F es de clase C 1 en un entorno de (a, b) (iii) F (a, b) y 0 Entonces existe un entorno de a y una función única f definida de dicho entorno en IR tal que: 1 f(a) = b 2 F (x, f(x)) = 0 para todo x que pertenece al entorno de a 3 f(x) es continua y derivable en a El teorema anterior también se puede enunciar para x = f(y) cambiando la condición (iii) por F (a, b) x 0 Derivación de funciones implícitas de una variable Sabemos por el teorema anterior que F (x, f(x)) = 0 F x + F y y = 0 y = F x F y 9

Ejemplo 421 Estudiar si F (x, y) = x 2 + y 2 4 define a y como función implícita de x en un entorno del punto ( 2, 2) y calcular, si es posible, y ( 2); y ( 2) Veamos si se verifica el teorema de la función implícita cerca de punto ( 2, 2): (i) F ( 2, 2) = 0 (ii) F x = 2x; F y = 2y (iii) F ( 2, 2) y = 2 2 0 Luego existe una única función f definida de un entorno de 2 en IR, y = f(x) tal que: 1 f( 2) = 2 2 Cerca de x = 2 se tiene que F (x, f(x)) = 0 3 Cerca de x = 2 la función f es continua y derivable Derivando en x 2 + y 2 4 = 0 pero considerando y = f(x), tenemos que 2x + 2y y = 0 y = 2x 2y y = x y f ( 2 2) = = 1 2 Para obtener la derivada segunda procedemos de una forma similar, es decir, derivamos en 2x + 2y y = 0 y considerando que y = f(x), tenemos: 2 + 2y y + 2y y = 0 1 + y 2 + y y = 0 y = 1 y 2 y y ( 2) = 1 ( 1)2 2 = 2 2 = 2 Ejemplo 422 Estudiar si F (x, y) = x 2 + y 2 4 define a y como función implícita de x en un entorno del punto (2, 0) (i) F (2, 0) = 0 (ii) F x = 2x; F y = 2y (iii) F (2, 0) y = 0 Por lo tanto no existe la función y = f(x) en un entorno del punto x = 2 10

422 Campos escalares definidos implícitamente Podemos generalizar el caso anterior a un número arbitrario de variables Teorema 422 Sea F : D IR n IR con F (x) = 0 siendo x = (x 1, x 2,, x n ) IR n Sea a = (a 1, a 2,, a n ) IR n y supongamos que: (i) F (a) = 0 (ii) F es de clase C 1 en un entorno de a (iii) F (a) x j 0 Entonces existe una única función escalar f definida cerca del punto a = (a 1,, a j 1, a j+1,, a n ) IR n 1 que verifica: 1 f(a 1,, a j 1, a j+1,, a n ) = a j 2 F (x 1,, x j 1, f(x 1,, x j 1, x j+1,, x n ), x j+1,, x n ) = 0 cerca de a 3 f(x) es continua y derivable cerca de a Ejemplo 423 Sea F : IR 3 IR dada por F x, y, z) = x 2y 3z+z 2 +2 Obtener, si es posible, z = f(x, y) en un entorno del punto (0, 0, 2) y calcula z x; z y; z xy; z yy; en un entorno del (0, 0) (i) F (0, 0, 2) = 0 (ii) F x (iii) = 1; F y F (0, 0, 2) z = 2; F z = 3 + 2z; son continuas en IR3 = 1 0 Entonces existe una única función z = f(x, y) definida de un entorno del punto (0, 0) y que verifica: 1 f(0, 0) = 2 2 F (x, y, f(x, y)) = 0 cerca del (0, 0) cerca de a 3 f es continua y derivable cerca de (0, 0) 11

Para obtener las derivadas parciales derivamos en x 2y 3z + z 2 + 2 = 0 pero considerando z = f(x, y) Derivando parcialmente respecto de x Como z(0, 0) = 2, tenemos que z x(0, 0) = Derivando parcialmente respecto de y Como z(0, 0) = 2, tenemos que z y(0, 0) = 1 3z x + 2z z x = 0 z x = 1 2z 3 1 2z(0, 0) 3 = 1 2 2 3 = 1 z x(0, 0) = 1 2 3z y + 2z z y = 0 z y = 2 2z 3 2 2z(0, 0) 3 = 2 2 2 3 = 2 z x(0, 0) = 2 Para obtener las derivadas parciales de segundo orden se deriva en las expresiones de las derivadas parciales primeras que hemos obtenido, recordando que z = f(x, y) Dejamos el resto del ejercicio para que lo realice el alumno 43 Campos vectoriales definidos implícitamente Cuando los economistas manipulan sistemas de ecuaciones, especialmente en estática comparativa, se clasifican las variables en endógenas que son las que el modelo tiene que calcular y en exógenas que vienen determinadas por fuerzas exteriores al modelo Esta clasificación depende del modelo en sí Una variable como el gasto público puede ser exógena en un modelo y endógena en otro Estos modelos dan lugar, a menudo, a un sistema general de ecuaciones estructurales que tienen la forma: F 1 (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0 F 2 (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0 F n (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0 donde x 1,, x n son variables exógenas, mientras que y 1,, y m son variables endógenas Se conoce frecuentemente una solución (x 0, y 0 ) = (x 0 1,, x0 n, y 0 1,, y0 m) de equilibrio como suelen ser un estado de 12

igualdad entre la oferta y la demanda de cada bien de consumo La idea es conseguir escribir el sistema de la forma y 1 = f 1 (x 1,, x n ) y 2 = f 2 (x 1,, x n ) y m = f m (x 1,, x n ) llamado sistema en forma reducida, donde las variables endógenas se pueden expresar en función de las exógenas Las preguntas que surgen de una forma natural son: Bajo que condiciones se pueden escribir el sistema inicial de forma reducida Que propiedades tienen las funciones f j El teorema de la función implícita da respuesta a estas cuestiones, aunque el enunciado y la demostración son complicados Damos por tanto aquí un teorema con enunciado mas simplificado Teorema 431 Sea F : D IR n+m IR m, F definida sobre puntos de la forma (x, y) con x = (x 1,, x n ); y = (y 1,, y m ) y F función vectorial de componentes F = (F 1,, F m ) Sea (x 0, y 0 ) D Si se verifica que: (i) F (x 0, y 0 ) = 0 (ii) F es continua en un entorno de (x 0, y 0 ) (iii) Existen las derivadas parciales respecto a todas las variables de las funciones componentes F 1,, F m y son continuas en un entorno de (x 0, y 0 ) F 1 F 2 (x 0, y y 0 ) (x 0, y 1 y 0 ) 1 F 1 F 2 (iv) (F 1,, F m ) (y 1,, y m ) (x (x 0, y 0 ) = 0, y y 0 ) (x 0, y 2 y 0 ) 2 F 1 F 2 (x 0, y y 0 ) (x 0, y m y 0 ) m Entonces cerca de (x 0, y 0 ) existe la función y = f(x) tal que: F m (x 0, y y 0 ) 1 F m (x 0, y y 0 ) 2 0 F m (x 0, y y 0 ) m 1 F (x, f(x)) = 0 13

2 y 0 = f(x 0 ) 3 f es de clase C 1 cerca de x 0 Nota 431 f = (f 1, f 2,, f m ) con y 1 = f 1 (x 1,, x n ) y 2 = f 2 (x 1,, x n ) y m = f m (x 1,, x n ) Ejemplo 431 Demostrar que el sistema x z 3 + y 2 u 3 = 1 2x y 3 + u 2 z = 0 define a x e y como funciones implícitas de z y u, es decir, x = f 1 (z, u); y = f 2 (z, u) en un entorno del punto (0, 1, 0, 1) y hallar f 1 (0, 1) y f 2 (0, 1) Definimos las funciones: F 1 (z, u, x, y) = x z 3 + y 2 u 3 1; F 1 : IR 2 IR 2 IR F 2 (z, u, x, y) = 2x y 3 + u 2 z; F 2 : IR 2 IR 2 IR (i) F 1 (0, 1, 0, 1) = 0; F 2 (0, 1, 0, 1) = 0 F 1 (ii) z = F 1 3xz2 ; u = 3y2 u 2 F 1 ; x = F 1 z3 ; y = 2yu3 ; F 2 z = F 2 u2 ; u = 2uz; F 2 x = F 2 2y3 ; y = 6xy2 ; F 1 es de clase C 1 en un entorno del punto considerado (iii) (F 1, F 2 ) (0, 1, 0, 1) (x, y) = 0 2 2 0 = 4 0 Entonces existen: f 1 : E(0, 1) E(0)/ x = f 1 (z, u) f 2 : E(0, 1) E(1)/ y = f 2 (z, u) verificando: 14

1 f 1 (0, 1) = 0; f 2 (0, 1) = 1 2 f 1 y f 2 son de clase C 1 en un entorno del (0, 1) F 1 (z, u, f 1 (z, u), f 2 (z, u)) = 0 3 F 2 (z, u, f 1 (z, u), f 2 (z, u)) = 0 Por tanto f 1 z 3 + f 2 2 u3 1 = 0 2f 1 f 3 2 + u2 z = 0 Derivando respecto a z en la primera ecuación: 1 z z3 + f 1 3z 2 + 2f 2 2 z u3 = 0 y sustituyendo en (0, 1, 0, 1) y como f 1 (0, 1) = 0 y f 2 (0, 1) = 1, tenemos que 1 z (0, 1) 0 + 0 0 + 2 1 2 z (0, 1) 1 = 0 2 (0, 1) = 0 z Repitiendo el proceso pero en la segunda ecuación Derivando respecto a u en la primera ecuación 2 1 z f 2 3 + 2f 1 3f2 2 2 z + u2 = 0 2 1 z (0, 1) 1 + 2 0 3 1 0 + 1 = 0 1 z (0, 1) = 1 2 1 u z3 + 2f 2 2 u u3 + f 3 2 3u 2 = 0 y sustituyendo en (0, 1, 0, 1) y como f 1 (0, 1) = 0 y f 2 (0, 1) = 1, tenemos que 1 u (0, 1) 0 + 2 1 2 u (0, 1) 1 + 1 3 1 = 0 2 u (0, 1) = 3 2 Repitiendo el proceso pero en la segunda ecuación 2 1 u f 23 + 2f 1 3f2 2 2 u + 2u z = 0 2 1 u (0, 1) 1 + 2 0 3 1 2 u (0, 1) + 2 1 0 = 0 1 (0, 1) = 0 u Por tanto f 1 (0, 1) = 1 2 0 ; f 2(0, 1) = 0 3 2 15